摘 要：数学广泛存在于生活中，善于开发和利用学生身边的数学资源与素材进行加工和创造，有利于提高学生的知识视野。关注数学活动的教学，更能激发学生学习数学的兴趣，注重数学模型的作用，有助于学生创造能力的培养。
关键词：三角板；旋转的不变性；创造能力；逻辑思维能力
随着课改的进行及《义务教育数学课程标准》的实施，处处体现生活中存在数学。怎样去发现数学，其实数学就在身边，留心观察，细心思考，你会体会到数学的奇妙与快乐。下面就简单的一副三角板的开发和利用，谈点自己的看法与启示。
首先进入我们视野的是等腰直角三角形，这是一个德才兼备的几何图形，它既具有等腰三角形的性质又具有直角三角形的性质。研究起来会妙笔生花，细心的品读它带给我们的快乐。取一对全等的含45度角的三角板进行简单的探究活动，将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边中点上。设AC=BC=4，
（1）如图1，两三角板重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积是多少？周长为多少？
显而易见：△ACM的面积等于△ABC的一半周长等于AB+AC，而AB的长由勾股定理求得。
（2）将图1中的三角板MNK绕顶点M逆时针旋转45度角，得到图2，则重叠部分的面积会发生变化吗？周长为多少？类比图1很快就会发现没有变化周长为8。
（3）将△MNK绕点M旋转到不同于图1和图2的位置，你猜想此时重叠部分面积会发生变化吗？如果不发生变化，请说出理由。于是学生投入到激烈讨论中，这种跳跃性思维跃然于纸上。启发在已有的研究成果基础上去构造，既然△MNK是旋转变化的，能不能转换为图1于图2的图形。观察与研究发现面积不变，那又怎样证明。连接CM会发现△CMG会和△APM全等，可以看成△CMG绕点M旋转90度角得到的，此时图形旋转起到了一个惊人的变化。由特殊到一般揭示了图形变换的本质，一石激起千层浪，让学生自己拼图利用三角板反复进行仔细观察会发现什么？小组讨论、研究。追问：在图3中，AP=1的情况下，怎样求重叠部分的周长？生1：坏了，这下掉进老师设的陷阱里了，出不来了。此时，我静静地等待学生研究成果。生2：AP=1，CP=3，由三角形全等知：CG=AP=1，可PM=MG=？此时，陷入僵局，大部分同学投入积极的思考中，既然是旋转大家能不能转化为图1，图2呢？从中得到哪些启示。图3能转化为图2吗？联想与旋转变化交替进行，是数学思维活动进入了又一个高峰。积极的思考和点拨，让学生在思维的碰撞中产生火花。生3：老师我知道了。生4：我也知道了。我抓住有利时机，问什么在这里起到了重要的作用，勾股定理即可求DM的长。从中看到了旋转的作用，全等变换其形变本质不变，找到恰当的解题方法，达到融会贯通的目的。
思维的发散与变式正是研究问题的恰好时机，此时展示2013年河南省中考试题，实现思维的正向迁移。
将两块全等的含30度的三角板如图4放在一起，△ABC与△DEC重合放置，∠C=90度，∠B=∠E=30度。（1）操作发现：固定△ABC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，如图5，填空：①线段DE与AC位置关系_______。②设△BCD的面积与△AEC的面积的数量关系是 。③猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图6的位置时，小马猜想②中的结论仍然成立，并尝试分别做△BDC和△AEC的BC与CE边上的高，请你证明小马的猜想。
有了前一个习题的铺垫，①②两问学生会顺利地得到解答。③的解答细细的思考会发现，既然是旋转，抓住旋转的不变性及旋转前后的图形全等的特征，可证△ACN≌△DCM即可。
当替换条件时，∠BAC=36度，△ABC为等腰三角形，上述条件不改变，就变为一般情况，这样从一般到特殊的思维方法。拓展学生的知识视野，举一反三，融会贯通使知识达到成片开发，提高学生的想象能力及逻辑思维能力，达到训练目的。
启示：在这节习题课中，旋转的特殊性质，抓住旋转的不变性，利用全等条件，仔细观察图形的变化，启发学生思维开发和利用旋转的内在联系，一题多用，变换条件。螺旋上升，使学生的视野开阔，提升解答问题的能力。教学中只要留心观察，认真研究习题的变化和解题规律就会有所收获。充分利用学生手中的三角板进行演示，拼接通过全方位观察思考，运用工具进行知识重组和解答，无疑对培养学生思维的灵活性和独创性有着十分重要的意义。事实上，充满思考性的练习题即使学生没能完全正确解答出来，也能有效地训练学生的创新思维。这不仅有利于提高学生思考、分析的积极性，也有利于开发学生的创造潜能。创造性思维不仅要求思维的数量，还要求思维的深度和灵活性，即思维的变通性。创造性教学则是培养创造性思维和创新能力的基础。所以教师在教学过程中要从多角度训练学生的思维品质，使学生能独立地、自觉地运用所给问题的条件，并做出新的变换和组合，培养学生灵活应变能力。所以在教学中要关注学生的数学活动，培养动手操作能力，及时转换为数学模型，挖掘数学习题的内在潜质，去发现共性进而研究这类习题的解题规律。
以上三例的演示与启发使我认识到：教师一定要充分收集利用已有的数学资源，进行加工与创造培养学生的探究精神。去追求数学知识的内在联系，加强创新思维训练与培养，有待于我们去研究和利用。
（作者单位 永吉县第七中学）
编辑 鲁翠红
摘 要：数学广泛存在于生活中，善于开发和利用学生身边的数学资源与素材进行加工和创造，有利于提高学生的知识视野。关注数学活动的教学，更能激发学生学习数学的兴趣，注重数学模型的作用，有助于学生创造能力的培养。
关键词：三角板；旋转的不变性；创造能力；逻辑思维能力
随着课改的进行及《义务教育数学课程标准》的实施，处处体现生活中存在数学。怎样去发现数学，其实数学就在身边，留心观察，细心思考，你会体会到数学的奇妙与快乐。下面就简单的一副三角板的开发和利用，谈点自己的看法与启示。
首先进入我们视野的是等腰直角三角形，这是一个德才兼备的几何图形，它既具有等腰三角形的性质又具有直角三角形的性质。研究起来会妙笔生花，细心的品读它带给我们的快乐。取一对全等的含45度角的三角板进行简单的探究活动，将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边中点上。设AC=BC=4，
（1）如图1，两三角板重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积是多少？周长为多少？
显而易见：△ACM的面积等于△ABC的一半周长等于AB+AC，而AB的长由勾股定理求得。
（2）将图1中的三角板MNK绕顶点M逆时针旋转45度角，得到图2，则重叠部分的面积会发生变化吗？周长为多少？类比图1很快就会发现没有变化周长为8。
（3）将△MNK绕点M旋转到不同于图1和图2的位置，你猜想此时重叠部分面积会发生变化吗？如果不发生变化，请说出理由。于是学生投入到激烈讨论中，这种跳跃性思维跃然于纸上。启发在已有的研究成果基础上去构造，既然△MNK是旋转变化的，能不能转换为图1于图2的图形。观察与研究发现面积不变，那又怎样证明。连接CM会发现△CMG会和△APM全等，可以看成△CMG绕点M旋转90度角得到的，此时图形旋转起到了一个惊人的变化。由特殊到一般揭示了图形变换的本质，一石激起千层浪，让学生自己拼图利用三角板反复进行仔细观察会发现什么？小组讨论、研究。追问：在图3中，AP=1的情况下，怎样求重叠部分的周长？生1：坏了，这下掉进老师设的陷阱里了，出不来了。此时，我静静地等待学生研究成果。生2：AP=1，CP=3，由三角形全等知：CG=AP=1，可PM=MG=？此时，陷入僵局，大部分同学投入积极的思考中，既然是旋转大家能不能转化为图1，图2呢？从中得到哪些启示。图3能转化为图2吗？联想与旋转变化交替进行，是数学思维活动进入了又一个高峰。积极的思考和点拨，让学生在思维的碰撞中产生火花。生3：老师我知道了。生4：我也知道了。我抓住有利时机，问什么在这里起到了重要的作用，勾股定理即可求DM的长。从中看到了旋转的作用，全等变换其形变本质不变，找到恰当的解题方法，达到融会贯通的目的。
思维的发散与变式正是研究问题的恰好时机，此时展示2013年河南省中考试题，实现思维的正向迁移。
将两块全等的含30度的三角板如图4放在一起，△ABC与△DEC重合放置，∠C=90度，∠B=∠E=30度。（1）操作发现：固定△ABC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，如图5，填空：①线段DE与AC位置关系_______。②设△BCD的面积与△AEC的面积的数量关系是 。③猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图6的位置时，小马猜想②中的结论仍然成立，并尝试分别做△BDC和△AEC的BC与CE边上的高，请你证明小马的猜想。
有了前一个习题的铺垫，①②两问学生会顺利地得到解答。③的解答细细的思考会发现，既然是旋转，抓住旋转的不变性及旋转前后的图形全等的特征，可证△ACN≌△DCM即可。
当替换条件时，∠BAC=36度，△ABC为等腰三角形，上述条件不改变，就变为一般情况，这样从一般到特殊的思维方法。拓展学生的知识视野，举一反三，融会贯通使知识达到成片开发，提高学生的想象能力及逻辑思维能力，达到训练目的。
启示：在这节习题课中，旋转的特殊性质，抓住旋转的不变性，利用全等条件，仔细观察图形的变化，启发学生思维开发和利用旋转的内在联系，一题多用，变换条件。螺旋上升，使学生的视野开阔，提升解答问题的能力。教学中只要留心观察，认真研究习题的变化和解题规律就会有所收获。充分利用学生手中的三角板进行演示，拼接通过全方位观察思考，运用工具进行知识重组和解答，无疑对培养学生思维的灵活性和独创性有着十分重要的意义。事实上，充满思考性的练习题即使学生没能完全正确解答出来，也能有效地训练学生的创新思维。这不仅有利于提高学生思考、分析的积极性，也有利于开发学生的创造潜能。创造性思维不仅要求思维的数量，还要求思维的深度和灵活性，即思维的变通性。创造性教学则是培养创造性思维和创新能力的基础。所以教师在教学过程中要从多角度训练学生的思维品质，使学生能独立地、自觉地运用所给问题的条件，并做出新的变换和组合，培养学生灵活应变能力。所以在教学中要关注学生的数学活动，培养动手操作能力，及时转换为数学模型，挖掘数学习题的内在潜质，去发现共性进而研究这类习题的解题规律。
以上三例的演示与启发使我认识到：教师一定要充分收集利用已有的数学资源，进行加工与创造培养学生的探究精神。去追求数学知识的内在联系，加强创新思维训练与培养，有待于我们去研究和利用。
（作者单位 永吉县第七中学）
编辑 鲁翠红