第１４卷第２期（２００９）
甘音高奸亍拒
Ｖ０１．１４
Ｎｏ．２（２００９）
换元积分法中常用的换元方法与技巧
杜争光马小飞
（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县７４２５００）
摘要：以一道（数学分析＞的习题为例，介绍了不定积分的换元积分法中常用的换元方法与技巧．关键词：不定积分；换元方法；换元积分中图分类号：０１７１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—９０２０（２００９）０２－－０８８－－０２
不定积分和定积分的计算是《数学分析》和《高等数学＞中的一个重要内容，而换元积分法是一种重要的和常用的积分方法，但是一般的数学教材限于篇幅．缺乏对换元方法的系统介绍．因而，使初学者感到复杂和困惑，甚至产生畏难心理，进而影响学习．’
』志＝』巡ＳｅＣｔｌａｎｔ＝』出爿＋ｃ—ｃｏｓ｝＋ｃ－
ｌ｜√忑Ｔ
ｌ
ｌ
篙
由于；旨２ｉ巧拓２虱去丌、／兰｛－，则
解法四“无理代换一”
对于定积分Ｉ以善）出的计算而言，当函数以茗）在区间【ｄ，ｂ旌续时，可利用牛顿一莱布尼茨公式：ｌ“石）如＝只６）一
“口）（其中以耳）是＿，（膏）的一个原函数）转化为不定积分的计
算问题．本文将以一道习题为例．介绍一些不定积分的换元积分法中常用的换元方法和换元技巧．
令芸｝｝，就有善＝尝｝，出＝可害蒂出，所以
‘２一ｌ—ｌ…７
』者２Ｊ昔ｔ亓。．－万－４４拄２』鲁＝
解法五“无理代换二”
一址叫＋ｃ．一２ａｒｃ咖、／等＋ｃ；
例求不定积分ｆ——！兰一．ｏⅢ
解法一“凑微分法一”
利用ｄ（１）一乓如．将原被积函数进行恒等变形，即
而１２砺１蚓者ｆ赤
，ｄ（上）
．
＝一Ｉ——・兰＝：＝－ａ咒ｓｉｎ—Ｌ＋ｃ；
令暑训忙器如南出所以
Ｊ‘者‰叫＋ｆ而ｄｘｉ２ｆ—ｔ２＋ｌｌ＿２ｔ击ｔ２－１Ｊ名诉可Ｊ２（）２。冉ｌ……
ｃ＿纽ｔａＩｌ婿＋ｃ；
２２
由于未ｉ２刁斋２南、／暑
１一ｔ２
ｌ卑
’茗２、／－专
ｚ
解法六“Ｅｕｌｅｒ代换一”
由于被积函数的根式下为二次三项式。且二次项系数为
解法二“凑微分法二”
利用ｄ（、／Ｚ丁）＝—｛．＿＝如，将原式进行恒等变形，即
１。大于零，因此，令、／石丁≈叫，则髫：鱼上，也：鱼上ｄｔ，于是
丑
２１２
而１亍＝者，就有Ｊ者２ｆ芫导２
互Ｖｘ２－１
就有
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解法三“三角代换”
８８
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２ｔ
２ｌ
ｌＣ毫一２ａｒｃｔａａ（ｘ一、／；；ｌ＝ｉ－）＋Ｃ；
解法七“Ｅｚｄｅｒ代换二”
由于根式下的二次三项式为乒．１有两个根±ｌ。因此，令
利用三角函数中的平方关系：ｓ∞气一１＝ｔａｎ２ｔ．可将积分表达式中分母的根式去掉．因此，令＃９ｅｃＩ。或ｌ－ａｒｃｃｏｓ上，则ｄ哼＝ｓｅｃｔｔａｎｔ出．于是
、／ｚ丁爿（扣１）．则ｘ＝害｝，缸石害净ｄｔ，于是就有
收稿日期：２００８—１２—３１
作者简介：杜争光（１９ｒ７３一）。男。甘肃礼县人。讲师．研究方向：数学分析．
第１４卷第２期（２００９）
Ｊ者＝』壶南扛一２』者＝一姗叫＋
卜ｌ卜ｌ
解法八“Ｅｕｌｅｒ代换三”
杜争光马小飞：换元积分法申常用的抉元方法与技巧
Ｖ０１．１４
Ｎｏ．２（２００９）
＝ａｗｔａｎ厢＋Ｃ＝ａｒｃｔａｎ、／Ｚ丁＋Ｃ；
解法十三“倒代换”
＝』丽ｄ（ｓｈｔｒ）＝峨ｔａＩＩ（ｓ缸）＋ｃ
ｃ－一２ａｒｃｔａｎ’ｖ］舻ｘ＋ｒｌ＋ｃ；
Ｊ者＝ｆⅡｔ南拢ｆ者＝址叫
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令、／丌爿（茸＋１），则善＝宅｝，也＝百嵩矿出，于是就有
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茗
＋ｃ＝２ａｒｃ山、／百ｘ＋ｌ＋ｃ－
解法九“根式代换一”
解法十四“指数代换”
ｆ者＝ｆｊｖＴ—Ｗ右亍出＝』斋一倒＋ｃ一
’善、／互丁’、／再芦ａｒｃａｌｒｌ、／石丁＋ｃ；
解法十“根式代换二”
Ｊ
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’聋、／Ｚ＝ｒ
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产
＝ａｒｃｔａⅡ、俨＝ｒ＋ｃ－哦ｔａＩＩ～孕丁＋ｃ．
特殊地。
（１）当ａ—ｌ时。即为“倒代换”；
令＃、／丁。或耐，则ｄｘ＝—．１＿ｄｔ。于是就有
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Ｉ
（２）当ａ＝｝时，即为“根式代换”；
二
：
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！
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坐
（３）当ｏｃ＝一睾时。称为“根式倒代换”；
上
ｆ墨篁善１：毗咖、／丌缸。∞ｔａｎ诉可＋Ｃ；
解法十一“双曲代换一”
利用双曲函数中的平方关系：ｌ们ｌＩＩ’≈胞。可将被积表达
（４）当。每一２时，称为“平方倒代换”；（５）当ａ＝２时，称为“平方代换”；
其中。（１），（２）即为解法十和解法十三，对于（３）．（４）。（５）的情形不再赘述．
从以上的求解过程，我们可以看出，对于一道习题就有十多种不同解法，其结果从“表面上”看有多种不同的表达方式．可见熟练掌握常用的换元方法，对于学习积分有着十分重要的作用．
参考文献：
【１１华东师天数学系．数学分析【明．北京：高等教育出版社．２００１．
式中的根式去掉，因此
』者＝Ｊ盘如Ｊ嘉扛Ｊ瓣（ｓｈｔ＋ｃｈｔ）ｄｔ＝
令ｘ＝ｃｈｔ，则ｄｘ＝ｓｈｔｄｔ。于是就有解法十二“双曲代换二”令ｘ＝ｃｈｔ，则ｄｘ＝ｓｈｔ＆，于是就有
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Ｃ：
』者＝ｆ盅拓ｆ鲁＝ｆ筹
ＤＵＺｈｅｎｇ－ｇｕａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
【２脚惠民等．教学分析习题课讲义【Ｍ】．北京：高等教育出
版社．２００３．
【３】马震民等．徽积分习题类型分析Ｆ咀兰州：兰州大学出版社。
１９９９．
ＴｈｅＧｅｎｅｒａｌＭｅｔｈｏｄｓａｎｄＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＲｕｌｅｆｏｒＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ
ＭＡ
Ｘｉａｏ－ｆｅｉ
７４２５００）
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ。ＬｏｎｇｎａｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｅｎｇｘｉ锄Ｇａｎｓｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ８０ｍｅｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｒｕｌｅｆｏｒｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓ．ｔｈｒｏｕ＃ｓｏｌｖｉｎｇ衄ｅｘｅｒｃｉｓｅ
ＯＲ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ；ＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＲｕｌｅ；ＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ
责任编辑：蒲向明
８９
换元积分法中常用的换元方法与技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杜争光， 马小飞， DU Zheng-guang， MA Xiao-fei陇南师范高等专科学校,数学系,甘肃成县,742500甘肃高师学报
JOURNAL OF GANSU NORMAL COLLEGES2009，14(2)0次
参考文献(3条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 谢惠民 数学分析习题课讲义 20033. 马震民 微积分习题类型分析 1999
相似文献(1条)
1.期刊论文 欧阳云. 许敏明 不定积分∫√a+x/a-x dx的四种换元解法 -考试周刊2009,""(48)
换元法是求不定积分时常用的方法.利用换元法求解不定积分∫√a+x/a-x dx时,有多种换元方法,除一般的将根式换元为t的解法外,还有其他几种简单、巧妙的方法.本文以此来说明"一题多解"能培养学生发散性思维和创新思维,增强学生学习高等数学的兴趣.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gsgsxb200902033.aspx
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第１４卷第２期（２００９）
甘音高奸亍拒
Ｖ０１．１４
Ｎｏ．２（２００９）
换元积分法中常用的换元方法与技巧
杜争光马小飞
（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县７４２５００）
摘要：以一道（数学分析＞的习题为例，介绍了不定积分的换元积分法中常用的换元方法与技巧．关键词：不定积分；换元方法；换元积分中图分类号：０１７１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—９０２０（２００９）０２－－０８８－－０２
不定积分和定积分的计算是《数学分析》和《高等数学＞中的一个重要内容，而换元积分法是一种重要的和常用的积分方法，但是一般的数学教材限于篇幅．缺乏对换元方法的系统介绍．因而，使初学者感到复杂和困惑，甚至产生畏难心理，进而影响学习．’
』志＝』巡ＳｅＣｔｌａｎｔ＝』出爿＋ｃ—ｃｏｓ｝＋ｃ－
ｌ｜√忑Ｔ
ｌ
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由于；旨２ｉ巧拓２虱去丌、／兰｛－，则
解法四“无理代换一”
对于定积分Ｉ以善）出的计算而言，当函数以茗）在区间【ｄ，ｂ旌续时，可利用牛顿一莱布尼茨公式：ｌ“石）如＝只６）一
“口）（其中以耳）是＿，（膏）的一个原函数）转化为不定积分的计
算问题．本文将以一道习题为例．介绍一些不定积分的换元积分法中常用的换元方法和换元技巧．
令芸｝｝，就有善＝尝｝，出＝可害蒂出，所以
‘２一ｌ—ｌ…７
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解法五“无理代换二”
一址叫＋ｃ．一２ａｒｃ咖、／等＋ｃ；
例求不定积分ｆ——！兰一．ｏⅢ
解法一“凑微分法一”
利用ｄ（１）一乓如．将原被积函数进行恒等变形，即
而１２砺１蚓者ｆ赤
，ｄ（上）
．
＝一Ｉ——・兰＝：＝－ａ咒ｓｉｎ—Ｌ＋ｃ；
令暑训忙器如南出所以
Ｊ‘者‰叫＋ｆ而ｄｘｉ２ｆ—ｔ２＋ｌｌ＿２ｔ击ｔ２－１Ｊ名诉可Ｊ２（）２。冉ｌ……
ｃ＿纽ｔａＩｌ婿＋ｃ；
２２
由于未ｉ２刁斋２南、／暑
１一ｔ２
ｌ卑
’茗２、／－专
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解法六“Ｅｕｌｅｒ代换一”
由于被积函数的根式下为二次三项式。且二次项系数为
解法二“凑微分法二”
利用ｄ（、／Ｚ丁）＝—｛．＿＝如，将原式进行恒等变形，即
１。大于零，因此，令、／石丁≈叫，则髫：鱼上，也：鱼上ｄｔ，于是
丑
２１２
而１亍＝者，就有Ｊ者２ｆ芫导２
互Ｖｘ２－１
就有
』学＝』器一咖啊＋ｃ．
解法三“三角代换”
８８
』者＝』互亘１等ａｔ．一２』者＝一‰觚＋
２ｔ
２ｌ
ｌＣ毫一２ａｒｃｔａａ（ｘ一、／；；ｌ＝ｉ－）＋Ｃ；
解法七“Ｅｚｄｅｒ代换二”
由于根式下的二次三项式为乒．１有两个根±ｌ。因此，令
利用三角函数中的平方关系：ｓ∞气一１＝ｔａｎ２ｔ．可将积分表达式中分母的根式去掉．因此，令＃９ｅｃＩ。或ｌ－ａｒｃｃｏｓ上，则ｄ哼＝ｓｅｃｔｔａｎｔ出．于是
、／ｚ丁爿（扣１）．则ｘ＝害｝，缸石害净ｄｔ，于是就有
收稿日期：２００８—１２—３１
作者简介：杜争光（１９ｒ７３一）。男。甘肃礼县人。讲师．研究方向：数学分析．
第１４卷第２期（２００９）
Ｊ者＝』壶南扛一２』者＝一姗叫＋
卜ｌ卜ｌ
解法八“Ｅｕｌｅｒ代换三”
杜争光马小飞：换元积分法申常用的抉元方法与技巧
Ｖ０１．１４
Ｎｏ．２（２００９）
＝ａｗｔａｎ厢＋Ｃ＝ａｒｃｔａｎ、／Ｚ丁＋Ｃ；
解法十三“倒代换”
＝』丽ｄ（ｓｈｔｒ）＝峨ｔａＩＩ（ｓ缸）＋ｃ
ｃ－一２ａｒｃｔａｎ’ｖ］舻ｘ＋ｒｌ＋ｃ；
Ｊ者＝ｆⅡｔ南拢ｆ者＝址叫
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令、／丌爿（茸＋１），则善＝宅｝，也＝百嵩矿出，于是就有
令石：上，则如一牟出。于是就有ｔｒ
Ｉ聋ｖｄ厅ｘ－Ｊ击‘专址－』者亍ｗ玎’｝伊’“１宜佴
＝ａｒｃｓｉｍ＋ｃ音一ａ耻ｓｉｎ上＋ｃ：
茗
＋ｃ＝２ａｒｃ山、／百ｘ＋ｌ＋ｃ－
解法九“根式代换一”
解法十四“指数代换”
ｆ者＝ｆｊｖＴ—Ｗ右亍出＝』斋一倒＋ｃ一
’善、／互丁’、／再芦ａｒｃａｌｒｌ、／石丁＋ｃ；
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特殊地。
（１）当ａ—ｌ时。即为“倒代换”；
令＃、／丁。或耐，则ｄｘ＝—．１＿ｄｔ。于是就有
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（２）当ａ＝｝时，即为“根式代换”；
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查．ｆ：ｆ一
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Ｊ、／Ｆ何２Ｖ７－２’ｔＸ／酉－
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（３）当ｏｃ＝一睾时。称为“根式倒代换”；
上
ｆ墨篁善１：毗咖、／丌缸。∞ｔａｎ诉可＋Ｃ；
解法十一“双曲代换一”
利用双曲函数中的平方关系：ｌ们ｌＩＩ’≈胞。可将被积表达
（４）当。每一２时，称为“平方倒代换”；（５）当ａ＝２时，称为“平方代换”；
其中。（１），（２）即为解法十和解法十三，对于（３）．（４）。（５）的情形不再赘述．
从以上的求解过程，我们可以看出，对于一道习题就有十多种不同解法，其结果从“表面上”看有多种不同的表达方式．可见熟练掌握常用的换元方法，对于学习积分有着十分重要的作用．
参考文献：
【１１华东师天数学系．数学分析【明．北京：高等教育出版社．２００１．
式中的根式去掉，因此
』者＝Ｊ盘如Ｊ嘉扛Ｊ瓣（ｓｈｔ＋ｃｈｔ）ｄｔ＝
令ｘ＝ｃｈｔ，则ｄｘ＝ｓｈｔｄｔ。于是就有解法十二“双曲代换二”令ｘ＝ｃｈｔ，则ｄｘ＝ｓｈｔ＆，于是就有
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Ｃ：
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ＤＵＺｈｅｎｇ－ｇｕａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
【２脚惠民等．教学分析习题课讲义【Ｍ】．北京：高等教育出
版社．２００３．
【３】马震民等．徽积分习题类型分析Ｆ咀兰州：兰州大学出版社。
１９９９．
ＴｈｅＧｅｎｅｒａｌＭｅｔｈｏｄｓａｎｄＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＲｕｌｅｆｏｒＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ
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Ｘｉａｏ－ｆｅｉ
７４２５００）
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ。ＬｏｎｇｎａｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｅｎｇｘｉ锄Ｇａｎｓｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ８０ｍｅｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｒｕｌｅｆｏｒｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓ．ｔｈｒｏｕ＃ｓｏｌｖｉｎｇ衄ｅｘｅｒｃｉｓｅ
ＯＲ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌｓ；ＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＲｕｌｅ；ＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ
责任编辑：蒲向明
８９
换元积分法中常用的换元方法与技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杜争光， 马小飞， DU Zheng-guang， MA Xiao-fei陇南师范高等专科学校,数学系,甘肃成县,742500甘肃高师学报
JOURNAL OF GANSU NORMAL COLLEGES2009，14(2)0次
参考文献(3条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 谢惠民 数学分析习题课讲义 20033. 马震民 微积分习题类型分析 1999
相似文献(1条)
1.期刊论文 欧阳云. 许敏明 不定积分∫√a+x/a-x dx的四种换元解法 -考试周刊2009,""(48)
换元法是求不定积分时常用的方法.利用换元法求解不定积分∫√a+x/a-x dx时,有多种换元方法,除一般的将根式换元为t的解法外,还有其他几种简单、巧妙的方法.本文以此来说明"一题多解"能培养学生发散性思维和创新思维,增强学生学习高等数学的兴趣.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gsgsxb200902033.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：bc5b6f2b-8e7d-4bb5-8583-9dcb0166b537
下载时间：2010年8月7日