第一讲 量子力学的诞生
★ 重点与难点解析
一、经典物理碰到的严重困难（不能解释的典型物理现象）
1. 无法解释黑体辐射问题
（1）一些基本概念
黑体；热辐射；单色辐出度；辐射出射度。
（2）单色辐出度的一些理论公式与实验结果的差异
维恩（Wien）公式只在短波波段（高频部分）与实验符合，而在长波波段（低频部分）与实验差别较大。
瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）公式只在长波波段（低频部分）与实验符合，而在短波波段（高频部分）与实验有明显差异，历史上称为“紫外灾难”。
普朗克通过改进维恩公式，得到了一个辐射公式（后称为普朗克公式），其与实验符合的很好。但无法用经典物理来解释这个公式
2. 无法解释光电效应
（1）什么是光电效应；什么是光电子
（2）光电效应的特点
A）对于一定的金属材料做成的（表面光洁的）电极，有一个确定的临界频率ν0，当照射光频率ν
B）每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目；
C）当入射光频率ν>ν0时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。这与经典电磁理论计算结果不一致。
以上三个特点中，C）是定量上的问题，而A）和B）在原则上无法用经典物理学来解释。
3. 无法解释原子结构
经典理论无法解释原子的线状光谱和稳定性等：
（1）根据经典理论，原子向外辐射电磁波，随电子运动轨道的半径不断减小，辐射电磁波的频率将连续变化。而实验发现，原子光谱是离散的线状光谱，并非连续；
（2）原子的核型结构是不稳定的，绕核旋转的电子最终将落到原子核上，但实际原子是稳定的，电子不会落到原子核上。
4. 无法解释极低温下固体与分子的比热问题
在极低温下，由经典统计力学的能量均分定理等得到的固体与分子的比热与实验不符。
二、能量量子化思想对上述问题的解释
1. 普朗克（Planck）能量子假说
1900年，普朗克发现：如作下列假设，就可以根据玻尔兹曼分布律从理论上导出与实验结果相符合的普朗克黑体辐射公式。
普朗克的假设如下：对于一定频率ν的电磁辐射，物体只能以hν为单位吸收或发射它，h为一个普适常量（后来人们称之为Planck常量），换句话说，吸收或发射电磁辐射只能以
ν。 “量子”方式进行，每个“量子”的能量为ε=h
后来，爱因斯坦应用普朗克的能量子假说首次定性地解释了固体比热问题。
2. 爱因斯坦（Einstein）的光量子论
普朗克提出的吸收或发射电磁辐射能量的不连续性概念，在经典力学中是无法理解的。所以尽管普朗克的假设可以解释他的与实验符合得非常好的辐射公式，却并未引起很多人的注意。
首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其他困难的是爱因斯坦。他在1905年用普朗克的量子假设去解决光电效应问题。进一步提出了光量子（后来简称为光子）
ν。概念，即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是E=h
当采用了光量子概念之后，光电效应问题立即迎刃而解。
2当频率为ν的光子照射到金属表面，逸出电子的动能为1ν−A（后来被称为2mυ=h
Planck-Einstein公式）。其中m是电子质量，A为金属逸出功。光电效应的解释如下：
（1）饱和光电流强度与光强成正比。对于给定频率的光束来说，光的强度越大，表示光子的数目越多，光电子越多，电流越大。
（2）临界频率的存在。当入射光频率低于临界频率ν0时，hν
（3）光电效应的瞬时性。当电子一次性地吸收了一个光子后，便获得了hν的能量而立刻从金属表面逸出，没有明显的时间滞后。
1923年，康普顿（Compton）的散射实验直接验证了Planck-Einstein公式，即验证了光的量子性。康普顿（Compton）的散射实验还证实了：在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒很仍然成立（不仅是平均守恒的）。
3. 玻尔（Bohr）的量子论
Bohr从大量的实验事件出发，发现量子化是解决原子问题的关键，因此提出了两个极为重要的概念：
（1）原子能够，并且只能够稳定地存在于与离散的能量相对应的一系列状态，这些状态称为定态。因此，原子能量的任何改变，包括吸收和发射电磁辐射，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。
（2）原子在两个定态（分别属于能极En和Em，设En>Em）之间跃迁时，吸收或发射的辐射（光子）的频率ν是唯一的，即hν=En−Em（频率条件）。
简单地说，玻尔量子论中核心的两条思想为：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念以及频率条件。它们在后来建立起来的量子力学中，仍然被保留了下来。运用以上两个概念可以解释氢原子的线状光谱和原子稳定性问题。有了这些概念后，关于分子和原子比热的Boltzmann（玻尔兹曼）佯谬（内容是：为什么原子核与电子的多自由度对固体比热都没有贡献）也可以迎刃而解。
为把原子的离散的能级定量地确定一下来，Bohr根据对应原理（即，在大量子数极限
情况下，量子体系的行为将趋向与经典力学体系相同）得出一个角动量量子化条件：作定态轨道运动的电子的角动量L的数值只能等于=的整数倍。根据上述思想，玻尔定量地求出了氢原子能级公式和里德伯常量。后来，索末菲（Sommerfeld）等为了处理多自由度体系的周期运动的能量量子化，给出了推广的量子化条件：∫pdqvkk=nkh,nk=1,2,3,"。其中pk,qk为一对共轭的正则坐标和动量，上式积分为周期运动积分一个周期。索末菲（Sommerfeld）的量子化条件得到了一些有价值的结果，但有时也会导出荒谬的结论。
玻尔理论虽然在解释原子结构和光谱线方面取得了很大的成功，很也遇到了一些困难：
（1）不能解释多电子原子的光谱；
（2）只能给出光谱线的频率，不能解释谱线的强度和宽度；
（3）不能处理非束缚态的问题（例如散射问题）；
（4）不能解释量子化的条件从何而来，它仍保留经典力学中的轨道概念，把经典力学规律强加于微观粒子，属于唯象理论。
4. 固体比热问题的量子解释
1906年，爱因斯坦应用普朗克的量子假说于固体比热，得出了一个与实验结果定性符合的比热公式，1911年，能斯特（Walther Nernst）与林德曼（F.Lindemann）根据爱因斯坦的方程提出了一个经验公式，与实验结果很吻合。
三、德布罗意（de Broglie）的物质波
1. 假定
1924年，德布罗意在Planck-Einstein的光量子论和Bohr的氢原子理论的启发下，大胆地设想：波粒二象性是光子和一切实物粒子（静止质量不为零）的共同本质。他假设：与具有一定能量和动量的物质粒子相联系的波的频率和波长分别为ν=E/h,λ=h/p（E==ω,p==k），称为德布罗意关系。
2. 实验验证
1927年，戴维孙（Davisson）和革末（Germer）的单晶衍射实验证实了电子德布罗意波的存在。后来很多实验都证实，不仅是电子，而且质子、中子、原子、分子等都具有波动性。波动性是物质粒子普遍具有的。由于普朗克常数h是个小量，一般实物粒子的德布罗意波长很短，因此波粒二象性直到20世纪才被实验观测到。
四、量子力学的建立
量子力学的理论体系于1923—1927年间建立，Heisenberg的矩阵力学和Schrödinger的波动力学几乎同时提出。
1. 海森堡（Heisenberg）矩阵力学的提出
矩阵力学的提出与Bohr的早期量子论有很密切的关系。海森堡继承了早期量子论中一些合理的思想的同时，摒弃了一些没有实验根据的概念。按照海森堡的分析，对于氢原子中的电子，要肯定电子确实没玻尔轨道运动，就必须不断对电子位置进行测量，并要求位置测量的误差Δx a（玻尔半径）。这种观测只有用波长λ a的X射线才有可能。但按照
因而对电子扰动就越大，Compton散射，光子与电子的相互作用有动量转移≈h/λ h/a，
电子就不可能维持原来的运动状态。所以无限跟踪一个电子是不可能的，而实验条件给出的误差甚至远大于这种不确定性的量级，所以也无法从实验上推翻这种观点，这就是不确定关系。因此海森堡抛弃了精确轨道的概念，认为任何物理理论只应涉及可以观测的物理量。
海森堡的矩阵力学，认为每个物理可观测量都可以用矩阵表示，它们遵守不可对易代数，对应着不确定关系。
2. 薛定谔（Schrödinger）波动力学的提出
波动力学的思想来源于德布罗意的物质波。薛定谔在物质波思想的启发下，找到了量子体系的波动方程，即薛定谔方程。可以证明，矩阵力学与波动力学完全等价（涉及表象变换）。
3. 量子力学的5大公设（见教材的结束语）
(1)、第一公设 ——波函数公设
状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。
(2)、第二公设 ——算符公设
(3)、第三公设 ——测量公设
ˆψ(r)dr =ψ*(r)A∫KKK
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设
(5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
第一讲 量子力学的诞生
★ 重点与难点解析
一、经典物理碰到的严重困难（不能解释的典型物理现象）
1. 无法解释黑体辐射问题
（1）一些基本概念
黑体；热辐射；单色辐出度；辐射出射度。
（2）单色辐出度的一些理论公式与实验结果的差异
维恩（Wien）公式只在短波波段（高频部分）与实验符合，而在长波波段（低频部分）与实验差别较大。
瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）公式只在长波波段（低频部分）与实验符合，而在短波波段（高频部分）与实验有明显差异，历史上称为“紫外灾难”。
普朗克通过改进维恩公式，得到了一个辐射公式（后称为普朗克公式），其与实验符合的很好。但无法用经典物理来解释这个公式
2. 无法解释光电效应
（1）什么是光电效应；什么是光电子
（2）光电效应的特点
A）对于一定的金属材料做成的（表面光洁的）电极，有一个确定的临界频率ν0，当照射光频率ν
B）每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目；
C）当入射光频率ν>ν0时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。这与经典电磁理论计算结果不一致。
以上三个特点中，C）是定量上的问题，而A）和B）在原则上无法用经典物理学来解释。
3. 无法解释原子结构
经典理论无法解释原子的线状光谱和稳定性等：
（1）根据经典理论，原子向外辐射电磁波，随电子运动轨道的半径不断减小，辐射电磁波的频率将连续变化。而实验发现，原子光谱是离散的线状光谱，并非连续；
（2）原子的核型结构是不稳定的，绕核旋转的电子最终将落到原子核上，但实际原子是稳定的，电子不会落到原子核上。
4. 无法解释极低温下固体与分子的比热问题
在极低温下，由经典统计力学的能量均分定理等得到的固体与分子的比热与实验不符。
二、能量量子化思想对上述问题的解释
1. 普朗克（Planck）能量子假说
1900年，普朗克发现：如作下列假设，就可以根据玻尔兹曼分布律从理论上导出与实验结果相符合的普朗克黑体辐射公式。
普朗克的假设如下：对于一定频率ν的电磁辐射，物体只能以hν为单位吸收或发射它，h为一个普适常量（后来人们称之为Planck常量），换句话说，吸收或发射电磁辐射只能以
ν。 “量子”方式进行，每个“量子”的能量为ε=h
后来，爱因斯坦应用普朗克的能量子假说首次定性地解释了固体比热问题。
2. 爱因斯坦（Einstein）的光量子论
普朗克提出的吸收或发射电磁辐射能量的不连续性概念，在经典力学中是无法理解的。所以尽管普朗克的假设可以解释他的与实验符合得非常好的辐射公式，却并未引起很多人的注意。
首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其他困难的是爱因斯坦。他在1905年用普朗克的量子假设去解决光电效应问题。进一步提出了光量子（后来简称为光子）
ν。概念，即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是E=h
当采用了光量子概念之后，光电效应问题立即迎刃而解。
2当频率为ν的光子照射到金属表面，逸出电子的动能为1ν−A（后来被称为2mυ=h
Planck-Einstein公式）。其中m是电子质量，A为金属逸出功。光电效应的解释如下：
（1）饱和光电流强度与光强成正比。对于给定频率的光束来说，光的强度越大，表示光子的数目越多，光电子越多，电流越大。
（2）临界频率的存在。当入射光频率低于临界频率ν0时，hν
（3）光电效应的瞬时性。当电子一次性地吸收了一个光子后，便获得了hν的能量而立刻从金属表面逸出，没有明显的时间滞后。
1923年，康普顿（Compton）的散射实验直接验证了Planck-Einstein公式，即验证了光的量子性。康普顿（Compton）的散射实验还证实了：在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒很仍然成立（不仅是平均守恒的）。
3. 玻尔（Bohr）的量子论
Bohr从大量的实验事件出发，发现量子化是解决原子问题的关键，因此提出了两个极为重要的概念：
（1）原子能够，并且只能够稳定地存在于与离散的能量相对应的一系列状态，这些状态称为定态。因此，原子能量的任何改变，包括吸收和发射电磁辐射，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。
（2）原子在两个定态（分别属于能极En和Em，设En>Em）之间跃迁时，吸收或发射的辐射（光子）的频率ν是唯一的，即hν=En−Em（频率条件）。
简单地说，玻尔量子论中核心的两条思想为：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念以及频率条件。它们在后来建立起来的量子力学中，仍然被保留了下来。运用以上两个概念可以解释氢原子的线状光谱和原子稳定性问题。有了这些概念后，关于分子和原子比热的Boltzmann（玻尔兹曼）佯谬（内容是：为什么原子核与电子的多自由度对固体比热都没有贡献）也可以迎刃而解。
为把原子的离散的能级定量地确定一下来，Bohr根据对应原理（即，在大量子数极限
情况下，量子体系的行为将趋向与经典力学体系相同）得出一个角动量量子化条件：作定态轨道运动的电子的角动量L的数值只能等于=的整数倍。根据上述思想，玻尔定量地求出了氢原子能级公式和里德伯常量。后来，索末菲（Sommerfeld）等为了处理多自由度体系的周期运动的能量量子化，给出了推广的量子化条件：∫pdqvkk=nkh,nk=1,2,3,"。其中pk,qk为一对共轭的正则坐标和动量，上式积分为周期运动积分一个周期。索末菲（Sommerfeld）的量子化条件得到了一些有价值的结果，但有时也会导出荒谬的结论。
玻尔理论虽然在解释原子结构和光谱线方面取得了很大的成功，很也遇到了一些困难：
（1）不能解释多电子原子的光谱；
（2）只能给出光谱线的频率，不能解释谱线的强度和宽度；
（3）不能处理非束缚态的问题（例如散射问题）；
（4）不能解释量子化的条件从何而来，它仍保留经典力学中的轨道概念，把经典力学规律强加于微观粒子，属于唯象理论。
4. 固体比热问题的量子解释
1906年，爱因斯坦应用普朗克的量子假说于固体比热，得出了一个与实验结果定性符合的比热公式，1911年，能斯特（Walther Nernst）与林德曼（F.Lindemann）根据爱因斯坦的方程提出了一个经验公式，与实验结果很吻合。
三、德布罗意（de Broglie）的物质波
1. 假定
1924年，德布罗意在Planck-Einstein的光量子论和Bohr的氢原子理论的启发下，大胆地设想：波粒二象性是光子和一切实物粒子（静止质量不为零）的共同本质。他假设：与具有一定能量和动量的物质粒子相联系的波的频率和波长分别为ν=E/h,λ=h/p（E==ω,p==k），称为德布罗意关系。
2. 实验验证
1927年，戴维孙（Davisson）和革末（Germer）的单晶衍射实验证实了电子德布罗意波的存在。后来很多实验都证实，不仅是电子，而且质子、中子、原子、分子等都具有波动性。波动性是物质粒子普遍具有的。由于普朗克常数h是个小量，一般实物粒子的德布罗意波长很短，因此波粒二象性直到20世纪才被实验观测到。
四、量子力学的建立
量子力学的理论体系于1923—1927年间建立，Heisenberg的矩阵力学和Schrödinger的波动力学几乎同时提出。
1. 海森堡（Heisenberg）矩阵力学的提出
矩阵力学的提出与Bohr的早期量子论有很密切的关系。海森堡继承了早期量子论中一些合理的思想的同时，摒弃了一些没有实验根据的概念。按照海森堡的分析，对于氢原子中的电子，要肯定电子确实没玻尔轨道运动，就必须不断对电子位置进行测量，并要求位置测量的误差Δx a（玻尔半径）。这种观测只有用波长λ a的X射线才有可能。但按照
因而对电子扰动就越大，Compton散射，光子与电子的相互作用有动量转移≈h/λ h/a，
电子就不可能维持原来的运动状态。所以无限跟踪一个电子是不可能的，而实验条件给出的误差甚至远大于这种不确定性的量级，所以也无法从实验上推翻这种观点，这就是不确定关系。因此海森堡抛弃了精确轨道的概念，认为任何物理理论只应涉及可以观测的物理量。
海森堡的矩阵力学，认为每个物理可观测量都可以用矩阵表示，它们遵守不可对易代数，对应着不确定关系。
2. 薛定谔（Schrödinger）波动力学的提出
波动力学的思想来源于德布罗意的物质波。薛定谔在物质波思想的启发下，找到了量子体系的波动方程，即薛定谔方程。可以证明，矩阵力学与波动力学完全等价（涉及表象变换）。
3. 量子力学的5大公设（见教材的结束语）
(1)、第一公设 ——波函数公设
状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。
(2)、第二公设 ——算符公设
(3)、第三公设 ——测量公设
ˆψ(r)dr =ψ*(r)A∫KKK
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设
(5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设