专题47：圆的有关性质
一、选择题
1.（上海4分）矩形ABCD中，AB＝8
，BC，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内； (C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 【答案】 C。
【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径
PD=
7。点B、C到P点的距离分别为：PB=6
，
故选C。
9。∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。
2.（重庆４分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于
A、60°
B、50° C、40°
D、30°
【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。
【分析】在等腰三角形OCB中，由已知∠OCB=40°和三角形内角和定理求得顶角∠COB的度数100°，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得∠A=∠C0B=50°。故选B。 3.（重庆綦江4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为
A、6π
B、5π C、3π
D、2π
【答案】D。
【考点】切线的性质，多边形内角和定理，弧长的计算。
【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，利用四边形的内角和即可求出∠AOB＝120°；利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度=D。
120
3
=2
。故选180
4．（重庆潼南4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为
A、15°
B、30° C、45°
D、60°
【答案】D。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】根据直径所对的圆周角为90°的圆周角定理，可得∠C=90°，再利用三角形内角和定理进行计算：∠B=180°﹣90°﹣30°=60°。故选D。
5.（浙江舟山、嘉兴3分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为 （A）6 【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】要求弦心距，即要作出它并把它放到三角形中求解。故作辅助线：过O作OD⊥AB于D，则OD是弦AB的弦心距，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在Rt△OBD中，根据勾股定理即可求出OD
：
（B）8
（C）10
（D）12
OD6。故选A。
6.（浙江绍兴4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C=16°，则∠BOC的度数是
A、74° B、48° C、32° D、16° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠A=∠C=16°；又根据同弧所对的圆周角等于圆心角一半的性质，得∠BOC=2∠A =32°。故选C。
7.（浙江绍兴4分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O
到水
面的距离
OC
是6，则水面宽AB是
A、16 B、10 C、8 D、6 【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出
8，从而求得AB=2BC=2×8=1。故选A。
8.（浙江衢州3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为
A
、 B
、C
、 D
、
【答案】B。
【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°，然后由AB=100m，在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径
AO=OB=，从而求得⊙O的直径
AD=。故选B。
9..（浙江省3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为
A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位 【答案】B。
【考点】圆周角定理，勾股定理。
【分析】如图，根据圆周角定理，知EF为直径，从而由勾股定理可求EF=10个单位。故选B。 10. （吉林省3分）如图，两个等圆⊙A⊙B分别与直线l相切于点C、D,连接AB，与直线l相交于点O , ∠AOC=30，连接AC，BC，若AB=4，
则圆的半径为
A 【答案】B。
1
B 1 C D 2 2
【考点】圆切线的性质，全等三角形的判定和性质，含30角直角三角形的性质。
【分析】根据圆切线的性质，由AAS易证△AOC≌△BOD，从而AO＝BO＝2，从而根据直角三角形中30角所对的直角边是斜边一半的性质，得圆的半径为AC＝1。故选B。
11.（吉林长春3分）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当
长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°， 则∠1的大小为
（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°． 【答案】C。 【考点】平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质，平角的定义。
【分析】由l1∥l2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等的性质，即可求得∠BC l1的度数54°，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，故AC和AB都是圆的半径，可得AC=AB，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案：∠1=72°。 故选C。
12.（黑龙江大庆3分）如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与 小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB的长为20m， 则圆环的面积为
A．10m B．10m C．100m D．100m
2
2
2
2
【答案】D。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理，切线的性质。
【分析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC＝BC＝10，再根据切线的性质得到OC为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA－π•OC=π（OA－OC）=π•AC=100π。故选D。
13.（黑龙江牡丹江3分）已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为
A．12 8．8 C．12或28 D．8或32 【答案】D。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB-OE，据此即可求解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝
2
2
2
2
2
1
CD＝16。在直角△OCE中，OE
＝2
则AE＝20＋12＝32，或AE＝20－12＝8。故AE的长是8或32。故选D。
12。
14.（广西河池3分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是⊙O直径．若∠D＝35º，则∠OAC＝
A．35º B．55º C．65º D．70º 【答案】B。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角一半的圆周角定理，∠AOC＝2∠D＝70º；又因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，根据三角形内角和定理，∠OAC＝
1
1800700550。故选B。 2
D．100º
15.（广西柳州3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝80º，则∠ACB的大小 A．40º 【答案】A。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，而∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，所以∠ACB＝
B．60º
C．80º
1
∠AOB＝40º。故选A。 2
16.（广西南宁3分）一条公路弯道处是一段圆弧⌒AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C 是⌒AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB＝120m，CD＝20m，那么 这段弯道的半径为
A．200m B．2003m C．100m D．1003m
【答案】C。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】根据弦径定理，OD⊥AB，AD=BD，∴连接AO，设AO＝x，则在Rt△AOD
中，AO＝x，AD＝60，OD＝x－20，根据勾股定理，得x＝60＋（x－20），解得x＝100。故选 C。
17.（湖南娄底3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A、点A在圆外
B、点A在圆上 C、点A在圆内
D、不能确定
2
2
2
【答案】C。
【考点】点与圆的位置关系。
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内。故选C。
18.（海南3分）如图，在以AB为直径的半圆O中，C是它的中点，若AC=2，则△ABC的面积是
A、1.5
【答案】
【考点】圆周角定理，弧、弦的关系。
【分析】根据圆周角定理推论可得∠C=90°，由C是半圆O中点，根据等弧对等弦，可得AC=CB，从而可求三角形△ABC的面积=
B、2 C、3
D、4
11
AC•BC=×2×2=2。故选B。 22
19.（四川自贡3分）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为
A． 45° B． 90° C． l35° D． 270°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧， ∴优弧所对的圆心角为
3
36002700。 13
∴优弧所对的圆周角为l35° 。故选C。
20.（四川雅安3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=
A、
【答案】D。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义。 【分析】连接AO并延长交圆于D，连接CD。
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。 在直角三角形ACD中，AC=4，AD=6， ∴sinD=
1324
B、 C、 D、
5343
AC42
。 （正弦函数定义）
AD632
。故选D。 3
又∵∠B=∠D（同弧所对的的圆周角相等）， ∴sinB=
21.（四川攀枝花3分）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D，OM⊥AB
于点M，OM=
1
，则sin∠CBD的值等于 3
A、
1122
B、 C、 D、
3223
【答案】B。
【考点】圆周角定理，勾股定理，垂径定理，锐角三角函数的定义。
【分析】∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=
1
， 3
1MO1
∴∠MOB=∠C。∴sin∠CBD=sin∠OBM=。故选B。
OB13
22.（四川南充3分）在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为
A、6分米
B、8分米 C、10分米
D、12分米
【答案】C。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。
【分析】如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=
11
AB=3，CF=CD=4。 22
设OE=x，则OF=x－1，
在Rt△OAE中，OA=AE+OE；在Rt△OCF中，OC=CF+OF。 ∵OA=OC，∴3+x=4+（x﹣1），解得x=4。
∴半径
5。∴直径MN=2OA=10（分米）。故选C。
23.（四川泸州2分）已知⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为
A、5cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【答案】B。
【考点】垂径定理，垂线段的性质，勾股定理。
【分析】根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当OP为垂线段
时，即OP⊥AB，OP的最短，再根据垂径定理得到AP=BP=6（cm）故选B。
11
AB=×16=8，然后根据勾股定理计算出OP：
22
24.（四川凉山4分）如图，∠AOB=1100，点C在O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为
A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130
【答案】D。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，多边形内角和定理。 【分析】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论：
当点C在优弧上时，如图，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，
可得∠ACB=
11
∠AOB=×100°=50°。 22
当点C在劣弧上时，如图，连接CO并延长交圆于点D，同上可得
∠ADB==50°。
连接AD，BD。根据直径所对的圆周角是直角的性质，可得∠DAC=∠DBC=90°。因此，根据多边形内角和定理，得∠ACB= 360°－2×90－50=130°。【注：如果所用教材有圆内接四边形对角互补的性质，直接应用更方便】故选D。
25.（甘肃兰州4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为
【答案】C。
【考点】垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可：
延长AO交BC于D，连接OB。
∵AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC。 ∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°。∴∠BAD=∠ABD=45°。 ∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，
由勾股定理得：
C。
26.（安徽省4分）如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是 A． B．【答案】B。
【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，弧长公式。
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的定理，得圆心角BOC度数为72，根据弧长公式，计算出结果：
15234 C． D． 555
nr7212
==。 1801805
27.（安徽芜湖4分）如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 A.
134 B． D． 24
5【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，30角的三角函数值。 【分析】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，知道△OAC是等边三角形，所以∠CAO=60，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =30，因此∠OBC
的余弦值为
。 2
28. （辽宁葫芦岛2分）如图，等边△ABC内接于⊙O，则∠AOB等于
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】A。
【考点】等边三角形的性质，圆周角定理。
【分析】由等边三角形每个内角等于60的性质，得∠ACB=60，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOB=120。故选A。
29.（辽宁盘锦3分）如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长
线上一点，DC切⊙O于点C，连结AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为
3 B. 8 C. 4 D. 23 【答案】C。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，等腰三角形的判定。
【分析】连接OC，BC。
∵∠BOC＝2∠CAB＝60°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， OB＝OC＝4（半径相等）
∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）。
∴∠OCB＝60°（等边三角形每个内角等于60），BC＝OB＝2。
又∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°（切线的性质）。
∴∠BOD＝30°（等量减等量差相等），∠D＝30°（直角三角形两锐角互余）。∴∠BOD＝∠D。 ∴BD＝BC=4（等角对等边）。故选C。
30.（云南玉溪3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°， 则∠BDC＝
A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角是90°的圆周角定理推论，得∠ACB＝90°。由∠ABC＝50°，根据三角形内角和定理，得∠BAC＝40°。再根据同(等)弧所对圆周角相等的圆周角定理推论，得∠BDC＝∠BAC＝40°。故选C。
31.（贵州毕节3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB的长为
A、2cm B、cm C、2cm D、25cm 【答案】C。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长：
作OD⊥AB于D，连接OA， 根据题意得OD=
1
OA=1cm，根据勾股定理得：
， 2
根据垂径定理得
。故选C。
32.（四川乐山3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=
A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，垂径定理。
所对的圆心角与圆周角，∴∠BDC=1∠BOC=20°。 【分析】∵∠BOC与∠BDC为 BC
2
∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，∴AB⊥CD。 ∴在Rt△BDM中，∠ABD=90°－∠BDC=70°。故选C。
33.（福建三明4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为
A、40°
B、50° C、80°
D、90°
A
B
【答案】B。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】∵CD是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
又∵∠C=40°，∴∠ABD=90°－∠BAD==90°－∠C=90°－40°=50°。故选B。
34.（江苏南京2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)， 半径为2，函数yx的图象被⊙P的弦AB
的长为，则a的值是
A
． 【答案】B。
【考点】一次函数的应用，弦径定理, 勾股定理，对顶角的性质，三角形内角和定理。
【分析】连接PA,PB ,过点P作PE⊥AB于E, 作PF⊥X轴于F，交 AB于G，分别求出PD、DC，相加即可：
∵在Rt△PAE中，由弦径定理可得AE＝∴由勾股定理可得PE＝1。
又由yx可得，∠OGF＝∠GOF＝45，FG＝OF＝2。 又∵PE⊥AB，PF⊥OF，
（第7题）
B
．2 C
． D
．2
1
AB
PA＝2， 2
∴在Rt△EPG中，∠EPG＝∠OGF＝45，∴由勾股定理可得PG
∴a＝FG＋PG＝2
B。
35.（江苏南通3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于
A．8 B．4 C．10 D．5 【答案】D。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】根据圆的直径垂直平分弦的弦径定理，知△OAM是直角三角形，在Rt△OAM中运用勾股定理有，OA2OM2AM2324252OA5。故选D。
36.（山东滨州3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为
A、（﹣4，5） C、（5，﹣4） 【答案】D。
【考点】垂径定理，勾股定理，正方形的性质。
【分析】过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E，连接AM。设⊙M的半径为r．∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，∴DE⊥CO。∴DE是⊙M
B、（﹣5，4） D、（4，﹣5）
直径的一部分。又∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），∴OA＝AB＝CB＝OC＝8，DM＝8－r。∴根据垂径定
理得AD＝BD＝4。在Rt△ADM中，根据勾股定理可得AM＝DM＋AD，∴r＝（8－r）＋4，∴r＝5。∴M（﹣4，5）。故选D。
37.（山东济南3分）如图，O为原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)， ⊙D过A、B、O三点，点C为弧ABO上的一点(不与O、A两点重合)，则cosC的 值是
3 3 4 4
A C．4535
2
2
2
2
2
2
【答案】D。
【考点】同弧所对的圆周角的关系，勾股定理，锐角三角函数。
【分析】连接AB，∵∠OCA与∠OBA是同弧所对的圆周角，∴∠OCA=∠OBA。 又∵在Rt△OAB中，OA=3，OB=4
，∴根据勾股定理
AB5。
∴cosC=cos∠OBA=
OB4
。故选D。 AB5
38.（山东泰安3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若
的半径为
A
B
、
D
【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】如图，连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，
ABr
，OD＝，再由勾股定理得，在Rt△AOD中， 12
2r2
2222
OA＝OD＋AD，即r＝（），解之得，r
A。
2
则由垂径定理得，AD
＝
39.（广东佛山3分）若O的一条弧所对的圆周角为60，则这条弧所对的圆心角是
A、30
B、60
C、120
D、以上答案都不对
【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理，直接得出结果。故选C。
40. （广东广州3分）如图，AB切⊙O于点B，OA＝
AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为 A
B
C、π D、
32
【答案】A。
【考点】弧长的计算，切线的性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质。
的长首先要连接OB，OC，由AB切⊙O于点B，根据切线的性【分析】要求劣弧BC
质得到OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA＝
AB＝3，
利用三角函数求出∠BOA＝60°，
1
OA
2
的长。故选A。 60°，最后根据弧长公式计算出劣弧BC
同时得到OB＝
41.（广东清远3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝20º，则∠BOC的度数为
A．20º 【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的定理，∠BOC=2∠BAC＝40º。 42.（广东肇庆3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是
A．115° B ．l05° C．100° D．95° 【答案】B。
【考点】圆内接四边形外角的性质。
【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角的性质，直接得出结果。故选B。 43.（四川达州3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为
A、5
B、4 C、3
D、2
B．30º
C．40º
D．70º
【答案】C。
【考点】垂径定理，勾股定理。 【分析】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=
1
CD（垂径定理）。 2
∵CD=8，∴CE=4。∵AB=10，∴OC=OA=5。
∴由勾股定理得，
4。故选C。
44.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。 【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。 根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°； 根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1，BF=2+2=4
B。 45.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的
动点,则线段OM长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。 根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
46.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70 ，那么∠A的度数为
A 70 B. 35 C. 30 D . 20 【答案】B。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC = 70，
根据弦径定理，得∠DOC = 140；
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 70。 从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35。故选B。
47.（四川成都3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=
A、116°
B、32° C、58°
D、64°
【答案】B。
B
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=32°（三角形内角和定理）。
又∵∠BCD=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），∴∠BCD=32°。故选B。
48.（四川内江3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为
A、1 B
、2 D
、【答案】 D。
【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形。 【分析】过O点作OD⊥BC，垂足为D，
所对的圆心角和圆周角， ∵∠BOC，∠BAC分别是BC
∴由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°。
1
∠BOC=60°，BC=2BD。 2在Rt△BOD
D。
∵OD⊥BC，∴由垂径定理得∠BOD=
49.（四川资阳3分）在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆O1的弦AB∥O1O2，且与较小半圆O2相切， AB=4，则班徽图案的面积为
A. 25 C. 8 【答案】D。
【考点】弦径定理，平行的性质，勾股定理。
【分析】如图，过O1作O1C⊥AB于点C，连接A O1。由已知知班徽图案的面积为大圆的面积减小圆的面积。设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则由弦径定理，得AC=BC=2；由AB∥O1O2，根据平行的性质，得O1O2=r；在Rt△A O1C中，应用勾股定理，得R－r=2。所以班徽图案的面积=R2－r24。故选D。 二、填空题
2
2
2
B. 16 D. 4
1.（上海4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果 MN＝3，那么BC＝ ▲ ． 【答案】6。
【考点】垂径定理，三角形中位线定理。
【分析】由AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段MN为△ABC的中位线，根据中位线定理可知BC＝2MN＝6。
2.（重庆綦江4分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D= ▲ ． 【答案】60°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到Rｔ△ABC，从而根据三角形内角和定
理求得另一锐角∠B=60°，因此根据同弧所对圆周角相等的性质，得到∠D=∠B=60°。 3.（重庆江津4分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D= ▲ ． 【答案】150°。
【考点】圆内接四边形的性质。
【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可：∠D=180°﹣30°=150°。 4.（浙江温州5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是 ▲ ． 【答案】6。
【考点】圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】根据直径所对的圆周角的性质是直角得到直角三角形ABC，又由同弧
所对的圆周角相等的性质，得到∠A=∠D=30°，从而根据含30度角的直角三角形中30度角所对的边是斜边一半的性质和BC=3，得到AB=6。
的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线， 5.（浙江杭州4分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD
则∠ABD+∠CAO= ▲ ° 【答案】48°。
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质。
的度数等于84°
【分析】∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，CD
∴∠COD=84°。
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）。 又∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，∴∠OCD=48°。
∵CA是∠OCD的平分线，∴∠OCA=∠DCA=24°（等边对等角）。 在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），∴∠CAO=∠OCA=24°。 ∵∠ABD=
1
∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， 21
∠OCA= ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
2
∴∠ABD=∠OCA=24°。∴∠ABD+∠CAO=48°。
6.（辽宁阜新3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB、CD的延长线交于点E，若AB＝2DE，∠E＝18°，则∠AOC 的度数为_ ▲ ． 【答案】54°。
【考点】等腰三角形的性质，三角形外角定理。
【分析】连接OD，由AB是⊙O的直径，AB＝2DE得OD＝DE，所以∠DOE＝∠E＝18°，由三角形外角定理得∠ODC＝36°。又因为OD＝OC，所以∠OCD＝∠ODC＝36°。又由三角形外角定理得 ∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°。
7.（吉林长春3分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边 分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、 PB.则∠APB的大小为
▲ 度．
【答案】45。 【考点】圆周角定理。
8.
（黑龙江哈尔滨
3分）如图，BC是⊙O的弦，圆周角 ∠BAC=50，则∠OCB的度数是 ▲ 度 【答案】40。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠BOC=100，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠OBC=∠OCB，从而得到∠OCB=（180°－∠COB）÷2=40。
9.（黑龙江龙东五市3分）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为 ▲ 。
【答案】。
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】利用垂径定理得到直角三角形，然后解直角三角形求得AB的一半AC的长即可求AB的长： ∵OC垂直弦AB于点C，∴OA＝OB＝4，AC＝BC。∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°。∴AC＝OAsim60°
2AC
＝。 10.（湖南永州3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=2,则∠BCD= ▲ _度． 【答案】30。
【考点】垂径定理，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，三角形外角定理。
【分析】首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角定理。得∠BCD的度数即可：∵直径CD垂直弦AB于点E，
AB= ，∴EB=∵⊙O的半径为2
，∴sin∠EOB=
1
2
EB OB11.（湖南常德3分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°， 则∠OAB= ▲ ． 【答案】140°。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，直接求得结果：∠OAB=2∠C=140°。 12.（湖南衡阳3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 ▲ ． 【答案】20°。
【考点】圆周角定理，垂径定理。
【分析】根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，利用圆周角定理得出∠FCD=20°。
13.（湖南娄底4分）如图，△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，则∠BOC= ▲ ． 【答案】110°。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的圆周角定理，直接得出答案：∵△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，∴∠BOC=110°。
14. (江苏无锡2分) 如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ▲ °． 【答案】65。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同(等)弧所对圆周角相等的性质，直接得出结果: 设⊙O交y轴的
负半轴于点E, 连接AE，则圆周角 ∠OCD ＝圆周角∠DAE ＝∠DAB＋∠BAE ，易知∠BAE所对弧的圆心角为90，故∠BAE＝45。从而∠OCD＝20＋45＝65。
15.（江苏常州、镇江2分）如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝ ▲ ，CD＝ ▲ 。 【答案】4，9。
【考点】弦径定理，勾股定理。
22AB622
【分析】ACOCOAOCOCCEOCOC1OC4，CD9。
22
2
2
2
2
2
16.（江苏南京2分）如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 ▲ °． 【答案】40。
【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。
【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值是轮船P落在圆周上，根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半的定理，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为40°。 17.（江苏扬州3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD50°， 则∠ACD= ▲ °. 【答案】40。
B
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】∵AB是⊙O的直径，∴根据直径所对圆周角是直角的性质，
得∠ADB90°。又根据同弧所对的圆周角相等，得∠ABD∠BAD50°。根据三角形内角和定理，得∠ACD=1800900500400。
18.（江苏连云港3分）如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点， AD＝DO．以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC 于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ▲ ． 【答案】33°。
【考点】三角形外角定理，圆周角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∠EFG＝∠A＋∠EFB（三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和）
1
∠DOF（圆周角等于同弧所对圆心角的一半） 21
＝∠A＋∠A（∵AD＝DO，∴∠DOF＝∠A）
23
＝∠A＝33°。
2
＝∠A＋
19.（山东青岛3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝6cm，∠AOB＝120º，则AB＝ ▲ cm．
【答案】
【考点】弦径定理，锐角三角函数。
1
【分析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，则根据弦径定理，∠AOC＝∠AOB＝
260º ， AB＝2 AC。而根据锐角三角函数的定义，AC
＝OAsin∠AOC＝6，则AB
＝。 20.（山东威海3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，
则∠AED= ▲ 。 【答案】30。
【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数。
【分析】连接OD, 过点O作OF⊥DC于F,∵AE=5，BE=1，∴OD=OA=3。
∴在Rt△ODF中，
。
∴在Rt△EFO中，OE=AE－AO=5－3=2，OF=1，∴sin∠AED=∴∠AED=30。
OF1
。 OE2
21.（广东深圳3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦
AB=，则 OA= ▲ cm. 【答案】2。
【考点】三角形内角和定理，弦径定理，特殊角三角函数值。 【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，∴∠OAB=30º。
又∵∠ADO=90º，
AD=AB
12AD
cosOAD
○
2。
22.（广东台山4分）如图，A、B、C为⊙0上三点，∠ACB＝20,则∠BOA的度数为 ▲ 。 【答案】40。
【考点】同弧所对圆周角和圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的性质，直接得出结果。 23.（广东台山4分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ▲ 。 【答案】（6，2）。
【考点】三角形的外接圆的定义。
【分析】根据三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点的定义，作任两边的垂直平分线即可得出圆心坐标（6，2）。
24.（广东湛江4分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC= ▲ 度． 【答案】60。 【考点】圆周角定理。
【分析】利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠COB=2∠BAC，即可得到答案。
○
○
所在圆的圆心，∠AOC=108°，25．（河北省3分）如图，点0为优弧ACB
点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D= ▲ ． 【答案】27°。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。 【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=
1
∠ABC=27°。 2
26. （湖北荆门3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 ▲ . 【答案】50°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。
∵∠B=40°，∴∠D=40°。∴∠ACD=50°。
27.（湖北黄石3分）如图，△ABC
内接于⊙O，若∠B＝30°，AC 的直径为 ▲ . 【答案】
3。 2
【考点】圆周角定理，含30角的直角三角形的性质。
【分析】连接CO并延长角圆O于点D，连接AD，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求直径即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。 ∵∠B=30°，∴∠CDA=30°。 ∵AC= 3，∴⊙O的直径为
3。 2
28.（湖北荆州4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 ▲ . 【答案】50°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。
∵∠B=40°，∴∠D=40°。∴∠ACD=50°。
29.（湖北孝感3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大
的长分、CE半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD
别为x、y，线段ED的长为z，则z(xy)的值为 ▲ . 【答案】8。
【考点】垂径定理，勾股定理，切线的性质。 【分析】如图，过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，
∵AB=4，∴BG=AG=2。 ∴MB－MG=2=4。
又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB。 ∵AB∥CD，∴MG=NF。
设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，
2
2
2
C
F
B
ED
则z(xy)=（CD－CE）（•R＋•r）=（2R－2r）（R＋r）•=（R－r）•2=4•2=8。
2
2
30.（湖北咸宁3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB=49°，则∠AOC的度数为 ▲ ． 【答案】98°。
【考点】平行线的性质，弦径定理，圆周角定理。
【分析】过圆心O作AD的垂线，由AD∥BC知，该垂线也垂直于BC，从而由弦径
定理可证出∠DAB=∠ADC=49°。因此，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠AOC=98°。 31.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ． 【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP=OC＋PC，即（1＋x）= x＋3，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求得半径】 32.（四川巴中3分）
体育课上，小明掷出直径为
l0cm
的铅球，在场地上砸出一个
地面直径为
8 cm的小坑，如图所示，则小坑深为 ▲ ．
2
2
2
2
2
2
2
【答案】2cm。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】如图，已知条件可化为：⊙O中，直径为l0，弦AC=8，OB⊥AC，求BD的长。
故∵直径为l0，∴OA=5。 ∵AC=8，∴由弦径定理可得AD=4。
∴由勾股定理可得
。因此BD=OB－OD=2。
33.（四川遂宁4分）如图：在⊙O中∠ACB=∠BDC=60，AC=23则⊙O的周长是
▲ 。 【答案】4。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】由∠ACB=∠BDC=60，根据圆周角定理，得∠ACB=∠BAC=60。根据等边三角形的判定，得△ABC是等边三角形。连接AO，作OE⊥AC于点E。根据等边三角形的性质，得∠OAE=30。根据垂径定理，得
AE=ACRt△AOE中，应用锐角三角函数，得AO=
12
AE
2。因此⊙O的周长是224。 0
cos30
34.（宁夏自治区3分）如图，点A、D在⊙O上，BC是⊙O的直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是 ▲ ． 【答案】35°。
【考点】圆周角定理，三角形外角定理，等腰三角形的性质。
， 【分析】∵∠AOC和∠D所对的弧都是AC
∴∠AOC=2∠D=70°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。 ∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO（等边对等角）。
又∵∠AOC=∠ABO+∠BAO（三角形外角等于和它不相邻的两内角之和）， ∴∠OAB=35°。
35.（甘肃兰州4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°， 则∠OBD= ▲ 度． 【答案】63°。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB=54°，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，从而根据三角形内角和定理得到∠OBD=（180°－∠DOB）÷2=63°。
36.（青海西宁2分）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC 于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为_ ▲ ． 【答案】5cm。
【考点】矩形的判定和性质，弦径定理，勾股定理。 【分析】连接OA，
∵AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形ADOE是矩形（矩形的判定）。 ∴EO＝AD（矩形的性质）。
又OD⊥AB，OE⊥AC，AB＝8cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm，EO＝AD＝4cm。
∴在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA
5（cm）。
37.（新疆自治区、兵团5分）如图，∠BAC所对的弧（图中⌒BC）的度数为120°，⊙O的半径为5， 则弦BC的长为_ ▲ ．
【答案】
【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形 【分析】连接OB、OB，过O点作，OD⊥BC于点D，
∵∠BAC所对的弧（图中⌒BC）的度数为120°，∴∠BOC=120°。 ∵OD⊥BC，∴BD=
111
BC，∠BOD= ∠BOC= ×120°=60°。 222
在Rt△OBD
38.（辽宁辽阳3分）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC＝35°，则∠CAD＝ ▲ . 【答案】70°。
【考点】圆周角定理，弦径定理。
【分析】由∠BDC＝35°，根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠BAC＝35°；由AB为⊙O直径，CD⊥AB，根据弦径定理，得∠BAD＝∠BAC＝35°。所以∠CAD＝70°。
39.（辽宁盘锦3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB＝ ▲ . 【答案】40°。 【考点】圆周角定理。
，根据同弧所对圆周角是圆心角的一【分析】由于∠AOB和∠ACB所对的弧都是AB
半，∠ACB＝
1
∠AOB＝40°。 2
40.（辽宁营口3分） 已知⊙O的直径AB＝2，过点A的两条弦AC＝2，AD＝3，则∠CBD＝ ▲ . 【答案】15°或105°。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系。 【分析】根据直径所对圆周角是直角的性质，知∠ACB＝∠ADB＝90；由锐角三角函数（余弦函数）定义和特殊角的三角函数值，得∠CAB＝45；∠DAB＝30。
如图 ，考虑两条弦在直径AB同侧和两侧两种情
况：
当AC和AD在在直径AB同侧，根据同弦所对圆周
角相等的性质，得
∠CBD＝∠CAD＝∠CAB－∠DAB＝45－30＝15；
当AC和AD在在直径AB两侧，根据，直角三角形两锐角互余的关系，得 ∠CBD＝∠CBA＋∠DBA＝90－∠CAB＋90－∠DAB＝45＋60＝105。
41.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）如图，O
AB的长是 ▲ （结果保留）. 的半径是2，ACD30，则
【答案】。
【考点】同弧所对圆周角和圆心角的关系，弧长公式。
2
3
＝50，则∠DAB＝ ▲ 【答案】40。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，根据圆周角定理 ，得∠ADB=90， ∠ABD=∠ACD＝50，从而根据三角形内角和定理，得∠DAB＝40。
43.（贵州遵义4分）如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O 的半径为 ▲ ．
。 【考点】等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，
【分析】如图，连接OC和OD（点D是切点）。由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则解Rt△OCD即得：
∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ∴OD⊥BC，∠OCD=30°，OD即为圆的半径。 又∵BC=2，∴CD=1
∴在Rt△OCD中：
OD
。 tan30，即
OD=CD·tan301CD
44.（福建厦门4分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE= ▲ cm． 【答案】3。 【考点】垂径定理。
【分析】由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，根据垂径定理，即可求得：
AE＝
A
B
1
AB＝3 cm。 2
45.（福建龙岩3分）如图．⊙O是△ABC的外接圆AC是⊙O的直径，OD⊥BC于点D．OD=2．则AB的长是 ▲ 【答案】4。
【考点】圆周角定理，三角形中位线定理。
【分析】∵⊙O是△ABC的外接圆AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。
∵OD⊥BC，∴∠ODC=90°。∴AB∥OD。
∵O是AC中点，∴AB=2OD。∵OD=2，∴AB=4。
46.（福建宁德3分）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的 长为 ▲ . 【答案】4。
【考点】圆周角定理 ，平行的判定，三角形中位线定理。
【分析】由AB是半圆O的直径，根据圆周角定理，得BC⊥AC，所以OD∥BC，从而 OD是△ABC的中位线，因此，BC=2OD=4。 三、解答题
1.（天津8分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E. (I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求
OD
的值．
OA
【答案】解：(I) 如图①，连接OC，则OC=4。 ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。
∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得ACAB5。 ∴ 在△RtOAB
中，OA。 (Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。 ∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=60。
∴∠A=30。∴OCOA0
1
2
12OC1OD1
， 即。 OA2OA2
【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，30角直角三角形的性质。
【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C
可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得30角的直角三角形OAC，根据30角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.（上海10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长； （2）若tanC
1
，求弦MN的长． 2
OAOB
。
OAACOD
【答案】解：（1）∵CD∥AB， ∴△OAB∽△OCD。∴
又∵OA=OB=3，AC=2，∴
33
，∴OD=5。
32OD
1
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，
2
1
∵tan∠C= ，∴设OE=x，则CE=2x。
2
在Rt△OEC中，OC=OE+CE，即5=x+（2x），解得x
在Rt△OME中，OM=OE+ME，即3=（
+ME，解得ME=2。 ∴MN=4。
【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长。
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME= 利用勾股定理即可求出ME的长，从而求出答案。
3.（吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点， 点P的坐标为（3，－1），AB=23． （1）求⊙P的半径．
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
MN，再根据tan∠C= 可求出OE的长，22
【考点】垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理，切线的性质。
【分析】（1）作PC⊥AB于点C，由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长。
（2）根据直线与圆相切的性质即可求解。
4．（广西百色10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E。
（1）在图中过点B作⊙M
作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；
（2）证明：∠EAC＝∠OCB；
（3）若AB＝4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD
于N，求BN的值。
【答案】解：（1）作图如下。
（2）证明：∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠ACO＝90°。
∴∠EAC＝90°－∠ECA＝∠OCB。
（3）连接DM，则∠BDM＝90°。
∵AB＝4，∴BM＝3，MD＝1，BO＝2。
∴在Rt△BDM中，BD
又∵∠BON＝∠BDM＝90°，∠OBN＝∠DBM， ∴△BON∽△BDM。∴
∴BNBNBO，
即。 3BMBD 【考点】尺规作图，圆切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，平角定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）以点B为圆心，BC为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。
（2）由圆周角定理，三角形内角和定理和平角定义，经过等量代换即可证得。
（3）由△BON∽△BDM即可求得BN的值。
5.（广西贺州8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足 为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于 点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法）；
（3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
【答案】解：(1)连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。
（2）过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：
（3）在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝5， ∴AD＝AC－CD＝(45)－4＝8 。 1∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝25 。 2
∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。 OEAEAE25。∴OE＝×CD＝×4＝5。 CDADAD8
即垂线段OE
5 。
2222
【考点】圆切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，尺规作图，弦径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证AC平分∠DAB，即∠OAC＝∠DAC。一方面由切线的性质可证OC⊥CD，从而OC∥AD，得∠OCA＝∠DAC；另一方面由等腰三角形等边对等角的性质，得∠OCA＝∠OAC。从而得证。
（2）分别以点A、C为圆心，大于1AC长为半径画弧，两弧的交点与事业O的边线即为所作。 2
（3）要求垂线段OE的长，先由勾股定理求出AD的长，由弦径定理求AE的长。然后由相似三角形的判定和性质即可求出。
6．（湖南长沙8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，
∠APD=65°。
（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。
又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。
【考点】圆周角定理，平角定义，三角形内角和定理，三角形中位线定理．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°，最后在在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是三角形ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度。
7.（江苏苏州8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦
AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连
接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、
O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【答案】解
: (1)
（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，
∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。
又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD＝2∠A。
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。
∴∠BOD＝2∠A＝100°。
（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。
∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。
∴△DAC∽△BOC。
∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝1AB
2
∴当AC
A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。
【考点】弦径定理, 直角三角函数, 圆周角定理, 三角形外角定理，相似三角形的判定。
1【分析】(1) 由OB＝2
，∠B＝30°知ABOBcosB2cos300AB 2
(2) 由∠BOD是圆心角, 它是圆周角A的两倍, 而ABD得求。
(3) 要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。
8.（江苏泰州10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为
大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。
（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。
【答案】解：（1）点N是线段BC的中点，理由如下：
∵AD与小圆相切于点M，∴ON⊥AD。
又∵AD∥BC，∴ON⊥BC。∴点N是线段BC的中点。
（2）连接OB,设小圆的半径为r，
则ON＝r＋5，OB＝r＋6，且BN＝5。
在Rt△OBN中： 5²＋(r＋5)² ＝ (r＋6)²
解得：r＝7 cm 。
答：小圆的半径为7 cm。
【考点】弦径定理，矩形的性质，勾股定理。
【分析】(1) 要证点N是线段BC的中点，只要证ON⊥BC，由已知边AD与小圆相切于点M知ON⊥AD，而ABCD是矩形对边平行，从而有ON⊥BC, 根据垂直于弦的直径平分弦的弦径定理得证。
（2）根据已知条件，利用勾股定理求解。
9.（山东烟台12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由
.
2
【答案】解：（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ。
∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°。∴∠QFD＋∠Q＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°。
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P。
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF。 ∴ OEOF22。∴OE·OP＝OF＝r。 OFOP
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立。理由如下：
依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM。
∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°。∴∠M＋∠CFM＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°。
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E。
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE。 ∴OEOF22，∴OE·OP＝OF＝r。 OFOP
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF。 而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证。
（2）同（1）类似。
10.（广东佛山6分）如图，已知AB是O的弦，半径OA20cm，AOB120，
求△AOB的面积。
【答案】解：如图，作OC⊥AB于点C。则有 ACCB , AOCAOB60。
1
2
在RtAOC中，OA20cm ， ACAOsin600 , OC10cm 。
1SAOBABOCcm。2
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】作弦心距，由垂径定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，从而求出面积。
11. （江西省A卷8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为
A为弦
BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：sin60
，cos30
，tan30） 【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵BD是直径，∴BD=4，DCB900。
在Rt△DBC
中，sinBDCBC， BD ∴BDC60，∴BACBDC600。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC
的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，
1则AB=AC，BAEBAC300。 2
在Rt△ABE
中，∵BEBAE300，
∴AEBEtan3013。 ∴S△ABC
=3 2 答：△ABC
面积的最大值是
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出BDC的度数，再由圆周角定理即可求解。
（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。
12.（湖北荆门10分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如 图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1∶3.7，桥下水深OP＝5 米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M
点上坡、 过桥、下坡到N点的最短路径长
.（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°＝1
23）
【答案】解：连接OD、OE、OF，
由垂径定理知：PD＝
在Rt△OPD
中，
OD13（m），
∴OE＝OD＝13m。
∵tan∠EMO=i1CD＝12（m） 211:3.7，∴∠EMO＝15°。 21.7
由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。
同理得∠NOF＝75°。
∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。
在Rt△OEM中，tan∠EMO＝
∴EM＝OE1313，∴tan15°=。 EMEMEM13。 133.748.1（m）tan15
3013又∵⌒EF 的弧长＝＝6.5（m）。 180
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）。
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
⌒ +FN，连接如图，把实【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+EF
际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1∶3.7和tan15°＝1
2≈1∶3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°－15°=75°，
⌒ 所对的圆心角∠EOF，相继求出⌒则得出EFEF 的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。
13. （四川成都10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O
为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂
足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点
E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCK。
∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°。∴△BKC≌△ADE（AAS），∴AE=CK。 13
1（2）∵AB=a，AD=a=BC
。 3∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，∴ACAB。 BCBK
a 。
∴，∴BKa3
（3）∵DG是⊙O的弦，AC为⊙O的直径，DG⊥AC，∴DE=EG=6。
又F是EG的中点，∴EF=3。
∵在Rt△ADF中，AE⊥DF，∴∠AEF=∠AED=90。
∵∠FAE＋∠EAD=90，∠EAD＋∠ADE=90，∴∠FAE=∠ADE。 ∴△DEA∽△AEF。∴000DEAE。 AEEF
∴AE2DEEF=6
3=18。∴
同理可得，在Rt△CHD中，CE2DEEH=6EH。
连接OG，设⊙O的半径为r。
在Rt△OEG中，由勾股定理，得
OE＋EG=OG，即r解得，222
262r2。
。
∴AC=
∴CE=AC－
AE=
∵CE
6EH，∴226EH。∴EH=12。
∴GH=HE－GE=12－6=6。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理。
【分析】（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可。
（2）根据勾股定理求得AC的长，再求证△BKC∽△ABC，利用其对应边成比例即可求得BK。
（3）连接OG，设⊙O的半径为r。在Rt△OEG中，OE＋EG=OG。其中OE=r－AE，AE可由△DEA∽△AEF求得；由弦径定理EG=2221GD=6；OG=r。从而求出⊙O的半径。 2
一方面，在Rt△CHD中，CE2DEEH=6EH；另一方面，CE=AC－
AE=，从而求得GH的长。
14.（四川宜宾10分）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O
交
BC于点D，在劣弧⌒AD上取一点E使∠EBC = ∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.
(1)求证：AC⊥BH
(2)若∠ABC= 45°，⊙O的直径等于10，BD =8，求CE的长.
【答案】解：（1）证明：连结AD ，
∵∠DAC = ∠DEC， ∠EBC = ∠DEC，
∴∠DAC = ∠EBC 。
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90° 。
∴∠DCA+∠DAC=90° 。∴∠EBC+∠DCA = 90°。
∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°。
∴AC⊥BH。
（2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90°，∠ABC = 45°，
∴∠BAD = 45°。
∴BD = AD。
∵BD = 8，∴AD =8。
又∵∠ADC = 90° ，AC =10 ， ∴由勾股定理，得 DC=AC–AD10–8 = 6。
∴BC=BD+DC=8+6=14。
又∵∠BGC = ∠ADC = 90° ，∠BCG =∠ACD，∴△BCG∽△ACD。
CGBCCG1442。∴CG = 。 DCAC6105
连结AE。∵AC是直径，∴∠AEC=90°
又∵ EG⊥AC，∴ △CEG∽△CAE。
CECG422。∴CE 10 = 84。 ACCE5
∴CE = 84= 2 21。
【考点】圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论。
（2）由∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出
DC2222
的长，从而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长。
15.（云南曲靖10分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°。
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形。
【答案】解：（1）∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°。
又∵OC⊥AB，且OC是⊙O的半径，
∴OC是AB的垂直平分线。∴OA＝OB，AC＝BC。
又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS）。∴∠BOC＝∠AOC＝60°。
（2）证：∵由（1）∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC是正三角形。∴OA＝AC＝CB＝BO。
∴四边形AOBC是菱形。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，半（直）径与弦的关系，全等三角形的判定和性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定。
【分析】（1）由同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理得出∠AOC＝60°，再由两三角形边都相等证出全等，从而对应角相等而求出∠BOC＝∠AOC＝60°。
（2）由△OAC和△OBC是正三角形即可证出。
16.（福建漳州10分）如图，AB是⊙O的直径，⌒AC＝⌒CD，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
【答案】解：（1）△AOC是等边三角形 。证明如下：
∵⌒AC＝⌒CD，∴∠AOC＝∠COD＝60° 。
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形 。
（2）证明：∵⌒AC＝⌒CD，∴OC⊥AD 。
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD 。
∴OC∥BD。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定，平行线的判定。
【分析】（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60°；
然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆
的半径知OA=OC，从而证得△AOC是等边三角形。
（2）利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD。
专题47：圆的有关性质
一、选择题
1.（上海4分）矩形ABCD中，AB＝8
，BC，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内； (C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 【答案】 C。
【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径
PD=
7。点B、C到P点的距离分别为：PB=6
，
故选C。
9。∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。
2.（重庆４分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于
A、60°
B、50° C、40°
D、30°
【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。
【分析】在等腰三角形OCB中，由已知∠OCB=40°和三角形内角和定理求得顶角∠COB的度数100°，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得∠A=∠C0B=50°。故选B。 3.（重庆綦江4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为
A、6π
B、5π C、3π
D、2π
【答案】D。
【考点】切线的性质，多边形内角和定理，弧长的计算。
【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，利用四边形的内角和即可求出∠AOB＝120°；利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度=D。
120
3
=2
。故选180
4．（重庆潼南4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为
A、15°
B、30° C、45°
D、60°
【答案】D。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】根据直径所对的圆周角为90°的圆周角定理，可得∠C=90°，再利用三角形内角和定理进行计算：∠B=180°﹣90°﹣30°=60°。故选D。
5.（浙江舟山、嘉兴3分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为 （A）6 【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】要求弦心距，即要作出它并把它放到三角形中求解。故作辅助线：过O作OD⊥AB于D，则OD是弦AB的弦心距，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在Rt△OBD中，根据勾股定理即可求出OD
：
（B）8
（C）10
（D）12
OD6。故选A。
6.（浙江绍兴4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C=16°，则∠BOC的度数是
A、74° B、48° C、32° D、16° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠A=∠C=16°；又根据同弧所对的圆周角等于圆心角一半的性质，得∠BOC=2∠A =32°。故选C。
7.（浙江绍兴4分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O
到水
面的距离
OC
是6，则水面宽AB是
A、16 B、10 C、8 D、6 【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出
8，从而求得AB=2BC=2×8=1。故选A。
8.（浙江衢州3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为
A
、 B
、C
、 D
、
【答案】B。
【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°，然后由AB=100m，在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径
AO=OB=，从而求得⊙O的直径
AD=。故选B。
9..（浙江省3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为
A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位 【答案】B。
【考点】圆周角定理，勾股定理。
【分析】如图，根据圆周角定理，知EF为直径，从而由勾股定理可求EF=10个单位。故选B。 10. （吉林省3分）如图，两个等圆⊙A⊙B分别与直线l相切于点C、D,连接AB，与直线l相交于点O , ∠AOC=30，连接AC，BC，若AB=4，
则圆的半径为
A 【答案】B。
1
B 1 C D 2 2
【考点】圆切线的性质，全等三角形的判定和性质，含30角直角三角形的性质。
【分析】根据圆切线的性质，由AAS易证△AOC≌△BOD，从而AO＝BO＝2，从而根据直角三角形中30角所对的直角边是斜边一半的性质，得圆的半径为AC＝1。故选B。
11.（吉林长春3分）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当
长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°， 则∠1的大小为
（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°． 【答案】C。 【考点】平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质，平角的定义。
【分析】由l1∥l2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等的性质，即可求得∠BC l1的度数54°，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，故AC和AB都是圆的半径，可得AC=AB，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案：∠1=72°。 故选C。
12.（黑龙江大庆3分）如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与 小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB的长为20m， 则圆环的面积为
A．10m B．10m C．100m D．100m
2
2
2
2
【答案】D。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理，切线的性质。
【分析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC＝BC＝10，再根据切线的性质得到OC为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA－π•OC=π（OA－OC）=π•AC=100π。故选D。
13.（黑龙江牡丹江3分）已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为
A．12 8．8 C．12或28 D．8或32 【答案】D。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB-OE，据此即可求解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝
2
2
2
2
2
1
CD＝16。在直角△OCE中，OE
＝2
则AE＝20＋12＝32，或AE＝20－12＝8。故AE的长是8或32。故选D。
12。
14.（广西河池3分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是⊙O直径．若∠D＝35º，则∠OAC＝
A．35º B．55º C．65º D．70º 【答案】B。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角一半的圆周角定理，∠AOC＝2∠D＝70º；又因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，根据三角形内角和定理，∠OAC＝
1
1800700550。故选B。 2
D．100º
15.（广西柳州3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝80º，则∠ACB的大小 A．40º 【答案】A。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，而∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，所以∠ACB＝
B．60º
C．80º
1
∠AOB＝40º。故选A。 2
16.（广西南宁3分）一条公路弯道处是一段圆弧⌒AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C 是⌒AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB＝120m，CD＝20m，那么 这段弯道的半径为
A．200m B．2003m C．100m D．1003m
【答案】C。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】根据弦径定理，OD⊥AB，AD=BD，∴连接AO，设AO＝x，则在Rt△AOD
中，AO＝x，AD＝60，OD＝x－20，根据勾股定理，得x＝60＋（x－20），解得x＝100。故选 C。
17.（湖南娄底3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A、点A在圆外
B、点A在圆上 C、点A在圆内
D、不能确定
2
2
2
【答案】C。
【考点】点与圆的位置关系。
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内。故选C。
18.（海南3分）如图，在以AB为直径的半圆O中，C是它的中点，若AC=2，则△ABC的面积是
A、1.5
【答案】
【考点】圆周角定理，弧、弦的关系。
【分析】根据圆周角定理推论可得∠C=90°，由C是半圆O中点，根据等弧对等弦，可得AC=CB，从而可求三角形△ABC的面积=
B、2 C、3
D、4
11
AC•BC=×2×2=2。故选B。 22
19.（四川自贡3分）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为
A． 45° B． 90° C． l35° D． 270°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧， ∴优弧所对的圆心角为
3
36002700。 13
∴优弧所对的圆周角为l35° 。故选C。
20.（四川雅安3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=
A、
【答案】D。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义。 【分析】连接AO并延长交圆于D，连接CD。
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。 在直角三角形ACD中，AC=4，AD=6， ∴sinD=
1324
B、 C、 D、
5343
AC42
。 （正弦函数定义）
AD632
。故选D。 3
又∵∠B=∠D（同弧所对的的圆周角相等）， ∴sinB=
21.（四川攀枝花3分）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D，OM⊥AB
于点M，OM=
1
，则sin∠CBD的值等于 3
A、
1122
B、 C、 D、
3223
【答案】B。
【考点】圆周角定理，勾股定理，垂径定理，锐角三角函数的定义。
【分析】∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=
1
， 3
1MO1
∴∠MOB=∠C。∴sin∠CBD=sin∠OBM=。故选B。
OB13
22.（四川南充3分）在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为
A、6分米
B、8分米 C、10分米
D、12分米
【答案】C。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。
【分析】如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=
11
AB=3，CF=CD=4。 22
设OE=x，则OF=x－1，
在Rt△OAE中，OA=AE+OE；在Rt△OCF中，OC=CF+OF。 ∵OA=OC，∴3+x=4+（x﹣1），解得x=4。
∴半径
5。∴直径MN=2OA=10（分米）。故选C。
23.（四川泸州2分）已知⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为
A、5cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【答案】B。
【考点】垂径定理，垂线段的性质，勾股定理。
【分析】根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当OP为垂线段
时，即OP⊥AB，OP的最短，再根据垂径定理得到AP=BP=6（cm）故选B。
11
AB=×16=8，然后根据勾股定理计算出OP：
22
24.（四川凉山4分）如图，∠AOB=1100，点C在O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为
A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130
【答案】D。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，多边形内角和定理。 【分析】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论：
当点C在优弧上时，如图，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，
可得∠ACB=
11
∠AOB=×100°=50°。 22
当点C在劣弧上时，如图，连接CO并延长交圆于点D，同上可得
∠ADB==50°。
连接AD，BD。根据直径所对的圆周角是直角的性质，可得∠DAC=∠DBC=90°。因此，根据多边形内角和定理，得∠ACB= 360°－2×90－50=130°。【注：如果所用教材有圆内接四边形对角互补的性质，直接应用更方便】故选D。
25.（甘肃兰州4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为
【答案】C。
【考点】垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，推出AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可：
延长AO交BC于D，连接OB。
∵AB=AC，O是等腰Rt△ABC的外心，∴AO⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC。 ∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°。∴∠BAD=∠ABD=45°。 ∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，
由勾股定理得：
C。
26.（安徽省4分）如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC的长是 A． B．【答案】B。
【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，弧长公式。
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的定理，得圆心角BOC度数为72，根据弧长公式，计算出结果：
15234 C． D． 555
nr7212
==。 1801805
27.（安徽芜湖4分）如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 A.
134 B． D． 24
5【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，30角的三角函数值。 【分析】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，知道△OAC是等边三角形，所以∠CAO=60，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =30，因此∠OBC
的余弦值为
。 2
28. （辽宁葫芦岛2分）如图，等边△ABC内接于⊙O，则∠AOB等于
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】A。
【考点】等边三角形的性质，圆周角定理。
【分析】由等边三角形每个内角等于60的性质，得∠ACB=60，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOB=120。故选A。
29.（辽宁盘锦3分）如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长
线上一点，DC切⊙O于点C，连结AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为
3 B. 8 C. 4 D. 23 【答案】C。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，等腰三角形的判定。
【分析】连接OC，BC。
∵∠BOC＝2∠CAB＝60°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， OB＝OC＝4（半径相等）
∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）。
∴∠OCB＝60°（等边三角形每个内角等于60），BC＝OB＝2。
又∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°（切线的性质）。
∴∠BOD＝30°（等量减等量差相等），∠D＝30°（直角三角形两锐角互余）。∴∠BOD＝∠D。 ∴BD＝BC=4（等角对等边）。故选C。
30.（云南玉溪3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°， 则∠BDC＝
A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角是90°的圆周角定理推论，得∠ACB＝90°。由∠ABC＝50°，根据三角形内角和定理，得∠BAC＝40°。再根据同(等)弧所对圆周角相等的圆周角定理推论，得∠BDC＝∠BAC＝40°。故选C。
31.（贵州毕节3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB的长为
A、2cm B、cm C、2cm D、25cm 【答案】C。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长：
作OD⊥AB于D，连接OA， 根据题意得OD=
1
OA=1cm，根据勾股定理得：
， 2
根据垂径定理得
。故选C。
32.（四川乐山3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=
A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C。
【考点】圆周角定理，垂径定理。
所对的圆心角与圆周角，∴∠BDC=1∠BOC=20°。 【分析】∵∠BOC与∠BDC为 BC
2
∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，∴AB⊥CD。 ∴在Rt△BDM中，∠ABD=90°－∠BDC=70°。故选C。
33.（福建三明4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为
A、40°
B、50° C、80°
D、90°
A
B
【答案】B。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】∵CD是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
又∵∠C=40°，∴∠ABD=90°－∠BAD==90°－∠C=90°－40°=50°。故选B。
34.（江苏南京2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)， 半径为2，函数yx的图象被⊙P的弦AB
的长为，则a的值是
A
． 【答案】B。
【考点】一次函数的应用，弦径定理, 勾股定理，对顶角的性质，三角形内角和定理。
【分析】连接PA,PB ,过点P作PE⊥AB于E, 作PF⊥X轴于F，交 AB于G，分别求出PD、DC，相加即可：
∵在Rt△PAE中，由弦径定理可得AE＝∴由勾股定理可得PE＝1。
又由yx可得，∠OGF＝∠GOF＝45，FG＝OF＝2。 又∵PE⊥AB，PF⊥OF，
（第7题）
B
．2 C
． D
．2
1
AB
PA＝2， 2
∴在Rt△EPG中，∠EPG＝∠OGF＝45，∴由勾股定理可得PG
∴a＝FG＋PG＝2
B。
35.（江苏南通3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于
A．8 B．4 C．10 D．5 【答案】D。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】根据圆的直径垂直平分弦的弦径定理，知△OAM是直角三角形，在Rt△OAM中运用勾股定理有，OA2OM2AM2324252OA5。故选D。
36.（山东滨州3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为
A、（﹣4，5） C、（5，﹣4） 【答案】D。
【考点】垂径定理，勾股定理，正方形的性质。
【分析】过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E，连接AM。设⊙M的半径为r．∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，∴DE⊥CO。∴DE是⊙M
B、（﹣5，4） D、（4，﹣5）
直径的一部分。又∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），∴OA＝AB＝CB＝OC＝8，DM＝8－r。∴根据垂径定
理得AD＝BD＝4。在Rt△ADM中，根据勾股定理可得AM＝DM＋AD，∴r＝（8－r）＋4，∴r＝5。∴M（﹣4，5）。故选D。
37.（山东济南3分）如图，O为原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)， ⊙D过A、B、O三点，点C为弧ABO上的一点(不与O、A两点重合)，则cosC的 值是
3 3 4 4
A C．4535
2
2
2
2
2
2
【答案】D。
【考点】同弧所对的圆周角的关系，勾股定理，锐角三角函数。
【分析】连接AB，∵∠OCA与∠OBA是同弧所对的圆周角，∴∠OCA=∠OBA。 又∵在Rt△OAB中，OA=3，OB=4
，∴根据勾股定理
AB5。
∴cosC=cos∠OBA=
OB4
。故选D。 AB5
38.（山东泰安3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若
的半径为
A
B
、
D
【答案】A。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】如图，连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，
ABr
，OD＝，再由勾股定理得，在Rt△AOD中， 12
2r2
2222
OA＝OD＋AD，即r＝（），解之得，r
A。
2
则由垂径定理得，AD
＝
39.（广东佛山3分）若O的一条弧所对的圆周角为60，则这条弧所对的圆心角是
A、30
B、60
C、120
D、以上答案都不对
【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理，直接得出结果。故选C。
40. （广东广州3分）如图，AB切⊙O于点B，OA＝
AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为 A
B
C、π D、
32
【答案】A。
【考点】弧长的计算，切线的性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质。
的长首先要连接OB，OC，由AB切⊙O于点B，根据切线的性【分析】要求劣弧BC
质得到OB⊥AB，在Rt△OBA中，OA＝
AB＝3，
利用三角函数求出∠BOA＝60°，
1
OA
2
的长。故选A。 60°，最后根据弧长公式计算出劣弧BC
同时得到OB＝
41.（广东清远3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝20º，则∠BOC的度数为
A．20º 【答案】C。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的定理，∠BOC=2∠BAC＝40º。 42.（广东肇庆3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是
A．115° B ．l05° C．100° D．95° 【答案】B。
【考点】圆内接四边形外角的性质。
【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角的性质，直接得出结果。故选B。 43.（四川达州3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为
A、5
B、4 C、3
D、2
B．30º
C．40º
D．70º
【答案】C。
【考点】垂径定理，勾股定理。 【分析】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=
1
CD（垂径定理）。 2
∵CD=8，∴CE=4。∵AB=10，∴OC=OA=5。
∴由勾股定理得，
4。故选C。
44.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。 【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。 根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°； 根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1，BF=2+2=4
B。 45.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的
动点,则线段OM长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。 根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
46.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70 ，那么∠A的度数为
A 70 B. 35 C. 30 D . 20 【答案】B。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC = 70，
根据弦径定理，得∠DOC = 140；
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 70。 从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35。故选B。
47.（四川成都3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=
A、116°
B、32° C、58°
D、64°
【答案】B。
B
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=32°（三角形内角和定理）。
又∵∠BCD=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），∴∠BCD=32°。故选B。
48.（四川内江3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为
A、1 B
、2 D
、【答案】 D。
【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形。 【分析】过O点作OD⊥BC，垂足为D，
所对的圆心角和圆周角， ∵∠BOC，∠BAC分别是BC
∴由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°。
1
∠BOC=60°，BC=2BD。 2在Rt△BOD
D。
∵OD⊥BC，∴由垂径定理得∠BOD=
49.（四川资阳3分）在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆O1的弦AB∥O1O2，且与较小半圆O2相切， AB=4，则班徽图案的面积为
A. 25 C. 8 【答案】D。
【考点】弦径定理，平行的性质，勾股定理。
【分析】如图，过O1作O1C⊥AB于点C，连接A O1。由已知知班徽图案的面积为大圆的面积减小圆的面积。设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则由弦径定理，得AC=BC=2；由AB∥O1O2，根据平行的性质，得O1O2=r；在Rt△A O1C中，应用勾股定理，得R－r=2。所以班徽图案的面积=R2－r24。故选D。 二、填空题
2
2
2
B. 16 D. 4
1.（上海4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果 MN＝3，那么BC＝ ▲ ． 【答案】6。
【考点】垂径定理，三角形中位线定理。
【分析】由AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段MN为△ABC的中位线，根据中位线定理可知BC＝2MN＝6。
2.（重庆綦江4分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D= ▲ ． 【答案】60°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到Rｔ△ABC，从而根据三角形内角和定
理求得另一锐角∠B=60°，因此根据同弧所对圆周角相等的性质，得到∠D=∠B=60°。 3.（重庆江津4分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D= ▲ ． 【答案】150°。
【考点】圆内接四边形的性质。
【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可：∠D=180°﹣30°=150°。 4.（浙江温州5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是 ▲ ． 【答案】6。
【考点】圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】根据直径所对的圆周角的性质是直角得到直角三角形ABC，又由同弧
所对的圆周角相等的性质，得到∠A=∠D=30°，从而根据含30度角的直角三角形中30度角所对的边是斜边一半的性质和BC=3，得到AB=6。
的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线， 5.（浙江杭州4分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD
则∠ABD+∠CAO= ▲ ° 【答案】48°。
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质。
的度数等于84°
【分析】∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，CD
∴∠COD=84°。
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）。 又∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，∴∠OCD=48°。
∵CA是∠OCD的平分线，∴∠OCA=∠DCA=24°（等边对等角）。 在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），∴∠CAO=∠OCA=24°。 ∵∠ABD=
1
∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， 21
∠OCA= ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
2
∴∠ABD=∠OCA=24°。∴∠ABD+∠CAO=48°。
6.（辽宁阜新3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB、CD的延长线交于点E，若AB＝2DE，∠E＝18°，则∠AOC 的度数为_ ▲ ． 【答案】54°。
【考点】等腰三角形的性质，三角形外角定理。
【分析】连接OD，由AB是⊙O的直径，AB＝2DE得OD＝DE，所以∠DOE＝∠E＝18°，由三角形外角定理得∠ODC＝36°。又因为OD＝OC，所以∠OCD＝∠ODC＝36°。又由三角形外角定理得 ∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°。
7.（吉林长春3分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边 分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、 PB.则∠APB的大小为
▲ 度．
【答案】45。 【考点】圆周角定理。
8.
（黑龙江哈尔滨
3分）如图，BC是⊙O的弦，圆周角 ∠BAC=50，则∠OCB的度数是 ▲ 度 【答案】40。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠BOC=100，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠OBC=∠OCB，从而得到∠OCB=（180°－∠COB）÷2=40。
9.（黑龙江龙东五市3分）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为 ▲ 。
【答案】。
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】利用垂径定理得到直角三角形，然后解直角三角形求得AB的一半AC的长即可求AB的长： ∵OC垂直弦AB于点C，∴OA＝OB＝4，AC＝BC。∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°。∴AC＝OAsim60°
2AC
＝。 10.（湖南永州3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=2,则∠BCD= ▲ _度． 【答案】30。
【考点】垂径定理，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，三角形外角定理。
【分析】首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角定理。得∠BCD的度数即可：∵直径CD垂直弦AB于点E，
AB= ，∴EB=∵⊙O的半径为2
，∴sin∠EOB=
1
2
EB OB11.（湖南常德3分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°， 则∠OAB= ▲ ． 【答案】140°。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，直接求得结果：∠OAB=2∠C=140°。 12.（湖南衡阳3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为 ▲ ． 【答案】20°。
【考点】圆周角定理，垂径定理。
【分析】根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，利用圆周角定理得出∠FCD=20°。
13.（湖南娄底4分）如图，△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，则∠BOC= ▲ ． 【答案】110°。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的圆周角定理，直接得出答案：∵△ABC内接于⊙O，已知∠A=55°，∴∠BOC=110°。
14. (江苏无锡2分) 如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ▲ °． 【答案】65。 【考点】圆周角定理。
【分析】根据同(等)弧所对圆周角相等的性质，直接得出结果: 设⊙O交y轴的
负半轴于点E, 连接AE，则圆周角 ∠OCD ＝圆周角∠DAE ＝∠DAB＋∠BAE ，易知∠BAE所对弧的圆心角为90，故∠BAE＝45。从而∠OCD＝20＋45＝65。
15.（江苏常州、镇江2分）如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝ ▲ ，CD＝ ▲ 。 【答案】4，9。
【考点】弦径定理，勾股定理。
22AB622
【分析】ACOCOAOCOCCEOCOC1OC4，CD9。
22
2
2
2
2
2
16.（江苏南京2分）如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 ▲ °． 【答案】40。
【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。
【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值是轮船P落在圆周上，根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半的定理，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为40°。 17.（江苏扬州3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD50°， 则∠ACD= ▲ °. 【答案】40。
B
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】∵AB是⊙O的直径，∴根据直径所对圆周角是直角的性质，
得∠ADB90°。又根据同弧所对的圆周角相等，得∠ABD∠BAD50°。根据三角形内角和定理，得∠ACD=1800900500400。
18.（江苏连云港3分）如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点， AD＝DO．以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC 于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ▲ ． 【答案】33°。
【考点】三角形外角定理，圆周角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∠EFG＝∠A＋∠EFB（三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和）
1
∠DOF（圆周角等于同弧所对圆心角的一半） 21
＝∠A＋∠A（∵AD＝DO，∴∠DOF＝∠A）
23
＝∠A＝33°。
2
＝∠A＋
19.（山东青岛3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝6cm，∠AOB＝120º，则AB＝ ▲ cm．
【答案】
【考点】弦径定理，锐角三角函数。
1
【分析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，则根据弦径定理，∠AOC＝∠AOB＝
260º ， AB＝2 AC。而根据锐角三角函数的定义，AC
＝OAsin∠AOC＝6，则AB
＝。 20.（山东威海3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，
则∠AED= ▲ 。 【答案】30。
【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数。
【分析】连接OD, 过点O作OF⊥DC于F,∵AE=5，BE=1，∴OD=OA=3。
∴在Rt△ODF中，
。
∴在Rt△EFO中，OE=AE－AO=5－3=2，OF=1，∴sin∠AED=∴∠AED=30。
OF1
。 OE2
21.（广东深圳3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦
AB=，则 OA= ▲ cm. 【答案】2。
【考点】三角形内角和定理，弦径定理，特殊角三角函数值。 【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，∴∠OAB=30º。
又∵∠ADO=90º，
AD=AB
12AD
cosOAD
○
2。
22.（广东台山4分）如图，A、B、C为⊙0上三点，∠ACB＝20,则∠BOA的度数为 ▲ 。 【答案】40。
【考点】同弧所对圆周角和圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的性质，直接得出结果。 23.（广东台山4分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ▲ 。 【答案】（6，2）。
【考点】三角形的外接圆的定义。
【分析】根据三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点的定义，作任两边的垂直平分线即可得出圆心坐标（6，2）。
24.（广东湛江4分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC= ▲ 度． 【答案】60。 【考点】圆周角定理。
【分析】利用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠COB=2∠BAC，即可得到答案。
○
○
所在圆的圆心，∠AOC=108°，25．（河北省3分）如图，点0为优弧ACB
点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D= ▲ ． 【答案】27°。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。 【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=
1
∠ABC=27°。 2
26. （湖北荆门3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 ▲ . 【答案】50°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。
∵∠B=40°，∴∠D=40°。∴∠ACD=50°。
27.（湖北黄石3分）如图，△ABC
内接于⊙O，若∠B＝30°，AC 的直径为 ▲ . 【答案】
3。 2
【考点】圆周角定理，含30角的直角三角形的性质。
【分析】连接CO并延长角圆O于点D，连接AD，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求直径即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。 ∵∠B=30°，∴∠CDA=30°。 ∵AC= 3，∴⊙O的直径为
3。 2
28.（湖北荆州4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 ▲ . 【答案】50°。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可：
∵CD是直径，∴∠CAD=90°。
∵∠B=40°，∴∠D=40°。∴∠ACD=50°。
29.（湖北孝感3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大
的长分、CE半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD
别为x、y，线段ED的长为z，则z(xy)的值为 ▲ . 【答案】8。
【考点】垂径定理，勾股定理，切线的性质。 【分析】如图，过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，
∵AB=4，∴BG=AG=2。 ∴MB－MG=2=4。
又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB。 ∵AB∥CD，∴MG=NF。
设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，
2
2
2
C
F
B
ED
则z(xy)=（CD－CE）（•R＋•r）=（2R－2r）（R＋r）•=（R－r）•2=4•2=8。
2
2
30.（湖北咸宁3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB=49°，则∠AOC的度数为 ▲ ． 【答案】98°。
【考点】平行线的性质，弦径定理，圆周角定理。
【分析】过圆心O作AD的垂线，由AD∥BC知，该垂线也垂直于BC，从而由弦径
定理可证出∠DAB=∠ADC=49°。因此，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠AOC=98°。 31.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ． 【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP=OC＋PC，即（1＋x）= x＋3，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求得半径】 32.（四川巴中3分）
体育课上，小明掷出直径为
l0cm
的铅球，在场地上砸出一个
地面直径为
8 cm的小坑，如图所示，则小坑深为 ▲ ．
2
2
2
2
2
2
2
【答案】2cm。
【考点】弦径定理，勾股定理。
【分析】如图，已知条件可化为：⊙O中，直径为l0，弦AC=8，OB⊥AC，求BD的长。
故∵直径为l0，∴OA=5。 ∵AC=8，∴由弦径定理可得AD=4。
∴由勾股定理可得
。因此BD=OB－OD=2。
33.（四川遂宁4分）如图：在⊙O中∠ACB=∠BDC=60，AC=23则⊙O的周长是
▲ 。 【答案】4。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】由∠ACB=∠BDC=60，根据圆周角定理，得∠ACB=∠BAC=60。根据等边三角形的判定，得△ABC是等边三角形。连接AO，作OE⊥AC于点E。根据等边三角形的性质，得∠OAE=30。根据垂径定理，得
AE=ACRt△AOE中，应用锐角三角函数，得AO=
12
AE
2。因此⊙O的周长是224。 0
cos30
34.（宁夏自治区3分）如图，点A、D在⊙O上，BC是⊙O的直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是 ▲ ． 【答案】35°。
【考点】圆周角定理，三角形外角定理，等腰三角形的性质。
， 【分析】∵∠AOC和∠D所对的弧都是AC
∴∠AOC=2∠D=70°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。 ∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO（等边对等角）。
又∵∠AOC=∠ABO+∠BAO（三角形外角等于和它不相邻的两内角之和）， ∴∠OAB=35°。
35.（甘肃兰州4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°， 则∠OBD= ▲ 度． 【答案】63°。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB=54°，再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD，从而根据三角形内角和定理得到∠OBD=（180°－∠DOB）÷2=63°。
36.（青海西宁2分）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC 于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为_ ▲ ． 【答案】5cm。
【考点】矩形的判定和性质，弦径定理，勾股定理。 【分析】连接OA，
∵AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形ADOE是矩形（矩形的判定）。 ∴EO＝AD（矩形的性质）。
又OD⊥AB，OE⊥AC，AB＝8cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm，EO＝AD＝4cm。
∴在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA
5（cm）。
37.（新疆自治区、兵团5分）如图，∠BAC所对的弧（图中⌒BC）的度数为120°，⊙O的半径为5， 则弦BC的长为_ ▲ ．
【答案】
【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形 【分析】连接OB、OB，过O点作，OD⊥BC于点D，
∵∠BAC所对的弧（图中⌒BC）的度数为120°，∴∠BOC=120°。 ∵OD⊥BC，∴BD=
111
BC，∠BOD= ∠BOC= ×120°=60°。 222
在Rt△OBD
38.（辽宁辽阳3分）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC＝35°，则∠CAD＝ ▲ . 【答案】70°。
【考点】圆周角定理，弦径定理。
【分析】由∠BDC＝35°，根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠BAC＝35°；由AB为⊙O直径，CD⊥AB，根据弦径定理，得∠BAD＝∠BAC＝35°。所以∠CAD＝70°。
39.（辽宁盘锦3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB＝ ▲ . 【答案】40°。 【考点】圆周角定理。
，根据同弧所对圆周角是圆心角的一【分析】由于∠AOB和∠ACB所对的弧都是AB
半，∠ACB＝
1
∠AOB＝40°。 2
40.（辽宁营口3分） 已知⊙O的直径AB＝2，过点A的两条弦AC＝2，AD＝3，则∠CBD＝ ▲ . 【答案】15°或105°。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系。 【分析】根据直径所对圆周角是直角的性质，知∠ACB＝∠ADB＝90；由锐角三角函数（余弦函数）定义和特殊角的三角函数值，得∠CAB＝45；∠DAB＝30。
如图 ，考虑两条弦在直径AB同侧和两侧两种情
况：
当AC和AD在在直径AB同侧，根据同弦所对圆周
角相等的性质，得
∠CBD＝∠CAD＝∠CAB－∠DAB＝45－30＝15；
当AC和AD在在直径AB两侧，根据，直角三角形两锐角互余的关系，得 ∠CBD＝∠CBA＋∠DBA＝90－∠CAB＋90－∠DAB＝45＋60＝105。
41.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）如图，O
AB的长是 ▲ （结果保留）. 的半径是2，ACD30，则
【答案】。
【考点】同弧所对圆周角和圆心角的关系，弧长公式。
2
3
＝50，则∠DAB＝ ▲ 【答案】40。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，根据圆周角定理 ，得∠ADB=90， ∠ABD=∠ACD＝50，从而根据三角形内角和定理，得∠DAB＝40。
43.（贵州遵义4分）如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O 的半径为 ▲ ．
。 【考点】等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，
【分析】如图，连接OC和OD（点D是切点）。由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则解Rt△OCD即得：
∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ∴OD⊥BC，∠OCD=30°，OD即为圆的半径。 又∵BC=2，∴CD=1
∴在Rt△OCD中：
OD
。 tan30，即
OD=CD·tan301CD
44.（福建厦门4分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE= ▲ cm． 【答案】3。 【考点】垂径定理。
【分析】由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，根据垂径定理，即可求得：
AE＝
A
B
1
AB＝3 cm。 2
45.（福建龙岩3分）如图．⊙O是△ABC的外接圆AC是⊙O的直径，OD⊥BC于点D．OD=2．则AB的长是 ▲ 【答案】4。
【考点】圆周角定理，三角形中位线定理。
【分析】∵⊙O是△ABC的外接圆AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。
∵OD⊥BC，∴∠ODC=90°。∴AB∥OD。
∵O是AC中点，∴AB=2OD。∵OD=2，∴AB=4。
46.（福建宁德3分）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的 长为 ▲ . 【答案】4。
【考点】圆周角定理 ，平行的判定，三角形中位线定理。
【分析】由AB是半圆O的直径，根据圆周角定理，得BC⊥AC，所以OD∥BC，从而 OD是△ABC的中位线，因此，BC=2OD=4。 三、解答题
1.（天津8分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E. (I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求
OD
的值．
OA
【答案】解：(I) 如图①，连接OC，则OC=4。 ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。
∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得ACAB5。 ∴ 在△RtOAB
中，OA。 (Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。 ∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=60。
∴∠A=30。∴OCOA0
1
2
12OC1OD1
， 即。 OA2OA2
【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，30角直角三角形的性质。
【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C
可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得30角的直角三角形OAC，根据30角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.（上海10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长； （2）若tanC
1
，求弦MN的长． 2
OAOB
。
OAACOD
【答案】解：（1）∵CD∥AB， ∴△OAB∽△OCD。∴
又∵OA=OB=3，AC=2，∴
33
，∴OD=5。
32OD
1
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，
2
1
∵tan∠C= ，∴设OE=x，则CE=2x。
2
在Rt△OEC中，OC=OE+CE，即5=x+（2x），解得x
在Rt△OME中，OM=OE+ME，即3=（
+ME，解得ME=2。 ∴MN=4。
【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长。
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME= 利用勾股定理即可求出ME的长，从而求出答案。
3.（吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点， 点P的坐标为（3，－1），AB=23． （1）求⊙P的半径．
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
MN，再根据tan∠C= 可求出OE的长，22
【考点】垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理，切线的性质。
【分析】（1）作PC⊥AB于点C，由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长。
（2）根据直线与圆相切的性质即可求解。
4．（广西百色10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E。
（1）在图中过点B作⊙M
作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；
（2）证明：∠EAC＝∠OCB；
（3）若AB＝4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD
于N，求BN的值。
【答案】解：（1）作图如下。
（2）证明：∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠ACO＝90°。
∴∠EAC＝90°－∠ECA＝∠OCB。
（3）连接DM，则∠BDM＝90°。
∵AB＝4，∴BM＝3，MD＝1，BO＝2。
∴在Rt△BDM中，BD
又∵∠BON＝∠BDM＝90°，∠OBN＝∠DBM， ∴△BON∽△BDM。∴
∴BNBNBO，
即。 3BMBD 【考点】尺规作图，圆切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，平角定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）以点B为圆心，BC为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。
（2）由圆周角定理，三角形内角和定理和平角定义，经过等量代换即可证得。
（3）由△BON∽△BDM即可求得BN的值。
5.（广西贺州8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足 为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于 点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法）；
（3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
【答案】解：(1)连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。
（2）过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：
（3）在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝5， ∴AD＝AC－CD＝(45)－4＝8 。 1∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝25 。 2
∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。 OEAEAE25。∴OE＝×CD＝×4＝5。 CDADAD8
即垂线段OE
5 。
2222
【考点】圆切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，尺规作图，弦径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证AC平分∠DAB，即∠OAC＝∠DAC。一方面由切线的性质可证OC⊥CD，从而OC∥AD，得∠OCA＝∠DAC；另一方面由等腰三角形等边对等角的性质，得∠OCA＝∠OAC。从而得证。
（2）分别以点A、C为圆心，大于1AC长为半径画弧，两弧的交点与事业O的边线即为所作。 2
（3）要求垂线段OE的长，先由勾股定理求出AD的长，由弦径定理求AE的长。然后由相似三角形的判定和性质即可求出。
6．（湖南长沙8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，
∠APD=65°。
（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。
又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。
【考点】圆周角定理，平角定义，三角形内角和定理，三角形中位线定理．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°，最后在在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是三角形ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度。
7.（江苏苏州8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦
AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连
接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、
O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【答案】解
: (1)
（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，
∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。
又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD＝2∠A。
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。
∴∠BOD＝2∠A＝100°。
（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。
∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。
∴△DAC∽△BOC。
∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝1AB
2
∴当AC
A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。
【考点】弦径定理, 直角三角函数, 圆周角定理, 三角形外角定理，相似三角形的判定。
1【分析】(1) 由OB＝2
，∠B＝30°知ABOBcosB2cos300AB 2
(2) 由∠BOD是圆心角, 它是圆周角A的两倍, 而ABD得求。
(3) 要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。
8.（江苏泰州10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为
大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。
（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。
【答案】解：（1）点N是线段BC的中点，理由如下：
∵AD与小圆相切于点M，∴ON⊥AD。
又∵AD∥BC，∴ON⊥BC。∴点N是线段BC的中点。
（2）连接OB,设小圆的半径为r，
则ON＝r＋5，OB＝r＋6，且BN＝5。
在Rt△OBN中： 5²＋(r＋5)² ＝ (r＋6)²
解得：r＝7 cm 。
答：小圆的半径为7 cm。
【考点】弦径定理，矩形的性质，勾股定理。
【分析】(1) 要证点N是线段BC的中点，只要证ON⊥BC，由已知边AD与小圆相切于点M知ON⊥AD，而ABCD是矩形对边平行，从而有ON⊥BC, 根据垂直于弦的直径平分弦的弦径定理得证。
（2）根据已知条件，利用勾股定理求解。
9.（山东烟台12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由
.
2
【答案】解：（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ。
∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°。∴∠QFD＋∠Q＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°。
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P。
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF。 ∴ OEOF22。∴OE·OP＝OF＝r。 OFOP
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立。理由如下：
依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM。
∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°。∴∠M＋∠CFM＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°。
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E。
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE。 ∴OEOF22，∴OE·OP＝OF＝r。 OFOP
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF。 而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证。
（2）同（1）类似。
10.（广东佛山6分）如图，已知AB是O的弦，半径OA20cm，AOB120，
求△AOB的面积。
【答案】解：如图，作OC⊥AB于点C。则有 ACCB , AOCAOB60。
1
2
在RtAOC中，OA20cm ， ACAOsin600 , OC10cm 。
1SAOBABOCcm。2
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】作弦心距，由垂径定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，从而求出面积。
11. （江西省A卷8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为
A为弦
BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：sin60
，cos30
，tan30） 【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵BD是直径，∴BD=4，DCB900。
在Rt△DBC
中，sinBDCBC， BD ∴BDC60，∴BACBDC600。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC
的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，
1则AB=AC，BAEBAC300。 2
在Rt△ABE
中，∵BEBAE300，
∴AEBEtan3013。 ∴S△ABC
=3 2 答：△ABC
面积的最大值是
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出BDC的度数，再由圆周角定理即可求解。
（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。
12.（湖北荆门10分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如 图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1∶3.7，桥下水深OP＝5 米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M
点上坡、 过桥、下坡到N点的最短路径长
.（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°＝1
23）
【答案】解：连接OD、OE、OF，
由垂径定理知：PD＝
在Rt△OPD
中，
OD13（m），
∴OE＝OD＝13m。
∵tan∠EMO=i1CD＝12（m） 211:3.7，∴∠EMO＝15°。 21.7
由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。
同理得∠NOF＝75°。
∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。
在Rt△OEM中，tan∠EMO＝
∴EM＝OE1313，∴tan15°=。 EMEMEM13。 133.748.1（m）tan15
3013又∵⌒EF 的弧长＝＝6.5（m）。 180
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）。
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
⌒ +FN，连接如图，把实【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+EF
际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1∶3.7和tan15°＝1
2≈1∶3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°－15°=75°，
⌒ 所对的圆心角∠EOF，相继求出⌒则得出EFEF 的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。
13. （四川成都10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O
为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂
足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点
E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCK。
∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°。∴△BKC≌△ADE（AAS），∴AE=CK。 13
1（2）∵AB=a，AD=a=BC
。 3∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，∴ACAB。 BCBK
a 。
∴，∴BKa3
（3）∵DG是⊙O的弦，AC为⊙O的直径，DG⊥AC，∴DE=EG=6。
又F是EG的中点，∴EF=3。
∵在Rt△ADF中，AE⊥DF，∴∠AEF=∠AED=90。
∵∠FAE＋∠EAD=90，∠EAD＋∠ADE=90，∴∠FAE=∠ADE。 ∴△DEA∽△AEF。∴000DEAE。 AEEF
∴AE2DEEF=6
3=18。∴
同理可得，在Rt△CHD中，CE2DEEH=6EH。
连接OG，设⊙O的半径为r。
在Rt△OEG中，由勾股定理，得
OE＋EG=OG，即r解得，222
262r2。
。
∴AC=
∴CE=AC－
AE=
∵CE
6EH，∴226EH。∴EH=12。
∴GH=HE－GE=12－6=6。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理。
【分析】（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可。
（2）根据勾股定理求得AC的长，再求证△BKC∽△ABC，利用其对应边成比例即可求得BK。
（3）连接OG，设⊙O的半径为r。在Rt△OEG中，OE＋EG=OG。其中OE=r－AE，AE可由△DEA∽△AEF求得；由弦径定理EG=2221GD=6；OG=r。从而求出⊙O的半径。 2
一方面，在Rt△CHD中，CE2DEEH=6EH；另一方面，CE=AC－
AE=，从而求得GH的长。
14.（四川宜宾10分）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O
交
BC于点D，在劣弧⌒AD上取一点E使∠EBC = ∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.
(1)求证：AC⊥BH
(2)若∠ABC= 45°，⊙O的直径等于10，BD =8，求CE的长.
【答案】解：（1）证明：连结AD ，
∵∠DAC = ∠DEC， ∠EBC = ∠DEC，
∴∠DAC = ∠EBC 。
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90° 。
∴∠DCA+∠DAC=90° 。∴∠EBC+∠DCA = 90°。
∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°。
∴AC⊥BH。
（2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90°，∠ABC = 45°，
∴∠BAD = 45°。
∴BD = AD。
∵BD = 8，∴AD =8。
又∵∠ADC = 90° ，AC =10 ， ∴由勾股定理，得 DC=AC–AD10–8 = 6。
∴BC=BD+DC=8+6=14。
又∵∠BGC = ∠ADC = 90° ，∠BCG =∠ACD，∴△BCG∽△ACD。
CGBCCG1442。∴CG = 。 DCAC6105
连结AE。∵AC是直径，∴∠AEC=90°
又∵ EG⊥AC，∴ △CEG∽△CAE。
CECG422。∴CE 10 = 84。 ACCE5
∴CE = 84= 2 21。
【考点】圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论。
（2）由∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出
DC2222
的长，从而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长。
15.（云南曲靖10分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°。
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形。
【答案】解：（1）∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°。
又∵OC⊥AB，且OC是⊙O的半径，
∴OC是AB的垂直平分线。∴OA＝OB，AC＝BC。
又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS）。∴∠BOC＝∠AOC＝60°。
（2）证：∵由（1）∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC是正三角形。∴OA＝AC＝CB＝BO。
∴四边形AOBC是菱形。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，半（直）径与弦的关系，全等三角形的判定和性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定。
【分析】（1）由同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理得出∠AOC＝60°，再由两三角形边都相等证出全等，从而对应角相等而求出∠BOC＝∠AOC＝60°。
（2）由△OAC和△OBC是正三角形即可证出。
16.（福建漳州10分）如图，AB是⊙O的直径，⌒AC＝⌒CD，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
【答案】解：（1）△AOC是等边三角形 。证明如下：
∵⌒AC＝⌒CD，∴∠AOC＝∠COD＝60° 。
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形 。
（2）证明：∵⌒AC＝⌒CD，∴OC⊥AD 。
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD 。
∴OC∥BD。
【考点】圆周角定理，等边三角形的判定，平行线的判定。
【分析】（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60°；
然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆
的半径知OA=OC，从而证得△AOC是等边三角形。
（2）利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD。