2014年华容一中高一数学竞赛试题
班级 姓名 成绩
一．选择题：(每题5分，共40分)
n 1
1设集合A ={x |x =, n ∈Z}, B ={x |x =n +, n ∈Z }，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）A
22
B A B B
A ． B ． C ． D ． ( C ）
A. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0 C. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)
B. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=0 D. f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)
2. 设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0则
3. 对函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 作x =h (t ) 的代换，则总不改变函数f (x ) 的值域的是（A ） A ．h (t ) =log 2t B.h (t ) =t 2 C．h (t ) = D．h (t ) =10t
1t
4. 已知函数f (x ) 满足f (ab ) =f (a ) +f (b ) ，且f (2)=p ，f (3)=q ，那么f (12)等于（ ）B
A ． p +q B． 2p +q C． p +2q D． p 2+q
5. 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M -P =x x ∈M 且x ∉P ，则M -(M -P ) 等于（B ） A. P B. M ⋂P C. M ⋃P D. M
A. (0, 3) B.(1,3) C.(2，23) D.(1，23) 6 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m 2) 与时间
x
{}
t (月) 的关系：y =a ，有以下叙述： ① 这个指数函数的底数是2；
② 第5个月时，浮萍的面积就会超过30m 2； ③ 浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1．5个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是（ ） D
A ． ①②③ B． ①②③④ C ． ②③④ D． ①②
7．已知log 4[log3(log2x )]=0，那么x
1-2
t/月
等于（ ） C
1
A ． B．
C．
D．
3
8. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传输信息，设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0, 1}（i =0, 1, 2），传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0=a 0⊕a 1，h 1=h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（ C ) A. 11010 B.01100 C.10111
D. 01111
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分）
9、设集合{1, a +b , a }=⎨0,
b ⎧b ⎫
, b ⎬，则=.
a ⎩a ⎭
5x ∈(-∞,1)
10已知f (x
)=，f [f (0)]= ___ ______．
3-3x ∈(1,+∞) 2⎪⎩x +x
2
11. 若方程x -4x +3-x =a 有三个不相等的实数根，则a= -1或-
3
_ 4
12. 集合M ={x |x =a
3
x 2-(a +1) x +a
, a >1}，M
中元素的个数为____2______
13. 函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋4(a ，b 不为零) ，且f (5)＝10，则f (－5) 等于 -2 . 35
14．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a ，log c ，若a －c=9，则b －d= 93 ．
24
解：a 3=b2，c 5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2) =9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．
三、解答题（本大题共3小题，各10分，满分30分）
15 记函数f (x ) =
1
2x -3
2
数h (x ) =x +2x +4的值域为集合C .
(1) 求集合A, B, C；
(2) 求集合A ⋃(C R B ), A ∩(B ∪C )
的定义域为集合A ，函数g (x ) =
k -1
在(0, +∞)为增函数时k 的取值集合为B, 函x
33
解:(1)由2x －3＞0，得x ＞ A ＝{x |x ＞；…………2分 22又由k -1
而h (x ) =x 2+2x +4=(x +1)+3≥3，∴C =[3, +∞)…………6分
2
(2) A ⋃(C R B )=[1, +∞)…………9分
A ∩(B ∪C )= [3, +∞)…………12分
16, 设函数f （x ）=ax2+bx+1(a≠0,b ЄR) ，若f(-1)=0，且对任意实数x （x ЄR ）不等式f(x)≥0恒成立。
（1）求实数a 、b 的值；
（2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f（x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围
19. 答案：（1）当a=0时，f(x)是一次函数，对后面的条件不成立了。 所以f(x)是二次函数且和x 轴只有一个交点，就是x=-1的时候。 a-b+1=0和(b的平方-4a) =0 解出来就是答案了。 a=1 b=2
（2）g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=-,
因g(x)在［-2，2］上单调，故 ∴k 的取值范围为k ≤-2或k ≥6.
≤-2或≥2,
17已知函数y =x +
t
有如下性质：如果常数t >0，那么该函数0, 上是减函数，在, +∞上是增函数。 x
(])
4x 2-12x -3
（1）已知f (x ) =，x ∈[0, 1]，利用上述性质，求函数f (x ) 的单调区间和值域。
2x +1
（2）对于（1）中的函数f (x ) 和函数g (x ) =-x -2a ，若对于任意的x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[0, 1]，使得
g (x 2) =f (x 1) 成立，求实数a 的值。
24x -12x -34解析：(1)y =f (x ) ==2x +1+-8,
2x +12x +1
设u =2x +1, x ∈[0, 1], 1≤u ≤3，则y =u +当1≤u ≤2, 即0≤x ≤
4
-8, u ∈[1, 3]，由已知性质得， u
1⎡1⎤时，f (x ) 单调递减，所以递减区间为⎢0, ⎥ 2⎣2⎦
当2≤u ≤3, 即
1⎡1⎤≤x ≤1时，f (x ) 单调递增，所以递增区间为⎢, 1⎥ 2⎣2⎦
由f (0) =-3, f () =-4, f (1) =-
1211
，得f (x ) 的值域为[-4, -3] 3
（2）由于g (x ) =-x -2a 为减函数，故g (x ) ∈[-1-2a , -2a ], x ∈[0, 1] 由题意，f (x ) 的值域为g (x ) 的值域的子集，从而有
⎧-1-2a ≤-43
a = 所以 ⎨
2⎩-2a ≥-3
2014年华容一中高一数学竞赛试题
班级 姓名 成绩
一．选择题：(每题5分，共40分)
n 1
1设集合A ={x |x =, n ∈Z}, B ={x |x =n +, n ∈Z }，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）A
22
B A B B
A ． B ． C ． D ． ( C ）
A. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0 C. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)
B. f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=0 D. f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)
2. 设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0则
3. 对函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 作x =h (t ) 的代换，则总不改变函数f (x ) 的值域的是（A ） A ．h (t ) =log 2t B.h (t ) =t 2 C．h (t ) = D．h (t ) =10t
1t
4. 已知函数f (x ) 满足f (ab ) =f (a ) +f (b ) ，且f (2)=p ，f (3)=q ，那么f (12)等于（ ）B
A ． p +q B． 2p +q C． p +2q D． p 2+q
5. 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M -P =x x ∈M 且x ∉P ，则M -(M -P ) 等于（B ） A. P B. M ⋂P C. M ⋃P D. M
A. (0, 3) B.(1,3) C.(2，23) D.(1，23) 6 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m 2) 与时间
x
{}
t (月) 的关系：y =a ，有以下叙述： ① 这个指数函数的底数是2；
② 第5个月时，浮萍的面积就会超过30m 2； ③ 浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1．5个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是（ ） D
A ． ①②③ B． ①②③④ C ． ②③④ D． ①②
7．已知log 4[log3(log2x )]=0，那么x
1-2
t/月
等于（ ） C
1
A ． B．
C．
D．
3
8. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传输信息，设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0, 1}（i =0, 1, 2），传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0=a 0⊕a 1，h 1=h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（ C ) A. 11010 B.01100 C.10111
D. 01111
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分）
9、设集合{1, a +b , a }=⎨0,
b ⎧b ⎫
, b ⎬，则=.
a ⎩a ⎭
5x ∈(-∞,1)
10已知f (x
)=，f [f (0)]= ___ ______．
3-3x ∈(1,+∞) 2⎪⎩x +x
2
11. 若方程x -4x +3-x =a 有三个不相等的实数根，则a= -1或-
3
_ 4
12. 集合M ={x |x =a
3
x 2-(a +1) x +a
, a >1}，M
中元素的个数为____2______
13. 函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋4(a ，b 不为零) ，且f (5)＝10，则f (－5) 等于 -2 . 35
14．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a ，log c ，若a －c=9，则b －d= 93 ．
24
解：a 3=b2，c 5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2) =9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．
三、解答题（本大题共3小题，各10分，满分30分）
15 记函数f (x ) =
1
2x -3
2
数h (x ) =x +2x +4的值域为集合C .
(1) 求集合A, B, C；
(2) 求集合A ⋃(C R B ), A ∩(B ∪C )
的定义域为集合A ，函数g (x ) =
k -1
在(0, +∞)为增函数时k 的取值集合为B, 函x
33
解:(1)由2x －3＞0，得x ＞ A ＝{x |x ＞；…………2分 22又由k -1
而h (x ) =x 2+2x +4=(x +1)+3≥3，∴C =[3, +∞)…………6分
2
(2) A ⋃(C R B )=[1, +∞)…………9分
A ∩(B ∪C )= [3, +∞)…………12分
16, 设函数f （x ）=ax2+bx+1(a≠0,b ЄR) ，若f(-1)=0，且对任意实数x （x ЄR ）不等式f(x)≥0恒成立。
（1）求实数a 、b 的值；
（2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f（x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围
19. 答案：（1）当a=0时，f(x)是一次函数，对后面的条件不成立了。 所以f(x)是二次函数且和x 轴只有一个交点，就是x=-1的时候。 a-b+1=0和(b的平方-4a) =0 解出来就是答案了。 a=1 b=2
（2）g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,对称轴为x=-,
因g(x)在［-2，2］上单调，故 ∴k 的取值范围为k ≤-2或k ≥6.
≤-2或≥2,
17已知函数y =x +
t
有如下性质：如果常数t >0，那么该函数0, 上是减函数，在, +∞上是增函数。 x
(])
4x 2-12x -3
（1）已知f (x ) =，x ∈[0, 1]，利用上述性质，求函数f (x ) 的单调区间和值域。
2x +1
（2）对于（1）中的函数f (x ) 和函数g (x ) =-x -2a ，若对于任意的x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[0, 1]，使得
g (x 2) =f (x 1) 成立，求实数a 的值。
24x -12x -34解析：(1)y =f (x ) ==2x +1+-8,
2x +12x +1
设u =2x +1, x ∈[0, 1], 1≤u ≤3，则y =u +当1≤u ≤2, 即0≤x ≤
4
-8, u ∈[1, 3]，由已知性质得， u
1⎡1⎤时，f (x ) 单调递减，所以递减区间为⎢0, ⎥ 2⎣2⎦
当2≤u ≤3, 即
1⎡1⎤≤x ≤1时，f (x ) 单调递增，所以递增区间为⎢, 1⎥ 2⎣2⎦
由f (0) =-3, f () =-4, f (1) =-
1211
，得f (x ) 的值域为[-4, -3] 3
（2）由于g (x ) =-x -2a 为减函数，故g (x ) ∈[-1-2a , -2a ], x ∈[0, 1] 由题意，f (x ) 的值域为g (x ) 的值域的子集，从而有
⎧-1-2a ≤-43
a = 所以 ⎨
2⎩-2a ≥-3