1998年第10期 数学通讯19
也谈“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体?”
毛希全
(江西省南城师范学校 344700)
对于命题“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体”,文[1]通过给出两个有公共对角线BD’的全等矩形
,CBA’,构造出一个平行六面体ABC’D’D’,证明了该平行六面体不ABCD2A’B’C’D’
行四边形;直棱柱的对角面是矩形;n棱柱共
(n≥3)个对角面;有
2
.
21是直平行六面体,从而得出结论:个假命题.笔者以为商榷.
文[,问题是什么是平行六面体的对角面?
多面体中不在同一面上的三顶点所决定的平面称为多面体的对角面[2].或表述为:多面体中含有一双对棱的平面或含有一棱及与它相对的顶点的平面,叫做这个多面体的对角面[3].这是广义地对多面体的对角面所下的定义.文[1]显然是在这一定义下讨论的.但是,对于棱柱这种特殊的多面体,还有狭义的定义:对于棱柱(棱锥或棱台),经过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱(棱锥或棱台)的对角面[4].按照这种定义,原命题就是一个真命题.
两种定义,究意选择何种定义更适宜呢?笔者认为,在教学中宜采用狭义的一种作为棱柱对角面的定义.这是因为:
11棱柱作为一种特殊的多面体,为研究
.《立体几何》教材以及上海科学出版社出版的数理化自学丛书《立体几何》等,使用的都是这一种定义.
31尽管现行普通高中教材中没有出现
对角面的定义,但在几乎所有的高中数学复习指导用书中,或者直接给出了这种狭义的定义,或者列出了以此定义为前提的性质:直棱柱的对角面都是矩形等.
41也许有人会提出:平行六面体的底面
不一定是水平放置的(图形变式),如果以文[1]中的ABB’作底面,CBA’不成了对A’D’
角面吗?然而,此时面ABC’的四条边均不D’能作为侧棱,即此时ABC’不能作为对角D’面.
由此可知,棱柱对角面定义为“经过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面”已是约定俗成并被普遍采用,而且棱柱对角面的性质已成为棱柱截面性质的一个有机组成部分.因此,在这种定义下,命题“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体”不能认为是一个假命题.
参考文献
1 刘毅.两个对角面都是矩形的平行六面体一定是
它的性质的方便,将其对角面的概念限制在经过不相邻的两条侧棱的截面的范围是必要
的.如若不加这种限制,讨论棱柱(如六棱柱)的对角面的个数、形状及其面积的计算等,就显得很复杂,也难以为中学生所掌握,而加以限制后,棱柱、棱锥、棱台对角面的概念得到了统一,同时也容易得到:棱柱的对角面是平
直平行六面体?数学通讯,1997(8)
2 朱德祥.初等数学复习与研究
(立体几何).北京:
人民教育出版社,1960
3 中学数学教师手册,上海:上海教育出版社,19864 数学小辞典.科学技术文献出版社,1983
1998年第10期 数学通讯19
也谈“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体?”
毛希全
(江西省南城师范学校 344700)
对于命题“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体”,文[1]通过给出两个有公共对角线BD’的全等矩形
,CBA’,构造出一个平行六面体ABC’D’D’,证明了该平行六面体不ABCD2A’B’C’D’
行四边形;直棱柱的对角面是矩形;n棱柱共
(n≥3)个对角面;有
2
.
21是直平行六面体,从而得出结论:个假命题.笔者以为商榷.
文[,问题是什么是平行六面体的对角面?
多面体中不在同一面上的三顶点所决定的平面称为多面体的对角面[2].或表述为:多面体中含有一双对棱的平面或含有一棱及与它相对的顶点的平面,叫做这个多面体的对角面[3].这是广义地对多面体的对角面所下的定义.文[1]显然是在这一定义下讨论的.但是,对于棱柱这种特殊的多面体,还有狭义的定义:对于棱柱(棱锥或棱台),经过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱(棱锥或棱台)的对角面[4].按照这种定义,原命题就是一个真命题.
两种定义,究意选择何种定义更适宜呢?笔者认为,在教学中宜采用狭义的一种作为棱柱对角面的定义.这是因为:
11棱柱作为一种特殊的多面体,为研究
.《立体几何》教材以及上海科学出版社出版的数理化自学丛书《立体几何》等,使用的都是这一种定义.
31尽管现行普通高中教材中没有出现
对角面的定义,但在几乎所有的高中数学复习指导用书中,或者直接给出了这种狭义的定义,或者列出了以此定义为前提的性质:直棱柱的对角面都是矩形等.
41也许有人会提出:平行六面体的底面
不一定是水平放置的(图形变式),如果以文[1]中的ABB’作底面,CBA’不成了对A’D’
角面吗?然而,此时面ABC’的四条边均不D’能作为侧棱,即此时ABC’不能作为对角D’面.
由此可知,棱柱对角面定义为“经过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面”已是约定俗成并被普遍采用,而且棱柱对角面的性质已成为棱柱截面性质的一个有机组成部分.因此,在这种定义下,命题“两个对角面都是矩形的平行六面体一定是直平行六面体”不能认为是一个假命题.
参考文献
1 刘毅.两个对角面都是矩形的平行六面体一定是
它的性质的方便,将其对角面的概念限制在经过不相邻的两条侧棱的截面的范围是必要
的.如若不加这种限制,讨论棱柱(如六棱柱)的对角面的个数、形状及其面积的计算等,就显得很复杂,也难以为中学生所掌握,而加以限制后,棱柱、棱锥、棱台对角面的概念得到了统一,同时也容易得到:棱柱的对角面是平
直平行六面体?数学通讯,1997(8)
2 朱德祥.初等数学复习与研究
(立体几何).北京:
人民教育出版社,1960
3 中学数学教师手册,上海:上海教育出版社,19864 数学小辞典.科学技术文献出版社,1983