《余弦定理》教学设计
本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A 版《数学》必修5第一章《解三角形》
第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
本节课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上，学生会解直角三角形，知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角与角度有关，这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解析法证明余弦定理奠定了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了一些探究的思路。能力水平上，高二的学生已有了一定的观察和类比能力，转化和分析问题的能力。
一、教学目标
1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。
2.能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和几何方法等多种途径证明余弦定理。
3．通过探究学活动，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。
二、教学策略
1. 采用探究式课堂教学模式。
2．以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、提升能力。
三、教学过程设计
1、复习回顾
前面我们学习了正弦定理，它的内容是什么？
你还记得正弦定理的是怎么证明的吗 ？我们用了哪些方法？（构造直角三角形，外接圆，向量法）
2、自主探究
回顾向量法的证明思路： 向量等式 作数量积 数量等式
b c →BC =AC -AB −−−−−= 点乘高向量AD sin B sin C
问题1：如果在向量等式BC =AC -AB 的两边同时点乘其他向量，还会得到别的数量等
式吗？所得到的等式会不会对解三角形有用呢？请大家试试看！
学生甲：两边同时点乘BC 得BC BC =AC BC -AB BC ，可得a=bcos C +ccos B.
教师：这个结论对解三角形有用吗？
学生甲：有，比如知道B,C 和b ，c 就可以求出a 来。
教师：除此之外，还有别的发现吗？
学生乙：将BC =AC -AB 两边同时平方，可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A .
教师：那这个结论对解三角形有帮助吗？
学生乙：当知道b ，c 两边及其夹角A 时，就可以求出第三边a 。
3、发现定理
非常好，我们再回头看一下这两个结论的形成过程。这里的两个结论，前一个我们通常称为射影定理，后一个就是我们今天所要学习的余弦定理。（板书）
在△ABC 中，a 2=c 2+b 2-2cb cos A ，
b 2=c 2+a 2-2ca cos B ．
c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。
4、证明定理
同学们思考，刚才问题的探究过程可以作为余弦定理的证明吗？
问题2：你还有其他的方法来证明它吗？请你试试看！
展示学生解题过程
学生丙：
过点A 作垂线交BC 于点D ，则
｜AD ｜＝bsin C ，｜CD ｜＝bcos C ，
｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝a －bcos C ， C
所以， |AB |2=|AD |2+|BD |2 =b 2+a 2-2b ⋅a ⋅cos C ．
即c 2=b 2+a 2-2b ⋅a ⋅cos C
学生丁：
建立如图所示的直角坐标系，则A （b cos C , bsinC ），B （a, 0），
根据两点间的距离公式，可得
|AB |= 化简得，c 2=b 2+a 2-2ba cos C ．
C 学生戊：解法二需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明。
教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向
量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．
5、深化理解
问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？
学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a 2+b 2>c 2，a 2+b 2
问题4：我们学习了余弦定理，那它有可以解决哪类解三角形问题呢？
学生活动：解已知三角形的两边及其夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A =, cos B =, cos C =． 2bc 2ac 2ab
6、学以致用．
练习：
1. 在△ABC 中，若a ＝3, b ＝5, c ＝7，求角C ．
2．在△ABC 中，b =, B =600, c =1，求a ．
学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式a 2+b 2-c 2
cos C =；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab
7、课堂小结
思考：谈谈这节课有什么收获？
作业
课本P 10A 组3,4题
《余弦定理》教学设计
本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A 版《数学》必修5第一章《解三角形》
第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
本节课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上，学生会解直角三角形，知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角与角度有关，这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解析法证明余弦定理奠定了基础。正弦定理的证明推导过程也为本节课提供了一些探究的思路。能力水平上，高二的学生已有了一定的观察和类比能力，转化和分析问题的能力。
一、教学目标
1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。
2.能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和几何方法等多种途径证明余弦定理。
3．通过探究学活动，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。
二、教学策略
1. 采用探究式课堂教学模式。
2．以问题驱动，学生主动参与知识建构，形成方法、提升能力。
三、教学过程设计
1、复习回顾
前面我们学习了正弦定理，它的内容是什么？
你还记得正弦定理的是怎么证明的吗 ？我们用了哪些方法？（构造直角三角形，外接圆，向量法）
2、自主探究
回顾向量法的证明思路： 向量等式 作数量积 数量等式
b c →BC =AC -AB −−−−−= 点乘高向量AD sin B sin C
问题1：如果在向量等式BC =AC -AB 的两边同时点乘其他向量，还会得到别的数量等
式吗？所得到的等式会不会对解三角形有用呢？请大家试试看！
学生甲：两边同时点乘BC 得BC BC =AC BC -AB BC ，可得a=bcos C +ccos B.
教师：这个结论对解三角形有用吗？
学生甲：有，比如知道B,C 和b ，c 就可以求出a 来。
教师：除此之外，还有别的发现吗？
学生乙：将BC =AC -AB 两边同时平方，可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A .
教师：那这个结论对解三角形有帮助吗？
学生乙：当知道b ，c 两边及其夹角A 时，就可以求出第三边a 。
3、发现定理
非常好，我们再回头看一下这两个结论的形成过程。这里的两个结论，前一个我们通常称为射影定理，后一个就是我们今天所要学习的余弦定理。（板书）
在△ABC 中，a 2=c 2+b 2-2cb cos A ，
b 2=c 2+a 2-2ca cos B ．
c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。
4、证明定理
同学们思考，刚才问题的探究过程可以作为余弦定理的证明吗？
问题2：你还有其他的方法来证明它吗？请你试试看！
展示学生解题过程
学生丙：
过点A 作垂线交BC 于点D ，则
｜AD ｜＝bsin C ，｜CD ｜＝bcos C ，
｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝a －bcos C ， C
所以， |AB |2=|AD |2+|BD |2 =b 2+a 2-2b ⋅a ⋅cos C ．
即c 2=b 2+a 2-2b ⋅a ⋅cos C
学生丁：
建立如图所示的直角坐标系，则A （b cos C , bsinC ），B （a, 0），
根据两点间的距离公式，可得
|AB |= 化简得，c 2=b 2+a 2-2ba cos C ．
C 学生戊：解法二需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明。
教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向
量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．
5、深化理解
问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？
学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a 2+b 2>c 2，a 2+b 2
问题4：我们学习了余弦定理，那它有可以解决哪类解三角形问题呢？
学生活动：解已知三角形的两边及其夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A =, cos B =, cos C =． 2bc 2ac 2ab
6、学以致用．
练习：
1. 在△ABC 中，若a ＝3, b ＝5, c ＝7，求角C ．
2．在△ABC 中，b =, B =600, c =1，求a ．
学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式a 2+b 2-c 2
cos C =；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab
7、课堂小结
思考：谈谈这节课有什么收获？
作业
课本P 10A 组3,4题