解析几何中的切线问题

解析几何中的切线问题

解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程， 再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。最后通过其他条件达到解题的目的。对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。

【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1，MN =3．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的

笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线l 1:x -2y =0和l 2:x +2y =0分别交于P , Q 两点．若直线l 总

∆OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：

求出该最小值；若不存在，说明理由．

第22题图

1

第22题图2

x 2y 2

【答案】（Ⅰ）+=1. （Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，∆OPQ 的面积取

164

得最小值8.

【解析】（Ⅰ）因为|OM |≤|MN |+|NO |=3+1=4，当M , N 在x 轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |-|NO |=3-1=2，当D , O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中

x 2y 2

心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为+=1.

164

1

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =4或x =-4，都有S ∆OPQ =⨯4⨯4=8.

2⎧y =kx +m , 1

l （2）当直线的斜率存在时，设直线l :y =kx +m (k ≠±) ， 由⎨2 消去y ，2

2x +4y =16, ⎩

2

可得(1+4k 2) x 2+8kmx +4m . 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以-16=0

∆=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16) =0，即m 2=16k 2+4. ①

⎧y =kx +m , 2m m -2m m 又由⎨ 可得P (, ) ；同理可得Q (, ) . 由原点O 到直线PQ 的

x -2y =0, 1-2k 1-2k 1+2k 1+2k ⎩

距离为d =

和|PQ |=x P -x Q |，可得

S ∆OPQ

1112m 2m 2m 2

=|PQ |⋅d =|m ||x P -x Q |=⋅|m |+=. ② 2221-2k 1+2k 1-4k 2

将①代入②得，

S ∆OPQ

4k 2+12m 2

==82

1-4k 24k -1

. 当k 2>

1

4

时，

S ∆OPQ

4k 2+124k 2+1212

=8(2) =8(1+2) >8；当0≤k

44k -14k -11-4k 21-4k 2

122

，则0

0≤k 2

取等号. 所以当k =0时，S ∆OPQ 的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，∆OPQ 的面积取

得最小值8.

下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题

设切点为(x 0, y 0), 则椭圆的切线系方程为l :x 0x +4y 0y =16. 切线l 与x =2y 和x =-2y 交点的纵坐标分别为y 1=y 2=

1616

. 切线l 与x 轴的交点为(, 0).

4y 0-2x 0x 0

16

和

4y 0+2x 0

116128

则△OPQ 的面积为S =⨯⨯y 1-y 2=. 2

2x 02x 0-16由于点(x 0, y 0) 在椭圆上，所以0≤x 0≤4所以当x 0=0或4时，S 取得最小值8.

此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线l 斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。

像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：

x 2y 2

【2014广东，理20】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的一个焦点为(5, 0),

a b

离心率为.

3

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0, y 0) 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

【解析】（1）由题意可知c =5, e =+=1

94

2

c =, 所以a =3, b =2. a 3

y

2

（2）若一切线垂直于x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 有4个，它们的坐标分别为（-3，±2），（3，±2）若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0) 代入椭圆方程得：(9k 2+4) x 2+18k (y 0-kx 0) x +9[(y 0-kx 0) 2-4]=0依题意，∆=0，(18k ) 2(y 0-kx 0) 2-36[(y 0-kx 0) 2-4](9k 2+4) =0即(x 0-9) k 2-2x 0y 0k +y 0-4=0,

y -4

因为两切线相互垂直，所以k 1k 2=-1, 即02=-1

x 0-9所以x 0+y 0=13, 显然(-3, ±2), (3, ±2) 这四点也满足上述方程所以点P 的轨迹方程为x 0+y 0=13

2

2

2

2

2

2

2

下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第（2）题

设P (x 0, y 0), 设两切点的坐标分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 则两条切线分别为：4x 1x +9y 1y =36, 4x 2x +9y 2y =36

点P 满足上述两个方程，所以4x 1x 0+9y 1y 0=36, 4x 2x 0+9y 2y 0=36所以直线AB 的方程为4x 0x +9y 0y =36将AB 方程代入椭圆的方程得：16x 032x 01442(+4) x -x +-36=02229y 0y 0y 081y 0162y 03242(+9) y -+2-36=0224x 0x 0x 081(4-y 0) 16(9-x 0) x 1x 2=, y y =122222

4x 0+9y 04x 0+9y 0

4-y 0x x 8122

12=-, 所以=-1, 即x +y 00=132

y 1y 2169-x 0

2

2

2

22

此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。

x 2y 2

【2014浙江卷，理21】设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 动直线l 与椭圆只有一个公共点P ，

a b

且点P 在第一象限. (1) 已知直线l 的斜率为k , 用a , b , k 表示点P 的坐标；

(2) 若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离最大值为a -b

⎧y =kx +m

⎪

【解析】(1) 方法一：设直线l 的方程为y =kx +m (k

⎪2+2=1

b ⎩a

消去y 得:(b 2+a 2k 2) x 2+2a 2km x +a 2m 2-a 2k 2=0

由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P , 故∆=0，即b 2-m 2+a 2k 2=0, a 2km b 2m 解得P 点的坐标为P (-2, 2) 2222

b +a k b +a k 又因为点P 在第一象限，故点P 的坐标为P (-

a 2k b +a k

2

2

2

,

b 2b +a k

2

2

2

)

⎧x =x ' ⎪x 2y 2⎪a

方法二：作变换, 则椭圆C 2+2=1(a >b >0) 变为圆C ' :x ' 2+y ' 2=1⎨

a b ⎪y =y '

⎪⎩b

切点P (x 0, y 0) 变为点P ' (x ' 0, y ' 0) ，切线l ：y -y 0=k (x -x 0)(k

在圆C ' 中设直线O ' P ' 的方程为y ' =m x ' (m >0), 1⎧

x ' =⎪0

⎧y ' =m x ' +m 2⎪由⎨22解得⎨

m ⎩x ' +y ' =1⎪y ' =0⎪+m 2⎩

1m

即P ' (, ), 由于O ' P ' ⊥l ' ,

22

+m +m

ak b

所以k O ' P ' ⋅k l ' =-1, 得m ⋅=-1, 即m =-, 代入得

b ak

ak b

P ' (-, )

222222a k +b a k +b

x ⎧x ' =⎪⎪a

利用逆变换⎨代入即得：

⎪y ' =y ⎪b ⎩a 2k b 2

P ' (-, )

222222a k +b a k +b

(2) 由于直线l 1过原点O 且与直线l 垂直，故直线l 1的方程为x +ky =0, 所以点P 到直线l 1的距离

-d =

a 2k b +a k

2

2

2

+

2

b 2k b 2+a 2k 2

整理得：d =

a 2-b 2

2

2

2

2

b 2

b +a +a k +2

k

22222b a -b a -b

因为a 2k 2+2≥2ab , 所以d =≤=a -b

222k b b +a +2ab

b 2+a 2+a 2k 2+k

b

当且仅当k 2=时等号成立.

a

所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a -b .

+k

下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.

x 0y 0

x +y =1, 22a b ⎧x 0a 2k ⎪=-222

b b x x a k ⎪y 0

则k =-20, 即0=-2, 因为点P 在椭圆上，所以联立, ⎨2

2a y 0y 0b y 0⎪x 0

+=1 22⎪b ⎩a

a 2k b 2

解得：x 0=-, y 0=

222a k +b a 2k 2+b 2a 2k b 2

所以P (-, )

222222a k +b a k +b (1) 设点P 的坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0), 则切线l 的方程为

(2) 设直线l 1:x +ky =0

x 0+ky 0

2

-=≤

a 2k a k +b

2

2

2

+

b 2k a 2k 2+b 2

点P 到直线l 1的距离d =整理得：d =

+k

a 2-b 2

2

+k 2

a 2-b 2

2

2

=a -b

b 2ab +a +b 22

+a +b k 所以点P 到直线l 1的最大距离为a -b .

a 2k 2+

x 2y 23

【2013山东卷，理22】椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1, F 2, 离心率为，

a b 2

过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1) 求椭圆C 的方程；

(2) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1, PF 2。设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m , 0), 求m 的取值范围；

(3) 在(2) 的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l , 使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。设直线PF 1, PF 2的斜率分别为k 1, k 2, 若k ≠0, 11

+为定值，并求出这个定值. kk 1kk 2

x 2y 2b 2

【解析】(1) 由于c =a -b , 将x =-c 2+2=1, 得y =±,

a b a

2b 2c x 22

=1, 即a =2b . 又e ==, 所以a =2, b =1. 椭圆C 的方程为+y 2=1

a a 24

(2) 解法一：设P (x 0, y 0)(y 0≠0). 又F 1(-3, 0), F 2(, 0).

2

2

2

所以直线PF 1, PF 2的方程分别为：l PF 1:y 0x -(x 0+) y +3y 0=0, l PF 2:y 0x -(x 0-3) y -3y 0=0. m y 0+y 0y 0+(x 0+)

2

2

=

2

m y 0-y 0y 0+(x 0-3)

2

2

, m +3

m -(

3

x 0-2) 22

x 2

由于点P 0+y 0=1, 所以

4因为-3

(

3

x 0+2) 22

=

m +3-m 333

=. 所以m =x 0. 因此-

4223x 0+22-x 022

解法二：设P (x 0, y 0), 当0≤x 0

11①当x 0=3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P (3, ) 或(, -).

22

m +1

若P (, ), 则直线PF 1的方程为x -4y +3=0. 由题意得=-m ,

27

3313因为-3

424

②当x 0≠0时，设直线PF 1, PF 2的方程分别为y =k 1(x +), y =k 2(x -), 12m k 1+k 1m k 2+k 2

(m +3) 2k 1

由题意知=, 所以=, 2221(m -) +k 1+k 21+k 2

1+

x y 0y 02

因为0+y 0=1并且k 1=, k 2=,

4x 0+3x 0-3(m +) 2(x 0+4) 2m +3所以=, 即=22

(m -) (x 0-4) m -x 0+4

x 0-4

2

因为-3

+m 4+x 0

=. -m 4-3x 0

3x 033, 故0≤m

33

综合①②可得：0≤m

22

33

综上所述，m 的取值范围是(-, ).

22

⎧x 22

⎪+y =1

(3) 设P (x 0, y 0)(y 0≠0), 则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0), 联立⎨4

⎪y -y =k (x -x )

00⎩(1+4k 2) x 2+8(ky 0-k 2x 0) x +4(y 0-2kx 0y 0+k 2x 0-1) =0由题意∆=0，即(4-x 0) k 2+2x 0y 0k +1-y 0=0

x x 222

又因为0+y 0=1, 所以16y 0k 2+8x 0y 0k +x 0=0, 故k =-0

44y 0y 0y 0

由(2) 可知k 1=, k 2=,

x 0+3x 0-3所以则

11x 0+3x 0-32x 0

+=+=, k 1k 2y 0y 0y 0

2

2

2

2

2

4y 2x 11111+=(+) =(-0) ⨯0=-8. kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0

11

+为定值，这个定值为-8. kk 1kk 2

因此

在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第（2）题的方法。这个方法设计三角形中角平分线的相关性质。

(2) 设PF 1=x , PF 2=4-x , 运用上述性质，则有：

PF 2MF 24-x MF 2PF

=，所以=, 当点P 2越大，PF 1MF 1x MF 1PF 1当点P 与右端点重合时（不能取到），x =2+3(不能取到), 333此时MF 2=-, 则点M , 0），所以m

222333

根据对称性m >-, 所以m 的取值范围为（-）.

222

第(3)题仍然可用椭圆的切线系方程快速求解

(3) 设点P (x 0, y 0), 则直线l :k 1=

x 0x

x +y 0y =1, 则k =-0, 44y 0

y 0y 0112x

, k 2=, 所以+=0

k 1k 2y 0x 0+3x 0-

4y 2x 11111

+=(+) =-0⨯0=-8. kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0

此类问题还有很多，本文就不一一列举。一般来说，切线系方程在解决椭圆的切线问题时，具有计算量小的特点，有时还可以避免讨论特殊情况，一定程度上减少了失误的可能性。有关圆的切线问题使用切线系方程并没有明显优势，因为用圆心到直线的距离等于半径这一条

【2013江苏卷，理17】【2014天津卷，理18】件更为简单，大家可以参考，，【2014重庆卷，理21】。关于抛物线的切线问题也不建议大家用切线系方【2015湖南卷，理22】程求解，具体可以参考。关于双曲线的切线问题，

出现频率较低，暂不作讨论。

附：①对于圆x 2+y 2=r 2(r >0) 的切线系方程：x 0x +y 0y =r 2，其中点

(x 0, y 0) 是圆上任意一点。

x x y y x 2y 2

②对于椭圆2+2=1(a >0, b >0) 的切线系方程：02+02=1，其中点

a b a b

(x 0, y 0) 是椭圆上任意一点。

x x y y x 2y 2

③对于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的切线系方程：02-02=1，其中

a b a b

点(x 0, y 0) 是双曲线上任意一点。（另一种形式的双曲线可以类比得到对应的切线系方程）

④对于抛物线x 2=2py 的切线系方程：x 0x =py +py 0，其中点(x 0, y 0) 是抛物线上任意一点。（另一种形式的抛物线可以类比得到对应的切线系方程）

解析几何中的切线问题

解决这类问题的通常做法是用两个待定系数表示出切线的方程， 再通过与圆锥曲线的方程联立得到一个一元二次方程以及判别式等于零这一条件得到两个待定系数的关系。最后通过其他条件达到解题的目的。对于圆的切线问题，可以通过圆心到切线的距离等于半径这一条件来求解。对于有多条切线的问题，我们还可以用切线系方程来解题。本文将着重介绍运用切线系方程解决切线问题的方法。首先，我们以2015年湖北卷第21题为例。

【2015高考湖北，理21】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1，MN =3．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的

笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线l 1:x -2y =0和l 2:x +2y =0分别交于P , Q 两点．若直线l 总

∆OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：

求出该最小值；若不存在，说明理由．

第22题图

1

第22题图2

x 2y 2

【答案】（Ⅰ）+=1. （Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，∆OPQ 的面积取

164

得最小值8.

【解析】（Ⅰ）因为|OM |≤|MN |+|NO |=3+1=4，当M , N 在x 轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |-|NO |=3-1=2，当D , O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中

x 2y 2

心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为+=1.

164

1

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =4或x =-4，都有S ∆OPQ =⨯4⨯4=8.

2⎧y =kx +m , 1

l （2）当直线的斜率存在时，设直线l :y =kx +m (k ≠±) ， 由⎨2 消去y ，2

2x +4y =16, ⎩

2

可得(1+4k 2) x 2+8kmx +4m . 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以-16=0

∆=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16) =0，即m 2=16k 2+4. ①

⎧y =kx +m , 2m m -2m m 又由⎨ 可得P (, ) ；同理可得Q (, ) . 由原点O 到直线PQ 的

x -2y =0, 1-2k 1-2k 1+2k 1+2k ⎩

距离为d =

和|PQ |=x P -x Q |，可得

S ∆OPQ

1112m 2m 2m 2

=|PQ |⋅d =|m ||x P -x Q |=⋅|m |+=. ② 2221-2k 1+2k 1-4k 2

将①代入②得，

S ∆OPQ

4k 2+12m 2

==82

1-4k 24k -1

. 当k 2>

1

4

时，

S ∆OPQ

4k 2+124k 2+1212

=8(2) =8(1+2) >8；当0≤k

44k -14k -11-4k 21-4k 2

122

，则0

0≤k 2

取等号. 所以当k =0时，S ∆OPQ 的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，∆OPQ 的面积取

得最小值8.

下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题

设切点为(x 0, y 0), 则椭圆的切线系方程为l :x 0x +4y 0y =16. 切线l 与x =2y 和x =-2y 交点的纵坐标分别为y 1=y 2=

1616

. 切线l 与x 轴的交点为(, 0).

4y 0-2x 0x 0

16

和

4y 0+2x 0

116128

则△OPQ 的面积为S =⨯⨯y 1-y 2=. 2

2x 02x 0-16由于点(x 0, y 0) 在椭圆上，所以0≤x 0≤4所以当x 0=0或4时，S 取得最小值8.

此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线l 斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。

像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：

x 2y 2

【2014广东，理20】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的一个焦点为(5, 0),

a b

离心率为.

3

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0, y 0) 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

【解析】（1）由题意可知c =5, e =+=1

94

2

c =, 所以a =3, b =2. a 3

y

2

（2）若一切线垂直于x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 有4个，它们的坐标分别为（-3，±2），（3，±2）若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0) 代入椭圆方程得：(9k 2+4) x 2+18k (y 0-kx 0) x +9[(y 0-kx 0) 2-4]=0依题意，∆=0，(18k ) 2(y 0-kx 0) 2-36[(y 0-kx 0) 2-4](9k 2+4) =0即(x 0-9) k 2-2x 0y 0k +y 0-4=0,

y -4

因为两切线相互垂直，所以k 1k 2=-1, 即02=-1

x 0-9所以x 0+y 0=13, 显然(-3, ±2), (3, ±2) 这四点也满足上述方程所以点P 的轨迹方程为x 0+y 0=13

2

2

2

2

2

2

2

下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第（2）题

设P (x 0, y 0), 设两切点的坐标分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 则两条切线分别为：4x 1x +9y 1y =36, 4x 2x +9y 2y =36

点P 满足上述两个方程，所以4x 1x 0+9y 1y 0=36, 4x 2x 0+9y 2y 0=36所以直线AB 的方程为4x 0x +9y 0y =36将AB 方程代入椭圆的方程得：16x 032x 01442(+4) x -x +-36=02229y 0y 0y 081y 0162y 03242(+9) y -+2-36=0224x 0x 0x 081(4-y 0) 16(9-x 0) x 1x 2=, y y =122222

4x 0+9y 04x 0+9y 0

4-y 0x x 8122

12=-, 所以=-1, 即x +y 00=132

y 1y 2169-x 0

2

2

2

22

此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。

x 2y 2

【2014浙江卷，理21】设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 动直线l 与椭圆只有一个公共点P ，

a b

且点P 在第一象限. (1) 已知直线l 的斜率为k , 用a , b , k 表示点P 的坐标；

(2) 若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离最大值为a -b

⎧y =kx +m

⎪

【解析】(1) 方法一：设直线l 的方程为y =kx +m (k

⎪2+2=1

b ⎩a

消去y 得:(b 2+a 2k 2) x 2+2a 2km x +a 2m 2-a 2k 2=0

由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P , 故∆=0，即b 2-m 2+a 2k 2=0, a 2km b 2m 解得P 点的坐标为P (-2, 2) 2222

b +a k b +a k 又因为点P 在第一象限，故点P 的坐标为P (-

a 2k b +a k

2

2

2

,

b 2b +a k

2

2

2

)

⎧x =x ' ⎪x 2y 2⎪a

方法二：作变换, 则椭圆C 2+2=1(a >b >0) 变为圆C ' :x ' 2+y ' 2=1⎨

a b ⎪y =y '

⎪⎩b

切点P (x 0, y 0) 变为点P ' (x ' 0, y ' 0) ，切线l ：y -y 0=k (x -x 0)(k

在圆C ' 中设直线O ' P ' 的方程为y ' =m x ' (m >0), 1⎧

x ' =⎪0

⎧y ' =m x ' +m 2⎪由⎨22解得⎨

m ⎩x ' +y ' =1⎪y ' =0⎪+m 2⎩

1m

即P ' (, ), 由于O ' P ' ⊥l ' ,

22

+m +m

ak b

所以k O ' P ' ⋅k l ' =-1, 得m ⋅=-1, 即m =-, 代入得

b ak

ak b

P ' (-, )

222222a k +b a k +b

x ⎧x ' =⎪⎪a

利用逆变换⎨代入即得：

⎪y ' =y ⎪b ⎩a 2k b 2

P ' (-, )

222222a k +b a k +b

(2) 由于直线l 1过原点O 且与直线l 垂直，故直线l 1的方程为x +ky =0, 所以点P 到直线l 1的距离

-d =

a 2k b +a k

2

2

2

+

2

b 2k b 2+a 2k 2

整理得：d =

a 2-b 2

2

2

2

2

b 2

b +a +a k +2

k

22222b a -b a -b

因为a 2k 2+2≥2ab , 所以d =≤=a -b

222k b b +a +2ab

b 2+a 2+a 2k 2+k

b

当且仅当k 2=时等号成立.

a

所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a -b .

+k

下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.

x 0y 0

x +y =1, 22a b ⎧x 0a 2k ⎪=-222

b b x x a k ⎪y 0

则k =-20, 即0=-2, 因为点P 在椭圆上，所以联立, ⎨2

2a y 0y 0b y 0⎪x 0

+=1 22⎪b ⎩a

a 2k b 2

解得：x 0=-, y 0=

222a k +b a 2k 2+b 2a 2k b 2

所以P (-, )

222222a k +b a k +b (1) 设点P 的坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0), 则切线l 的方程为

(2) 设直线l 1:x +ky =0

x 0+ky 0

2

-=≤

a 2k a k +b

2

2

2

+

b 2k a 2k 2+b 2

点P 到直线l 1的距离d =整理得：d =

+k

a 2-b 2

2

+k 2

a 2-b 2

2

2

=a -b

b 2ab +a +b 22

+a +b k 所以点P 到直线l 1的最大距离为a -b .

a 2k 2+

x 2y 23

【2013山东卷，理22】椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1, F 2, 离心率为，

a b 2

过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1) 求椭圆C 的方程；

(2) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1, PF 2。设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m , 0), 求m 的取值范围；

(3) 在(2) 的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l , 使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。设直线PF 1, PF 2的斜率分别为k 1, k 2, 若k ≠0, 11

+为定值，并求出这个定值. kk 1kk 2

x 2y 2b 2

【解析】(1) 由于c =a -b , 将x =-c 2+2=1, 得y =±,

a b a

2b 2c x 22

=1, 即a =2b . 又e ==, 所以a =2, b =1. 椭圆C 的方程为+y 2=1

a a 24

(2) 解法一：设P (x 0, y 0)(y 0≠0). 又F 1(-3, 0), F 2(, 0).

2

2

2

所以直线PF 1, PF 2的方程分别为：l PF 1:y 0x -(x 0+) y +3y 0=0, l PF 2:y 0x -(x 0-3) y -3y 0=0. m y 0+y 0y 0+(x 0+)

2

2

=

2

m y 0-y 0y 0+(x 0-3)

2

2

, m +3

m -(

3

x 0-2) 22

x 2

由于点P 0+y 0=1, 所以

4因为-3

(

3

x 0+2) 22

=

m +3-m 333

=. 所以m =x 0. 因此-

4223x 0+22-x 022

解法二：设P (x 0, y 0), 当0≤x 0

11①当x 0=3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P (3, ) 或(, -).

22

m +1

若P (, ), 则直线PF 1的方程为x -4y +3=0. 由题意得=-m ,

27

3313因为-3

424

②当x 0≠0时，设直线PF 1, PF 2的方程分别为y =k 1(x +), y =k 2(x -), 12m k 1+k 1m k 2+k 2

(m +3) 2k 1

由题意知=, 所以=, 2221(m -) +k 1+k 21+k 2

1+

x y 0y 02

因为0+y 0=1并且k 1=, k 2=,

4x 0+3x 0-3(m +) 2(x 0+4) 2m +3所以=, 即=22

(m -) (x 0-4) m -x 0+4

x 0-4

2

因为-3

+m 4+x 0

=. -m 4-3x 0

3x 033, 故0≤m

33

综合①②可得：0≤m

22

33

综上所述，m 的取值范围是(-, ).

22

⎧x 22

⎪+y =1

(3) 设P (x 0, y 0)(y 0≠0), 则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0), 联立⎨4

⎪y -y =k (x -x )

00⎩(1+4k 2) x 2+8(ky 0-k 2x 0) x +4(y 0-2kx 0y 0+k 2x 0-1) =0由题意∆=0，即(4-x 0) k 2+2x 0y 0k +1-y 0=0

x x 222

又因为0+y 0=1, 所以16y 0k 2+8x 0y 0k +x 0=0, 故k =-0

44y 0y 0y 0

由(2) 可知k 1=, k 2=,

x 0+3x 0-3所以则

11x 0+3x 0-32x 0

+=+=, k 1k 2y 0y 0y 0

2

2

2

2

2

4y 2x 11111+=(+) =(-0) ⨯0=-8. kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0

11

+为定值，这个定值为-8. kk 1kk 2

因此

在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第（2）题的方法。这个方法设计三角形中角平分线的相关性质。

(2) 设PF 1=x , PF 2=4-x , 运用上述性质，则有：

PF 2MF 24-x MF 2PF

=，所以=, 当点P 2越大，PF 1MF 1x MF 1PF 1当点P 与右端点重合时（不能取到），x =2+3(不能取到), 333此时MF 2=-, 则点M , 0），所以m

222333

根据对称性m >-, 所以m 的取值范围为（-）.

222

第(3)题仍然可用椭圆的切线系方程快速求解

(3) 设点P (x 0, y 0), 则直线l :k 1=

x 0x

x +y 0y =1, 则k =-0, 44y 0

y 0y 0112x

, k 2=, 所以+=0

k 1k 2y 0x 0+3x 0-

4y 2x 11111

+=(+) =-0⨯0=-8. kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0

此类问题还有很多，本文就不一一列举。一般来说，切线系方程在解决椭圆的切线问题时，具有计算量小的特点，有时还可以避免讨论特殊情况，一定程度上减少了失误的可能性。有关圆的切线问题使用切线系方程并没有明显优势，因为用圆心到直线的距离等于半径这一条

【2013江苏卷，理17】【2014天津卷，理18】件更为简单，大家可以参考，，【2014重庆卷，理21】。关于抛物线的切线问题也不建议大家用切线系方【2015湖南卷，理22】程求解，具体可以参考。关于双曲线的切线问题，

出现频率较低，暂不作讨论。

附：①对于圆x 2+y 2=r 2(r >0) 的切线系方程：x 0x +y 0y =r 2，其中点

(x 0, y 0) 是圆上任意一点。

x x y y x 2y 2

②对于椭圆2+2=1(a >0, b >0) 的切线系方程：02+02=1，其中点

a b a b

(x 0, y 0) 是椭圆上任意一点。

x x y y x 2y 2

③对于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的切线系方程：02-02=1，其中

a b a b

点(x 0, y 0) 是双曲线上任意一点。（另一种形式的双曲线可以类比得到对应的切线系方程）

④对于抛物线x 2=2py 的切线系方程：x 0x =py +py 0，其中点(x 0, y 0) 是抛物线上任意一点。（另一种形式的抛物线可以类比得到对应的切线系方程）