小练笔1
1．一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同．这个问题可以是 ．
2．(394+396+398+400+402)×0.04÷24×60= ．
3．某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车．则公共汽车每隔 分钟从各自的始发站发车．
4．某人现在坐上了公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷．如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢4，则追上小偷要 秒． 5
5．A 有若干本书，B 借走一半加一本，剩下的书C 借走一半加两本，再剩下的书D 借走一半加三本，最后A 还剩两本书．则A 原有 本书．
6．有若干只梨和若干个人．如果每人分6只梨，则多出12只；如果每人分7只梨，则少11只．那么共有 人．．
7．一个班有48个学生，每个人至少都有自行车或计算器中的一种．已知有算器，有
8. 教室里女生占
人.
7的学生有计121的学生两样都有，则有自行车的学生有 个． 449，后来又进来两名女生，这样使女生所占比例上升为，现在共有___919
小练笔2
9．如图1-1，一个长方形被两条血
线分成3个小长方形和一个正方形，其
中上方两个长方形面积之和为44cm ，
且图中各长方形边长都是整数，则正方
形的面积是______cm ．
10．一个1000位数的各位数字都是l ，
它被7除得的余数为 ．
11．3个连续自然数的最小公倍数是360，则这3个数是 ．
12．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，这样的四位数为 ．
13．如图1-2，将221111、、、、 2346
23157、、、、这9个数分别填在34121212图中的圆内，使每一横行、每一竖
行、两对角线斜行中3个数的和都相等．
14．如果n 是自然数，2表示n 个2相乘，称为2的n 次幂，例如 2=2×2×2．试用简便方法计算：1+2+2+2+ 2123100n 3．(要写出解题过程，答案可以用一个2的幂表示)
15．1可以写成3个，4个，5个，6个互不相同的分数之和．各写出一种这样的算式．
16．已知P 为正整数，P ，8P +1都是质数，证明8P －P+2也为质数．
17．将自然数1、2……15分成两组数A 和B ，求证：A 或者B 中，必有两个不同的数的和为完全平方数．
22
试题解答
一、填空题：
1．你是老实人吗?
如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样．所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗? 或者问你是骗子吗? 这样他们的回答才会一样． ．
2．199．
(394+396+398+400+402)×0.04÷24×60
=398×5×0.04+24×60 ‘
=1990×(0.04×60+24)
=1990×0.1=199．
3．8．
某人与去甲地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度加上他的速度，而他与去乙地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度减去他的速度．所以公共汽车的单位速度应该是
1⎛11⎫. +÷2= ⎪8⎝612⎭
所以公共汽车的发车时间的间隔是8分钟．
4．110．
小偷的速度是此人的一半，公共汽车的速度是此人的5倍，所以此人追上小偷需要的时间为lO×(5+O.5)÷(1－0.5)=110秒．
5．50．
用倒推法可以知道：D 借书之前有(2+3)×2=10本书，C 借书(10+2)×2=24本书，B 借书之前有(24+1)×2=50本书．
6．23．
补上11只梨就可以让每人有7只梨，也可以让每人有6只梨而且还剩下23只．所以正好有23人．
7．32．
有计算器的学生有48×7+12=28人，两样都有的学生有48÷4=12人，而每人又至少有其中一样，所以由容斥原理可以知道有自行车的学生有48+12-28=32人． 8．38．
男生的数目在整个过程中一直保持不变，而总人数增加了两 个，所以男生数目为2÷⎢1÷ 1-⎡
⎣⎛⎝9⎫4⎫⎤⎛⎪-1÷ 1-⎪⎥=20. 10⎭⎝19⎭⎦
9⎫⎪=38人. 19⎭所以现在的总人数为 20÷ 1-⎛
⎝
9．441．
因为23是质数，而（a+b）×c=23，所以a+b=23，c=1．
因为44=4×11=2×22，而(a+c)×b=44，所以a+c=22，b=2．所以a=21．所以正方形的面积是212=441．
10．5．
我们知道7整除111111，而1000除以6的余数是4，所以该数被7除的余数等于1111被7除的余数，为5．
11．8，9，10．
3个连续自然数的最大公约数要么是1，要么是2．而我们又知道3个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这3个数的乘积，所以所求的3个数的乘积为360或720．注 意到
6×7×8
所以这3个数是8、9、10．
12．2519、5039、7559 ．
由题目可以知道：这个数加上1以后可以被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除，所以这个数加上1以后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数的倍数，也就是2520的倍数．所以这个数有3种可能：
二、解答题：
111123157、、、、、、、、这9个数分别乘以12得到的[1**********]2
就是1到9这9个数，而由1到9这9个数填成的幻方大家是熟悉的，例如 13．解：
——4分
把这个幻方里的每一个数都除以12就得到我们需要的填法：
——8分
14．解：1+2+2+2+ +2
123123100 100=2×（1+2+2+2+ +2）－（1+2+2+2+ +2123100）
——4分
=(2+2+2+2+ 21234101) －（1+21+22+23+ +2100）
=2101-1.
——8分
15．解：只要注意到以下两个式子： 1=11111+和=+ 22236
——4分
我们就可以得到以下的式子：
16解：如果 P≠3，则3不——8分 整除P ．因为8P 2+1=8P 2+9-8=8(P 2-1) +9=8(P -1)(P +1) +9．因为3不整除P ，所以3能整除(P-1)(P+1)，于是3整除8P +1．
——4分
但是8P +1却大于3，所以它不是质数，矛盾! 所以P=3．于是8P -P +2=71)+2=7l是质数．
——8分
17．解：注意到1+3=4，3+6=9，6+10=16，10+15=25，15+1=16,也就是说l 、3、6、10、15、1这6个数中任何两个相邻的数的和都是完全平方数．
——4分
而这6个数里面实际上只有5个不同的数，所以在把它们分成两组的时候必然把其中两个相邻的数分到了同一个组里面，从而这个组里面有两个数的和是完全平方数． ——8分
222
小练笔1
1．一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同．这个问题可以是 ．
2．(394+396+398+400+402)×0.04÷24×60= ．
3．某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车．则公共汽车每隔 分钟从各自的始发站发车．
4．某人现在坐上了公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷．如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢4，则追上小偷要 秒． 5
5．A 有若干本书，B 借走一半加一本，剩下的书C 借走一半加两本，再剩下的书D 借走一半加三本，最后A 还剩两本书．则A 原有 本书．
6．有若干只梨和若干个人．如果每人分6只梨，则多出12只；如果每人分7只梨，则少11只．那么共有 人．．
7．一个班有48个学生，每个人至少都有自行车或计算器中的一种．已知有算器，有
8. 教室里女生占
人.
7的学生有计121的学生两样都有，则有自行车的学生有 个． 449，后来又进来两名女生，这样使女生所占比例上升为，现在共有___919
小练笔2
9．如图1-1，一个长方形被两条血
线分成3个小长方形和一个正方形，其
中上方两个长方形面积之和为44cm ，
且图中各长方形边长都是整数，则正方
形的面积是______cm ．
10．一个1000位数的各位数字都是l ，
它被7除得的余数为 ．
11．3个连续自然数的最小公倍数是360，则这3个数是 ．
12．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，这样的四位数为 ．
13．如图1-2，将221111、、、、 2346
23157、、、、这9个数分别填在34121212图中的圆内，使每一横行、每一竖
行、两对角线斜行中3个数的和都相等．
14．如果n 是自然数，2表示n 个2相乘，称为2的n 次幂，例如 2=2×2×2．试用简便方法计算：1+2+2+2+ 2123100n 3．(要写出解题过程，答案可以用一个2的幂表示)
15．1可以写成3个，4个，5个，6个互不相同的分数之和．各写出一种这样的算式．
16．已知P 为正整数，P ，8P +1都是质数，证明8P －P+2也为质数．
17．将自然数1、2……15分成两组数A 和B ，求证：A 或者B 中，必有两个不同的数的和为完全平方数．
22
试题解答
一、填空题：
1．你是老实人吗?
如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样．所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗? 或者问你是骗子吗? 这样他们的回答才会一样． ．
2．199．
(394+396+398+400+402)×0.04÷24×60
=398×5×0.04+24×60 ‘
=1990×(0.04×60+24)
=1990×0.1=199．
3．8．
某人与去甲地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度加上他的速度，而他与去乙地的公共汽车的相对速度是公共汽车的速度减去他的速度．所以公共汽车的单位速度应该是
1⎛11⎫. +÷2= ⎪8⎝612⎭
所以公共汽车的发车时间的间隔是8分钟．
4．110．
小偷的速度是此人的一半，公共汽车的速度是此人的5倍，所以此人追上小偷需要的时间为lO×(5+O.5)÷(1－0.5)=110秒．
5．50．
用倒推法可以知道：D 借书之前有(2+3)×2=10本书，C 借书(10+2)×2=24本书，B 借书之前有(24+1)×2=50本书．
6．23．
补上11只梨就可以让每人有7只梨，也可以让每人有6只梨而且还剩下23只．所以正好有23人．
7．32．
有计算器的学生有48×7+12=28人，两样都有的学生有48÷4=12人，而每人又至少有其中一样，所以由容斥原理可以知道有自行车的学生有48+12-28=32人． 8．38．
男生的数目在整个过程中一直保持不变，而总人数增加了两 个，所以男生数目为2÷⎢1÷ 1-⎡
⎣⎛⎝9⎫4⎫⎤⎛⎪-1÷ 1-⎪⎥=20. 10⎭⎝19⎭⎦
9⎫⎪=38人. 19⎭所以现在的总人数为 20÷ 1-⎛
⎝
9．441．
因为23是质数，而（a+b）×c=23，所以a+b=23，c=1．
因为44=4×11=2×22，而(a+c)×b=44，所以a+c=22，b=2．所以a=21．所以正方形的面积是212=441．
10．5．
我们知道7整除111111，而1000除以6的余数是4，所以该数被7除的余数等于1111被7除的余数，为5．
11．8，9，10．
3个连续自然数的最大公约数要么是1，要么是2．而我们又知道3个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这3个数的乘积，所以所求的3个数的乘积为360或720．注 意到
6×7×8
所以这3个数是8、9、10．
12．2519、5039、7559 ．
由题目可以知道：这个数加上1以后可以被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除，所以这个数加上1以后是2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数的倍数，也就是2520的倍数．所以这个数有3种可能：
二、解答题：
111123157、、、、、、、、这9个数分别乘以12得到的[1**********]2
就是1到9这9个数，而由1到9这9个数填成的幻方大家是熟悉的，例如 13．解：
——4分
把这个幻方里的每一个数都除以12就得到我们需要的填法：
——8分
14．解：1+2+2+2+ +2
123123100 100=2×（1+2+2+2+ +2）－（1+2+2+2+ +2123100）
——4分
=(2+2+2+2+ 21234101) －（1+21+22+23+ +2100）
=2101-1.
——8分
15．解：只要注意到以下两个式子： 1=11111+和=+ 22236
——4分
我们就可以得到以下的式子：
16解：如果 P≠3，则3不——8分 整除P ．因为8P 2+1=8P 2+9-8=8(P 2-1) +9=8(P -1)(P +1) +9．因为3不整除P ，所以3能整除(P-1)(P+1)，于是3整除8P +1．
——4分
但是8P +1却大于3，所以它不是质数，矛盾! 所以P=3．于是8P -P +2=71)+2=7l是质数．
——8分
17．解：注意到1+3=4，3+6=9，6+10=16，10+15=25，15+1=16,也就是说l 、3、6、10、15、1这6个数中任何两个相邻的数的和都是完全平方数．
——4分
而这6个数里面实际上只有5个不同的数，所以在把它们分成两组的时候必然把其中两个相邻的数分到了同一个组里面，从而这个组里面有两个数的和是完全平方数． ——8分
222