隐马尔可夫模型 Hidden Markov model Hidd M k d l
徐从富
浙江大学人工智能研究所 2003年10月第一稿 2003年10月第一稿 2005年 2005年9月修改补充
Modified by siuleung
目
录
HMM的由来 HMM的由来 马尔可夫性和马尔可夫链 HMM实例 HMM实例 HMM的三个基本算法 HMM的三个基本算法 主要参考文献
HMM的由来 HMM的由来
1870年，俄国有机化学家 1870年 俄国有机化学家Vladimir V. 1870年 俄国有机化学家Vladimir V 年，俄国有机化学家Vladimir Markovnikov第一次提出马尔科夫模型 Markovnikov第一次提出马尔科夫模型 马尔可夫模型 马尔可夫链 隐马尔可夫模型
马尔可夫性
如果一个过程的“将来”仅依赖“现在” 如果一个过程的“将来”仅依赖“现在” 而不依赖“过去” 则此过程具有马尔 而不依赖“过去”，则此过程具有马尔 可夫性,或称此过程为马尔可夫过程 可夫性,或称此过程为马尔可夫过程 X(t+1) = f( X(t) ) X(t+1 ( ()
马尔科夫链
时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科 时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科 夫链 记作{X 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2,…} { ( )
– 在时间集T1 = {0,1,2,…}上对离散状态的过程相继观 在时间集T 察的结果
链的状态空间记做I 链的状态空间记做I = {a1, a2,…}, ai∈R. 条件概率P 条件概率Pij ( m ,m+n)=P{Xm+n = aj|Xm = ai} 为马 ,m+n)= m n 氏链在时刻m处于状态 条件下，在时刻m+n转 氏链在时刻m处 状态ai条件 链在时刻 处于状态a 条件下，在时刻m+n转 在时刻 移到状态a 转移概率。 移到状态aj的转移概率。
转移概率矩阵
晴天 阴天 下雨
晴天 晴天 阴天 下雨 0.50 0.375 0.25
阴天 0.25 0.25 0.125
下雨 0.25 0.375 0.625
转移概率矩阵( 转移概率矩阵(续)
由于链在时刻m从任何一个状态a 出发， 由于链在时刻m从任何一个状态ai出发， 到另一时刻m+n， 必然转移到a1 ，a2…， 到另 时刻m+n， 到另一时刻m n 必然转移到a 时刻m n， 诸状态中的某一个， 诸状态中的某一个，所以有
∑ P (m, m + n) = 1, i = 1, 2,…
j =1 ij
∞
当Pij(m,m+n)与m无关时，称马尔科夫链 (m,m+n)与 为齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 通常说的马尔科夫 链都是指齐次马尔科夫链。
HMM实例 HMM实例
Urn 3 Urn 2
Urn 1
Veil
Observed Ball Sequence
HMM实例 HMM实例——描述 实例——描述
设有N 个缸， 每个缸中装有很多彩球， 设有 N 个缸 ， 每个缸中装有很多彩球 ， 球的颜 色由一组概率分布描述。 色由一组概率分布描述。实验进行方式如下
– 根据初始概率分布 ， 随机选择 N 个缸中的 个开始 根据初始概率分布， 随机选择N 个缸中的一个开始 实验 – 根据缸中球颜色的概率分布，随机选择一个球，记 根
据缸中球颜色的概率分布，随机选择 个球 个球， 球的颜色为O 球的颜色为O1，并把球放回缸中 – 根据描述缸的转移的概率分布，随机选择下一口缸， 根据描述缸的转移的概率分布，随机选择下一口缸， 随机选择下 口缸 口缸， 重复以上步骤。 重复以上步骤。
最后得到一个描述球的颜色的序列O1,O2,…， 最后得到 个描述球的颜色的序列 最后得到一个描述球的颜色的序列O O ,…， 个描述球的颜色的序列O 称为观察值序列O 称为观察值序列O。
HMM实例 HMM实例——约束 实例——约束
在上述实验中， 在上述实验中，有几个要点需要注意：
不能被直接观察缸间的转移 从缸中所选取的球的颜色和缸并不是 一一对应的 应的 每次选取哪个缸由 组转移概率决定 每次选取哪个缸由一组转移概率决定
HMM概念 HMM概念
HMM的状态是不确定或不可见的 ， HMM 的状态是不确定或不可见的， 只有通过 观测序列的随机过程才能表现出来 观察到的事件与状态并不是 观察到的事件与状态并不是一一对应，而是通 对应，而是通 过一组概率分布相联系 HMM是 个双重随机过程，两个组成部分： HMM是一个双重随机过程 HMM是一个双重随机过程 两个组成部分： 是 – 马尔可夫链：描述状态的转移，用转移概 马尔可夫链：描述状态的转移，用转移概 率描述 描述。 – 一般随机过程：描述状态与观察序列间的 一般随机过程：描述状态与观察序列间的 关系， 用观察值概率描述。 观察值概率描述。
HMM组成 HMM组成
Markov链 链 （π, A）
状态序列 q1, q2, ..., qT
随机 程 随机过程 （B）
观察值序列 o1, o2, ..., oT
HMM的组成示意图
HMM的基本要素 HMM的基本要素
用模型五元组 λ ＝（ N, M, π ，A，B）用来描 述HMM，或简写为λ =(π ，A，B) HMM，或简写为
参数 N M A B π 状态数目 每个状态可能的观察值数 目 与时间无关的状态转移概 率矩阵 给定状态下，观察值概率 分布 初始状态空间的概率分布 含义 缸的数目 彩球颜色数目 在选定某个缸的情况下， 选择另一个缸的概率 每个缸中的颜色分布 初始时选择某口缸的概率 实例
HMM可解决的问题 HMM可解决的问题
问题1：给定观察序列O=O 问题1：给定观察序列O=O1,O2,…OT,以及 模型 λ = ( A, B,π ) , 如何计算P(O|λ)？ 如何计算P(O|λ)？ P(O|λ) 问题2：给定观察序列O=O 问题2：给定观察序列O=O1,O2,…OT以及 模型λ,如何选择一个对应的状态序列 模型λ 如何选择 个对应的状态序列 S λ,如何选择一个对应的状态序列 λ ，使得S = q1,q2,…qT，使得S能够最为合理的解释 观察序列O 观察序列O？ 察 问题3 问题3：如何调整模型参数 λ = ( A, B,π ) , 使 得P(O|λ)最大？ P(O|λ)最大？
解决问题1 解决问题1 基础方法
给定一个固定的状态序列 给定 个固定的状态序列S=(q1，q ，q …) 给定一个固定的状态序列S=(q
2 3
P (O / S , λ ) = ∏ P (Ot / qt , λ ) = bq1 (O1 )bq2 (O2 )Lbqt (OT )
t =1
T
bqt (Ot )表示在qt状态下观测到Ot的概率 (O 表示在q 状态下观测到O
P (O / λ ) =
所有S
∑ P(O / S , λ ) P(S / λ )
N=5, M=100, => 计算量10^72 计算量10^72
解决问题1 解决问题1 前向法
动态规划 定义前向变量
α t (i ) = P(O1 , O 2 , L Ot , q t = θ i / λ ) t ≤ T 1≤
– 初始化：
α1 (i ) = π ibi (O1 ) t ≤ T 1≤
– 递归： – 终结：
α t +1 ( j ) = [∑ α i (i )aij ]b j (Ot +1 ) t ≤ T − 1,1 ≤ j ≤ N 1≤
i =1
N
N
P (O / λ ) = ∑ α T (i )
i =1
前向法示意图
qN . qi . qj . . q1 αt N αt i aij aNj
α t j+1
a1j
αt 1
1
...
t
t+1
...
N=5, M=100, => 计算量3000 计算量3000
解决问题1 解决问题1 后向法
与前向法类似 定义后向变量
βt (i ) = P(Ot −1 , Ot − 2 , L OT , qt = θi / λ ) t ≤ T − 1 1≤
1≤ – 初始化：βT (i) = 1 t ≤ T
– 递归： β t (i) = ∑ aij b j (Ot +1 ) β t +1 ( j ) t = T − 1, T − 2,...,1,1 ≤ i ≤ N
i =1
N
– 终结： P(O / λ ) = ∑ β 1 (i)
i =1
N
Viterbi算法 Viterbi算法
目的：给定观察序列O以及模型λ,如何选择一 给定观察序列O λ,如何选择一
个对应的状态序列S ，使得S 个对应的状态序列S ，使得S能够最为合理的 解释观察序列O 解释观察序列O？
N和T分别为状态个数和序列长度 定义： 定义
δ t (i) = max P[q1q2 ...qt −1 , qt = i, O1 O2, …Ot , | λ ] 1, 2
q1 , q2 ,...qt −1
我们所要找的，就是T 我们所要找的，就是 我们所要找的 就是T时刻最大的 δ T (i ) 所代表 就是T 的那个状态序列
Viterbi算法( Viterbi算法(续)
1≤ 初始化： δ (i) = π b (O ), i ≤N
1 i i 1
ϕ1 (i ) = 0, i ≤ N 1≤
1≤i ≤ N
递归： 终结：
δ t ( j ) = max[δ t −1 (i )aij ]b j (Oi ), t ≤ T ,1 ≤ j ≤ N 2≤ ϕ t ( j ) = arg max[δ t −1 (i )aij ], t ≤ T ,1 ≤ j ≤ N 2≤
1≤i ≤ N
P * = max[δ T (i )])
1≤i ≤ N * qT = arg max[δ T (i )] 1≤i ≤ N i≤
qt* = ϕ t +1 ( qt*+1 ), t = T − 1, T − 2,...,1 求S序列：
Baum-Welch算法(模型训练算法) Baum-Welch算法(模型训练算法)
目的：给定观察值序列O 通过计算确定一个模型 目的：给定观察值序列O，通过计算确定 个模型 λ ， 使得P(O| λ)最大。 使得P(O| 算法步骤：
1. 初始模型（待训练模型） λ0, 2. 基于λ0 以及观察值序列Ο，训练新模型 λ； 3. 如果 log P(X|λ) - log(P(X|λ0)
Baum-Welch算法( Baum-Welch算法(续)
定义：
给定模型 λ 和观察序列条件下，从 i到 j的
转移概率定义为 ξ t (i , j )
ξ t ( i , j ) = P ( s t = i , s t +1 = j | X , λ ) α t (i ) aij b j (Ot +1 ) β t +1 ( j )
=
∑ ∑ α (i ) a b ( x
i =1 j =1 t ij j
N
N
t +1
) β t +1 ( j )
γ t (i ) = ∑ ξ t (i , j ) t时刻处于状态 Si的概率
j =1
N
∑γ
t =1 T −1 t =1 t
T −1
t
(i ) = 整个过程中从状态 Si 转出的次数(number of time)的预期
i j
∑ ξ (i, j ) = 从 S 跳转到 S 次数的预期
Baum-Welch算法( Baum-Welch算法(续2)
参数估计：
Reestimate ˆ aij = : expected count of transitions from i to j expected count of stays at i
t t
∑ ξ (i, j ) = ∑∑ ξ (i, j )
t t j
expected number of times in state j and observing symbol k ˆ b j (k ) = expected number of times in state j =
t ,Ot = k
∑ γ ( j)
t
∑ γ ( j)
t t
π i = 当 t ＝ 1时 处 于 S i的 概 率 = γ 1 ( i )
几种典型形状的马尔科夫链
a. A矩阵没有零 a A矩阵没有零 值的Markov链 值的Markov链 b. A矩阵有零值 b A矩阵有零值 的Markov链 Markov链 c./d. 左 右形式 /d 左－右形式 的Markov链 Markov链
HMM的应用领域 HMM的应用领域
语音识别 机器视觉
– 人脸检测 – 机器人足球
图像处理
– 图像去噪 – 图像识别
生物医学分析
– DNA/蛋白质序列分析 DNA/蛋白质序列分析
主要参考文献
1. Lawrence R. Rabiner, A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in a kov odels pplications Speech Recognition. Proceedings 1989. ftp://10.11.11.111/ ft //10 11 11 111/课件/徐从富_AI/补充材料/ ftp://10.11.11.111/课件/徐从富_AI/补充材料/ 111/课件 AI/补充材料 AI/ 隐Markov模型.pdf Markov模型.pdf 或ftp://10.214.1.200/课件/徐从富_AI/补充材料 ftp://10.214.1.200/课件/徐从富_AI/补充材料 /隐Markov模型.pdf Markov模型 pdf 模型.pdf
欢迎批评指正， 谢谢！
隐马尔可夫模型 Hidden Markov model Hidd M k d l
徐从富
浙江大学人工智能研究所 2003年10月第一稿 2003年10月第一稿 2005年 2005年9月修改补充
Modified by siuleung
目
录
HMM的由来 HMM的由来 马尔可夫性和马尔可夫链 HMM实例 HMM实例 HMM的三个基本算法 HMM的三个基本算法 主要参考文献
HMM的由来 HMM的由来
1870年，俄国有机化学家 1870年 俄国有机化学家Vladimir V. 1870年 俄国有机化学家Vladimir V 年，俄国有机化学家Vladimir Markovnikov第一次提出马尔科夫模型 Markovnikov第一次提出马尔科夫模型 马尔可夫模型 马尔可夫链 隐马尔可夫模型
马尔可夫性
如果一个过程的“将来”仅依赖“现在” 如果一个过程的“将来”仅依赖“现在” 而不依赖“过去” 则此过程具有马尔 而不依赖“过去”，则此过程具有马尔 可夫性,或称此过程为马尔可夫过程 可夫性,或称此过程为马尔可夫过程 X(t+1) = f( X(t) ) X(t+1 ( ()
马尔科夫链
时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科 时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科 夫链 记作{X 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2,…} { ( )
– 在时间集T1 = {0,1,2,…}上对离散状态的过程相继观 在时间集T 察的结果
链的状态空间记做I 链的状态空间记做I = {a1, a2,…}, ai∈R. 条件概率P 条件概率Pij ( m ,m+n)=P{Xm+n = aj|Xm = ai} 为马 ,m+n)= m n 氏链在时刻m处于状态 条件下，在时刻m+n转 氏链在时刻m处 状态ai条件 链在时刻 处于状态a 条件下，在时刻m+n转 在时刻 移到状态a 转移概率。 移到状态aj的转移概率。
转移概率矩阵
晴天 阴天 下雨
晴天 晴天 阴天 下雨 0.50 0.375 0.25
阴天 0.25 0.25 0.125
下雨 0.25 0.375 0.625
转移概率矩阵( 转移概率矩阵(续)
由于链在时刻m从任何一个状态a 出发， 由于链在时刻m从任何一个状态ai出发， 到另一时刻m+n， 必然转移到a1 ，a2…， 到另 时刻m+n， 到另一时刻m n 必然转移到a 时刻m n， 诸状态中的某一个， 诸状态中的某一个，所以有
∑ P (m, m + n) = 1, i = 1, 2,…
j =1 ij
∞
当Pij(m,m+n)与m无关时，称马尔科夫链 (m,m+n)与 为齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 通常说的马尔科夫 链都是指齐次马尔科夫链。
HMM实例 HMM实例
Urn 3 Urn 2
Urn 1
Veil
Observed Ball Sequence
HMM实例 HMM实例——描述 实例——描述
设有N 个缸， 每个缸中装有很多彩球， 设有 N 个缸 ， 每个缸中装有很多彩球 ， 球的颜 色由一组概率分布描述。 色由一组概率分布描述。实验进行方式如下
– 根据初始概率分布 ， 随机选择 N 个缸中的 个开始 根据初始概率分布， 随机选择N 个缸中的一个开始 实验 – 根据缸中球颜色的概率分布，随机选择一个球，记 根
据缸中球颜色的概率分布，随机选择 个球 个球， 球的颜色为O 球的颜色为O1，并把球放回缸中 – 根据描述缸的转移的概率分布，随机选择下一口缸， 根据描述缸的转移的概率分布，随机选择下一口缸， 随机选择下 口缸 口缸， 重复以上步骤。 重复以上步骤。
最后得到一个描述球的颜色的序列O1,O2,…， 最后得到 个描述球的颜色的序列 最后得到一个描述球的颜色的序列O O ,…， 个描述球的颜色的序列O 称为观察值序列O 称为观察值序列O。
HMM实例 HMM实例——约束 实例——约束
在上述实验中， 在上述实验中，有几个要点需要注意：
不能被直接观察缸间的转移 从缸中所选取的球的颜色和缸并不是 一一对应的 应的 每次选取哪个缸由 组转移概率决定 每次选取哪个缸由一组转移概率决定
HMM概念 HMM概念
HMM的状态是不确定或不可见的 ， HMM 的状态是不确定或不可见的， 只有通过 观测序列的随机过程才能表现出来 观察到的事件与状态并不是 观察到的事件与状态并不是一一对应，而是通 对应，而是通 过一组概率分布相联系 HMM是 个双重随机过程，两个组成部分： HMM是一个双重随机过程 HMM是一个双重随机过程 两个组成部分： 是 – 马尔可夫链：描述状态的转移，用转移概 马尔可夫链：描述状态的转移，用转移概 率描述 描述。 – 一般随机过程：描述状态与观察序列间的 一般随机过程：描述状态与观察序列间的 关系， 用观察值概率描述。 观察值概率描述。
HMM组成 HMM组成
Markov链 链 （π, A）
状态序列 q1, q2, ..., qT
随机 程 随机过程 （B）
观察值序列 o1, o2, ..., oT
HMM的组成示意图
HMM的基本要素 HMM的基本要素
用模型五元组 λ ＝（ N, M, π ，A，B）用来描 述HMM，或简写为λ =(π ，A，B) HMM，或简写为
参数 N M A B π 状态数目 每个状态可能的观察值数 目 与时间无关的状态转移概 率矩阵 给定状态下，观察值概率 分布 初始状态空间的概率分布 含义 缸的数目 彩球颜色数目 在选定某个缸的情况下， 选择另一个缸的概率 每个缸中的颜色分布 初始时选择某口缸的概率 实例
HMM可解决的问题 HMM可解决的问题
问题1：给定观察序列O=O 问题1：给定观察序列O=O1,O2,…OT,以及 模型 λ = ( A, B,π ) , 如何计算P(O|λ)？ 如何计算P(O|λ)？ P(O|λ) 问题2：给定观察序列O=O 问题2：给定观察序列O=O1,O2,…OT以及 模型λ,如何选择一个对应的状态序列 模型λ 如何选择 个对应的状态序列 S λ,如何选择一个对应的状态序列 λ ，使得S = q1,q2,…qT，使得S能够最为合理的解释 观察序列O 观察序列O？ 察 问题3 问题3：如何调整模型参数 λ = ( A, B,π ) , 使 得P(O|λ)最大？ P(O|λ)最大？
解决问题1 解决问题1 基础方法
给定一个固定的状态序列 给定 个固定的状态序列S=(q1，q ，q …) 给定一个固定的状态序列S=(q
2 3
P (O / S , λ ) = ∏ P (Ot / qt , λ ) = bq1 (O1 )bq2 (O2 )Lbqt (OT )
t =1
T
bqt (Ot )表示在qt状态下观测到Ot的概率 (O 表示在q 状态下观测到O
P (O / λ ) =
所有S
∑ P(O / S , λ ) P(S / λ )
N=5, M=100, => 计算量10^72 计算量10^72
解决问题1 解决问题1 前向法
动态规划 定义前向变量
α t (i ) = P(O1 , O 2 , L Ot , q t = θ i / λ ) t ≤ T 1≤
– 初始化：
α1 (i ) = π ibi (O1 ) t ≤ T 1≤
– 递归： – 终结：
α t +1 ( j ) = [∑ α i (i )aij ]b j (Ot +1 ) t ≤ T − 1,1 ≤ j ≤ N 1≤
i =1
N
N
P (O / λ ) = ∑ α T (i )
i =1
前向法示意图
qN . qi . qj . . q1 αt N αt i aij aNj
α t j+1
a1j
αt 1
1
...
t
t+1
...
N=5, M=100, => 计算量3000 计算量3000
解决问题1 解决问题1 后向法
与前向法类似 定义后向变量
βt (i ) = P(Ot −1 , Ot − 2 , L OT , qt = θi / λ ) t ≤ T − 1 1≤
1≤ – 初始化：βT (i) = 1 t ≤ T
– 递归： β t (i) = ∑ aij b j (Ot +1 ) β t +1 ( j ) t = T − 1, T − 2,...,1,1 ≤ i ≤ N
i =1
N
– 终结： P(O / λ ) = ∑ β 1 (i)
i =1
N
Viterbi算法 Viterbi算法
目的：给定观察序列O以及模型λ,如何选择一 给定观察序列O λ,如何选择一
个对应的状态序列S ，使得S 个对应的状态序列S ，使得S能够最为合理的 解释观察序列O 解释观察序列O？
N和T分别为状态个数和序列长度 定义： 定义
δ t (i) = max P[q1q2 ...qt −1 , qt = i, O1 O2, …Ot , | λ ] 1, 2
q1 , q2 ,...qt −1
我们所要找的，就是T 我们所要找的，就是 我们所要找的 就是T时刻最大的 δ T (i ) 所代表 就是T 的那个状态序列
Viterbi算法( Viterbi算法(续)
1≤ 初始化： δ (i) = π b (O ), i ≤N
1 i i 1
ϕ1 (i ) = 0, i ≤ N 1≤
1≤i ≤ N
递归： 终结：
δ t ( j ) = max[δ t −1 (i )aij ]b j (Oi ), t ≤ T ,1 ≤ j ≤ N 2≤ ϕ t ( j ) = arg max[δ t −1 (i )aij ], t ≤ T ,1 ≤ j ≤ N 2≤
1≤i ≤ N
P * = max[δ T (i )])
1≤i ≤ N * qT = arg max[δ T (i )] 1≤i ≤ N i≤
qt* = ϕ t +1 ( qt*+1 ), t = T − 1, T − 2,...,1 求S序列：
Baum-Welch算法(模型训练算法) Baum-Welch算法(模型训练算法)
目的：给定观察值序列O 通过计算确定一个模型 目的：给定观察值序列O，通过计算确定 个模型 λ ， 使得P(O| λ)最大。 使得P(O| 算法步骤：
1. 初始模型（待训练模型） λ0, 2. 基于λ0 以及观察值序列Ο，训练新模型 λ； 3. 如果 log P(X|λ) - log(P(X|λ0)
Baum-Welch算法( Baum-Welch算法(续)
定义：
给定模型 λ 和观察序列条件下，从 i到 j的
转移概率定义为 ξ t (i , j )
ξ t ( i , j ) = P ( s t = i , s t +1 = j | X , λ ) α t (i ) aij b j (Ot +1 ) β t +1 ( j )
=
∑ ∑ α (i ) a b ( x
i =1 j =1 t ij j
N
N
t +1
) β t +1 ( j )
γ t (i ) = ∑ ξ t (i , j ) t时刻处于状态 Si的概率
j =1
N
∑γ
t =1 T −1 t =1 t
T −1
t
(i ) = 整个过程中从状态 Si 转出的次数(number of time)的预期
i j
∑ ξ (i, j ) = 从 S 跳转到 S 次数的预期
Baum-Welch算法( Baum-Welch算法(续2)
参数估计：
Reestimate ˆ aij = : expected count of transitions from i to j expected count of stays at i
t t
∑ ξ (i, j ) = ∑∑ ξ (i, j )
t t j
expected number of times in state j and observing symbol k ˆ b j (k ) = expected number of times in state j =
t ,Ot = k
∑ γ ( j)
t
∑ γ ( j)
t t
π i = 当 t ＝ 1时 处 于 S i的 概 率 = γ 1 ( i )
几种典型形状的马尔科夫链
a. A矩阵没有零 a A矩阵没有零 值的Markov链 值的Markov链 b. A矩阵有零值 b A矩阵有零值 的Markov链 Markov链 c./d. 左 右形式 /d 左－右形式 的Markov链 Markov链
HMM的应用领域 HMM的应用领域
语音识别 机器视觉
– 人脸检测 – 机器人足球
图像处理
– 图像去噪 – 图像识别
生物医学分析
– DNA/蛋白质序列分析 DNA/蛋白质序列分析
主要参考文献
1. Lawrence R. Rabiner, A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in a kov odels pplications Speech Recognition. Proceedings 1989. ftp://10.11.11.111/ ft //10 11 11 111/课件/徐从富_AI/补充材料/ ftp://10.11.11.111/课件/徐从富_AI/补充材料/ 111/课件 AI/补充材料 AI/ 隐Markov模型.pdf Markov模型.pdf 或ftp://10.214.1.200/课件/徐从富_AI/补充材料 ftp://10.214.1.200/课件/徐从富_AI/补充材料 /隐Markov模型.pdf Markov模型 pdf 模型.pdf
欢迎批评指正， 谢谢！