重点考点训练：圆心角、弧、弦以及圆心角与圆周角关系 知识梳理
一、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
二、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(2)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(3)半圆(或直径) 所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
三、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
重点考题
︵︵︵1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ＝CD ＝DE ，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )
A.51° B.56 C.68° D.78°
2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__________°.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝__________.
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.135°
︵︵︵5. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD 上一点，且DF ＝BC ，连接CF 并延长交AD 的
延长线于点E ，连接AC. 若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
7. 如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ .
8. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )
A.115° B.105° C.100° D.95°
︵9. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝
BC ，则∠D ＝
10. 如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM ＝8 cm，ON ＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( )
A. 10 B.5 cm
11. 如图，∠BOD 的度数是( ) C.6 cm D.10 cm
A.55° B.110° C.125° D.150°
12. 如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
(1)求BC 的长； (2)求BD 的长.
13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
（1）求证：CF ﹦BF ；
（2）若CD ﹦6，AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ． 的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交CE 于点F ．
14．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．
重点考点训练：圆心角、弧、弦以及圆心角与圆周角关系 知识梳理
一、圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论
同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
二、圆心角与圆周角
1．定义
顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(2)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(3)半圆(或直径) 所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
三、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补．
重点考题
︵︵︵1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ＝CD ＝DE ，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )
A.51° B.56 C.68° D.78°
2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__________°.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝__________.
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.135°
︵︵︵5. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD 上一点，且DF ＝BC ，连接CF 并延长交AD 的
延长线于点E ，连接AC. 若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
7. 如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ .
8. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )
A.115° B.105° C.100° D.95°
︵9. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝
BC ，则∠D ＝
10. 如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM ＝8 cm，ON ＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( )
A. 10 B.5 cm
11. 如图，∠BOD 的度数是( ) C.6 cm D.10 cm
A.55° B.110° C.125° D.150°
12. 如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.
(1)求BC 的长； (2)求BD 的长.
13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
（1）求证：CF ﹦BF ；
（2）若CD ﹦6，AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ． 的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交CE 于点F ．
14．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．