2015年杭州市各类高中招生文化考试
数学——解析版
一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 统计显示，2013年底杭州各类高中在校学生人数是11.4万人，将11.4万人用科学记数法表示应为（ ）
A. 11.4⨯10 B. 1.14⨯10 C. 1.14⨯10 D. 0.114⨯10 【答案】C.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，
∵11.4万=114 000一共6位，∴11.4万=114 000=1.14×105故选C.
2. 下列计算正确的是( ) A . 23+24=27 【答案】C.
【考点】有理数的计算.
【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：
A. 23+24=8+16=24≠27，选项错误； B. 23-24=16-24=-8≠2-1，选项错误； C. 23⨯24=23+4=27，选项正确； D. 23÷24=23-4=2-1≠21，选项错误. 故选C.
-1
4456
n
.
B . 23−24=2 C . 23×24=27 D . 23÷24=21
3. 下列图形是中心对称图形的是(
)
【答案】A ．
【考点】中心对称图形．
A . B . C . D .
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，
A 、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形； B 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； C 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； D 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形． 故选A ．
4. 下列各式的变形中，正确的是( )
A . (−x −y )(−x +y )=x 2−y 2 C . x 2−4x +3=(x −2) 2+1
B .
D . x ÷(x 2+x )=+1
11-x
-x = x x
【答案】A ．
【考点】代数式的变形.
【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：
A. (-x -y )(-x +y ) =(x +y )(x -y ) =x 2-y 2，选项正确；
11-x 21-x
≠B. -x =，选项错误；
x x x
C. x 2-4x +3=x 2-4x +4-1=(x -2) 2-1≠(x -2) 2+1，选项错误； D. x ÷x 2+x =故选A ．
()
x 11
=≠+1，选项错误. x 2+x x +1x
5. 圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，则∠C =( )
A . 20°
B . 30°
C . 70°
D . 110°
【答案】D ．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C =110°. 故选D ．
6.
若k
A . 6 【答案】D ．
【考点】估计无理数的大小.
【分析】
∵81
∴k =9. 故选D ．
7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程( )
A . 54−x =20%×108 C . 54+x =20%×162 【答案】B.
【考点】由实际问题列方程.
【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为54-x 公顷，林地面积为108+x 公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即54-x =20%⨯(108+x ). 故选B.
B . 54−x =20%×(108+x ) D . 108−x =20%(54+x )
B . 7
C . 8
D . 9
8. 如图是某地2月18日到23日PM 2. 5浓度和空气质量指数AQI 的统计图(当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”) ，由图可得下列说法：①18日的PM 2. 5浓度最低；②这六天中PM 2. 5浓度的中位数是112µg /cm 2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI 与PM 2. 5浓度有关，其中正确的说法是( )
A . ①②③
B . ①②④
C . ①③④
D . ②③④
【答案】C.
【考点】折线统计图；中位数.
【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：
①18日的PM 2.5浓度最低，原说法正确；
②这六天中PM 2.5浓度按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数
是第3，4个数的平均数，为
67+92
=79.5µg /cm 2，原说法错误； 2
③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确； ④空气质量指数AQI 与PM 2.5浓度有关，原说法正确. ∴正确的说法是①③④. 故选C.
9. 如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( )
A .
1 4
B .
2 5
C .
2 3
D .
5 9
【答案】B.
【考点】概率；正六边形的性质.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长
AC 、AE 、BD 、BF 、CE 、DF ，∴所求概率为
故选B.
第9题
62=. 155
10. 设二次函数y 1=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0，x 1≠x 2) 的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0) 的图象交于点(x 1，0) ，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( )
A . a (x 1−x 2)=d 【答案】B.
【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象经过点(x 1， 0) ，
∴0=dx 1+e ⇒e =-dx 1. ∴y 2=dx -dx 1=d (x -x 1).
∴y =y 2+y 1=a (x -x 1)(x -x 2) +d (x -x 1)=(x -x 1)[a (x -x 2) +d ].
又∵二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0，x 1≠x 2) 的图象与一次函数
B . a (x 2−x 1)=d C . a (x 1−x 2) 2=d
D . a (x 1+x 2) 2=d
0) ，函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点， y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1，
∴函数y =y 2+y 1是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即y =y 2+y 1=a (x -x 1). ∴(x -x 1)[a (x -x 2) +d ]=a (x -x 1)⇒a (x -x 2) +d =a (x -x 1)..
令x =x 1，得a (x 1-x 2) +d =a (x 1-x 1)，即a (x 1-x 2) +d =0⇒a (x 2-x 1) -d =0. 故选B.
二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。
11. 数据1，2，3，5，5的众数是___________，平均数是_______________ 【答案】5；3.2. 【考点】众数；平均数
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5.
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是
2
2
1+2+3+5+516=. 55
12. 分解因式：m 3n −4mn =____________________________ 【答案】mn (m +2)(m -2).
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式mn 后继续应用平方差公式分解即可：
m 3n -4mn =mn (m 2-4)=mn (m +2)(m -2).
13. 函数y =x 2+2x +1，当y =0时，x =_______________；当1
【分析】函数y =x 2+2x +1，当y =0时，即x 2+2x +1=0，解得x =-1.
∵y =x 2+2x +1=(x +1)，
∴二次函数开口上，对称轴是x =-1，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大. ∴当1
14. 如图，点A ，C ，F ，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB ，FG ∥CD ，若∠ECA 为α度，则∠GFB 为_________________________度(用关于α的代数式表示) 【答案】90-
D
C B
2
α
2
.
A
C F
第14题
B
A
【考点】平角定义；平行的性质.
【分析】∵∠ECA =α度，∴∠ECB =180-α度.
∵CD 平分∠ECB ，∴∠DCB =
180-αα
=90-度. 22
∵FG ∥CD ，∴∠GFB =∠DCB =90-
α
2
度.
15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P (1，t ) 在反比例函数y =的图象上，过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP =OP ，若反比例函数y =的图象经过点Q ，则k =____________________________
【答案】2+
或2-【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】∵点P (1，t ) 在反比例函数y =
∴OP
∵过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP =OP ， ∴
Q 1+2或
Q 12. ∵反比例函数y =
22
的图象上，∴t ==2. ∴P (1，2). x 1
()
()
k
的图象经过点Q ， x
∴当
Q 1
2时，k =1+⋅2=2+
Q 1-
2时，k =1⋅2=2-
16. 如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD =_______________________________
【答案】2
4+【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C=30°.
如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平
行四边形：
如答图1，剪痕BM 、BN ，过点N 作NH ⊥BM 于点H ， 易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°. 设BN =DN =x ，则NH =
()
(
()(
A
第16题
1
x . 2
根据题意，得x ⋅x =2⇒x =2，∴BN =DN =2， NH =1.
易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt ∆BCN 中，CN
12
∴CD
=2+.
如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ， 易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°. 设BC =CE =x ，则BH =
1
x . 2
根据题意，得x ⋅x =2⇒x =2，∴BC =CE =2， BH =1. 在Rt ∆BCH 中，CH
EH
=2易证∆BCD ∽∆EHB ，∴
12
CD CD BC
=，即
=
1HB EH ∴
CD =
22+
=4+.
综上所述，
CD =2+或4+
三．全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自
己能写出的解答写出一部分也可以。 17. （本小题满分6分）
1. 杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃
圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图 （1）试求出m 的值
（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数
橡塑类22.39%玻璃类0.9%其他类7.55%金属类0.15%
【答案】解：（1）m =100-(22.39+0.9+7.55+0.15)=69.01.
（2）∵200⨯0.9%=1.8，
∴其中混杂着的玻璃类垃圾约为1.8吨.
【考点】扇形统计图；用样本估计总体.
【分析】
（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可.
（2）根据用样本估计总体的观点，用200⨯0.9%计算即可.
厨余类m %
18. （本小题满分8分）
如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，AM =2MB ，AN =2NC ，求证：DM =DN
B
N C
【答案】证明：∵AM =2MB ，AN =2NC ，∴AM =
又∵AB =AC ，∴AM =AN .
22
AB ，AN =AC . 33
∵AD 平分∠BAC ，∴∠MAD =∠NAD . 又∵AD =AD ，∴∆AMD ≌∆AND (SAS ). ∴DM =DN .
【考点】全等三角形的判定和性质.
【分析】要证DM =DN 只要∆AMD ≌∆AND 即可，两三角形已有一条公共边，由AD 平分∠BAC ，可得∠MAD =∠NAD ，只要再有一角对应相等或AM =AN 即可，而AM =AN 易由AB =AC ，AM =2MB ，AN =2NC 证得.
19. （本小题满分8分）
如图1，⊙O 的半径为r (r >0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP =r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”，如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长.
图1
图2
【答案】解：∵⊙O 的半径为4，点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，点B 在⊙O 上， OA =8，
∴OA '⋅OA =42, OB '⋅OB =42，即OA '⋅8=42, OB '⋅4=42. ∴OA '=2, OB '=4. ∴点B 的反演点B ′与点B 重合. 如答图，设OA 交⊙O 于点M ，连接B ′M ， ∵OM=OB′，∠BOA =60°，∴△O B′M 是等边三角形. ∵OA '=A 'M =2，∴B′M ⊥OM .
∴在Rt ∆
OB ' M 中，由勾股定理得A 'B '=
【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
【分析】先根据定义求出OA '=2, OB '=4，再作辅助线：连接点B ′与OA 和⊙O 的交点M ，由已知∠BOA =60°判定△O B′M 是等边三角形，从而在Rt ∆OB ' M 中，由勾股定理求得A ′B ′的长.
20. （本小题满分10分）
设函数y =(x −1)[(k −1) x +(k −3)]( k是常数)
（1）当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象
（2）根据图象，写出你发现的一条结论
（3）将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值
【答案】解：（1）作图如图：
（2）函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象都经过点（1，0）. （答
案不唯一）
（3）∵y 2=(x -1) 2，
∴将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数
y 3为y 2=(x +3) 2-2.
∴当x =-3时，函数y 3的最小值为-2.
【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.
【分析】（1）当k =0时，函数为y =(x -1) (-x -3)=-(x -1) (x +3)，据此作图.
（2）答案不唯一，如：
函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象都经过点；
函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象总与x 轴交于（1，0）； 当k 取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称； 等等.
（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移
后的表达式，根据二次函数的性质求出最值.
21. （本小题满分10分）
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c ) 表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3) 表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a
单位长度
【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），
（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a =2, b =3, c =4时满足a
如答图的∆ABC 即为满足条件的三角形
.
【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a =2, b =3, c =4，再作图：
①作射线AB ，且取AB =4；
②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点
C ；
③连接AC 、BC .
则∆ABC 即为满足条件的三角形.
22. （本小题满分12分）
如图，在△ABC 中(BC >AC ) ，∠ACB =90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E （1）若
AD 1
=，AE =2，求EC 的长 DB 3
（2）设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD 于点P ，问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由
B
【答案】解：（1）∵∠ACB =90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC .
AD AE
. =
DB EC AD 121∵=，AE =2，∴=，解得EC =6. DB 3EC 3
∴
（2）①若∠CFG 1=∠ECD ，此时线段CP 1为△CFG 1的斜边FG 1上的中线. 证
明如下：
∵∠CFG 1=∠ECD ，∴∠CFG 1=∠FCP 1.
又∵∠CFG 1+∠CG 1F =90︒，∴∠FCP 1+∠PCG 11=90︒. ∴∠CG 1F =∠PCG 11. ∴CP 1=G 1P 1.
又∵∠CFG 1=∠FCP 1，∴CP 1=FP 1. ∴CP 1=FP 1=G 1P 1. ∴线段CP 1为△CFG 1的斜边FG 1上的中线.
②若∠CFG 2=∠EDC ，此时线段CP 2为△CFG 2的斜边FG 2上的高线. 证
明如下：
∵∠CFG 2=∠EDC ，
又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC =90︒. ∴∠ECD +∠EDC =90︒. ∴∠ECD +∠CFG 2=∠ECD +∠EDC =90︒. ∴CP 2⊥FG 2. ∴线段CP 2为△CFG 2的斜边FG 2上的高线.
③当CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中
线.
【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.
【分析】（1）证明DE ∥BC ，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.
F G =∠E C D （2）分∠C
即可.
，∠CFG =∠EDC 和CD 为∠ACB 的平分线三种情况讨论
23. （本小题满分12分）
方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t (h ) ，甲乙两人之间的距离为y (km ) ，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； （2）当20
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇
.
图1
3
)
图2
【答案】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y =k 1t +b 1，
⎧3
k +b =0⎪⎧k 1=40⎪211⎛3⎫⎛7100⎫
∵B , 0⎪, C , ，∴，解得. ⎨⎨⎪
2337100b =-60⎝⎭⎝⎭⎩1⎪k +b =
11⎪3⎩3
∴线段BC 所在直线的函数表达式为y =40t -60. 设线段CD 所在直线的函数表达式为y =k 2t +b 2，
100⎧7
⎧k 2=-20⎪k 2+b 2=⎛7100⎫
, D 4, 0∵C , ，∴，解得. 33()⎨⎨⎪
b =80⎝33⎭⎩2⎪⎩4k 1+b 1=0
∴线段BC 所在直线的函数表达式为y =-20t +80.
（2）∵线段OA 所在直线的函数表达式为y =20t (0≤t ≤1)，∴点A 的纵坐标
为20.
当20
95
或
95
或
∴当20
（3）S 甲=60t -60(1≤t
（4）当t =
4800时，S 乙=， 33
M
地的路程S 丙与时间t 的函数关系式为
∴丙距
S 丙=-40t +80(0≤t ≤2).
联
立
0⎧S =6t -
⎨
0⎩S =-4t +
6
，解
80
得
S 甲=6
0t -(6与0≤)t 1
7
S 丙=-40t +80(0≤t ≤2)图象交点的横坐标为，
5
7
∴丙出发后h 与甲相遇
.
5
【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.
【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC ，CD 所在直线的函数表达式.
（2）求出点A 的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可. （3）求函数表达式画图即可.
（4）求出S 丙与时间t 的函数关系式，与S 甲=60t -60(1≤t
2015年杭州市各类高中招生文化考试
数学——解析版
一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 统计显示，2013年底杭州各类高中在校学生人数是11.4万人，将11.4万人用科学记数法表示应为（ ）
A. 11.4⨯10 B. 1.14⨯10 C. 1.14⨯10 D. 0.114⨯10 【答案】C.
【考点】科学记数法.
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，
∵11.4万=114 000一共6位，∴11.4万=114 000=1.14×105故选C.
2. 下列计算正确的是( ) A . 23+24=27 【答案】C.
【考点】有理数的计算.
【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：
A. 23+24=8+16=24≠27，选项错误； B. 23-24=16-24=-8≠2-1，选项错误； C. 23⨯24=23+4=27，选项正确； D. 23÷24=23-4=2-1≠21，选项错误. 故选C.
-1
4456
n
.
B . 23−24=2 C . 23×24=27 D . 23÷24=21
3. 下列图形是中心对称图形的是(
)
【答案】A ．
【考点】中心对称图形．
A . B . C . D .
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，
A 、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形； B 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； C 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； D 、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形． 故选A ．
4. 下列各式的变形中，正确的是( )
A . (−x −y )(−x +y )=x 2−y 2 C . x 2−4x +3=(x −2) 2+1
B .
D . x ÷(x 2+x )=+1
11-x
-x = x x
【答案】A ．
【考点】代数式的变形.
【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：
A. (-x -y )(-x +y ) =(x +y )(x -y ) =x 2-y 2，选项正确；
11-x 21-x
≠B. -x =，选项错误；
x x x
C. x 2-4x +3=x 2-4x +4-1=(x -2) 2-1≠(x -2) 2+1，选项错误； D. x ÷x 2+x =故选A ．
()
x 11
=≠+1，选项错误. x 2+x x +1x
5. 圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，则∠C =( )
A . 20°
B . 30°
C . 70°
D . 110°
【答案】D ．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C =110°. 故选D ．
6.
若k
A . 6 【答案】D ．
【考点】估计无理数的大小.
【分析】
∵81
∴k =9. 故选D ．
7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程( )
A . 54−x =20%×108 C . 54+x =20%×162 【答案】B.
【考点】由实际问题列方程.
【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为54-x 公顷，林地面积为108+x 公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即54-x =20%⨯(108+x ). 故选B.
B . 54−x =20%×(108+x ) D . 108−x =20%(54+x )
B . 7
C . 8
D . 9
8. 如图是某地2月18日到23日PM 2. 5浓度和空气质量指数AQI 的统计图(当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”) ，由图可得下列说法：①18日的PM 2. 5浓度最低；②这六天中PM 2. 5浓度的中位数是112µg /cm 2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI 与PM 2. 5浓度有关，其中正确的说法是( )
A . ①②③
B . ①②④
C . ①③④
D . ②③④
【答案】C.
【考点】折线统计图；中位数.
【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：
①18日的PM 2.5浓度最低，原说法正确；
②这六天中PM 2.5浓度按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数
是第3，4个数的平均数，为
67+92
=79.5µg /cm 2，原说法错误； 2
③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确； ④空气质量指数AQI 与PM 2.5浓度有关，原说法正确. ∴正确的说法是①③④. 故选C.
9. 如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( )
A .
1 4
B .
2 5
C .
2 3
D .
5 9
【答案】B.
【考点】概率；正六边形的性质.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长
AC 、AE 、BD 、BF 、CE 、DF ，∴所求概率为
故选B.
第9题
62=. 155
10. 设二次函数y 1=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0，x 1≠x 2) 的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0) 的图象交于点(x 1，0) ，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( )
A . a (x 1−x 2)=d 【答案】B.
【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象经过点(x 1， 0) ，
∴0=dx 1+e ⇒e =-dx 1. ∴y 2=dx -dx 1=d (x -x 1).
∴y =y 2+y 1=a (x -x 1)(x -x 2) +d (x -x 1)=(x -x 1)[a (x -x 2) +d ].
又∵二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0，x 1≠x 2) 的图象与一次函数
B . a (x 2−x 1)=d C . a (x 1−x 2) 2=d
D . a (x 1+x 2) 2=d
0) ，函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点， y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1，
∴函数y =y 2+y 1是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即y =y 2+y 1=a (x -x 1). ∴(x -x 1)[a (x -x 2) +d ]=a (x -x 1)⇒a (x -x 2) +d =a (x -x 1)..
令x =x 1，得a (x 1-x 2) +d =a (x 1-x 1)，即a (x 1-x 2) +d =0⇒a (x 2-x 1) -d =0. 故选B.
二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。
11. 数据1，2，3，5，5的众数是___________，平均数是_______________ 【答案】5；3.2. 【考点】众数；平均数
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5.
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是
2
2
1+2+3+5+516=. 55
12. 分解因式：m 3n −4mn =____________________________ 【答案】mn (m +2)(m -2).
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式mn 后继续应用平方差公式分解即可：
m 3n -4mn =mn (m 2-4)=mn (m +2)(m -2).
13. 函数y =x 2+2x +1，当y =0时，x =_______________；当1
【分析】函数y =x 2+2x +1，当y =0时，即x 2+2x +1=0，解得x =-1.
∵y =x 2+2x +1=(x +1)，
∴二次函数开口上，对称轴是x =-1，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大. ∴当1
14. 如图，点A ，C ，F ，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB ，FG ∥CD ，若∠ECA 为α度，则∠GFB 为_________________________度(用关于α的代数式表示) 【答案】90-
D
C B
2
α
2
.
A
C F
第14题
B
A
【考点】平角定义；平行的性质.
【分析】∵∠ECA =α度，∴∠ECB =180-α度.
∵CD 平分∠ECB ，∴∠DCB =
180-αα
=90-度. 22
∵FG ∥CD ，∴∠GFB =∠DCB =90-
α
2
度.
15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P (1，t ) 在反比例函数y =的图象上，过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP =OP ，若反比例函数y =的图象经过点Q ，则k =____________________________
【答案】2+
或2-【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】∵点P (1，t ) 在反比例函数y =
∴OP
∵过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP =OP ， ∴
Q 1+2或
Q 12. ∵反比例函数y =
22
的图象上，∴t ==2. ∴P (1，2). x 1
()
()
k
的图象经过点Q ， x
∴当
Q 1
2时，k =1+⋅2=2+
Q 1-
2时，k =1⋅2=2-
16. 如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD =_______________________________
【答案】2
4+【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C=30°.
如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平
行四边形：
如答图1，剪痕BM 、BN ，过点N 作NH ⊥BM 于点H ， 易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°. 设BN =DN =x ，则NH =
()
(
()(
A
第16题
1
x . 2
根据题意，得x ⋅x =2⇒x =2，∴BN =DN =2， NH =1.
易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt ∆BCN 中，CN
12
∴CD
=2+.
如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ， 易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°. 设BC =CE =x ，则BH =
1
x . 2
根据题意，得x ⋅x =2⇒x =2，∴BC =CE =2， BH =1. 在Rt ∆BCH 中，CH
EH
=2易证∆BCD ∽∆EHB ，∴
12
CD CD BC
=，即
=
1HB EH ∴
CD =
22+
=4+.
综上所述，
CD =2+或4+
三．全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自
己能写出的解答写出一部分也可以。 17. （本小题满分6分）
1. 杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃
圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图 （1）试求出m 的值
（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数
橡塑类22.39%玻璃类0.9%其他类7.55%金属类0.15%
【答案】解：（1）m =100-(22.39+0.9+7.55+0.15)=69.01.
（2）∵200⨯0.9%=1.8，
∴其中混杂着的玻璃类垃圾约为1.8吨.
【考点】扇形统计图；用样本估计总体.
【分析】
（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可.
（2）根据用样本估计总体的观点，用200⨯0.9%计算即可.
厨余类m %
18. （本小题满分8分）
如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，AM =2MB ，AN =2NC ，求证：DM =DN
B
N C
【答案】证明：∵AM =2MB ，AN =2NC ，∴AM =
又∵AB =AC ，∴AM =AN .
22
AB ，AN =AC . 33
∵AD 平分∠BAC ，∴∠MAD =∠NAD . 又∵AD =AD ，∴∆AMD ≌∆AND (SAS ). ∴DM =DN .
【考点】全等三角形的判定和性质.
【分析】要证DM =DN 只要∆AMD ≌∆AND 即可，两三角形已有一条公共边，由AD 平分∠BAC ，可得∠MAD =∠NAD ，只要再有一角对应相等或AM =AN 即可，而AM =AN 易由AB =AC ，AM =2MB ，AN =2NC 证得.
19. （本小题满分8分）
如图1，⊙O 的半径为r (r >0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP =r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”，如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长.
图1
图2
【答案】解：∵⊙O 的半径为4，点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，点B 在⊙O 上， OA =8，
∴OA '⋅OA =42, OB '⋅OB =42，即OA '⋅8=42, OB '⋅4=42. ∴OA '=2, OB '=4. ∴点B 的反演点B ′与点B 重合. 如答图，设OA 交⊙O 于点M ，连接B ′M ， ∵OM=OB′，∠BOA =60°，∴△O B′M 是等边三角形. ∵OA '=A 'M =2，∴B′M ⊥OM .
∴在Rt ∆
OB ' M 中，由勾股定理得A 'B '=
【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
【分析】先根据定义求出OA '=2, OB '=4，再作辅助线：连接点B ′与OA 和⊙O 的交点M ，由已知∠BOA =60°判定△O B′M 是等边三角形，从而在Rt ∆OB ' M 中，由勾股定理求得A ′B ′的长.
20. （本小题满分10分）
设函数y =(x −1)[(k −1) x +(k −3)]( k是常数)
（1）当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象
（2）根据图象，写出你发现的一条结论
（3）将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值
【答案】解：（1）作图如图：
（2）函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象都经过点（1，0）. （答
案不唯一）
（3）∵y 2=(x -1) 2，
∴将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数
y 3为y 2=(x +3) 2-2.
∴当x =-3时，函数y 3的最小值为-2.
【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.
【分析】（1）当k =0时，函数为y =(x -1) (-x -3)=-(x -1) (x +3)，据此作图.
（2）答案不唯一，如：
函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象都经过点；
函数y =(x -1)[(k -1) x +(k -3)] (k 是常数) 的图象总与x 轴交于（1，0）； 当k 取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称； 等等.
（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移
后的表达式，根据二次函数的性质求出最值.
21. （本小题满分10分）
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c ) 表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3) 表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a
单位长度
【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），
（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a =2, b =3, c =4时满足a
如答图的∆ABC 即为满足条件的三角形
.
【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a =2, b =3, c =4，再作图：
①作射线AB ，且取AB =4；
②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点
C ；
③连接AC 、BC .
则∆ABC 即为满足条件的三角形.
22. （本小题满分12分）
如图，在△ABC 中(BC >AC ) ，∠ACB =90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E （1）若
AD 1
=，AE =2，求EC 的长 DB 3
（2）设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD 于点P ，问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由
B
【答案】解：（1）∵∠ACB =90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC .
AD AE
. =
DB EC AD 121∵=，AE =2，∴=，解得EC =6. DB 3EC 3
∴
（2）①若∠CFG 1=∠ECD ，此时线段CP 1为△CFG 1的斜边FG 1上的中线. 证
明如下：
∵∠CFG 1=∠ECD ，∴∠CFG 1=∠FCP 1.
又∵∠CFG 1+∠CG 1F =90︒，∴∠FCP 1+∠PCG 11=90︒. ∴∠CG 1F =∠PCG 11. ∴CP 1=G 1P 1.
又∵∠CFG 1=∠FCP 1，∴CP 1=FP 1. ∴CP 1=FP 1=G 1P 1. ∴线段CP 1为△CFG 1的斜边FG 1上的中线.
②若∠CFG 2=∠EDC ，此时线段CP 2为△CFG 2的斜边FG 2上的高线. 证
明如下：
∵∠CFG 2=∠EDC ，
又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC =90︒. ∴∠ECD +∠EDC =90︒. ∴∠ECD +∠CFG 2=∠ECD +∠EDC =90︒. ∴CP 2⊥FG 2. ∴线段CP 2为△CFG 2的斜边FG 2上的高线.
③当CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中
线.
【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.
【分析】（1）证明DE ∥BC ，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.
F G =∠E C D （2）分∠C
即可.
，∠CFG =∠EDC 和CD 为∠ACB 的平分线三种情况讨论
23. （本小题满分12分）
方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t (h ) ，甲乙两人之间的距离为y (km ) ，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； （2）当20
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇
.
图1
3
)
图2
【答案】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y =k 1t +b 1，
⎧3
k +b =0⎪⎧k 1=40⎪211⎛3⎫⎛7100⎫
∵B , 0⎪, C , ，∴，解得. ⎨⎨⎪
2337100b =-60⎝⎭⎝⎭⎩1⎪k +b =
11⎪3⎩3
∴线段BC 所在直线的函数表达式为y =40t -60. 设线段CD 所在直线的函数表达式为y =k 2t +b 2，
100⎧7
⎧k 2=-20⎪k 2+b 2=⎛7100⎫
, D 4, 0∵C , ，∴，解得. 33()⎨⎨⎪
b =80⎝33⎭⎩2⎪⎩4k 1+b 1=0
∴线段BC 所在直线的函数表达式为y =-20t +80.
（2）∵线段OA 所在直线的函数表达式为y =20t (0≤t ≤1)，∴点A 的纵坐标
为20.
当20
95
或
95
或
∴当20
（3）S 甲=60t -60(1≤t
（4）当t =
4800时，S 乙=， 33
M
地的路程S 丙与时间t 的函数关系式为
∴丙距
S 丙=-40t +80(0≤t ≤2).
联
立
0⎧S =6t -
⎨
0⎩S =-4t +
6
，解
80
得
S 甲=6
0t -(6与0≤)t 1
7
S 丙=-40t +80(0≤t ≤2)图象交点的横坐标为，
5
7
∴丙出发后h 与甲相遇
.
5
【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.
【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC ，CD 所在直线的函数表达式.
（2）求出点A 的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可. （3）求函数表达式画图即可.
（4）求出S 丙与时间t 的函数关系式，与S 甲=60t -60(1≤t