夏津一中高一奥赛数学决赛试题
时间:2014/2/19
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题（每题5分，共50分）
1．集合｛0，1，2，2011｝的非空真子集的个数是（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 7
2． 已知函数f (x )
满足f (
2
) =log 2则f (x ) 的解析式是( ) x +|x |
2
A.2- B.log2 x C. -log 2 x D.x -
x
3. 一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 3π B
4π C 33π D 6π
2
4. 已知abc
5. 函数f (x ) =
1111
图像的对称中心是（ ） +++…+
x +1x +2x +3x +2013
A. (-1006,0) B.(-1007,0) C. (1006,0) D. (1007,0)
6. 设f (x ) 是R 上的奇函数, 且在(0, +∞) 上递增, 若f () =0, f (log4x ) ＞0, 那么x 的取值范围是( )
12
111
A. x ＞2或2＜x ＜1 B. x ＞2 C. 2＜x ＜1 D.2＜x ＜2
7. 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x ) 单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1) ＜0, 则f (x 1)+f (x 2) 的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 8. 若函数f (x )=25-
|x +5|
-4×5-
|x +5|
+m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )
A. m ＞0 B. m ≤4 C. 0＜m ≤4 D. 0＜m ≤3
9.
已知f (x ) =1(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x ) 的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )
1
A. x =2 B. x =1 C. x =2 D. x =0
10. 已知α, β分别满足α⋅1g αA. =1004, β⋅10β=1004，则α⋅β等于
1004
. C.2008
二、填空题（每小题8分，共48分）
11. 已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k }, ⊂B, 则实数k 的取值范围是____________________ 若A ≠
12. 若函数y =loga (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________
13.. 已知方程组
⎧log 81x +log 64y =4
⎨
⎩log x 81-log y 64=1
⎧x =x 1⎧x =x 2⎨⎨
y =y 1⎩y =y 2⎩的解为和,
则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________
14. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) =m (m >0) 在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4，则
x 1+x 2+x 3+x 4=15. 若方程x -4x +3-x =a 有三个不相等的实数根，则a=
2
16. 若方程lg kx =2lg(x +1) 仅有一个实数根，那么k 的取值范围是 三、解答题（16题10分，17题12分,19、20题各15分共52分） 17.(1)
求函数y =
(2).已知集合A =
.
{x x
2
-6x +8
}{}
确定实数a 的取值范围.
18. 已知
f (t ) =
log 2t
，t ∈，对于f (t ) 值域内的所有实数m ，不等式
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立，求x 的取值范围．
19. 一条直线L 过点P (1,4)，分别交X 轴，Y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求 （1）∆AOB 面积的最小值，并求此时的直线L 的方程。 （2）OA +OB 取最小值时直线L 的方程。 （3）PA PB 取最小值时直线L 的倾斜角。
20. 已知圆C :x +y +2x -6y +1=0，直线l :x +my =3． （1）若l 与C 相切，求m 的值；
（2）是否存在m 值，使得l 与C 相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．
2
2
参考答案
一．CCACB ABDBB
15. -1或-16. k
17.. （1
（2）解：.
3 4
A ={x |2
A B ≠φ需且只需：
⎧∆≥0⎪f (2)>0⎪23⎪
f (2)f (4)0，整理有≤a
4⎪
⎪2≤a ≤4⎪⎩
2
g t ，t ∈，对于f (t ) 值域内的所有实数m ，不等式18. 已知f (t ) =
l o 2
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立，求x 的取值范围．
解： f (t ) =log 2t , t ∈，∴m ∈[,3]
1
2
x 2+mx +4>2m +4x ⇔(x -2) m +x 2-4x +4>0令g (m ) =(x -2) m +x 2-4x +4，
由题意知：当m ∈[,3]时，恒有g (m ) >0， 当x =2时，不满足题意．
1
2
⎧1⎪g () >0
当x ≠2时，有⎨2，解得：x 2．∴x ∈(-∞, -1) (2,+∞)
⎪⎩g (3)>0
19. （1）∆AOB 面积的最小值为8，并求此时的直线L 的方程为4x +y -8=0。 （2）OA +OB 取最小值时直线L 的方程2x +y -6=0。
（3）PA PB 取最小值为8， k=-1时直线L 的倾斜角为135。
20. 解：(Ⅰ) 由圆方程配方得(x+1)+(y－3) =9， 圆心为C(－1，3) ，半径为 r = 3，
…2分 若 l 与C 相切，则得
22
|-1+3m -3|
1+m 2
=3， ……4分
∴(3m－4) =9(1+m) ，∴m =
22
7
． 24
2
2
……5分
(Ⅱ) m 满足题意。 由 x+y+2x－6y+1=0 ，消去x 得 －my (m+1)y－(8m+6)y+16=0，
2
2
2
2
……7分
7
， 248m +616
设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，则y 1+y2=，y 1y 2=．
22m +1m +1
由△=(8m+6)－4(m+1)·16>0，得m>
2
2
……8分
因为OA ⊥OB ，在三角形OAB 中，由勾股定理得：AB =OA +OB 由两点间的距离公式整理得: x 1x 2+y 1y 2=0 所以， x 1x 2+y 1y 2=(3－my 1)(3－my 2)+y1y 2
=9－3m(y1+y2)+(m+1)y1y 2=9－3m ·=25－
2
2
2
8m +6m +1
2
+(m+1)·
2
16m +1
2
24m +18m m +1
2
2
2
2
=0 ……13分
24m +18m=25m+25，m －18m+25=0， ∴m=9±2，适合m>
7， 24
……15分
∴存在m=9±2符合要求．
夏津一中高一奥赛数学决赛试题
时间:2014/2/19
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题（每题5分，共50分）
1．集合｛0，1，2，2011｝的非空真子集的个数是（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 7
2． 已知函数f (x )
满足f (
2
) =log 2则f (x ) 的解析式是( ) x +|x |
2
A.2- B.log2 x C. -log 2 x D.x -
x
3. 一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A 3π B
4π C 33π D 6π
2
4. 已知abc
5. 函数f (x ) =
1111
图像的对称中心是（ ） +++…+
x +1x +2x +3x +2013
A. (-1006,0) B.(-1007,0) C. (1006,0) D. (1007,0)
6. 设f (x ) 是R 上的奇函数, 且在(0, +∞) 上递增, 若f () =0, f (log4x ) ＞0, 那么x 的取值范围是( )
12
111
A. x ＞2或2＜x ＜1 B. x ＞2 C. 2＜x ＜1 D.2＜x ＜2
7. 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x ) 单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1) ＜0, 则f (x 1)+f (x 2) 的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 8. 若函数f (x )=25-
|x +5|
-4×5-
|x +5|
+m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )
A. m ＞0 B. m ≤4 C. 0＜m ≤4 D. 0＜m ≤3
9.
已知f (x ) =1(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x ) 的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )
1
A. x =2 B. x =1 C. x =2 D. x =0
10. 已知α, β分别满足α⋅1g αA. =1004, β⋅10β=1004，则α⋅β等于
1004
. C.2008
二、填空题（每小题8分，共48分）
11. 已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k }, ⊂B, 则实数k 的取值范围是____________________ 若A ≠
12. 若函数y =loga (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________
13.. 已知方程组
⎧log 81x +log 64y =4
⎨
⎩log x 81-log y 64=1
⎧x =x 1⎧x =x 2⎨⎨
y =y 1⎩y =y 2⎩的解为和,
则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________
14. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) =m (m >0) 在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4，则
x 1+x 2+x 3+x 4=15. 若方程x -4x +3-x =a 有三个不相等的实数根，则a=
2
16. 若方程lg kx =2lg(x +1) 仅有一个实数根，那么k 的取值范围是 三、解答题（16题10分，17题12分,19、20题各15分共52分） 17.(1)
求函数y =
(2).已知集合A =
.
{x x
2
-6x +8
}{}
确定实数a 的取值范围.
18. 已知
f (t ) =
log 2t
，t ∈，对于f (t ) 值域内的所有实数m ，不等式
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立，求x 的取值范围．
19. 一条直线L 过点P (1,4)，分别交X 轴，Y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求 （1）∆AOB 面积的最小值，并求此时的直线L 的方程。 （2）OA +OB 取最小值时直线L 的方程。 （3）PA PB 取最小值时直线L 的倾斜角。
20. 已知圆C :x +y +2x -6y +1=0，直线l :x +my =3． （1）若l 与C 相切，求m 的值；
（2）是否存在m 值，使得l 与C 相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．
2
2
参考答案
一．CCACB ABDBB
15. -1或-16. k
17.. （1
（2）解：.
3 4
A ={x |2
A B ≠φ需且只需：
⎧∆≥0⎪f (2)>0⎪23⎪
f (2)f (4)0，整理有≤a
4⎪
⎪2≤a ≤4⎪⎩
2
g t ，t ∈，对于f (t ) 值域内的所有实数m ，不等式18. 已知f (t ) =
l o 2
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立，求x 的取值范围．
解： f (t ) =log 2t , t ∈，∴m ∈[,3]
1
2
x 2+mx +4>2m +4x ⇔(x -2) m +x 2-4x +4>0令g (m ) =(x -2) m +x 2-4x +4，
由题意知：当m ∈[,3]时，恒有g (m ) >0， 当x =2时，不满足题意．
1
2
⎧1⎪g () >0
当x ≠2时，有⎨2，解得：x 2．∴x ∈(-∞, -1) (2,+∞)
⎪⎩g (3)>0
19. （1）∆AOB 面积的最小值为8，并求此时的直线L 的方程为4x +y -8=0。 （2）OA +OB 取最小值时直线L 的方程2x +y -6=0。
（3）PA PB 取最小值为8， k=-1时直线L 的倾斜角为135。
20. 解：(Ⅰ) 由圆方程配方得(x+1)+(y－3) =9， 圆心为C(－1，3) ，半径为 r = 3，
…2分 若 l 与C 相切，则得
22
|-1+3m -3|
1+m 2
=3， ……4分
∴(3m－4) =9(1+m) ，∴m =
22
7
． 24
2
2
……5分
(Ⅱ) m 满足题意。 由 x+y+2x－6y+1=0 ，消去x 得 －my (m+1)y－(8m+6)y+16=0，
2
2
2
2
……7分
7
， 248m +616
设A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ，则y 1+y2=，y 1y 2=．
22m +1m +1
由△=(8m+6)－4(m+1)·16>0，得m>
2
2
……8分
因为OA ⊥OB ，在三角形OAB 中，由勾股定理得：AB =OA +OB 由两点间的距离公式整理得: x 1x 2+y 1y 2=0 所以， x 1x 2+y 1y 2=(3－my 1)(3－my 2)+y1y 2
=9－3m(y1+y2)+(m+1)y1y 2=9－3m ·=25－
2
2
2
8m +6m +1
2
+(m+1)·
2
16m +1
2
24m +18m m +1
2
2
2
2
=0 ……13分
24m +18m=25m+25，m －18m+25=0， ∴m=9±2，适合m>
7， 24
……15分
∴存在m=9±2符合要求．