直线的倾斜角和斜率&直线的方程
一、知识点
（一）直线的倾斜角
一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l 和x 轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x 轴正向作为参考方向(始边) ；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系． (二) 直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是90︒的直线没有斜率
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
（三）直线的方程
1. 直线的点斜式方程--已知直线l 经过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ，直线的方程：y -y 1=k (x -x 1) 为直线方程的点斜式.
直线的斜率k =0时，直线方程为y =y 1；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x =x 1.
2．直线的斜截式方程－已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，直线l 的方程：
y =kx +b 为斜截式.
⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
⑵斜截式y =kx +b 在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k ≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
⑶斜截式y =kx +b 中，k ，b 的几何意义3. 直线方程的两点式
当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，经过A (x 1, y 1) B （x 2, y 2) 的直线的两点式方程可以写成：y -y 1y 2-y 1
=x -x 1x 2-x 1
.
倾斜角是00或900的直线不能用两点式公式表示. 若要包含倾斜角为00或900的直线，两点式应变为(y -y 1)(x 2-x 1) =(x -x 1)(y 2-y 1) 的形式.
4．直线方程的截距式
定义：直线与x 轴交于一点（a ,0）定义a 为直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0, b ）定义b 为直线在y 轴上的截距.
过A(a ,0) B(0, b ) （a , b 均不为0）的直线方程
x a +y b
=1叫做直线方程的截距式.
a , b 表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0. 当截距为零时，不能用截距式. 5. 直线方程的一般形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成
Ax +By +C =0(
若B ≠0方程可化为y =-
-C B
A B
x -
C B
，它是直线方程的斜截式，表示斜率为-
A B
，截距为
的直线；
-
二、典型例题
1. 设直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（ A. a +b =1 B. a -b =1
C. a +b =0 D. a -b =0
2. 已知ab
A. 45 , 1B. 1305-, 1
C. 900，不存在 D. 1800，不存在
2
2
4. 若方程(2m +m -3) x +(m -m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ A. m ≠0 C. m ≠1
B. m ≠-
32
32
D. m ≠1，m ≠-，m ≠0
5. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 6. 已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）
（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 7．下列说法的正确的是 （ ） A．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示 B．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示 C．不经过原点的直线都可以用方程
x a +y b
=1表示
D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示
8．若直线ax ＋by ＋c=0在等一，二，三象限，则 （ ）
A ．ab ＞0，bc ＞0， B．ab ＞0，bc ＜0．
C ．ab ＜0，bc ＞0， D．ab ＜0，bc ＜0．
9．直线过点 (－3, －2) 且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）
（A ）2x －3y ＝0; （B ）x ＋y ＋5＝0; （C ）2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0 （D ）x ＋y ＋5或x －y ＋5＝0
10．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为（ ）
（A ）－
13;
（B ）－3; （C ）;
3
1
（D ）3
11．直线kx -y +1=3k , 当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） （A ）（0，0） （B ）（0，1）
（C ）（3，1） （D ）（2，1）
12．过点Ｐ（１，２）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 .
直线的倾斜角和斜率&直线的方程
一、知识点
（一）直线的倾斜角
一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l 和x 轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x 轴正向作为参考方向(始边) ；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系． (二) 直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 倾斜角是90︒的直线没有斜率
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
（三）直线的方程
1. 直线的点斜式方程--已知直线l 经过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ，直线的方程：y -y 1=k (x -x 1) 为直线方程的点斜式.
直线的斜率k =0时，直线方程为y =y 1；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x =x 1.
2．直线的斜截式方程－已知直线l 经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，直线l 的方程：
y =kx +b 为斜截式.
⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
⑵斜截式y =kx +b 在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k ≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
⑶斜截式y =kx +b 中，k ，b 的几何意义3. 直线方程的两点式
当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，经过A (x 1, y 1) B （x 2, y 2) 的直线的两点式方程可以写成：y -y 1y 2-y 1
=x -x 1x 2-x 1
.
倾斜角是00或900的直线不能用两点式公式表示. 若要包含倾斜角为00或900的直线，两点式应变为(y -y 1)(x 2-x 1) =(x -x 1)(y 2-y 1) 的形式.
4．直线方程的截距式
定义：直线与x 轴交于一点（a ,0）定义a 为直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0, b ）定义b 为直线在y 轴上的截距.
过A(a ,0) B(0, b ) （a , b 均不为0）的直线方程
x a +y b
=1叫做直线方程的截距式.
a , b 表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0. 当截距为零时，不能用截距式. 5. 直线方程的一般形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成
Ax +By +C =0(
若B ≠0方程可化为y =-
-C B
A B
x -
C B
，它是直线方程的斜截式，表示斜率为-
A B
，截距为
的直线；
-
二、典型例题
1. 设直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（ A. a +b =1 B. a -b =1
C. a +b =0 D. a -b =0
2. 已知ab
A. 45 , 1B. 1305-, 1
C. 900，不存在 D. 1800，不存在
2
2
4. 若方程(2m +m -3) x +(m -m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ A. m ≠0 C. m ≠1
B. m ≠-
32
32
D. m ≠1，m ≠-，m ≠0
5. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 6. 已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）
（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 7．下列说法的正确的是 （ ） A．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示 B．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示 C．不经过原点的直线都可以用方程
x a +y b
=1表示
D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示
8．若直线ax ＋by ＋c=0在等一，二，三象限，则 （ ）
A ．ab ＞0，bc ＞0， B．ab ＞0，bc ＜0．
C ．ab ＜0，bc ＞0， D．ab ＜0，bc ＜0．
9．直线过点 (－3, －2) 且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ）
（A ）2x －3y ＝0; （B ）x ＋y ＋5＝0; （C ）2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0 （D ）x ＋y ＋5或x －y ＋5＝0
10．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为（ ）
（A ）－
13;
（B ）－3; （C ）;
3
1
（D ）3
11．直线kx -y +1=3k , 当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） （A ）（0，0） （B ）（0，1）
（C ）（3，1） （D ）（2，1）
12．过点Ｐ（１，２）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 .