有理数的加法减法讲解
1. 解读有理数的减法法则
有理数的减法法则是进行有理数减法运算的依据，是有理数四则运算的重要组成部分，在学习中要注意以下几点：
一、全面、正确理解“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的含义
有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成。学习时注意理解以下几点：
（1）弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3-5中，减数是5而不是-5，运用法则转化为加法运算后是：3-5=3+（-5）；同样地，在3-（-5）中，减数是-5而不是5，转化为加法运算后是：3-（-5）=3+（+5）或3+5；
（2）将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变。例如，运用法则把（-6）-（-8）转化为加法运算时，被减数-6不变，减数-8改变符号为+8（或8），减号“-”转化为加号“+”，即（-6）-（-8）=（-6）+（+8），不要错误地做成（+6）+（+8）；
（3）并不是所有的减法运算都要转化为加法运算。例如，计算15-5时，运用小学里学过的方法可以直截了当地得出结果为10，而运用法则计算则要先转化加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15-5=15+（-5）=10，如此运算反而显得拖泥带水，婆婆妈妈；
（4）一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转加法运算。例如，0-（-2）=0+2=2；3-（-3）=3+3=6；（-2）-（-5）=（-2）+5=3；（-6）-6=（-6）+（-6）=-12；3-8=3+（-8）=-5；
有理数减法法则简洁明了，它主要是针对负数的减法运算，对于符合小学里两数相减的运算要注意仍然用小学的法则进行，切忌牵强附会造成不必要的麻烦。
二、了解两数差的几何意义
有理数的减法运算实际上是求两数差的运算，在数轴上，设点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，则点A 到点B 之间的距离就是|a-b|，这就是两数差的几何意义。例如，数轴上表示3的点A 和表示-5的点B 之间的距离显然是8个单位长度，这里的8恰好是3与（-5）的差，即3-（-5）；又如，数轴上表示8和5的点之间的距离是3个单位长度，这里的3也恰好是8与5的差，即8-5。
两数差的几何意义是求两地间的距离以及解决许多大小问题最常用的方法之一，是数形结合思想的重要应用。
例1：计算：（1）（-15）-（-12）；（2）18-23；（3）25-（-25）；（4）96-69。 分析（1）这里减数是-12，根据法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”把减法化为加法时，被减数-15不变，减数-12变为它的相反数12，得（-15）-（-12）=（-15）
+12=-3；
（2）这里的减数是23，把“18-”化为“18+”时，减数23要变为它的相反数-23，故18-23=18+（-23）=-5。这里要注意加上负23不要写成+-23，-23应加上一个括号，写成+（-23）；
（3）这里的被减数是25，减数是-25，先把减法运算转化为加法运算，得25-（-25）=25+25=50。注意：不要因为忽视符号而错误地得出0；
（4）这是小学里的减法，不必转化为加法后再计算，直接用96减去69得27就可以了。 例2 列式计算：（1）3比-2大多少？（2）气温从3℃下降6℃后是多少？（3）数轴上表示-28的点到表示32的点之间的距离是多少？
分析：（1）3比-2大多少就是3减去-2的差，即3-（-2）=3+2=5，所以3比-2大5；
（2）气温从3℃下降6℃后的温度就是3减去6的差，即3-6=3+（-6）=-3（℃），因此，气温从3℃下降6℃后的温度是-3℃，即零下3℃；
（3）数轴上表示-28的点到表示32的点之间的距离就是-28与32的差的绝对值，即|（-28）-32|=|（-28）+（-32）|=|-60|=60。
2. 如何进行加减运算
有理数的加减运算是有理数运算的基础，所以学好有理数的加减运算至关重要，那么如何才能抓住重点，提高运算能力呢？
一、如何进行有理数的加法运算
1. 有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数同零相加，仍得这个数。
2. 有理数加法运算的一般步骤
（1）判断两个加数的符号；（2）考虑两个加数的绝对值，若是异号两数相加，还要比较两个加数绝对值的大小；（3）根据有理数的加法法则确定和的符号；（4）根据有理数的加法法则确定和的绝对值.
3. 有理数加法运算律：
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a +b ＝b +a 。
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：(a +b )+c ＝a +(b +c ) 。
二、如何进行有理数的减法运算
1. 有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。可见，减法是加法的逆运算。也就是说，有理数的减法实际上是转化为加法来计算的。在转化的过程中，要同时改变两个符号：一是运算
符号“－”变为“+”；另一个是改变减数的性质符号。
2. 有理数减法运算的一般步骤
（1）把减号变为加号；（2）用减数的相反数作为加数；（3）运用有理数加法的法则求出结果。
三、如何进行有理数的加减混合运算
1. 有理数的加减混合运算的基本思想
将加减混合运算统一转化成加法运算。根据有理数的减法法则，首先把减法统一成加法，把有理数的加减运算变成了单一的加法运算，即整个算式就变成几个正数、负数的和。
2. 有理数的加减混合运算的步骤
⑴减法转化成加法；⑵省略加号和括号；⑶运用加法运算律和加法法则计算。
例 计算(＋231632) －(－1) ＋(－) －(－) －(＋4) 。 42583
分析：先把减法统一成加法，省略加号和括号，再运用加法运算律和加法法则计算。 解： 原式= (＋231532) ＋(＋1) ＋(－) ＋(＋) ＋(－4) „„第一步 42683
31532= 2＋1－＋－4„„第二步 42683
31352= 2＋1＋－－4„„第三步 42863
517= 4－5=－。 828
3. 有理数加减应用题举例
例1．某粮站在一个星期内共收五次麦子，每次收购数分别是6吨、3．5吨、4吨、5吨和
2．5吨，同时在这一周内又分别调往广州15吨、上海10吨、南京12吨，该粮站这一周是存粮，还是从库存中取出粮食？是多少？
解：设存粮为“+”，取粮为“-”，则存入为：6+3.5+4+5+2.5=21(吨)
取粮为：(-15)+(-10)+(-12)= -37(吨) 因为21+(-37)= -16 所以应是从库存中取出粮食16吨 例2．某村有一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁向井口爬，第一次向上爬了0.5米后又向下滑了0.1米；第二次向上爬了0.42米后却又向下滑了0.15米；第三次向上爬了0.7米后却又向下滑了0.15米；第四次向上爬了0.75米后却又向下滑了0.1米；第五次向上爬了0.55米后没有下滑；第六次向上爬了0.48米，问蜗牛有没有爬出井口？ 解：设蜗牛向上爬的距离为“+”, 向下滑的距离为“-”，根据题意：
(+0.5)+(-0.1)+(+0.42)+(-0.15)+(+0.7)+(-0.15)+(+0.75)+(-0.1) +(+0.55)+(+0.48)
=3.4-0.5=2.9
所以蜗牛没有爬出井口
例3 为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上
免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋15，－4，＋13，―10，―12，＋3, ―13, ―17.
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（6分）
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？（6分）
解：（1） (＋15)+(－4)+(＋13)+(―10)+(―12)+(＋3)+(―13)+(―17) = ……= —25
所以，最后一名老师送到目的地时，小王在出车地点的西方，距离是25千米。
（2） |＋15| + |－4| + |＋13| + |―10| + |―12| + |＋3| + |―13| + |―17| = ……=87 0.4 ╳ 87 = 34.8 ， 所以，这天下午汽车共耗油34.8升。
例4 下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值，带负号的数表示同一时刻比北京时间晚的数值。单位：小时) ：
(1) 如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是多少？
(2) 如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少？
(3) 远在巴黎的姑妈，在当地时间是7：00时想给芝加哥的舅妈打电话，你认为合适吗？ 解：(1)因为7-13=7+(-13)=-6，相当于18点(-6+24=18)
所以北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是前一天的18点。
(2)因为7+13=20
所以纽约时间是7：00时北京时间是当天的20点。
(4) 不合适。理由如下：
因为7-7=7+(-7)=0 所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不合适通电话。
4. “有理数加减运算” 常见错例解析
学生刚学有理数加减运算时，经常会发生很多错误。本文就有理数加减运算中的常见错例进行剖析，希望大家能有所收获。
3例1、 计算：5＋（－2） 3
99错解：原式=＋（－10）=－（10＋）=－19。 错因剖析：没有用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值。对于绝对值不等的异号两数相加，如何确定符号，绝对值怎样运算，应特别小心。
解析：原式=15＋（－）=－（－15）=－15。 1515
例2、a ＞0,b ＜0，且︱a ︳＜︱b ︳, 则a ＋b=( ).(用︱a ︳与︱b ︳表示)
有理数的加法减法讲解
1. 解读有理数的减法法则
有理数的减法法则是进行有理数减法运算的依据，是有理数四则运算的重要组成部分，在学习中要注意以下几点：
一、全面、正确理解“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的含义
有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成。学习时注意理解以下几点：
（1）弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3-5中，减数是5而不是-5，运用法则转化为加法运算后是：3-5=3+（-5）；同样地，在3-（-5）中，减数是-5而不是5，转化为加法运算后是：3-（-5）=3+（+5）或3+5；
（2）将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变。例如，运用法则把（-6）-（-8）转化为加法运算时，被减数-6不变，减数-8改变符号为+8（或8），减号“-”转化为加号“+”，即（-6）-（-8）=（-6）+（+8），不要错误地做成（+6）+（+8）；
（3）并不是所有的减法运算都要转化为加法运算。例如，计算15-5时，运用小学里学过的方法可以直截了当地得出结果为10，而运用法则计算则要先转化加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15-5=15+（-5）=10，如此运算反而显得拖泥带水，婆婆妈妈；
（4）一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转加法运算。例如，0-（-2）=0+2=2；3-（-3）=3+3=6；（-2）-（-5）=（-2）+5=3；（-6）-6=（-6）+（-6）=-12；3-8=3+（-8）=-5；
有理数减法法则简洁明了，它主要是针对负数的减法运算，对于符合小学里两数相减的运算要注意仍然用小学的法则进行，切忌牵强附会造成不必要的麻烦。
二、了解两数差的几何意义
有理数的减法运算实际上是求两数差的运算，在数轴上，设点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，则点A 到点B 之间的距离就是|a-b|，这就是两数差的几何意义。例如，数轴上表示3的点A 和表示-5的点B 之间的距离显然是8个单位长度，这里的8恰好是3与（-5）的差，即3-（-5）；又如，数轴上表示8和5的点之间的距离是3个单位长度，这里的3也恰好是8与5的差，即8-5。
两数差的几何意义是求两地间的距离以及解决许多大小问题最常用的方法之一，是数形结合思想的重要应用。
例1：计算：（1）（-15）-（-12）；（2）18-23；（3）25-（-25）；（4）96-69。 分析（1）这里减数是-12，根据法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”把减法化为加法时，被减数-15不变，减数-12变为它的相反数12，得（-15）-（-12）=（-15）
+12=-3；
（2）这里的减数是23，把“18-”化为“18+”时，减数23要变为它的相反数-23，故18-23=18+（-23）=-5。这里要注意加上负23不要写成+-23，-23应加上一个括号，写成+（-23）；
（3）这里的被减数是25，减数是-25，先把减法运算转化为加法运算，得25-（-25）=25+25=50。注意：不要因为忽视符号而错误地得出0；
（4）这是小学里的减法，不必转化为加法后再计算，直接用96减去69得27就可以了。 例2 列式计算：（1）3比-2大多少？（2）气温从3℃下降6℃后是多少？（3）数轴上表示-28的点到表示32的点之间的距离是多少？
分析：（1）3比-2大多少就是3减去-2的差，即3-（-2）=3+2=5，所以3比-2大5；
（2）气温从3℃下降6℃后的温度就是3减去6的差，即3-6=3+（-6）=-3（℃），因此，气温从3℃下降6℃后的温度是-3℃，即零下3℃；
（3）数轴上表示-28的点到表示32的点之间的距离就是-28与32的差的绝对值，即|（-28）-32|=|（-28）+（-32）|=|-60|=60。
2. 如何进行加减运算
有理数的加减运算是有理数运算的基础，所以学好有理数的加减运算至关重要，那么如何才能抓住重点，提高运算能力呢？
一、如何进行有理数的加法运算
1. 有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数同零相加，仍得这个数。
2. 有理数加法运算的一般步骤
（1）判断两个加数的符号；（2）考虑两个加数的绝对值，若是异号两数相加，还要比较两个加数绝对值的大小；（3）根据有理数的加法法则确定和的符号；（4）根据有理数的加法法则确定和的绝对值.
3. 有理数加法运算律：
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a +b ＝b +a 。
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：(a +b )+c ＝a +(b +c ) 。
二、如何进行有理数的减法运算
1. 有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。可见，减法是加法的逆运算。也就是说，有理数的减法实际上是转化为加法来计算的。在转化的过程中，要同时改变两个符号：一是运算
符号“－”变为“+”；另一个是改变减数的性质符号。
2. 有理数减法运算的一般步骤
（1）把减号变为加号；（2）用减数的相反数作为加数；（3）运用有理数加法的法则求出结果。
三、如何进行有理数的加减混合运算
1. 有理数的加减混合运算的基本思想
将加减混合运算统一转化成加法运算。根据有理数的减法法则，首先把减法统一成加法，把有理数的加减运算变成了单一的加法运算，即整个算式就变成几个正数、负数的和。
2. 有理数的加减混合运算的步骤
⑴减法转化成加法；⑵省略加号和括号；⑶运用加法运算律和加法法则计算。
例 计算(＋231632) －(－1) ＋(－) －(－) －(＋4) 。 42583
分析：先把减法统一成加法，省略加号和括号，再运用加法运算律和加法法则计算。 解： 原式= (＋231532) ＋(＋1) ＋(－) ＋(＋) ＋(－4) „„第一步 42683
31532= 2＋1－＋－4„„第二步 42683
31352= 2＋1＋－－4„„第三步 42863
517= 4－5=－。 828
3. 有理数加减应用题举例
例1．某粮站在一个星期内共收五次麦子，每次收购数分别是6吨、3．5吨、4吨、5吨和
2．5吨，同时在这一周内又分别调往广州15吨、上海10吨、南京12吨，该粮站这一周是存粮，还是从库存中取出粮食？是多少？
解：设存粮为“+”，取粮为“-”，则存入为：6+3.5+4+5+2.5=21(吨)
取粮为：(-15)+(-10)+(-12)= -37(吨) 因为21+(-37)= -16 所以应是从库存中取出粮食16吨 例2．某村有一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁向井口爬，第一次向上爬了0.5米后又向下滑了0.1米；第二次向上爬了0.42米后却又向下滑了0.15米；第三次向上爬了0.7米后却又向下滑了0.15米；第四次向上爬了0.75米后却又向下滑了0.1米；第五次向上爬了0.55米后没有下滑；第六次向上爬了0.48米，问蜗牛有没有爬出井口？ 解：设蜗牛向上爬的距离为“+”, 向下滑的距离为“-”，根据题意：
(+0.5)+(-0.1)+(+0.42)+(-0.15)+(+0.7)+(-0.15)+(+0.75)+(-0.1) +(+0.55)+(+0.48)
=3.4-0.5=2.9
所以蜗牛没有爬出井口
例3 为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上
免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋15，－4，＋13，―10，―12，＋3, ―13, ―17.
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（6分）
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？（6分）
解：（1） (＋15)+(－4)+(＋13)+(―10)+(―12)+(＋3)+(―13)+(―17) = ……= —25
所以，最后一名老师送到目的地时，小王在出车地点的西方，距离是25千米。
（2） |＋15| + |－4| + |＋13| + |―10| + |―12| + |＋3| + |―13| + |―17| = ……=87 0.4 ╳ 87 = 34.8 ， 所以，这天下午汽车共耗油34.8升。
例4 下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值，带负号的数表示同一时刻比北京时间晚的数值。单位：小时) ：
(1) 如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是多少？
(2) 如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少？
(3) 远在巴黎的姑妈，在当地时间是7：00时想给芝加哥的舅妈打电话，你认为合适吗？ 解：(1)因为7-13=7+(-13)=-6，相当于18点(-6+24=18)
所以北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是前一天的18点。
(2)因为7+13=20
所以纽约时间是7：00时北京时间是当天的20点。
(4) 不合适。理由如下：
因为7-7=7+(-7)=0 所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不合适通电话。
4. “有理数加减运算” 常见错例解析
学生刚学有理数加减运算时，经常会发生很多错误。本文就有理数加减运算中的常见错例进行剖析，希望大家能有所收获。
3例1、 计算：5＋（－2） 3
99错解：原式=＋（－10）=－（10＋）=－19。 错因剖析：没有用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值。对于绝对值不等的异号两数相加，如何确定符号，绝对值怎样运算，应特别小心。
解析：原式=15＋（－）=－（－15）=－15。 1515
例2、a ＞0,b ＜0，且︱a ︳＜︱b ︳, 则a ＋b=( ).(用︱a ︳与︱b ︳表示)