4.3 标准渐开线齿轮直齿圆柱齿轮啮合传动
一、 啮合过程和正确啮合条件
图
1
图
2
图3
图中B2点 是从动轮2齿顶圆与啮合线N1N2的交点，是一对轮齿啮合的起始点。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线移动，直到 主动轮1的齿顶圆与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触，B1点为轮齿啮合的终止点。
从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线上的一段，即
，称为实际啮合线。
当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线，所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论啮合线，称为理论啮合线。
从动画中可以看出，在两轮轮齿的啮合过程中，并非全部渐开线齿廓都参加工作，而
是图中阴影线所示的部分。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。 一对齿轮啮合时：
三个图中的齿轮都是渐开线齿轮，但 图1和图2中的主动轮只能带动从动轮转过一个小角度就卡死不能动了，而图3中的主动轮可以带动从动轮整周转动，看来并不是任意两个渐开线齿轮都能正确地进行啮合，而是必须满足一定的条件，即正确啮合条件。那么，这个条件是什么？
从图3中可以看出：两个渐开线齿轮在啮合过程中，参加啮合的轮齿的工作一侧齿廓的啮合点都在啮合线N1N2上。而在 图1和图2中，工作一侧齿廓的啮合点H不在啮合线N1N2上，这就是两轮卡死的原因。 从图3中可以看出
是齿轮1的法向齿矩
，
是齿轮2的法向齿矩
，亦即:
这个式子就是一对相啮合齿轮的轮齿分布要满足的几何条件,称为正确啮合条件。 由渐开线性质可知，法向齿距与基圆齿距相等，故上式也可写成
将
和
代入式中得：
由于模数m和压力角均已标准化，不能任意选取，所以要满足上式必须使：
结论：一对渐开线齿轮，在模数和压力角取标准值的情况下，只要它们分度圆上的模数和压力角分别相等，就能正确啮合。
二、 齿轮传动的正确安装条件
1、齿侧间隙
为了避免齿轮在正转和反转两个方向的传动中齿轮发生撞击,要求相啮合的轮齿的齿侧没有间隙。
齿侧间隙沿两轮的节圆来测量，无测隙要求：
，
即无齿侧间隙啮合条件为：一个齿轮节圆上的槽宽等于另一个齿轮节圆上的齿厚。 2、标准安装
如图所示为满足正确啮合条件的一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，它的中心距是两轮分度圆半径之和，此中心距称为标准中心距。
啮合线N1N2与O1O2的交点C是啮合节点，而两轮分度圆也相切于C点，所以分度圆与节圆重合为一个圆。即
由于标准齿轮的分度圆齿厚与槽宽相等，因此
结论：两个标准齿轮如果按照标准中心距安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。
从图中可以看出一轮齿顶与另一轮齿根之间有一个径向间隙c ，我们称为顶隙，它是为储存润滑油以润滑齿廓表面而设置的，这就是标准齿轮齿根高大于齿顶高的原因，并因此把c*称为顶隙系数。在上述的安装情况下c＝c*m ，c*m 称为标准顶隙。 一对标准齿轮按照标准中心距安装，我们称之为标准安装 。
3、非标准安装
两轮的实际中心距不等于标准中心距。这时节圆与分度圆不重合，节圆半径也不等
于分度圆半径，其啮合角也不等于分度圆的压力角。
标准中心距为
a'r1'r2'
acoscos'
实际中心距为
4、齿轮与齿条 传动的标准安装
1）标准安装：齿轮的分度圆与齿条的中线相切，称这种安装为标准齿轮与齿条的标准安装。
在标准安装的情况下，节点C是齿条中线与分度圆的切点，此时，齿轮分度圆与节圆重合，齿条中线与节线重合； 啮合角
由于标准齿轮分度圆上的齿厚等于槽宽，齿条中线上的齿厚也等于槽宽，且均等于
。
结论：标准齿轮和齿条如果是标准安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。
2）非标准安装： 齿轮的分度圆与齿条的中线不相切，出现侧隙。
等于分度圆压力角
。
从图中可以看出，齿轮和齿条将只有一侧接触，另一侧出现间隙。但由于啮合线不变，因而节点C不变，故：齿轮节圆与分度圆仍重合，但齿条节线与中线不再重合； 啮合角
从上面的分析可以发现，当齿轮与齿条啮合传动时，无论是标准安装还是非标准安装都具有下面两个特点：
1.
齿轮分度圆永远与节圆重合，
；
等于分度圆压力角。这种安装称为非标准安装。
2.
啮合角永远等于分度圆压力角，
三、渐开线齿轮机构连续传动的条件 1.轮齿啮合过程
。
图中B2点 是从动轮2齿顶圆与啮合线N1N2的交点，是一对轮齿啮合的起始点。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线移动，直到 主动轮1的齿顶圆与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触，B1点为轮齿啮合的终止点。
从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线上的一段，即称为实际啮合线。
，
当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线，所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论啮合线，称为理论啮合线。
从动画中可以看出，在两轮轮齿的啮合过程中，并非全部渐开线齿廓都参加工作，而是图中阴影线所示的部分。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。 一对齿轮啮合时： 2.连续传动条件
从图中可以看出，虽然一对渐开线齿轮的法向齿距相等，但是齿在点B1脱离啮合时，后一对轮齿尚未进入啮合，传动中断。 若
，当前一对轮齿在B1点即将脱离啮合时，后一对轮齿正好在B2点啮合，
，当前一对轮
传动刚好连续，在传动过程中，始终有一对轮齿啮合。 若
，当前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿已进入啮合，确保了传动的
连续性。在传动过程中，有时是一对轮齿啮合，有时是两对轮齿啮合。 则齿轮连续传动的条件：实际啮合线的长度大于或至少等于法向齿距。 我们把条件为：
与
的比值用
表示， 称为齿轮传动的重合度，故齿轮连续传动的
从理论上讲重合度
＝1就能保证齿轮的连续传动，但在实际应用中考虑到制造和安
应大于或至少等于许用值[],
装的误差，为确保齿轮传动的连续，
]的推荐值
3
、重合度 的计算方法
1）一对外齿轮传动的重合度 的计算方法
由图可知：
于是可得:
其中,
2）齿轮齿条重合度
的计算方法
为啮合角，
和
分别为齿轮1、齿轮2的齿顶圆压力角。
由图可知：
则
由上述重合度的计算公式，可以看出 :
1.
与模数无关，而随齿数的增加而加大。
2. 当两轮齿数趋于无穷大时，将趋于理论上的极限值。
当=20°、时，＝1.981 事实上，由于两轮均变为齿条，将吻合成一体
而无啮合运动。所以，这个理论上的极限值是不可能达到的。
4、重合度的含义 物理意义
重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的平均值。
＝1，表明在两轮啮合过程中，始终只有一对轮齿啮合。
＝2，表明在两轮啮合过程中， 始终有二对轮齿啮合。
＝1.61，表明在两轮啮合过程中，有时有一对轮齿啮合，有时有两对轮齿啮合。
B2D和EB1为两对齿啮合区，DE为一对齿啮合区。 结论:
1、越大，表明同时参与啮合的轮齿对数越多，传动愈平稳，每对轮齿承受的载荷越小。
2、重合度是衡量齿轮传动性能的重要指标。
例1：
已知一对直齿圆柱标准齿轮的参数如下：
（1）求这对齿轮作无侧隙啮合时的中心距、节圆半径和重合度； （2）当将两齿轮的中心距增加1mm时，求其节圆半径和重合度。 解：
（1）由于这对齿轮为标准齿轮，所以当它们作无侧隙啮合传动时，其中心距等于标准中心距。则
其啮合角
节圆半径为 。
重合度计算如下：
；
；
；
；
则 ，
（2）当中心距增加1mm时，两齿轮变为齿侧间隙啮合。这时的中心距为
则啮合角为
，
节圆半径为 重合度为 ；
比较两个计算结果可知，当中心距加大时，两齿轮不再作无侧隙啮合，分度圆将不再与节圆重合。 另外，由于两基圆之间距离加大，啮合线变陡，啮合角增大（
圆后退，致使实际啮合线
）；又由于两齿顶急剧缩短，从而使重合度减小。
4.3 标准渐开线齿轮直齿圆柱齿轮啮合传动
一、 啮合过程和正确啮合条件
图
1
图
2
图3
图中B2点 是从动轮2齿顶圆与啮合线N1N2的交点，是一对轮齿啮合的起始点。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线移动，直到 主动轮1的齿顶圆与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触，B1点为轮齿啮合的终止点。
从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线上的一段，即
，称为实际啮合线。
当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线，所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论啮合线，称为理论啮合线。
从动画中可以看出，在两轮轮齿的啮合过程中，并非全部渐开线齿廓都参加工作，而
是图中阴影线所示的部分。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。 一对齿轮啮合时：
三个图中的齿轮都是渐开线齿轮，但 图1和图2中的主动轮只能带动从动轮转过一个小角度就卡死不能动了，而图3中的主动轮可以带动从动轮整周转动，看来并不是任意两个渐开线齿轮都能正确地进行啮合，而是必须满足一定的条件，即正确啮合条件。那么，这个条件是什么？
从图3中可以看出：两个渐开线齿轮在啮合过程中，参加啮合的轮齿的工作一侧齿廓的啮合点都在啮合线N1N2上。而在 图1和图2中，工作一侧齿廓的啮合点H不在啮合线N1N2上，这就是两轮卡死的原因。 从图3中可以看出
是齿轮1的法向齿矩
，
是齿轮2的法向齿矩
，亦即:
这个式子就是一对相啮合齿轮的轮齿分布要满足的几何条件,称为正确啮合条件。 由渐开线性质可知，法向齿距与基圆齿距相等，故上式也可写成
将
和
代入式中得：
由于模数m和压力角均已标准化，不能任意选取，所以要满足上式必须使：
结论：一对渐开线齿轮，在模数和压力角取标准值的情况下，只要它们分度圆上的模数和压力角分别相等，就能正确啮合。
二、 齿轮传动的正确安装条件
1、齿侧间隙
为了避免齿轮在正转和反转两个方向的传动中齿轮发生撞击,要求相啮合的轮齿的齿侧没有间隙。
齿侧间隙沿两轮的节圆来测量，无测隙要求：
，
即无齿侧间隙啮合条件为：一个齿轮节圆上的槽宽等于另一个齿轮节圆上的齿厚。 2、标准安装
如图所示为满足正确啮合条件的一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，它的中心距是两轮分度圆半径之和，此中心距称为标准中心距。
啮合线N1N2与O1O2的交点C是啮合节点，而两轮分度圆也相切于C点，所以分度圆与节圆重合为一个圆。即
由于标准齿轮的分度圆齿厚与槽宽相等，因此
结论：两个标准齿轮如果按照标准中心距安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。
从图中可以看出一轮齿顶与另一轮齿根之间有一个径向间隙c ，我们称为顶隙，它是为储存润滑油以润滑齿廓表面而设置的，这就是标准齿轮齿根高大于齿顶高的原因，并因此把c*称为顶隙系数。在上述的安装情况下c＝c*m ，c*m 称为标准顶隙。 一对标准齿轮按照标准中心距安装，我们称之为标准安装 。
3、非标准安装
两轮的实际中心距不等于标准中心距。这时节圆与分度圆不重合，节圆半径也不等
于分度圆半径，其啮合角也不等于分度圆的压力角。
标准中心距为
a'r1'r2'
acoscos'
实际中心距为
4、齿轮与齿条 传动的标准安装
1）标准安装：齿轮的分度圆与齿条的中线相切，称这种安装为标准齿轮与齿条的标准安装。
在标准安装的情况下，节点C是齿条中线与分度圆的切点，此时，齿轮分度圆与节圆重合，齿条中线与节线重合； 啮合角
由于标准齿轮分度圆上的齿厚等于槽宽，齿条中线上的齿厚也等于槽宽，且均等于
。
结论：标准齿轮和齿条如果是标准安装，就能满足无齿侧间隙啮合条件，能实现无齿侧间隙啮合传动。
2）非标准安装： 齿轮的分度圆与齿条的中线不相切，出现侧隙。
等于分度圆压力角
。
从图中可以看出，齿轮和齿条将只有一侧接触，另一侧出现间隙。但由于啮合线不变，因而节点C不变，故：齿轮节圆与分度圆仍重合，但齿条节线与中线不再重合； 啮合角
从上面的分析可以发现，当齿轮与齿条啮合传动时，无论是标准安装还是非标准安装都具有下面两个特点：
1.
齿轮分度圆永远与节圆重合，
；
等于分度圆压力角。这种安装称为非标准安装。
2.
啮合角永远等于分度圆压力角，
三、渐开线齿轮机构连续传动的条件 1.轮齿啮合过程
。
图中B2点 是从动轮2齿顶圆与啮合线N1N2的交点，是一对轮齿啮合的起始点。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点沿着啮合线移动，直到 主动轮1的齿顶圆与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触，B1点为轮齿啮合的终止点。
从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线上的一段，即称为实际啮合线。
，
当两轮齿顶圆加大时，点B2和B1将分别趋近于点N1和N2，实际啮合线将加长，但因基圆内无渐开线，所以实际啮合线不会超过N1N2，即N1N2是理论啮合线，称为理论啮合线。
从动画中可以看出，在两轮轮齿的啮合过程中，并非全部渐开线齿廓都参加工作，而是图中阴影线所示的部分。实际参与啮合的这段齿廓称为齿廓工作段。 一对齿轮啮合时： 2.连续传动条件
从图中可以看出，虽然一对渐开线齿轮的法向齿距相等，但是齿在点B1脱离啮合时，后一对轮齿尚未进入啮合，传动中断。 若
，当前一对轮齿在B1点即将脱离啮合时，后一对轮齿正好在B2点啮合，
，当前一对轮
传动刚好连续，在传动过程中，始终有一对轮齿啮合。 若
，当前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿已进入啮合，确保了传动的
连续性。在传动过程中，有时是一对轮齿啮合，有时是两对轮齿啮合。 则齿轮连续传动的条件：实际啮合线的长度大于或至少等于法向齿距。 我们把条件为：
与
的比值用
表示， 称为齿轮传动的重合度，故齿轮连续传动的
从理论上讲重合度
＝1就能保证齿轮的连续传动，但在实际应用中考虑到制造和安
应大于或至少等于许用值[],
装的误差，为确保齿轮传动的连续，
]的推荐值
3
、重合度 的计算方法
1）一对外齿轮传动的重合度 的计算方法
由图可知：
于是可得:
其中,
2）齿轮齿条重合度
的计算方法
为啮合角，
和
分别为齿轮1、齿轮2的齿顶圆压力角。
由图可知：
则
由上述重合度的计算公式，可以看出 :
1.
与模数无关，而随齿数的增加而加大。
2. 当两轮齿数趋于无穷大时，将趋于理论上的极限值。
当=20°、时，＝1.981 事实上，由于两轮均变为齿条，将吻合成一体
而无啮合运动。所以，这个理论上的极限值是不可能达到的。
4、重合度的含义 物理意义
重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的平均值。
＝1，表明在两轮啮合过程中，始终只有一对轮齿啮合。
＝2，表明在两轮啮合过程中， 始终有二对轮齿啮合。
＝1.61，表明在两轮啮合过程中，有时有一对轮齿啮合，有时有两对轮齿啮合。
B2D和EB1为两对齿啮合区，DE为一对齿啮合区。 结论:
1、越大，表明同时参与啮合的轮齿对数越多，传动愈平稳，每对轮齿承受的载荷越小。
2、重合度是衡量齿轮传动性能的重要指标。
例1：
已知一对直齿圆柱标准齿轮的参数如下：
（1）求这对齿轮作无侧隙啮合时的中心距、节圆半径和重合度； （2）当将两齿轮的中心距增加1mm时，求其节圆半径和重合度。 解：
（1）由于这对齿轮为标准齿轮，所以当它们作无侧隙啮合传动时，其中心距等于标准中心距。则
其啮合角
节圆半径为 。
重合度计算如下：
；
；
；
；
则 ，
（2）当中心距增加1mm时，两齿轮变为齿侧间隙啮合。这时的中心距为
则啮合角为
，
节圆半径为 重合度为 ；
比较两个计算结果可知，当中心距加大时，两齿轮不再作无侧隙啮合，分度圆将不再与节圆重合。 另外，由于两基圆之间距离加大，啮合线变陡，啮合角增大（
圆后退，致使实际啮合线
）；又由于两齿顶急剧缩短，从而使重合度减小。