正弦定理的几种证明方法

正弦定理的5种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，

C

有CDasinB,CDbsinA。 由此，得

a

sina

sin

b

sin，

同理可得

c

sin

b

sin，A

D

B

b 故有



b

sinc

sin.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CDasinCBDasinABC，CDbsinA 。由此，得

a

sinA



b

sinABC，

同理可得

c

sinC.

c

sinC



b

sinABC

a

故有

a

sinA

b

sinABC



由(1)(2)可知，在ABC中，

a

sinA



b

sinB



c

sinC

B D

成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

a

sin

b

sin

c

sin.

1’用知识的最近生长点来证明：

实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B， 需要定位点C，即：

在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c， 求边AC的长b

解：过C作CDAB交AB于D，则

DC

ADccosA

BDcsinAcsinAcosC

sinCtanCsinCcosC

bACADDCccosA

csinAcosCc(sinCcosAsinAcosC)csinB



sinCsinCsinC

推论：

bc

 sinBsinC

abc

 sinAsinBsinC

同理可证：

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB

ADA 中,sinB ,∴AD=AB·sinB=csinB. AB

1111

∴S△ABC=aADacsinB.同理,可证 S△ABC=absinCbcsinA.



2222111C ∴ S△ABC=absinCbcsinAacsinB.∴absinc=bcsinA=acsinB, D 222

sinCsinAsinBabc

在等式两端同除以ABC,可得.即. cabsinAsinBsinC

3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与

B

的夹角为

,

90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得j的数量积运算,得到j()j 由分配律可得∴|j|

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

jj.

Cos90°+|jCos(90°-C)=|jCos(90°-A). j

ac

. A C sinAsinC

∴asinC=csinA.∴

另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得

cb

. sinCsinB

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与为90°-C,j与

的夹角

的夹角为90°-B)∴

abc

. sinAsinBsinC

(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与与

垂直的单位向量j,则j

的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.

A

由,得j·+j·=j·,

jac

 sinAsinC

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与角为90°+B.同理,可得4.外接圆证明正弦定理

B

的夹角为90°+C,j与夹

abcbc

.∴

sinBsinCsimAsinBsinC

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,

连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所

对的圆周角相等可以得到

cc

2R. ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=sinCsinB.∴

2RsinC

ababc

2R. 2R,2R.∴同理,可得

sinAsinBsinCsinAsinB

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 abc

. sinAsinBsinC

正弦定理的5种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，

C

有CDasinB,CDbsinA。 由此，得

a

sina

sin

b

sin，

同理可得

c

sin

b

sin，A

D

B

b 故有



b

sinc

sin.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CDasinCBDasinABC，CDbsinA 。由此，得

a

sinA



b

sinABC，

同理可得

c

sinC.

c

sinC



b

sinABC

a

故有

a

sinA

b

sinABC



由(1)(2)可知，在ABC中，

a

sinA



b

sinB



c

sinC

B D

成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

a

sin

b

sin

c

sin.

1’用知识的最近生长点来证明：

实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B， 需要定位点C，即：

在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c， 求边AC的长b

解：过C作CDAB交AB于D，则

DC

ADccosA

BDcsinAcsinAcosC

sinCtanCsinCcosC

bACADDCccosA

csinAcosCc(sinCcosAsinAcosC)csinB



sinCsinCsinC

推论：

bc

 sinBsinC

abc

 sinAsinBsinC

同理可证：

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB

ADA 中,sinB ,∴AD=AB·sinB=csinB. AB

1111

∴S△ABC=aADacsinB.同理,可证 S△ABC=absinCbcsinA.



2222111C ∴ S△ABC=absinCbcsinAacsinB.∴absinc=bcsinA=acsinB, D 222

sinCsinAsinBabc

在等式两端同除以ABC,可得.即. cabsinAsinBsinC

3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与

B

的夹角为

,

90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得j的数量积运算,得到j()j 由分配律可得∴|j|

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

jj.

Cos90°+|jCos(90°-C)=|jCos(90°-A). j

ac

. A C sinAsinC

∴asinC=csinA.∴

另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得

cb

. sinCsinB

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与为90°-C,j与

的夹角

的夹角为90°-B)∴

abc

. sinAsinBsinC

(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与与

垂直的单位向量j,则j

的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.

A

由,得j·+j·=j·,

jac

 sinAsinC

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与角为90°+B.同理,可得4.外接圆证明正弦定理

B

的夹角为90°+C,j与夹

abcbc

.∴

sinBsinCsimAsinBsinC

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,

连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所

对的圆周角相等可以得到

cc

2R. ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=sinCsinB.∴

2RsinC

ababc

2R. 2R,2R.∴同理,可得

sinAsinBsinCsinAsinB

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 abc

. sinAsinBsinC