9正方形的判定
强立新
教学目的
1．掌握正方形的判定方法．
2．通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力． 3．通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美 教学重点：正方形的判定方法． 教学难点：正方形判定方法的应用． 一．设疑自探
1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？
2．正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？ 3 我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： （ 1）． 四条边都相等； （2）． 四个角都是直角．
因此，正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形． 你能象前面我们寻找的判定方法一样来探索正方形的判定吗．
判定定理一：、一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理二：有一个角是直角的菱形是正方形； 判别方法
1）先证是平行四边形； 2）再证是矩形或菱形； 3）再加菱形或矩形的特征
4)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
5)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组
邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角
如：1）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD， 平行四边形ABCD为菱形③
2）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD， 平行四边形ABCD为菱形③AC＝BD
3）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD，平行四边形ABCD为菱形③ 4）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD，平行四边形ABCD为菱形③AC＝BD 5）①四边形ABCD为平行四边形ABCD② ③AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD 6）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②
，平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD ，平行四边形ABCD为矩形
7）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC＝BD，平行四边形ABCD为矩形③AB＝AD或AB＝BC或 AD＝DC或BC＝CD
8）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC＝BD，平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD 二、经典例题
类型一、一组邻边相等的矩形是正方形；
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例题1 （2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
例2. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
思路分析：
1）题意分析：此题考查正方形的判定。
2）解题思路：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP，即可证出MN=NP．从而得出结论。
解答过程：
∵PN⊥l1，QM⊥l1，
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∴PN∥QM，∠PNM=90°． ∵PQ∥NM（l1//l2）， ∴四边形PQMN是矩形． ∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴∠1+∠2=90°． 又∵∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN．
∴AM=DN． 同理 AN=DP． ∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN．
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
解题后的思考：本题考查对正方形判定的应用，即先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边相等，从而判定这个四边形是正方形。
【变式】 2014•温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥
AD，垂足分别为E、F． （1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
∠DAQ＝∠DBP
BP＝AQ
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，
∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP， ∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵
∠
BAC=90
°，AB=AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°， 又∵∠A=90°，∠PDQ=90°， ∴四边形APDQ为矩形，
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【变式】（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一
点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF， 又∵AD∥BC，AB=CD， ∴∠B=∠DCF，AB=EC， ∴∠B=∠ECF， ∴AB∥EC， 又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BC=2AD， ∴AD=BG， 又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；
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（2）∵四边形ABGD是平行四边形， ∴AB∥DG，AB=DG， 又∵AB∥EC，AB=EC， ∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形， 又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形， ∴DG=DC，
∴DG2+DC2=CG2， ∴∠GDC=90°，
∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴MN=PQ=NP=MQ ∴四边形PQMN为菱形 解题后的思考：
顺次连接任意四边形和平行四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。如图一中图形。
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的四边形是菱形， 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的四边形是矩形， 如菱形或图三中图形等。
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。
还要注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．要熟悉这些最基本的内容．
2. 对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，进而判定这个矩形也是菱形，或先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，即可判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形的定义来判定。
预习导学 一、预习新知：
下一讲我们将学习梯形，请同学们预习这部分内容。 二、预习点拨：
梯形是一种特殊的四边形，其与平行四边形的共同点：都是凸四边形；它们的区别：平行四边形有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；梯形的上、下底是以长短来区分的，而不是指位置关系．那么特殊的梯形有哪些？它们各有什么性质？
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同步练习
（答题时间：60分钟） 一、选择题
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD
C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC
，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
3. 下列命题中的假命题是（ ）．
A. 有一角是直角的菱形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是正方形
二、填空题
4. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.
5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接 第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形 的面积是 ．
9. 如图所示，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
并证明你的猜想．
证明：如图，设AE
与CG交点为M，AD与CG交点为N． ∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG． 又∵ ∠ANM=∠CND，
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG． 10. 解：． 证法1：连接，
正方形的判定练习
一、选择题（共21小题） 1、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么
=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 其中不正确命题的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、（1999•昆明）下列命题中，正确命题是（ ） A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 3、下列命题中，真命题是（ ） A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 4、（2002•福州）下列说法中错误的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形
C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF
．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 7、（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形 8、（2008•辽宁）下列命题中正确的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 9、（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 10、（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 11、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC 12、（2004•郑州）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A、（1）（2）（5） B、（2）（3）（5） C、（1）（4）（5） D、（1）（2）（3）
形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 14、（2002•东城区）下列说法中错误的是（ ） A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ） A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④
16、在下列命题中，是真命题的是（ ） A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
17、下列说法中错误的是（ ） A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 18、下列说法正确的是（ ） A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 19、下列说法错误的是（ ） A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（ ） A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 21、（2003•南宁）下列命题正确的是（ ） A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形 二、填空题（共3小题） 22、（2009•天水）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 _________ ．
23、（2004•丰台区）要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是（填一个正确的条件即可）
24、把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上． （1）正方形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成． 三、解答题（共6小题） 25、（2005•广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC
于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由． 26、（2004•四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，
且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
27、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
28、（2010•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 29、（2009•湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD； （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
30、（2006•济南）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
正方形的判定练习答案与评分标准
一、选择题（共21小题） 1、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么
=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 其中不正确命题的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
考点：勾股定理；二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；正方形的判定。 分析：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边，大的一条还可能是斜边，所以第三边长不唯一； （2）正确，符合二次根式的意义；
（3）由于点P（a，b）在第三象限，由此得到a、b的取值范围，然后利用它们的取值范围即可得到结果；正确
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；
（5）可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确． 解答：解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；
（2）符合二次根式的意义，命题正确；
（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限，故命题正确；
（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的． 故选B．
点评：需注意没有明确告知两条边都是直角边，故大的一条还可能是斜边．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 2、（1999•昆明）下列命题中，正确命题是（ ） A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形； 对角线平分且相等的四边形是矩形； 对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误； B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误； C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误； 故选C．
点评：考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记． 3、下列命题中，真命题是（ ） A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系． 解答：解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误； B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确； 故选D．
点评：本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备． 4、（2002•福州）下列说法中错误的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形 考点：矩形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定。
分析：根据矩形的对角线相等平分和正方形的对角线互相垂直相等平分进行判定即可得出结论．
解答：解：根据矩形的判定可知：A，C，D均是正确的，B中，等腰梯形也满足此条件，但不是矩形，故选B．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
5、下列说法中，不正确的是（ ） A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 考点：矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定。
分析：根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．
解答：解：A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；
B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形； C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；
D、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 故选B．
点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点． 6、（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF
．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。 专题：动点型。
分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确． 解答：解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形． 因此①正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形． 因此②错误．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC， 因此④正确．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时，DE最小，此时
DF=BC=4．
∴DE=DF=4； 因此③错误．
当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小． 此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8； 因此⑤正确． 故选B．
点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些． 7、（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。
分析：根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答：解：A：正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形； B：正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C：正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；
D：不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形； 故选D．
点评：此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 8、（2008•辽宁）下列命题中正确的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。
分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确． B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．
D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误． 故选A．
点评：本题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面． 9、（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 考点：正方形的判定。
分析：由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形． 10、（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 考点：正方形的判定；翻折变换（折叠问题）。
解答：解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C． 点评：本题考查了菱形和正方形的判定及性质． 11、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC 考点：正方形的判定。 专题：证明题。
分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A，不能，只能判定为矩形； B，不能，只能判定为平行四边形； C，能；
D，不能，只能判定为菱形． 故选C．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 12、（2004•郑州）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A、（1）（2）（5） B、（2）（3）（5） C、（1）（4）（5） D、（1）（2）（3） 考点：正方形的判定。 专题：证明题。
分析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是长方形．拿两个全等的三角板动手试一试就能解决． 解答：解：拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形． 故选A．
点评：本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快求解，注意题目的要求有“一定”二字． 13、（2004•四川）下列说法中，错误的是（ ） A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A正确，符合平行四边形的判定定理；
B正确，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C正确，四个角都相等的四边形的内角和为360°，那么每个内角为90°，是矩形； D不正确，菱形的邻边本来就是相等的，等于没加条件． 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点． 14、（2002•东城区）下列说法中错误的是（ ） A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：A正确，一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形；
D不正确，应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分； 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点． 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ） A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④ 考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；
B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形； D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形； 故选C．
点评：此题主要考查正方形、菱形、矩形的判定，应灵活掌握． 16、在下列命题中，是真命题的是（ ） A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。
分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质． 解答：解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误； B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误； 故选C．
点评：基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．
17、下列说法中错误的是（ ） A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 考点：正方形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据正方形和矩形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答：解：A正确，符合矩形的定义； B正确，符合正方形的判定； C正确，符合正方形的判定； D不正确，也可能是菱形； 故选D．
点评：此题主要考查学生对矩形的判定及正方形的判定的理解． 18、下列说法正确的是（ ） A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 考点：正方形的判定；菱形的性质；矩形的判定。 专题：证明题。
解答：解：A不正确，因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形； B正确，符合正方形的判定；
C不正确，菱形的四条边、对角都相等；
D不正确，直角三角形斜边上的中线等于这边的一半； 故选B．
点评：此题综合考查矩形、正方形、菱形的判定以及直角三角形的性质的理解及运用． 19、下列说法错误的是（ ） A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据四条边都相等的四边形一定是菱形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，对各个结论进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：A正确，平行四边形的内角和与外角和都是360°； B正确，符合菱形的定义； C正确，符合矩形的判定；
D不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形； 故选D．
点评：掌握特殊四边形的定义与判定．
20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（ ） A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 考点：正方形的判定；矩形的性质。 专题：证明题。
分析：根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可． 解答：解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 21、（2003•南宁）下列命题正确的是（ ） A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形
考点：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 解答：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，错误； B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，错误； C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，错误． D、正确． 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点． 二、填空题（共3小题） 22、（2009•天水）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 AC=BD或AB⊥BC ．
考点：正方形的判定；菱形的判定。 专题：开放型。
分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形． 23、（2004•丰台区）要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是．（填一个正确的条件即可）
考点：正方形的判定；菱形的性质。 专题：开放型。
分析：根据正方形的判定定理即可解答．
解答：解：要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是∠A=90°或AC=BD． 点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质．
24、把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上． （1）正方形可以由两个能够完全重合的 等腰直角三角形 拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的 等腰三角形 拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的 直角三角形 拼合而成． 考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 分析：根据正方形，菱形及矩形的判定进行分析即可．
解答：解：∵正方形的四边相等，四角为直角，∴正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成，
∵菱形的四边相等，∴菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成， ∵矩形的四角为直角，∴矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成． 点评：本题考查了图形的拼合． 三、解答题（共6小题） 25、（2005•广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥
AC
于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由． 考点：线段垂直平分线的性质；正方形的判定。 专题：证明题。
（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=AB时，四边形CEDF为正方形． 解答：（1）证明：∵CD垂直平分线AB， ∴AC=CB． 又∵AC=CB，
∴∠ACD=∠BCD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90° ∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS） ∴CE=CF．
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下： ∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°， ∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°， ∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形， ∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定等知识点． 26、（2004•四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
考点：等腰三角形的判定；正方形的判定。 专题：几何综合题。
分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形； 由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形． 解答：（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°， 又∵BD=CD，BF=CE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴∠B=∠C．
故△ABC是等腰三角形；（3分）
∴四边形AFDE是矩形， 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．（8分）
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定及正方形的判定方法的掌握情况．
27、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质；正方形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形； （2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC（三线合一） ∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形， ∴∠AED+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO=60°， ∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO﹣∠EAD=45° ∵四边形ABCD是菱形． ∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形．
点评：此题主要考查菱形和正方形的判定． 28、（2010•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定。 专题：证明题；开放型。 分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，我样可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形． 解答：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：给出正确条件即可．
例如，当AD=BC时，四边形ADCE是正方形． ∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴DC=BC， 又∵AD=BC，
∴DC=AD，
由（1）四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形．
点评：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用． 29、（2009•湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD； （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
180°=90°，
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。
（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形． 解答：证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°．（1分） ∵AB=AC， ∴∠B=∠C．（1分） ∵D是BC的中点， ∴BD=CD．（1分） ∴△BED≌△CFD．（1分） （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°． ∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．（2分） ∵△BED≌△CFD， ∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．（2分）
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定． 30、（2006•济南）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？
请
你写出这个条件．（不必证明）
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：几何综合题。 分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可证明．
（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB为等腰三角形，▱AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形． 解答：（1）解：△ABC≌△BAD． 证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA， ∴△ABC≌△BAD（SAS）．
（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA， ∴四边形AHBG是平行四边形． ∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD=∠BAC． ∴GA=GB．
∴平行四边形AHBG是菱形．
9正方形的判定
强立新
教学目的
1．掌握正方形的判定方法．
2．通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力． 3．通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美 教学重点：正方形的判定方法． 教学难点：正方形判定方法的应用． 一．设疑自探
1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？
2．正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？ 3 我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： （ 1）． 四条边都相等； （2）． 四个角都是直角．
因此，正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形． 你能象前面我们寻找的判定方法一样来探索正方形的判定吗．
判定定理一：、一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理二：有一个角是直角的菱形是正方形； 判别方法
1）先证是平行四边形； 2）再证是矩形或菱形； 3）再加菱形或矩形的特征
4)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
5)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证明它是矩形，再证它有一组
邻边相等；②先证明它是菱形，再证它有一个角是直角
如：1）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD， 平行四边形ABCD为菱形③
2）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD， 平行四边形ABCD为菱形③AC＝BD
3）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD，平行四边形ABCD为菱形③ 4）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC⊥BD，平行四边形ABCD为菱形③AC＝BD 5）①四边形ABCD为平行四边形ABCD② ③AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD 6）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②
，平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD ，平行四边形ABCD为矩形
7）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC＝BD，平行四边形ABCD为矩形③AB＝AD或AB＝BC或 AD＝DC或BC＝CD
8）①四边形ABCD为平行四边形ABCD②AC＝BD，平行四边形ABCD为矩形③AC⊥BD 二、经典例题
类型一、一组邻边相等的矩形是正方形；
113
例题1 （2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
例2. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
思路分析：
1）题意分析：此题考查正方形的判定。
2）解题思路：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP，即可证出MN=NP．从而得出结论。
解答过程：
∵PN⊥l1，QM⊥l1，
114
∴PN∥QM，∠PNM=90°． ∵PQ∥NM（l1//l2）， ∴四边形PQMN是矩形． ∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴∠1+∠2=90°． 又∵∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN．
∴AM=DN． 同理 AN=DP． ∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN．
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
解题后的思考：本题考查对正方形判定的应用，即先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边相等，从而判定这个四边形是正方形。
【变式】 2014•温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥
AD，垂足分别为E、F． （1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
∠DAQ＝∠DBP
BP＝AQ
116
，
∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP， ∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵
∠
BAC=90
°，AB=AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°， 又∵∠A=90°，∠PDQ=90°， ∴四边形APDQ为矩形，
117
【变式】（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一
点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF， 又∵AD∥BC，AB=CD， ∴∠B=∠DCF，AB=EC， ∴∠B=∠ECF， ∴AB∥EC， 又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BC=2AD， ∴AD=BG， 又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；
119
（2）∵四边形ABGD是平行四边形， ∴AB∥DG，AB=DG， 又∵AB∥EC，AB=EC， ∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形， 又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形， ∴DG=DC，
∴DG2+DC2=CG2， ∴∠GDC=90°，
∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴MN=PQ=NP=MQ ∴四边形PQMN为菱形 解题后的思考：
顺次连接任意四边形和平行四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形。如图一中图形。
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的四边形是菱形， 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的四边形是矩形， 如菱形或图三中图形等。
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。
还要注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．要熟悉这些最基本的内容．
2. 对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，进而判定这个矩形也是菱形，或先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，即可判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形的定义来判定。
预习导学 一、预习新知：
下一讲我们将学习梯形，请同学们预习这部分内容。 二、预习点拨：
梯形是一种特殊的四边形，其与平行四边形的共同点：都是凸四边形；它们的区别：平行四边形有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；梯形的上、下底是以长短来区分的，而不是指位置关系．那么特殊的梯形有哪些？它们各有什么性质？
122
同步练习
（答题时间：60分钟） 一、选择题
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD
C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC
，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
3. 下列命题中的假命题是（ ）．
A. 有一角是直角的菱形是正方形 B. 两条对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是正方形
二、填空题
4. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.
5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
6. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接 第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形 的面积是 ．
9. 如图所示，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
并证明你的猜想．
证明：如图，设AE
与CG交点为M，AD与CG交点为N． ∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG． 又∵ ∠ANM=∠CND，
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG． 10. 解：． 证法1：连接，
正方形的判定练习
一、选择题（共21小题） 1、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么
=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 其中不正确命题的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、（1999•昆明）下列命题中，正确命题是（ ） A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 3、下列命题中，真命题是（ ） A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 4、（2002•福州）下列说法中错误的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形
C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF
．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 7、（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形 8、（2008•辽宁）下列命题中正确的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 9、（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 10、（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 11、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC 12、（2004•郑州）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A、（1）（2）（5） B、（2）（3）（5） C、（1）（4）（5） D、（1）（2）（3）
形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 14、（2002•东城区）下列说法中错误的是（ ） A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ） A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④
16、在下列命题中，是真命题的是（ ） A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
17、下列说法中错误的是（ ） A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 18、下列说法正确的是（ ） A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 19、下列说法错误的是（ ） A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（ ） A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 21、（2003•南宁）下列命题正确的是（ ） A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形 二、填空题（共3小题） 22、（2009•天水）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 _________ ．
23、（2004•丰台区）要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是（填一个正确的条件即可）
24、把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上． （1）正方形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的 _________ 拼合而成． 三、解答题（共6小题） 25、（2005•广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC
于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由． 26、（2004•四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，
且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
27、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
28、（2010•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 29、（2009•湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD； （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
30、（2006•济南）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
正方形的判定练习答案与评分标准
一、选择题（共21小题） 1、下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么
=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 其中不正确命题的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
考点：勾股定理；二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；正方形的判定。 分析：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边，大的一条还可能是斜边，所以第三边长不唯一； （2）正确，符合二次根式的意义；
（3）由于点P（a，b）在第三象限，由此得到a、b的取值范围，然后利用它们的取值范围即可得到结果；正确
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；
（5）可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确． 解答：解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；
（2）符合二次根式的意义，命题正确；
（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限，故命题正确；
（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的． 故选B．
点评：需注意没有明确告知两条边都是直角边，故大的一条还可能是斜边．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 2、（1999•昆明）下列命题中，正确命题是（ ） A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形 考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形； 对角线平分且相等的四边形是矩形； 对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误； B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误； C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误； 故选C．
点评：考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记． 3、下列命题中，真命题是（ ） A、两条对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形 考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系． 解答：解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误； B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确； 故选D．
点评：本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备． 4、（2002•福州）下列说法中错误的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D、两条对角线相等的菱形是正方形 考点：矩形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定。
分析：根据矩形的对角线相等平分和正方形的对角线互相垂直相等平分进行判定即可得出结论．
解答：解：根据矩形的判定可知：A，C，D均是正确的，B中，等腰梯形也满足此条件，但不是矩形，故选B．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
5、下列说法中，不正确的是（ ） A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的矩形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 考点：矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定。
分析：根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．
解答：解：A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；
B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形； C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；
D、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 故选B．
点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点． 6、（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF
．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤ 考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。 专题：动点型。
分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确． 解答：解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形． 因此①正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形． 因此②错误．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC， 因此④正确．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时，DE最小，此时
DF=BC=4．
∴DE=DF=4； 因此③错误．
当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小． 此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8； 因此⑤正确． 故选B．
点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些． 7、（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。
分析：根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答：解：A：正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形； B：正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C：正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；
D：不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形； 故选D．
点评：此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 8、（2008•辽宁）下列命题中正确的是（ ） A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。
分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确． B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．
D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误． 故选A．
点评：本题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面． 9、（2007•上海）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A、∠D=90° B、AB=CD C、AD=BC D、BC=CD 考点：正方形的判定。
分析：由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形． 10、（2006•十堰）如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
A、22.5°角 B、30°角 C、45°角 D、60°角 考点：正方形的判定；翻折变换（折叠问题）。
解答：解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C． 点评：本题考查了菱形和正方形的判定及性质． 11、（2005•天津）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A、AC=BD，AB∥CD，AB=CD B、AD∥BC，∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC 考点：正方形的判定。 专题：证明题。
分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A，不能，只能判定为矩形； B，不能，只能判定为平行四边形； C，能；
D，不能，只能判定为菱形． 故选C．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 12、（2004•郑州）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A、（1）（2）（5） B、（2）（3）（5） C、（1）（4）（5） D、（1）（2）（3） 考点：正方形的判定。 专题：证明题。
分析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是长方形．拿两个全等的三角板动手试一试就能解决． 解答：解：拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形． 故选A．
点评：本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快求解，注意题目的要求有“一定”二字． 13、（2004•四川）下列说法中，错误的是（ ） A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的菱形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A正确，符合平行四边形的判定定理；
B正确，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C正确，四个角都相等的四边形的内角和为360°，那么每个内角为90°，是矩形； D不正确，菱形的邻边本来就是相等的，等于没加条件． 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点． 14、（2002•东城区）下列说法中错误的是（ ） A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B、每组邻边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：A正确，一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形；
D不正确，应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分； 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点． 15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ） A、①④⇒⑥ B、①③⇒⑤ C、①②⇒⑥ D、②③⇒④ 考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 解答：解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；
B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形； D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形； 故选C．
点评：此题主要考查正方形、菱形、矩形的判定，应灵活掌握． 16、在下列命题中，是真命题的是（ ） A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。
分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质． 解答：解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误； B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误； 故选C．
点评：基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．
17、下列说法中错误的是（ ） A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的矩形是正方形 C、对角线相等的菱形是正方形 D、四条边相等的四边形是正方形 考点：正方形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据正方形和矩形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答：解：A正确，符合矩形的定义； B正确，符合正方形的判定； C正确，符合正方形的判定； D不正确，也可能是菱形； 故选D．
点评：此题主要考查学生对矩形的判定及正方形的判定的理解． 18、下列说法正确的是（ ） A、对角线相等的四边形是矩形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形 C、菱形的四条边、四个角都相等 D、三角形一边上的中线等于这边的一半 考点：正方形的判定；菱形的性质；矩形的判定。 专题：证明题。
解答：解：A不正确，因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形； B正确，符合正方形的判定；
C不正确，菱形的四条边、对角都相等；
D不正确，直角三角形斜边上的中线等于这边的一半； 故选B．
点评：此题综合考查矩形、正方形、菱形的判定以及直角三角形的性质的理解及运用． 19、下列说法错误的是（ ） A、平行四边形的内角和与外角和相等 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、四条边都相等的四边形是正方形 考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。 专题：证明题。
分析：根据四条边都相等的四边形一定是菱形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，对各个结论进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：A正确，平行四边形的内角和与外角和都是360°； B正确，符合菱形的定义； C正确，符合矩形的判定；
D不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形； 故选D．
点评：掌握特殊四边形的定义与判定．
20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（ ） A、一定是正方形 B、是矩形 C、菱形 D、只能是平行四边形 考点：正方形的判定；矩形的性质。 专题：证明题。
分析：根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可． 解答：解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 21、（2003•南宁）下列命题正确的是（ ） A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的四边形是矩形 D、一组邻边相等的矩形是正方形
考点：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 解答：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，错误； B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，错误； C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，错误． D、正确． 故选D．
点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点． 二、填空题（共3小题） 22、（2009•天水）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 AC=BD或AB⊥BC ．
考点：正方形的判定；菱形的判定。 专题：开放型。
分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形． 23、（2004•丰台区）要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是．（填一个正确的条件即可）
考点：正方形的判定；菱形的性质。 专题：开放型。
分析：根据正方形的判定定理即可解答．
解答：解：要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是∠A=90°或AC=BD． 点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质．
24、把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上． （1）正方形可以由两个能够完全重合的 等腰直角三角形 拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的 等腰三角形 拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的 直角三角形 拼合而成． 考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定。 分析：根据正方形，菱形及矩形的判定进行分析即可．
解答：解：∵正方形的四边相等，四角为直角，∴正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成，
∵菱形的四边相等，∴菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成， ∵矩形的四角为直角，∴矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成． 点评：本题考查了图形的拼合． 三、解答题（共6小题） 25、（2005•广州）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥
AC
于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：CE=CF；
（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由． 考点：线段垂直平分线的性质；正方形的判定。 专题：证明题。
（2）因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=AB时，四边形CEDF为正方形． 解答：（1）证明：∵CD垂直平分线AB， ∴AC=CB． 又∵AC=CB，
∴∠ACD=∠BCD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90° ∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS） ∴CE=CF．
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下： ∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°， ∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°， ∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形， ∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定等知识点． 26、（2004•四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
考点：等腰三角形的判定；正方形的判定。 专题：几何综合题。
分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形； 由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形． 解答：（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°， 又∵BD=CD，BF=CE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴∠B=∠C．
故△ABC是等腰三角形；（3分）
∴四边形AFDE是矩形， 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．（8分）
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定及正方形的判定方法的掌握情况．
27、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
考点：菱形的判定；平行四边形的性质；正方形的判定。 专题：证明题。 分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形； （2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC（三线合一） ∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形， ∴∠AED+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO=60°， ∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO﹣∠EAD=45° ∵四边形ABCD是菱形． ∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形．
点评：此题主要考查菱形和正方形的判定． 28、（2010•安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定。 专题：证明题；开放型。 分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，我样可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形． 解答：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：给出正确条件即可．
例如，当AD=BC时，四边形ADCE是正方形． ∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴DC=BC， 又∵AD=BC，
∴DC=AD，
由（1）四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形．
点评：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用． 29、（2009•湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD； （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
180°=90°，
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。
（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形． 解答：证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°．（1分） ∵AB=AC， ∴∠B=∠C．（1分） ∵D是BC的中点， ∴BD=CD．（1分） ∴△BED≌△CFD．（1分） （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°． ∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．（2分） ∵△BED≌△CFD， ∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．（2分）
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定． 30、（2006•济南）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？
请
你写出这个条件．（不必证明）
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。
专题：几何综合题。 分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可证明．
（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB为等腰三角形，▱AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形． 解答：（1）解：△ABC≌△BAD． 证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA， ∴△ABC≌△BAD（SAS）．
（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA， ∴四边形AHBG是平行四边形． ∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD=∠BAC． ∴GA=GB．
∴平行四边形AHBG是菱形．