函数的最大与最小值（5月8日）
教学目标：1、使学生掌握可导函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上所有点（包括端点a , b ）处
的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 一、复习：
n
1、x
()
/
=___________；2、[C ⋅f (x ) ±g (x ) ]/=_____________
3、求y=x3—27x 的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间[a , b ]上的函数y =f (x )
发现图中____________是极小值，_________是极间[a , b ]上的函数y =f (x )
的最大值是______，最小值是_______
在区间 [a , b ]上求函数 y =f (x ) 的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 y =f (x ) 在(a , b ) 内有导数 ； ．．．．2、求函数 y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值
3、将函数y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值与f (a ), f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小．的一个为最小值
三、例1、求函数y =x -2x +5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
4
2
x
解：先求导数，得y =4x -4x
令y /＝0即4x -4x =0解得x 1=-1, x 2=0, x 3=1 导数y /的正负以及f (-2) ，f (2) 如下表
3
/3
从上表知，当x =±2时，函数有最大值13，当x =±1时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一
个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C 与产量P 的函数关系为C ＝100＋4P ，价格R 与产
量P 的函数关系为R ＝25－0.125P ，求产量P 为何值时，利润L 最大。
四、小结：
1、闭区间[a , b ]上的连续函数一定有最值；开区间(a , b ) 内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一
个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内
只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数y =x -5x +4在区间[-1, 1]上的最大值与最小值
2
2、求函数y =3x -x 在区间-, 3上的最大值与最小值。
3
[]
3、求函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
4、求函数y =x 5+5x 4+5x 3+1在区间[-1, 4]上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数y =x 2-5x +4在区间[-1, 1]上的最大值为10，最小值为－
9 4
（2）函数y =2x 2-4x +1（2＜X ＜4）上的最大值为17，最小值为1 （3）函数y =x 3-12x （－3＜X ＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16 （4）函数y =x 3-12x （－2＜X ＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X 元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L 最大？
9、在曲线Y=1—X 2(X≥0，Y ≥0) 上找一点了(x 0, y 0) ，过此点作一切线，与X 、Y 轴构成一
个三角形，问X 0为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一
1⎛1⎫
半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示： ⎪=-2)
x ⎝x ⎭
/
函数的最大与最小值（5月8日）
教学目标：1、使学生掌握可导函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上所有点（包括端点a , b ）处
的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 一、复习：
n
1、x
()
/
=___________；2、[C ⋅f (x ) ±g (x ) ]/=_____________
3、求y=x3—27x 的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间[a , b ]上的函数y =f (x )
发现图中____________是极小值，_________是极间[a , b ]上的函数y =f (x )
的最大值是______，最小值是_______
在区间 [a , b ]上求函数 y =f (x ) 的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 y =f (x ) 在(a , b ) 内有导数 ； ．．．．2、求函数 y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值
3、将函数y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值与f (a ), f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小．的一个为最小值
三、例1、求函数y =x -2x +5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
4
2
x
解：先求导数，得y =4x -4x
令y /＝0即4x -4x =0解得x 1=-1, x 2=0, x 3=1 导数y /的正负以及f (-2) ，f (2) 如下表
3
/3
从上表知，当x =±2时，函数有最大值13，当x =±1时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一
个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C 与产量P 的函数关系为C ＝100＋4P ，价格R 与产
量P 的函数关系为R ＝25－0.125P ，求产量P 为何值时，利润L 最大。
四、小结：
1、闭区间[a , b ]上的连续函数一定有最值；开区间(a , b ) 内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一
个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内
只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数y =x -5x +4在区间[-1, 1]上的最大值与最小值
2
2、求函数y =3x -x 在区间-, 3上的最大值与最小值。
3
[]
3、求函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
4、求函数y =x 5+5x 4+5x 3+1在区间[-1, 4]上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数y =x 2-5x +4在区间[-1, 1]上的最大值为10，最小值为－
9 4
（2）函数y =2x 2-4x +1（2＜X ＜4）上的最大值为17，最小值为1 （3）函数y =x 3-12x （－3＜X ＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16 （4）函数y =x 3-12x （－2＜X ＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X 元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L 最大？
9、在曲线Y=1—X 2(X≥0，Y ≥0) 上找一点了(x 0, y 0) ，过此点作一切线，与X 、Y 轴构成一
个三角形，问X 0为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一
1⎛1⎫
半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示： ⎪=-2)
x ⎝x ⎭
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