谈“反函数”教学中的三个问题
施全汝
反函数在数学中十分重要、反函数概念是中学教材中的难点，但又是学生应该掌握的内容，在“反函数”教学中，笔者认为应该使学生掌握反函数的求法，搞清反函数定义域，并学会运用。
一、反函数的求法
高一教材《代数》上册讲述了反函数，一般地，从函数式
中解出
，
，如果对于在C
中的任何一个值，通过式子
与
之后
，存在
在A 中都有唯一确定的值和它对应，则互
换
叫做原函数
的反函数。由此看来，
应时，该函数在这个区间上才有且仅有一个反函数。 例1 求函数 解：由 ∵函数是
若例1中没
有
例2 已知
的反函数。
，∴
件，
解
时，就
有
，因
此
＝
，
，
的反函数。
。 ，
的反
一个复合函数，若有反函数，则也是唯一的．
函数
时，应先求出
中的以
，再将其中的用
来代替而得到的解析式，因此，求
代替。
解：
令，
得。
∴，
故的反函数
为
。
例3 （1）试确定的一个范围，使有反函数，并就此求出这个反函数；
（2）求函数的反函数。
反三角函数是基本初等函数之一。三角函数是周期函数，故三角函数在其整个定义域内不存在反函数，对于正弦函数，在不同的单调区间，其反函数的表达式当然不同。所谓反正
弦函数，只是正弦函数在其单调区间上的反函数。
解（1）：由，得，。
又，∴，即
互调，得
。故确
定时
，反函数
为
，。
（2
）必须满
足
即，
∴，
又
，
∴
，
，互调，
得
例4
的图象如图1，求
，
的反函数。
。
解：根据函数的图象，写出分段函数表达式：
，
求该函数的反函数，可分段进行，
求得反函数为
与
的图象关于直线
对称。故可先画出
。
或根据
的图象如图2。
∴
二、搞活反函数定义域
。
先看下面的例子。 例5 已知函数
，求
的反函数。
解：令，，得，
∴且
的值域；函数的反函数是
。我们应该明确，
函数
的
指明反函数定义域时，学生写为定义域，正好是它的反函数
的定义域。如果函数
的值域，正好是它的反函数，那么函数
的
反函数便是。因此，若的定义域且是正确的，
那么反函数就为。取，有，由此可知，
没有唯一确定的值和它对应，这就说明了数
的定义域只能由
的值域来确定。
，没有反函数。 反函
由，求得的定义域为。
，∵
区间上递减，则
，因此，
在
的值域为
在此
∴
再看二例：
的反函数为
例6 求的反函数。
解：易知函数的定义域是
，由
=
，得
，∵
，又
，∴
的值域是
且
例7 求
解：由题设可知
的反函数应是的反函数。 且
，所以
，且
，于是
，
，故原函数的值域为（0，+∞）。
由，，得，∴
的反函数为。
三、反函数性质的运用
根据反函数的概念，上面已提的性质：函数与其反函数的定义域和值域互换；互为反函数的两函数图象关于直线
成轴对称图形，还容易得出下面二个性质：若函数是奇函数，
则其反函数也为奇函数，反之亦然；函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性（单
调递增或单调递减）．教学中要使学生理解掌握这些性质。 例8 设解：令知
1。
在其定义域
内存在反函数，且
，求
，即
，则，得
_______________。（1993年高考题） 。由函数与其反函数的定义域和值域互换，
例9 已知函数
之值。
解：
∵
＝
，
∴
其
中
，
。令，得
。
例10 （选择题）函数
）。
（A ）奇函数，且在（0，+∞（B +∞）上递减 （C （D ）上递增 （1992 解：令，可得，又=，
∴是奇函数且在（0，+∞）上是增函数，由性质知，选C 。
和
和
例8、例9、例10都回避求反函数的过程，快速解决问题，又如是定义在区间（0，+∞）上的一对反函数，且的大小关系显然是
。
在（0，+∞）上单调递增，则
例11 设，解方程组，（1979年高考副卷试题）。
解：将原方程组变形为，显然（1），（2）可视为互为反函
数，其图象为两条直线且关于直线对称。又，可见（1）
不平行，必相交。因此求原方程组的解等价于解方程组
，解这个方程组，得
例
12 如果函
数
的倾斜角为
定义域是
R ，直
线
解：∵
，设，则，
且，得
。
由及，知
。
［注］反三角函数总是表示其主值区间内唯一的某一个角，所以可以用来表示某些图形
之间的夹角（尤其是非特殊角），取得事半功倍的效果。
综上所述，在“反函数”教学中，应注意让学生主动探索，在观察、比较、分析、归纳中提高分析问题、解决问题的能力。
谈“反函数”教学中的三个问题
施全汝
反函数在数学中十分重要、反函数概念是中学教材中的难点，但又是学生应该掌握的内容，在“反函数”教学中，笔者认为应该使学生掌握反函数的求法，搞清反函数定义域，并学会运用。
一、反函数的求法
高一教材《代数》上册讲述了反函数，一般地，从函数式
中解出
，
，如果对于在C
中的任何一个值，通过式子
与
之后
，存在
在A 中都有唯一确定的值和它对应，则互
换
叫做原函数
的反函数。由此看来，
应时，该函数在这个区间上才有且仅有一个反函数。 例1 求函数 解：由 ∵函数是
若例1中没
有
例2 已知
的反函数。
，∴
件，
解
时，就
有
，因
此
＝
，
，
的反函数。
。 ，
的反
一个复合函数，若有反函数，则也是唯一的．
函数
时，应先求出
中的以
，再将其中的用
来代替而得到的解析式，因此，求
代替。
解：
令，
得。
∴，
故的反函数
为
。
例3 （1）试确定的一个范围，使有反函数，并就此求出这个反函数；
（2）求函数的反函数。
反三角函数是基本初等函数之一。三角函数是周期函数，故三角函数在其整个定义域内不存在反函数，对于正弦函数，在不同的单调区间，其反函数的表达式当然不同。所谓反正
弦函数，只是正弦函数在其单调区间上的反函数。
解（1）：由，得，。
又，∴，即
互调，得
。故确
定时
，反函数
为
，。
（2
）必须满
足
即，
∴，
又
，
∴
，
，互调，
得
例4
的图象如图1，求
，
的反函数。
。
解：根据函数的图象，写出分段函数表达式：
，
求该函数的反函数，可分段进行，
求得反函数为
与
的图象关于直线
对称。故可先画出
。
或根据
的图象如图2。
∴
二、搞活反函数定义域
。
先看下面的例子。 例5 已知函数
，求
的反函数。
解：令，，得，
∴且
的值域；函数的反函数是
。我们应该明确，
函数
的
指明反函数定义域时，学生写为定义域，正好是它的反函数
的定义域。如果函数
的值域，正好是它的反函数，那么函数
的
反函数便是。因此，若的定义域且是正确的，
那么反函数就为。取，有，由此可知，
没有唯一确定的值和它对应，这就说明了数
的定义域只能由
的值域来确定。
，没有反函数。 反函
由，求得的定义域为。
，∵
区间上递减，则
，因此，
在
的值域为
在此
∴
再看二例：
的反函数为
例6 求的反函数。
解：易知函数的定义域是
，由
=
，得
，∵
，又
，∴
的值域是
且
例7 求
解：由题设可知
的反函数应是的反函数。 且
，所以
，且
，于是
，
，故原函数的值域为（0，+∞）。
由，，得，∴
的反函数为。
三、反函数性质的运用
根据反函数的概念，上面已提的性质：函数与其反函数的定义域和值域互换；互为反函数的两函数图象关于直线
成轴对称图形，还容易得出下面二个性质：若函数是奇函数，
则其反函数也为奇函数，反之亦然；函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性（单
调递增或单调递减）．教学中要使学生理解掌握这些性质。 例8 设解：令知
1。
在其定义域
内存在反函数，且
，求
，即
，则，得
_______________。（1993年高考题） 。由函数与其反函数的定义域和值域互换，
例9 已知函数
之值。
解：
∵
＝
，
∴
其
中
，
。令，得
。
例10 （选择题）函数
）。
（A ）奇函数，且在（0，+∞（B +∞）上递减 （C （D ）上递增 （1992 解：令，可得，又=，
∴是奇函数且在（0，+∞）上是增函数，由性质知，选C 。
和
和
例8、例9、例10都回避求反函数的过程，快速解决问题，又如是定义在区间（0，+∞）上的一对反函数，且的大小关系显然是
。
在（0，+∞）上单调递增，则
例11 设，解方程组，（1979年高考副卷试题）。
解：将原方程组变形为，显然（1），（2）可视为互为反函
数，其图象为两条直线且关于直线对称。又，可见（1）
不平行，必相交。因此求原方程组的解等价于解方程组
，解这个方程组，得
例
12 如果函
数
的倾斜角为
定义域是
R ，直
线
解：∵
，设，则，
且，得
。
由及，知
。
［注］反三角函数总是表示其主值区间内唯一的某一个角，所以可以用来表示某些图形
之间的夹角（尤其是非特殊角），取得事半功倍的效果。
综上所述，在“反函数”教学中，应注意让学生主动探索，在观察、比较、分析、归纳中提高分析问题、解决问题的能力。