实物期权在房地产中一个案例研究
摘要：房地产投资在新兴经济体中的特点是低流动性、较长的投资回收期和高支付成本;并对需求、单位土地价格和土地成本也伴随着持久的不确定性。在评价房地产投资价值时，实物期权方法将住房开发看作一个包含信息获取、推迟和放弃期权等的投资机会。本文提出的模型能够评估管理的灵活性并显示改善后的风险管理，从而确定最佳投资策略（同步与序贯）和最佳投资时机。同样，由于对购买土地专有权的最高租金的确定，土地所有者便能选择较小的资本强度。
关键字：实物期权；房地产投资；
1 引言
新兴经济体中的房地产发展目前呈现出运营资金周转紧张、流动性低、投资回报缓慢以及资金大量外流等问题，并且这些问题无法在短到中期的建设中迅速解决。从长远来看，这些投资正吸引银行部门的兴趣，寻找更有吸引力的回报和多样化的投资组合。
同时存在的还有伴随着需求，销售价格，土地成本，未售出清单等的诸多不确定性，以及当地政府的监管风险（授权，占用许可证等），这些都增加了投资者的可见风险。持续变化的地租，赋税，项目许可证的相关法规也增加了项目的管理成本，因此对这些法规的专业研究亦非常必要。开工后占用许可证被撤销的实例屡见不鲜。
一次投资和阶段投资是最普遍的两种房地产投资策略。前者通常是在需求高涨时实施，此时的建筑成本较小，但带有更多的不确定性回报。当住房和大型娱乐的旅游胜地开发同时进行时，往往给投资者带来痛苦的经历，因为利润只能在五年甚至是更长时间的建设后才会产生。
另一方面，阶段投资也会面对一系列风险，如每阶段项目回报的小幅度的增加是以更高的建设成本为代价的。但是， 为了充分利用阶段投资策略，房地产开发商必须为今后的发展拥有该土地，或拥有可用土地的专属权利（较少资本
密集的替代）。
房地产投资的阶段性在期权定价中有几个普遍的特点，即那些房地产开发商可在未来行使或不行使期权的决定。在此种类型的投资项目中最普遍的实物期权如下： •信息期权。第一个建设阶段的成败如何影响影响以后阶段的发展和期望。
•等待期权。对下一阶段的建设，如果市场对前一阶段的反应不好。
•放弃期权。如果成本与利润的比例增高，可选择放弃此投资。
实物期权理论提供了一个更好的评价投资项目价值的方法，在管理的灵活性存在时同样适用。Dixit、Pindyck (1994) 和 Trigeorgis (1999)详细研究了各种不同类型的实务期权方法。同样，在Schwartz和Trigeorgis （ 2004年）的经典著作中包含了实物期权方法在投资项目价值评估中的应用实例，并很好的解释了传统的净现值（NPV） 方法无法解释的灵活性。Trigeorgis （ 1993年）研究了包含在一个单一项目中的几种实物期权之间的相互作用，并显示了个人价值的非加性原则。
Lander and Pinches (1998)认为数学技能的缺乏、模型假设的限制性、以及不断增加的复杂性是实施实物期权方法的主要障碍。
传统方法的失效和日益增加的不确定性也促使管理者应用实物期权方法来进行房地产投资管理。本文开发的房地产实物期权投资分析模型，通过识别主要成本，确定了房地产的最佳投资决策（同步与序贯）及最佳投资时机。该方法提高了项目的风险管理水平，并量化了购买土地专有权应支付的最高价格。
在过去的几年里，可以普遍的看到房地产的开发并不是一次同步完成的，而是分阶段连续进行以降低风险。因此，Quigg （ 1993 ）基于实际的美国房地产交易得出了等待期权的描述价值的经验证据。蒂特曼（ 1985年）指出，在西洛杉矶，一些高销售价格的空地仍然存在的原因是等待期权，即这块土地的未来潜在价值将超过立即对其进行建设所得到的价值。
Capozza 和 Sick (1994)表明，农业土地拥有者拥有是否将其财产转换成适合房地产开发的城市土地的权利，同时最优的转换规则取决于土地距离城市的距离。Williams (1991)研究了最佳开发和放弃此财产的时机以及在单位价格和单位成本存在不确定条件下的最佳密度。Capozza和Li（ 1994年）的重点关注了密度和资本密度与投资时机和住宅或开发价值的之间的相互关系。Grenadier (1995) 表明， 动态和静态战略的区别是内含的期权所增加的价值。最后，Grenadier (1996)介绍了期权博弈概念来解释房地产市场的行为，将战略平衡的投资时机与开发活动推进或减慢联系起来。
在以往的研究中，随机价格是利用需求函数的得到的。而现在，由于随机因素的干扰，此时需求是通过销售速度-一个典型的衡量单位住房销售快慢的变量来得到的。因此，销售速度的模拟和普遍存在于实物期权中的随机价格模型的结合使不确定性的几种来源更加
清晰，并且也不会显著的增加模型的复杂性（通常会不可避免的出现在有两个或两个以上随机变量的案件中）。
本文的结构安排如下。在第2部分中，给出了实物期权定价模型来评估阶段投资的方法。第3部分应用此方法到实际的房地产投资项目中，并显示了主要的结果，为最优决策提供的指导意见。第4部分和最后的两个附录为最佳投资时机和开发的概率的确定提供了相应的数学细节。
2 房地产中的投资分析和实物期权方法
一次投资相当于一个静态的决策制定过程，即现在实行或永远不实行的决定，所有的资源将一次利用，并且不可撤回。这一决策如下图1。
图1.一次（静态）投资策略
图2.阶段（动态）投资策略
一个住宅建筑的开发通常不是在单个阶段中完成或实施的，而是包含了一系列阶段性的决定。这样做的目的是分散风险，因为往往第一阶段的不确定性要高于后来，相应的市场价格相对于之后的阶段也要低很多。而对于阶段投资决策，开发商所面临的风险会分散到项目的每个阶段，并以相对较小的增幅递增，但每阶段的建筑成本会相对增加。在阶段
投资决策中，初始的资金流出低于一次投资项目，而期望的资金流入也会分散到其后的阶段中去。
在项目的第一阶段前，开发商会分析与市场潜力、目标顾客、单位资本收益、价格水平、空地和未售单元等相关的各种信息，以便能最大化项目的价值。第一阶段之后，投资者便获得了住房投资的相关资讯，从而为以后扩张或开发当地市场的潜力做准备。因此，项目第一阶段提供了一个能够获得未来开发信息的有价值的期权。而获得此信息的成本相当于第一阶段的成本和风险。
如果第一阶段的项目实施具有好的市场反应，这接下来的阶段的建设价值将会增加，从而会给该地区带来更高的收益和吸引力。相反，开发商将会重新评估项目的前景，并等待更好的时机来继续下阶段的建设，或甚至放弃此项目。
如果初始阶段的市场效果不好，则可以选择推迟以后阶段的期权。且仅当此期权的价值超过了为购卖土地专有权而付出的成本时，此期权才是可行的，否则将会选择放弃期权。图2显示了在阶段投资决策的每阶段中应用可行的实物期权的过程。
需求是通过销售速度-一个典型的衡量单位住房销售快慢的变量来模拟的。并用销售速度情况(yw)来处理需求的不确定性。
• 破土前 y1w~Triang [0;y1;100]%
w• 建设期间 y2~Triang[0; (100y1)/2;(100y1)]%
wy3• 完工后 ~ Triang[0; (100y1y2);(100y1y2)]%
由三角分布可知不同销售阶段的销售速度是近似相等的，并且在建设末期最高可达100%的速度。
图3.销售速度，%
图3显示了两阶段的销售速度分布状况，初始阶段43%的销售速度、建设期间26%、完工后20%，并有11%的未出售单位。
wwwwS1(P,,y1w,y2,y3)和S2(P,,y1w,y2,y3)分别代表第一、二阶段收益的现值。单位价格
P，销售速度yw，以及住房开发特性指数（筹资水平，摊销表和施工时间）存在函数关系。X1和 X2分别表示相应的建设成本。
一次决策的净现值（NPV1）是第一阶段和第二阶段折现价值的总和，假设两阶段有
相等的建设成本X1。如公式1所示：
wwNPV1E[S1(P,,y)X]E[S(P,,y)X1] (1) 0120
公式2表示了阶段投资决策中的折现值(NPV2)。把最后的阶段看做结合了信息、等待和放弃期权的第二阶段(期权费)的投资机会。注意，期权的数值价值是N次销售速度叠加后的均值。
1N
NPV2E[S1(P0,,y)X1]F[S2(P0,,yw),X2,T] (2) Nw1w
这两种决策的的区别是由于项目期权带来的价值增值。当NPV2NPV1时阶段投资决策是最优决策，即下面的不等式成立。
1N
F[S2(P0,,yw),X2,T]E[S2(P0,,yw)X1] (3) Nw1
如果两种策略的建设成本相同，则阶段投资始终会有较高的或与一次投资相等的价值。主要成本 X2 可由公式3解得，可通过此成本是一次投资的价值高于阶段投资的价值。
函数F(.)表示期限为T、标的资产当前价值为S2(.)、执行价格为X2的 美式看涨期权的期权费。根据期权定价理论中的一般假设，单位售价满足下述公式4所示的几何布朗运动。其中dZ为维纳过程，和分别为瞬时期望报酬和标准差。
dPdtdZ (4) P
由于收益和单位价格之间的相称性，很容易证明收益S2(.)同样遵循公式4表示的随机过程。期权费可通过Barone-Adesi and Whaley (1987)对美式看涨期权的解析近似法得到（附录A）。
解析近似法还提供了有关最优涨跌停板s*(t)的信息，即关键的收入来自第二阶段的投资最优的时候。从以下公式5中可解出涨跌停板的数值解，其中参数的含义见附录A。
sX2call(s,t)[1e*
t*t(Tt)N(d1(s))]*
tst* (5)
这个模型对估计第二阶段的投资概率同样有效，即行使美式看涨期权F(.)的概率。对公式6的严格讨论见附录B中，此公式的意义是第一阶段的期望价值，不同销售速度的叠加的第一阶段时间分布函数， 即随机过程S2(.)的概率均值将会在到期前达到最优投资曲
线。
1
Nw1NTt(ln(S2(.)/st*)(0.52)t)222t]dt (6)
3 实例分析
此案例是一个在Rio de Janeiro西部地区的两阶段住房建筑开发项目，它可以一次或分阶段建设。目前由于此地区其他部分可用土地的缺乏以及南部地区日益增加的土地价格，Rio de Janeiro的新的房地产投资都集中在西部地区。土地的严重缺乏使得购买土地专有权的最高价格的估计（在最优阶段策略中）对价格协商和此投资项目的商业效益来说是一个极其重要的因素。
由于高利率和资金的缺乏，专有权利的选择而不是专有地段的组合变得越来越重要。然而，在过去的几年里，可用资源越来越多(World Bank, 2005)，同时Brazilian政府在2004年实行了改革措施来刺激经济并降低住房贷款的门槛。
在此种背景下，对最佳密度的选择并不被视为一种期权，因为分区制法规限制了大部分发达地区的建筑的最高高度。而且， 规章制度进一步限制了Rio de Janeiro如与周边建设的最小距离，距海滩的最小距离，以避免阴影区等。因此，由于高土地价格和经济规模，大多数情况下最大高度是可选择的。
该项目的收益取决于几个部门和项目特有的参数，它们将决定住房开发的成败。以现值来评估住房建设项目的指标具体见附录C。
如果第一阶段是成功，则第二阶段立即开始。否则，第二阶段可被推迟最长为5年的期限，相当于房屋开发商可在任何时通过支付总建设成本来行使的美式看涨期权。
此项目的两阶段都有一个当效面积为20736m2和可居住面积为16173m2。销售价格是
每平米USD 962，每平米的成本是是X1=USD 308、X2=USD 338。运营成本估计为收益
的15%，土地成本占收益的30%。
图4.销售价格.USD.千.来源：SECOVI-RJ (2004)8
图4显示了Rio de Janeiro西部地区的住房的平均销售价格
年度实际收益的期望报酬和标准差可由表1所示的普通最小二乘法从图4中估计出。并设置标准差为15%。
表1.年度收益率和标准差
在期权的持有者行使期权但遭受损失了的情况下，投资产生的每阶段的潜在现金流将影响机会成本或期权的执行成本。这个机会成本与估计的住房收益相等，其占总收益的百分比介于4%和12%之间（每半年）。基本情况下，利率为10%。加权平均资本成本（WACC）为每年15%，Brazilian的估计无风险利率为10%每半年。
一次和阶段策略的最优决策考虑了不同的第二阶段的建设成本(X2)如同5所示。注意，但每平米成本小于USD 356时，阶段投资决策是最佳决策。同样，期权费与 购买可用土
地专有权的最高费用相等。
图6显示了立即执行第二阶段收益。考虑到基本情况下建设成本是USD 546万，如果期望收益高于USD748万，则第二阶段的建设应立即执行。从图7中可看出，当终止期限是5年时，USD 748万的价值相当于停止曲线。在这点上，平滑和价值匹配适用，并且等待期权的价值与立即行使期权的价值相等，因此可得到的净现值（NPV）为
USD784-546=202万。注意，在经典期权理论中，期权费是通过附录A中的公式（A-3）得到的，通常会大于或等于立即执行期权的价值， 在涨跌停点处，两者是相等的并且NPV规则也适用。
图7显示了开发第二阶段的最佳时机，即当期望收益超过最佳停点时进行投资。通过公式5解出期限内每阶段的参数可得停止曲线，同时保持模拟销售速度不变。该图模拟了
ww两个销售速度[y1w;y2;y3]产生的收益分别为USD546（v1）和USD308（v2）。这些价值是
收益的随机变化的初始值。因此，当v1=[30%；30%；30%]时，收益达到了最佳停止曲线，应实施第二投资阶段，同时v2=[20%；20%；5%]无法达到要求的能优化投资的水平。
在成功的条件下，如果每平米价格满足第一条曲线，则期权将在第一阶段结束一年后被行使。在第二条曲线中，期权将在第一阶段结束两年半后行使。但如果失败，第三和第四条曲线显示应在第五年末行使放弃期权，因为收益未达预期值。
此模型同样可用来估计第二阶段投资概率（行使期权），应用公式6即可。考虑到所有可能的销售速度，行使此期权的总概率为62%。
考虑此项目的风险管理，图8显示的NPV在一次投资策略（静态投资决策，）下的分布，总价值为USD214万，遭受损失的概率为10.59%。
图5.一次投资和阶段投资策略
在阶段投资策略（动态投资决策）下，NPV的分布如图9所示。此时NPV增加了10%为USD236万，而遭受损失的概率为3.59%，降低了66%。这是由期权工具作为一种风险管理工具的特点造成的，因为期权始终实在最有利的环境下实施的。
可用土地专有权的最大成本是阶段投资策略所增加的价值，即阶段投资和一次投资的总NPV的差值，相当于USD220，000。因此，如果土地成本太高，则开发商可行使对第二阶段的放弃期权。
4 结论分析
房地产投资不仅呈现运营资金周转紧张、流动性低、投资回报缓慢的特点，而且需求、每平米销售价格和土地成本也带有高不确定性，这些都增加了投资者的可见风险。此项目的信息获得期权、推迟和放弃期权如果管理恰当可以增加投资价值并减少其风险。
图6.期权费-第二阶段.USD.百万
图7.最佳投资决策-第二阶段
图8. NPV1分布-一次投资决策
本文研究了实物期权方法如何改善房地产投资的经济分析，并通过管理不同的期权来支持决策制定过程、降低风险。实物期权模型确定了一次投资和阶段投资的最佳投资策略及投资时机，并讨论了项目的相关风险管理问题，确定了购买土地专有权的最高支付价格。
在Rio de Janeiro房地产开发实例中，实物期权方法相对于传统的现金折现流方法，运用阶段投资策略能使该项目的价值增加10%、减少50%以上的风险。这些价值在高支付成本、高经济不确定和低利润的市场中不能被忽视的。
图9.阶段投资中NPV2分布
在实践中，越来越多的房地产企业开始将实物期权方法应用到项目投资的价值评估中。然而，更重要的是要建立一种能客观的量化这些期权价值的管理文化，以增加项目的价值并提供有效的管理和风险评估。
5、参考文献
[1] Barone-Adesi, G., Whaley, R., 1987. Efficient analytic approximation of American option values. Journal of Finance 42(2), 301–320.
[2] Black, F., Scholes, M., 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81 (3),637–659.
[3] Capozza, D., Li, Y., 1994. The intensity and timing of investment: the case of land. The American Economic Review 84(4), 889–904.
[4] Capozza, D., Sick, G., 1994. The risk structure of land markets. Journal of Urban Economics 35
(3), 297–319.
[5] Dixit, A.K., Pindyck, R.S., 1994. Investment Under Uncertainty. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
[6] Grenadier, S.R., 1995. Flexibility and tenant mix in real estate projects. Journal of Urban Economics 38 (3), 357–378.
[7] Grenadier, S.R., 1996. The strategic exercise of options: development cascades and overbuilding in real estate markets.The Journal of Finance 51 (3), 1653–1679.
[8] Karatzas, I., Shreve, S., 1991. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer–Verlag, New York.
[9] Lander, D.M., Pinches, G.E., 1998. Challenges to the practical implementation of modeling and valuing real options. The Quarterly Review of Economics and Finance 38, 537–567.
[10] Merton, R.C., 1973. Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1),141–183.
[11] Quigg, L., 1993. Empirical testing of real option-pricing models. The Journal of Finance 48 (2), 621–640.
[12] Schwartz, E.S., Trigeorgis, L., 2004. Real Options and Investment Under Uncertainty: Classical Readings and Recent Contributions. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
[13] SECOVI-RJ, 2004. Balanço anual do mercado imobiliário de São Paulo em 2004 — Perspectivas do setor para 2005,December.
[14] Titman, S., 1985. Urban land prices under uncertainty. The American Economic Review 75 (3), 505–514.
[15] Trigeorgis, L., 1993. The nature of option interactions and the valuation of investments with
multiple real options. The Journal of Financial and Quantitative Analysis 28 (1), 1–20.
实物期权在房地产中一个案例研究
摘要：房地产投资在新兴经济体中的特点是低流动性、较长的投资回收期和高支付成本;并对需求、单位土地价格和土地成本也伴随着持久的不确定性。在评价房地产投资价值时，实物期权方法将住房开发看作一个包含信息获取、推迟和放弃期权等的投资机会。本文提出的模型能够评估管理的灵活性并显示改善后的风险管理，从而确定最佳投资策略（同步与序贯）和最佳投资时机。同样，由于对购买土地专有权的最高租金的确定，土地所有者便能选择较小的资本强度。
关键字：实物期权；房地产投资；
1 引言
新兴经济体中的房地产发展目前呈现出运营资金周转紧张、流动性低、投资回报缓慢以及资金大量外流等问题，并且这些问题无法在短到中期的建设中迅速解决。从长远来看，这些投资正吸引银行部门的兴趣，寻找更有吸引力的回报和多样化的投资组合。
同时存在的还有伴随着需求，销售价格，土地成本，未售出清单等的诸多不确定性，以及当地政府的监管风险（授权，占用许可证等），这些都增加了投资者的可见风险。持续变化的地租，赋税，项目许可证的相关法规也增加了项目的管理成本，因此对这些法规的专业研究亦非常必要。开工后占用许可证被撤销的实例屡见不鲜。
一次投资和阶段投资是最普遍的两种房地产投资策略。前者通常是在需求高涨时实施，此时的建筑成本较小，但带有更多的不确定性回报。当住房和大型娱乐的旅游胜地开发同时进行时，往往给投资者带来痛苦的经历，因为利润只能在五年甚至是更长时间的建设后才会产生。
另一方面，阶段投资也会面对一系列风险，如每阶段项目回报的小幅度的增加是以更高的建设成本为代价的。但是， 为了充分利用阶段投资策略，房地产开发商必须为今后的发展拥有该土地，或拥有可用土地的专属权利（较少资本
密集的替代）。
房地产投资的阶段性在期权定价中有几个普遍的特点，即那些房地产开发商可在未来行使或不行使期权的决定。在此种类型的投资项目中最普遍的实物期权如下： •信息期权。第一个建设阶段的成败如何影响影响以后阶段的发展和期望。
•等待期权。对下一阶段的建设，如果市场对前一阶段的反应不好。
•放弃期权。如果成本与利润的比例增高，可选择放弃此投资。
实物期权理论提供了一个更好的评价投资项目价值的方法，在管理的灵活性存在时同样适用。Dixit、Pindyck (1994) 和 Trigeorgis (1999)详细研究了各种不同类型的实务期权方法。同样，在Schwartz和Trigeorgis （ 2004年）的经典著作中包含了实物期权方法在投资项目价值评估中的应用实例，并很好的解释了传统的净现值（NPV） 方法无法解释的灵活性。Trigeorgis （ 1993年）研究了包含在一个单一项目中的几种实物期权之间的相互作用，并显示了个人价值的非加性原则。
Lander and Pinches (1998)认为数学技能的缺乏、模型假设的限制性、以及不断增加的复杂性是实施实物期权方法的主要障碍。
传统方法的失效和日益增加的不确定性也促使管理者应用实物期权方法来进行房地产投资管理。本文开发的房地产实物期权投资分析模型，通过识别主要成本，确定了房地产的最佳投资决策（同步与序贯）及最佳投资时机。该方法提高了项目的风险管理水平，并量化了购买土地专有权应支付的最高价格。
在过去的几年里，可以普遍的看到房地产的开发并不是一次同步完成的，而是分阶段连续进行以降低风险。因此，Quigg （ 1993 ）基于实际的美国房地产交易得出了等待期权的描述价值的经验证据。蒂特曼（ 1985年）指出，在西洛杉矶，一些高销售价格的空地仍然存在的原因是等待期权，即这块土地的未来潜在价值将超过立即对其进行建设所得到的价值。
Capozza 和 Sick (1994)表明，农业土地拥有者拥有是否将其财产转换成适合房地产开发的城市土地的权利，同时最优的转换规则取决于土地距离城市的距离。Williams (1991)研究了最佳开发和放弃此财产的时机以及在单位价格和单位成本存在不确定条件下的最佳密度。Capozza和Li（ 1994年）的重点关注了密度和资本密度与投资时机和住宅或开发价值的之间的相互关系。Grenadier (1995) 表明， 动态和静态战略的区别是内含的期权所增加的价值。最后，Grenadier (1996)介绍了期权博弈概念来解释房地产市场的行为，将战略平衡的投资时机与开发活动推进或减慢联系起来。
在以往的研究中，随机价格是利用需求函数的得到的。而现在，由于随机因素的干扰，此时需求是通过销售速度-一个典型的衡量单位住房销售快慢的变量来得到的。因此，销售速度的模拟和普遍存在于实物期权中的随机价格模型的结合使不确定性的几种来源更加
清晰，并且也不会显著的增加模型的复杂性（通常会不可避免的出现在有两个或两个以上随机变量的案件中）。
本文的结构安排如下。在第2部分中，给出了实物期权定价模型来评估阶段投资的方法。第3部分应用此方法到实际的房地产投资项目中，并显示了主要的结果，为最优决策提供的指导意见。第4部分和最后的两个附录为最佳投资时机和开发的概率的确定提供了相应的数学细节。
2 房地产中的投资分析和实物期权方法
一次投资相当于一个静态的决策制定过程，即现在实行或永远不实行的决定，所有的资源将一次利用，并且不可撤回。这一决策如下图1。
图1.一次（静态）投资策略
图2.阶段（动态）投资策略
一个住宅建筑的开发通常不是在单个阶段中完成或实施的，而是包含了一系列阶段性的决定。这样做的目的是分散风险，因为往往第一阶段的不确定性要高于后来，相应的市场价格相对于之后的阶段也要低很多。而对于阶段投资决策，开发商所面临的风险会分散到项目的每个阶段，并以相对较小的增幅递增，但每阶段的建筑成本会相对增加。在阶段
投资决策中，初始的资金流出低于一次投资项目，而期望的资金流入也会分散到其后的阶段中去。
在项目的第一阶段前，开发商会分析与市场潜力、目标顾客、单位资本收益、价格水平、空地和未售单元等相关的各种信息，以便能最大化项目的价值。第一阶段之后，投资者便获得了住房投资的相关资讯，从而为以后扩张或开发当地市场的潜力做准备。因此，项目第一阶段提供了一个能够获得未来开发信息的有价值的期权。而获得此信息的成本相当于第一阶段的成本和风险。
如果第一阶段的项目实施具有好的市场反应，这接下来的阶段的建设价值将会增加，从而会给该地区带来更高的收益和吸引力。相反，开发商将会重新评估项目的前景，并等待更好的时机来继续下阶段的建设，或甚至放弃此项目。
如果初始阶段的市场效果不好，则可以选择推迟以后阶段的期权。且仅当此期权的价值超过了为购卖土地专有权而付出的成本时，此期权才是可行的，否则将会选择放弃期权。图2显示了在阶段投资决策的每阶段中应用可行的实物期权的过程。
需求是通过销售速度-一个典型的衡量单位住房销售快慢的变量来模拟的。并用销售速度情况(yw)来处理需求的不确定性。
• 破土前 y1w~Triang [0;y1;100]%
w• 建设期间 y2~Triang[0; (100y1)/2;(100y1)]%
wy3• 完工后 ~ Triang[0; (100y1y2);(100y1y2)]%
由三角分布可知不同销售阶段的销售速度是近似相等的，并且在建设末期最高可达100%的速度。
图3.销售速度，%
图3显示了两阶段的销售速度分布状况，初始阶段43%的销售速度、建设期间26%、完工后20%，并有11%的未出售单位。
wwwwS1(P,,y1w,y2,y3)和S2(P,,y1w,y2,y3)分别代表第一、二阶段收益的现值。单位价格
P，销售速度yw，以及住房开发特性指数（筹资水平，摊销表和施工时间）存在函数关系。X1和 X2分别表示相应的建设成本。
一次决策的净现值（NPV1）是第一阶段和第二阶段折现价值的总和，假设两阶段有
相等的建设成本X1。如公式1所示：
wwNPV1E[S1(P,,y)X]E[S(P,,y)X1] (1) 0120
公式2表示了阶段投资决策中的折现值(NPV2)。把最后的阶段看做结合了信息、等待和放弃期权的第二阶段(期权费)的投资机会。注意，期权的数值价值是N次销售速度叠加后的均值。
1N
NPV2E[S1(P0,,y)X1]F[S2(P0,,yw),X2,T] (2) Nw1w
这两种决策的的区别是由于项目期权带来的价值增值。当NPV2NPV1时阶段投资决策是最优决策，即下面的不等式成立。
1N
F[S2(P0,,yw),X2,T]E[S2(P0,,yw)X1] (3) Nw1
如果两种策略的建设成本相同，则阶段投资始终会有较高的或与一次投资相等的价值。主要成本 X2 可由公式3解得，可通过此成本是一次投资的价值高于阶段投资的价值。
函数F(.)表示期限为T、标的资产当前价值为S2(.)、执行价格为X2的 美式看涨期权的期权费。根据期权定价理论中的一般假设，单位售价满足下述公式4所示的几何布朗运动。其中dZ为维纳过程，和分别为瞬时期望报酬和标准差。
dPdtdZ (4) P
由于收益和单位价格之间的相称性，很容易证明收益S2(.)同样遵循公式4表示的随机过程。期权费可通过Barone-Adesi and Whaley (1987)对美式看涨期权的解析近似法得到（附录A）。
解析近似法还提供了有关最优涨跌停板s*(t)的信息，即关键的收入来自第二阶段的投资最优的时候。从以下公式5中可解出涨跌停板的数值解，其中参数的含义见附录A。
sX2call(s,t)[1e*
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这个模型对估计第二阶段的投资概率同样有效，即行使美式看涨期权F(.)的概率。对公式6的严格讨论见附录B中，此公式的意义是第一阶段的期望价值，不同销售速度的叠加的第一阶段时间分布函数， 即随机过程S2(.)的概率均值将会在到期前达到最优投资曲
线。
1
Nw1NTt(ln(S2(.)/st*)(0.52)t)222t]dt (6)
3 实例分析
此案例是一个在Rio de Janeiro西部地区的两阶段住房建筑开发项目，它可以一次或分阶段建设。目前由于此地区其他部分可用土地的缺乏以及南部地区日益增加的土地价格，Rio de Janeiro的新的房地产投资都集中在西部地区。土地的严重缺乏使得购买土地专有权的最高价格的估计（在最优阶段策略中）对价格协商和此投资项目的商业效益来说是一个极其重要的因素。
由于高利率和资金的缺乏，专有权利的选择而不是专有地段的组合变得越来越重要。然而，在过去的几年里，可用资源越来越多(World Bank, 2005)，同时Brazilian政府在2004年实行了改革措施来刺激经济并降低住房贷款的门槛。
在此种背景下，对最佳密度的选择并不被视为一种期权，因为分区制法规限制了大部分发达地区的建筑的最高高度。而且， 规章制度进一步限制了Rio de Janeiro如与周边建设的最小距离，距海滩的最小距离，以避免阴影区等。因此，由于高土地价格和经济规模，大多数情况下最大高度是可选择的。
该项目的收益取决于几个部门和项目特有的参数，它们将决定住房开发的成败。以现值来评估住房建设项目的指标具体见附录C。
如果第一阶段是成功，则第二阶段立即开始。否则，第二阶段可被推迟最长为5年的期限，相当于房屋开发商可在任何时通过支付总建设成本来行使的美式看涨期权。
此项目的两阶段都有一个当效面积为20736m2和可居住面积为16173m2。销售价格是
每平米USD 962，每平米的成本是是X1=USD 308、X2=USD 338。运营成本估计为收益
的15%，土地成本占收益的30%。
图4.销售价格.USD.千.来源：SECOVI-RJ (2004)8
图4显示了Rio de Janeiro西部地区的住房的平均销售价格
年度实际收益的期望报酬和标准差可由表1所示的普通最小二乘法从图4中估计出。并设置标准差为15%。
表1.年度收益率和标准差
在期权的持有者行使期权但遭受损失了的情况下，投资产生的每阶段的潜在现金流将影响机会成本或期权的执行成本。这个机会成本与估计的住房收益相等，其占总收益的百分比介于4%和12%之间（每半年）。基本情况下，利率为10%。加权平均资本成本（WACC）为每年15%，Brazilian的估计无风险利率为10%每半年。
一次和阶段策略的最优决策考虑了不同的第二阶段的建设成本(X2)如同5所示。注意，但每平米成本小于USD 356时，阶段投资决策是最佳决策。同样，期权费与 购买可用土
地专有权的最高费用相等。
图6显示了立即执行第二阶段收益。考虑到基本情况下建设成本是USD 546万，如果期望收益高于USD748万，则第二阶段的建设应立即执行。从图7中可看出，当终止期限是5年时，USD 748万的价值相当于停止曲线。在这点上，平滑和价值匹配适用，并且等待期权的价值与立即行使期权的价值相等，因此可得到的净现值（NPV）为
USD784-546=202万。注意，在经典期权理论中，期权费是通过附录A中的公式（A-3）得到的，通常会大于或等于立即执行期权的价值， 在涨跌停点处，两者是相等的并且NPV规则也适用。
图7显示了开发第二阶段的最佳时机，即当期望收益超过最佳停点时进行投资。通过公式5解出期限内每阶段的参数可得停止曲线，同时保持模拟销售速度不变。该图模拟了
ww两个销售速度[y1w;y2;y3]产生的收益分别为USD546（v1）和USD308（v2）。这些价值是
收益的随机变化的初始值。因此，当v1=[30%；30%；30%]时，收益达到了最佳停止曲线，应实施第二投资阶段，同时v2=[20%；20%；5%]无法达到要求的能优化投资的水平。
在成功的条件下，如果每平米价格满足第一条曲线，则期权将在第一阶段结束一年后被行使。在第二条曲线中，期权将在第一阶段结束两年半后行使。但如果失败，第三和第四条曲线显示应在第五年末行使放弃期权，因为收益未达预期值。
此模型同样可用来估计第二阶段投资概率（行使期权），应用公式6即可。考虑到所有可能的销售速度，行使此期权的总概率为62%。
考虑此项目的风险管理，图8显示的NPV在一次投资策略（静态投资决策，）下的分布，总价值为USD214万，遭受损失的概率为10.59%。
图5.一次投资和阶段投资策略
在阶段投资策略（动态投资决策）下，NPV的分布如图9所示。此时NPV增加了10%为USD236万，而遭受损失的概率为3.59%，降低了66%。这是由期权工具作为一种风险管理工具的特点造成的，因为期权始终实在最有利的环境下实施的。
可用土地专有权的最大成本是阶段投资策略所增加的价值，即阶段投资和一次投资的总NPV的差值，相当于USD220，000。因此，如果土地成本太高，则开发商可行使对第二阶段的放弃期权。
4 结论分析
房地产投资不仅呈现运营资金周转紧张、流动性低、投资回报缓慢的特点，而且需求、每平米销售价格和土地成本也带有高不确定性，这些都增加了投资者的可见风险。此项目的信息获得期权、推迟和放弃期权如果管理恰当可以增加投资价值并减少其风险。
图6.期权费-第二阶段.USD.百万
图7.最佳投资决策-第二阶段
图8. NPV1分布-一次投资决策
本文研究了实物期权方法如何改善房地产投资的经济分析，并通过管理不同的期权来支持决策制定过程、降低风险。实物期权模型确定了一次投资和阶段投资的最佳投资策略及投资时机，并讨论了项目的相关风险管理问题，确定了购买土地专有权的最高支付价格。
在Rio de Janeiro房地产开发实例中，实物期权方法相对于传统的现金折现流方法，运用阶段投资策略能使该项目的价值增加10%、减少50%以上的风险。这些价值在高支付成本、高经济不确定和低利润的市场中不能被忽视的。
图9.阶段投资中NPV2分布
在实践中，越来越多的房地产企业开始将实物期权方法应用到项目投资的价值评估中。然而，更重要的是要建立一种能客观的量化这些期权价值的管理文化，以增加项目的价值并提供有效的管理和风险评估。
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