张喜林制
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
教材知识检索
考点知识清单
1．直线方程的概念
一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程y =kx +b 的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角
当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率
直线y =kx +b 中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 那么直线的斜率k =(x 1=/x 2).
当k =0时，直线 或
当k >0时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着
当k
要点核心解读
1．对直线方程概念的理解
把—次函数y =kx +b 的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线y =kx +b . 另一表达形式y -kx -b =0是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率
(1)斜率公式的推导．
直线y =kx +b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意
B (x 2, y 2) 的坐标可以计算出k 的值． 两点A (x 1, y 1) 、
由于x 1, y 1和x 2, y 2是直线方程y =kx +b 的两组解，所以y 1=kx 1+b , y 2=kx 2+b , 两式相减，得
y 2-y 1y 2-y 1
(x =x ), k =那么y 2-y 1=k (x 2-x 1), 故k =//x 1) 称为直线的斜率公式． 2121(x 2=21
由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺
序无关．
(2)斜率的定义
通常，我们把直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程y =kx +b 的图象是过点(O，b) 且斜率为k 的直线．
(3)求斜率的步骤，
我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：x 1=?, x 2=?, y 1=⋅, y 2=?, ②计算∆x =x 2-x 1, ∆y =y 2-y 1; ③如果∆x =0, 则判定“斜率k 不存在”； ④如果∆x =/0, 计算k =
∆y
; ∆x
⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角
(1)定义．
x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
(2)斜率与倾斜角的关系．
由斜率k 的定义可知：k =0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；
k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； k
典例分类剖析
考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律
(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．
[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线l 1、l 2、l 3都经过点P(3，2) ，又l 1、l 2、l 3分别经过点Q 1(-2, -1) 、
Q 2(4, -2) 、Q 3(-3, 2), 试计算直线l 1、l 2、l 3的斜率．
[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．
[答案] 设k 1、k 2、k 3分别表示直线l 1、l 2、l 3的斜率，由于P 、Q 1、Q 2⋅、Q 3的横坐标均不相等．
∴k 1=
-1-23-2-22-2
=, k 2==-4, k 3==0.
-2-354-3-3-3
母题迁移 1．已知A (1, 1) 、B (3, 5) 、C (a , 7) 、D （-1, b ) 四点共线，求直线方程y =ax +b .
(1)(1, 3), (2, 7); (2)(4, -1), (3, 5). [例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：
21
[解析] 利用直线的斜率公式k =求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．
21
y -y
[答案] (1) k =
7-3
=4>0, 所以倾斜角是锐角； 2-1
(2) k =
5+1
=-6
o
[点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直
线的斜率等于O ，则其倾斜角为0, 若直线的斜率不存在，则其倾斜角为90.
[例3] 已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3, 如图2-2 -1-3所示，则( )．
A . k 1
k 3
[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）
[解析] 由图可知直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1
l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0, 所以k 2>k 3>k 1⋅
[答案] D
母题迁移 2．求经过点A (ma , mb ). B (a , b )(ab =/0, m =/1) 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，
考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律
已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．
[例4] 已知A (-3, -3) 、B (2, -2) 、P (-2, 1), 如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．
[答案] k PA =
1-(-3)
⋅=4,
-2-(-3)
k PB =
1-(-2) 3
=-,
-2-24
3
或k
≥4.
4
∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是k ≤-
母题迁移 3．已知实数x 、y 满足2x +y =8, 当2≤x ≤3时，求考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律
已知平面上三点，证明三点共线．
[例5] 已知三点A (1, -1) 、B (3, 3) 、C (4, 5), 求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．
y
的最大值和最小值， x
|AB |=2, |BC |=, |AC |=5, ∴|AB |+|BC |=2+==|AC |,
即A 、B 、C 三点共线．
证法二：用斜率公式证明，
k AB =
3+15-3
=2, k BC ==2, 3-14-3
∴k AB =k BC ⋅又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．
∴ A、B 、C 三点共线．
[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．
母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7) ，求点P 的坐标．
优化分层测讯
学业水平测试
1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．
①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程y =kx +b },B ={一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．
A . A =B B . A ⊇B C . B ⊇A D．以上说法都不对
3．直线L 过点p (⋅-2, m ) 和Q (m , 4) 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．
A . 1 B . 4 C . 1或3 D . 1或4
4．过点M (-, 2) 与N (-2, ) 的直线的斜率k = ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4) ，在坐标轴上有一点B ，若k AB =2, 则B 点的坐标为 6．已知方程2x +3y +6=0.
(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点(, 1) 是否在直线L 上．
32
高考能力测试
（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）
1．点A (0, 1) 、B (, 4) 在直线l 1上，若直线l 2⊥l 1, 则直线l 2的倾斜角为( )．
A . -30 B . 30 C . 120o D . 150
2．直线L 的倾斜角为α, sin α是方程4x -43x +3=0的根，则a 的值是( )．
2
A . 60 B . 120 C . 30o O 或150 D . 60 或120
3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线y =3对称的直线的倾斜角是( )．
A . θ B . 90 -θ C . 180o -θ D . 90 -θ
4．若A (3, -2) 、B (-9, 4) 、C (x , 0) 三点共线，则x 的值为( )．
A . 1 B . -1 C . 0 D . 7
5．若直线L 经过点(a -2, -1) 和(-a -2, 1), 且与经过点(-2, 1) 、斜率为-( )．
2
的直线垂直，则实数a 的值是3
A . -
2323 B . - C . D . 3232
6．设点A (2, -3) 、B (-3, -2), 直线L 过点P(l，1) 且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．
A . k ≥
33133
或k ≤-4 B . k ≥或k ≤- C . -4≤k ≤ D . -≤k ≤4 44444
7．直线L 过点A(l，2) ，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．
11A .[0, 2] B .[0, 1] C .[0, ] D ⋅[0, )
22
8．已知A (a , 2) 、B (3, b +1), 且直线AB 的倾斜角为90, 则a 、b 的值为( )．
A . a =3, b =1 B . a =2, b =2 C . a =2, b =3 D . a =3, b ∈R 且b =/1
二、填空题（5分x4 =20分）
9．给出以下命题：
①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是-30; ③倾斜角为0的直线只有一条，即x 轴；
④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0≤α
其中正确命题的序号是
10．三点（2，-3）、(4，3) 及(5, ) 在同一条直线上，则k 的值等于
11．已知过P (1-a , 1+a ) 和Q (3, 2a ) 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12. 直线cos θ⋅x +y +1=0(θ∈R ) 的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）
13. 斜率为2的直线经过A (3, 5) 、B (a , 7) 、C (-1, b ) 三点，求a 、b 的值．
14．(1)已知矩形ABCD 中，A (1, 2) 、B (2, 1) 、中心E (3, 3), 点P (x , y ) 在矩形的边界及内部运动，求
值范围；
(2)若实数x 、y 满足：y =2x +1且x ≤2, y ≥-3, 求
15. 求经过两点M (-1, 2) 、N (m , 3)(m ∈R ) 的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？
16. 求函数y =
k 2
y
的取x
y
的取值范围． x
3sin x +1
的值域.
sin x +2
张喜林制
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
教材知识检索
考点知识清单
1．直线方程的概念
一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程y =kx +b 的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角
当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率
直线y =kx +b 中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 那么直线的斜率k =(x 1=/x 2).
当k =0时，直线 或
当k >0时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着
当k
要点核心解读
1．对直线方程概念的理解
把—次函数y =kx +b 的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线y =kx +b . 另一表达形式y -kx -b =0是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率
(1)斜率公式的推导．
直线y =kx +b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意
B (x 2, y 2) 的坐标可以计算出k 的值． 两点A (x 1, y 1) 、
由于x 1, y 1和x 2, y 2是直线方程y =kx +b 的两组解，所以y 1=kx 1+b , y 2=kx 2+b , 两式相减，得
y 2-y 1y 2-y 1
(x =x ), k =那么y 2-y 1=k (x 2-x 1), 故k =//x 1) 称为直线的斜率公式． 2121(x 2=21
由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺
序无关．
(2)斜率的定义
通常，我们把直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程y =kx +b 的图象是过点(O，b) 且斜率为k 的直线．
(3)求斜率的步骤，
我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：x 1=?, x 2=?, y 1=⋅, y 2=?, ②计算∆x =x 2-x 1, ∆y =y 2-y 1; ③如果∆x =0, 则判定“斜率k 不存在”； ④如果∆x =/0, 计算k =
∆y
; ∆x
⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角
(1)定义．
x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
(2)斜率与倾斜角的关系．
由斜率k 的定义可知：k =0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；
k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； k
典例分类剖析
考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律
(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．
[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线l 1、l 2、l 3都经过点P(3，2) ，又l 1、l 2、l 3分别经过点Q 1(-2, -1) 、
Q 2(4, -2) 、Q 3(-3, 2), 试计算直线l 1、l 2、l 3的斜率．
[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．
[答案] 设k 1、k 2、k 3分别表示直线l 1、l 2、l 3的斜率，由于P 、Q 1、Q 2⋅、Q 3的横坐标均不相等．
∴k 1=
-1-23-2-22-2
=, k 2==-4, k 3==0.
-2-354-3-3-3
母题迁移 1．已知A (1, 1) 、B (3, 5) 、C (a , 7) 、D （-1, b ) 四点共线，求直线方程y =ax +b .
(1)(1, 3), (2, 7); (2)(4, -1), (3, 5). [例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：
21
[解析] 利用直线的斜率公式k =求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．
21
y -y
[答案] (1) k =
7-3
=4>0, 所以倾斜角是锐角； 2-1
(2) k =
5+1
=-6
o
[点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直
线的斜率等于O ，则其倾斜角为0, 若直线的斜率不存在，则其倾斜角为90.
[例3] 已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3, 如图2-2 -1-3所示，则( )．
A . k 1
k 3
[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）
[解析] 由图可知直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1
l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0, 所以k 2>k 3>k 1⋅
[答案] D
母题迁移 2．求经过点A (ma , mb ). B (a , b )(ab =/0, m =/1) 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，
考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律
已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．
[例4] 已知A (-3, -3) 、B (2, -2) 、P (-2, 1), 如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．
[答案] k PA =
1-(-3)
⋅=4,
-2-(-3)
k PB =
1-(-2) 3
=-,
-2-24
3
或k
≥4.
4
∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是k ≤-
母题迁移 3．已知实数x 、y 满足2x +y =8, 当2≤x ≤3时，求考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律
已知平面上三点，证明三点共线．
[例5] 已知三点A (1, -1) 、B (3, 3) 、C (4, 5), 求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．
y
的最大值和最小值， x
|AB |=2, |BC |=, |AC |=5, ∴|AB |+|BC |=2+==|AC |,
即A 、B 、C 三点共线．
证法二：用斜率公式证明，
k AB =
3+15-3
=2, k BC ==2, 3-14-3
∴k AB =k BC ⋅又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．
∴ A、B 、C 三点共线．
[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．
母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7) ，求点P 的坐标．
优化分层测讯
学业水平测试
1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．
①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程y =kx +b },B ={一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．
A . A =B B . A ⊇B C . B ⊇A D．以上说法都不对
3．直线L 过点p (⋅-2, m ) 和Q (m , 4) 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．
A . 1 B . 4 C . 1或3 D . 1或4
4．过点M (-, 2) 与N (-2, ) 的直线的斜率k = ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4) ，在坐标轴上有一点B ，若k AB =2, 则B 点的坐标为 6．已知方程2x +3y +6=0.
(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点(, 1) 是否在直线L 上．
32
高考能力测试
（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）
1．点A (0, 1) 、B (, 4) 在直线l 1上，若直线l 2⊥l 1, 则直线l 2的倾斜角为( )．
A . -30 B . 30 C . 120o D . 150
2．直线L 的倾斜角为α, sin α是方程4x -43x +3=0的根，则a 的值是( )．
2
A . 60 B . 120 C . 30o O 或150 D . 60 或120
3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线y =3对称的直线的倾斜角是( )．
A . θ B . 90 -θ C . 180o -θ D . 90 -θ
4．若A (3, -2) 、B (-9, 4) 、C (x , 0) 三点共线，则x 的值为( )．
A . 1 B . -1 C . 0 D . 7
5．若直线L 经过点(a -2, -1) 和(-a -2, 1), 且与经过点(-2, 1) 、斜率为-( )．
2
的直线垂直，则实数a 的值是3
A . -
2323 B . - C . D . 3232
6．设点A (2, -3) 、B (-3, -2), 直线L 过点P(l，1) 且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．
A . k ≥
33133
或k ≤-4 B . k ≥或k ≤- C . -4≤k ≤ D . -≤k ≤4 44444
7．直线L 过点A(l，2) ，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．
11A .[0, 2] B .[0, 1] C .[0, ] D ⋅[0, )
22
8．已知A (a , 2) 、B (3, b +1), 且直线AB 的倾斜角为90, 则a 、b 的值为( )．
A . a =3, b =1 B . a =2, b =2 C . a =2, b =3 D . a =3, b ∈R 且b =/1
二、填空题（5分x4 =20分）
9．给出以下命题：
①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是-30; ③倾斜角为0的直线只有一条，即x 轴；
④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0≤α
其中正确命题的序号是
10．三点（2，-3）、(4，3) 及(5, ) 在同一条直线上，则k 的值等于
11．已知过P (1-a , 1+a ) 和Q (3, 2a ) 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12. 直线cos θ⋅x +y +1=0(θ∈R ) 的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）
13. 斜率为2的直线经过A (3, 5) 、B (a , 7) 、C (-1, b ) 三点，求a 、b 的值．
14．(1)已知矩形ABCD 中，A (1, 2) 、B (2, 1) 、中心E (3, 3), 点P (x , y ) 在矩形的边界及内部运动，求
值范围；
(2)若实数x 、y 满足：y =2x +1且x ≤2, y ≥-3, 求
15. 求经过两点M (-1, 2) 、N (m , 3)(m ∈R ) 的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？
16. 求函数y =
k 2
y
的取x
y
的取值范围． x
3sin x +1
的值域.
sin x +2