两条直线所成的角
一、教学目标
(一) 知识教学点
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点
通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．
(三) 学科渗透点
训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．
二、教材分析
1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l 1、l 2的公式的推导方法及这一公式的应用．
2，难点：公式的记忆与应用．
3．疑点：推导l 1、l 2的角公式时的构图的分类依据．
三、活动设计
分析、启发、讲练结合．
四、教学过程
(一) 引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．
(二)l 1到l 2的角正切
两条直线l 1和l 2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l 1依逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角．图1-27中，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1+θ2=180°) ．
l 1到l 2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1到l 2的角，设已知直线的方程分别是
l 1∶y=k1x+b1 l 2∶y=k2x+b2
如果1+k1k 2=0，那么θ=90°，
下面研究1+k1k 2≠0的情形．
由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l 1和l 2的倾角的关系入手考虑问题．
设l 1、l 2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32) ，甲图的特征是l 1到l 2的角是l 1、l 2和x 轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l 1到l 2的角是l 1、l 2与x 轴围成的三角形的外角．
tg α1=k1， tg α2=k2．
∵θ=α2-α1(图1-32) ，
或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1) ，
∴tg θ=tg(α2-α1) ．
或tg θ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1) ．
可得
即
eq \x(
)
上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．
(三) 夹角公式
从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角) 就可以了，这时可以用下面的公式
(四) 例题
解：k 1=-2，k 2=1．
∴θ=arctg3≈71°34′．
本例题用来熟悉夹角公式．
例2 已知直线l 1： A 1x+B1y+C1=0和l 2： A 2x+B2y+C2=0(B1≠0、B 2≠0、A 1A 2+B1B 2≠0) ，l 1到l 2的角是θ，求证：
证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则
这个例题用来熟悉直线l 1到l 2的角．
例3等腰三角形一腰所在的直线l 1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l 2的方程是x+y-1=0，点(-2，0) 在另一腰上，求这腰所在直线l 3的方程．
解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．
设l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则
．
因为l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，所以
θ1=θ2．
tg θ2=tgθ1=-3．
两条直线所成的角
一、教学目标
(一) 知识教学点
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题． (二) 能力训练点
通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．
(三) 学科渗透点
训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．
二、教材分析
1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l 1、l 2的公式的推导方法及这一公式的应用．
2，难点：公式的记忆与应用．
3．疑点：推导l 1、l 2的角公式时的构图的分类依据．
三、活动设计
分析、启发、讲练结合．
四、教学过程
(一) 引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．
(二)l 1到l 2的角正切
两条直线l 1和l 2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l 1依逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角．图1-27中，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1+θ2=180°) ．
l 1到l 2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．
现在我们来求斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1到l 2的角，设已知直线的方程分别是
l 1∶y=k1x+b1 l 2∶y=k2x+b2
如果1+k1k 2=0，那么θ=90°，
下面研究1+k1k 2≠0的情形．
由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l 1和l 2的倾角的关系入手考虑问题．
设l 1、l 2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32) ，甲图的特征是l 1到l 2的角是l 1、l 2和x 轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l 1到l 2的角是l 1、l 2与x 轴围成的三角形的外角．
tg α1=k1， tg α2=k2．
∵θ=α2-α1(图1-32) ，
或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1) ，
∴tg θ=tg(α2-α1) ．
或tg θ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1) ．
可得
即
eq \x(
)
上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．
(三) 夹角公式
从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角) 就可以了，这时可以用下面的公式
(四) 例题
解：k 1=-2，k 2=1．
∴θ=arctg3≈71°34′．
本例题用来熟悉夹角公式．
例2 已知直线l 1： A 1x+B1y+C1=0和l 2： A 2x+B2y+C2=0(B1≠0、B 2≠0、A 1A 2+B1B 2≠0) ，l 1到l 2的角是θ，求证：
证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则
这个例题用来熟悉直线l 1到l 2的角．
例3等腰三角形一腰所在的直线l 1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l 2的方程是x+y-1=0，点(-2，0) 在另一腰上，求这腰所在直线l 3的方程．
解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．
设l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则
．
因为l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，所以
θ1=θ2．
tg θ2=tgθ1=-3．