第十三章 拉普拉斯变换
一、教学基本要求
1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，. 基尔霍夫定律的运算形式、
运算阻抗和运算导纳、运算电路。
3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
二、教学重点与难点
教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开；
2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。
三、本章与其它章节的联系：
是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
四、学时安排 总学时：6
五、教学内容
§13－1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2. 拉普拉斯变换的定义
一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f (t ) ，它的拉普拉斯变换式 F (s ) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F (s)为f (t)的象函数，f (t)为F (s)的原函数。
由 F (s) 到 f (t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中 c 为正的有限常数。 注意：
（1）定义中拉氏变换的积分从 t =0- 开始，即：
它计及 t =0- 至 0+ ，f (t ) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
（2）象函数 F (s) 一般用大写字母表示, 如I (s)，U (s) ，原函数f (t) 用小写字母表示，如i (t),u (t)。
（3）象函数 F (s) 存在的条件：3. 典型函数的拉氏变换
（1） 单位阶跃函数的象函数
（2）单位冲激函数的象函数
（3） 指数函数的象函数
§13－2 拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理
应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表 13-2 拉氏变换简表
例13-1 已知 解：
，求函数
的像函数。
例13-2 已知 ，求 f (t )= 的象函数。
解： 根据积分性质和时域延迟性质
例13-3 求函数 的像函数。
解：
例13-4 求函数
解：根据微分性质，因为
的像函数。
，所以
例13-5 求函数 的像函数。
解： 根据频域导数性质有：
例13-6 求函数
的像函数。
解：
根据频域导数性质有：
例13-7 求函数 的像函数。
解： 根据频域导数性质有：
§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
1．拉普拉斯反变换法
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有： （
1） 利用公式
（2
） 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数
（3）
把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则 2．部分分式展开法
用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理) ，即将式，成为可在拉氏变换表中查到的 取原函数 设
。
，
的阶次不高于
的阶次，否则，用
除
展开成部分分
的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求
，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出
=0的根。
设象函数的一般形式：
即 F （s ）为真分式。下面讨论
（1）
若F (s)分解为：
=0 的根的情况。
=0 有 n 个不同的单根 p 1、p 2……p n 。利用部分分式可将
待定常数的确定： 方法一：按
， i =1, 2, 3, … , n 来确定。
方法二：用求极限方法确定a i 的值
得原函数的一般形式为：
（2） 若
=0有共轭复根
和
，可将F (s)分解为：
则
，
和
为共轭复数。设
因为F (s )
为实系数多项式之比，故
（3）
，
=0 的具有重根时，因含有
的因式。
则，
；
； …… ；
总结上述得由 F (s) 求 f( t) 的步骤：
（1） n = m 时将 F (s) 化成真分式和多项式之和； （2） 求真分式分母的根，确定分解单元；
（3） 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数； （4） 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。 例13-8 已知
求原函数
解法一： 设
其中
所以
解法二：
例13-9 已知
求原函数
。
解： 因为
所以
的根为：
例13-10
已知
求原函数 解：
；
；
；
则，
例13-11 已知
求原函数
。
解： 原式
所以
§13－4 运算电路
应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首
先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运
算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1. 电路定律的运算形式
基尔霍夫定律的时域表示：
把时间函数变换为对应的象函数：
得基尔霍夫定律的运算形式：
2. 电路元件的运算形式
根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
（1） 电阻 R 的运算形式
图 13.1（a ）所示电阻元件的电压电流关系为：u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，
得电阻元件 VCR 的运算形式： 或
根据上式得电阻 R 的运算电路如图（b ）所示。
图 13.1（a ） （b ）
（2） 电感 L 的运算形式
图13.2（a ）所示电感元件的电压电流关系为：
图 13.2（a ）
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件 VCR 的运算形式：
或：
表示附加
根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中
电压源的电压，式中
表示附加电流源的电流。
分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图 13.2（b ） 图 13.2（c ）
（3） 电容 C 的运算形式
图13.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：
图 13.3（a ）
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件 VCR 的运算形式：
或：
根据上式得电容 C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中 式中
表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图 13.3（b ） 图 13.3（c ） （4） 耦合电感的运算形式
图13.4（a ）所示耦合电感的电压电流关系为：
图13.4（a ）
两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR的运算形式：
根据上式得耦合电感的运算电路如图（b ）所示。
图13.4（b ） 图中
和
都是附加电压源。式中
分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。
（5) 受控源的运算形式
图13.5（a ）所示 VCVS 的电压电流关系为：
两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：
根据上式得 VCVS 的运算电路如图（b ）所示。
图13.5（a ） 3. 运算电路模型
图 13.6 为 RLC 串联电路，设电容电压的初值为
，其时域方程为：
图13.5（b ）
，电感电流的初值为
图13.6（a ）
图13.6（b ）
取拉普拉斯变换，得运算方程
或写为
即：
上式称运算形式的欧姆定律，式中
称运算阻抗。根据上式得图（b ）所示的运算电路。因此，运算电路实际是： （1） 电压、电流用象函数形式
（2） 元件用运算阻抗或运算导纳表示；
（3） 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 例13-12 给出图（a ）所示电路的运算电路模型。已知
例 13-12 图（a ）
解： 运算电路如图（b ）所示。
例 13-12 图（b ）
例13-13 给出图（a ）所示电路的运算电路模型，已知 t =0 时打开开关。
例 13-13 图（a
）
解：由图（a ）可知：uc (0-)=25V，iL (0-)=5A，则运算电路模型如图（b ）所示。
例 13-13 图（b ）
注意图中的附加电源。
§13－5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为： 1. 由换路前的电路计算 u c(0-) , i L(0-) 。
2. 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。 3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。 注意：
（1）运算法直接求得全响应；
（2）用 0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中；
例13-14 电路如图（a ）所示，开关 S 原来闭合，求 S 在 0 时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。其中，R 1=2Ω，R 2=2Ω，L 1=0.3H，L 2=0.1H，U s =10V 。
例 13-14 图（a ） 例 13-14 图（b ）
解：图（b ）是开关 S 打开后的运算电路图。 L 1 中的初始电流为 U s /R 1=5A 。则
故
A
所以
V V
例13-15 电路如图（
a ）所示，t=0
时刻开关 S 闭合，用运算法求
S 闭合后电路中感元件上的电压及电流。已知
。
例 13-15 图（a ）
解：
(1) 首先计算初值
由已知条件和图（a ）得：
(2) 画运算电路如图（b ）所示。其中
例 13-15 图（b ）
(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：
从中解得：
(4) 反变换求原函数
令
有三个根：
所以
注意：
例13-16 电路如图（
a
）所示，已知电容元件上的电压及电流。
，用运算法求电路中
例 13-16 图（a ） 例 13-16 图（（b ）
解： 由已知条件知：
，运算电路如图（
b
）所示。有：
所以
例13-17 电路如图（a ）所示，t =0 时打开开关 k ,
求电流 i
1, i 2。 已知：
例 13-17 图（a ）
解： 由 图（b ）所示的运算电路得：
例 13-17
图（
b ）
所以
第十三章 拉普拉斯变换
一、教学基本要求
1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，. 基尔霍夫定律的运算形式、
运算阻抗和运算导纳、运算电路。
3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
二、教学重点与难点
教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开；
2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。
三、本章与其它章节的联系：
是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
四、学时安排 总学时：6
五、教学内容
§13－1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2. 拉普拉斯变换的定义
一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f (t ) ，它的拉普拉斯变换式 F (s ) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F (s)为f (t)的象函数，f (t)为F (s)的原函数。
由 F (s) 到 f (t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中 c 为正的有限常数。 注意：
（1）定义中拉氏变换的积分从 t =0- 开始，即：
它计及 t =0- 至 0+ ，f (t ) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
（2）象函数 F (s) 一般用大写字母表示, 如I (s)，U (s) ，原函数f (t) 用小写字母表示，如i (t),u (t)。
（3）象函数 F (s) 存在的条件：3. 典型函数的拉氏变换
（1） 单位阶跃函数的象函数
（2）单位冲激函数的象函数
（3） 指数函数的象函数
§13－2 拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理
应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表 13-2 拉氏变换简表
例13-1 已知 解：
，求函数
的像函数。
例13-2 已知 ，求 f (t )= 的象函数。
解： 根据积分性质和时域延迟性质
例13-3 求函数 的像函数。
解：
例13-4 求函数
解：根据微分性质，因为
的像函数。
，所以
例13-5 求函数 的像函数。
解： 根据频域导数性质有：
例13-6 求函数
的像函数。
解：
根据频域导数性质有：
例13-7 求函数 的像函数。
解： 根据频域导数性质有：
§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
1．拉普拉斯反变换法
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有： （
1） 利用公式
（2
） 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数
（3）
把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则 2．部分分式展开法
用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理) ，即将式，成为可在拉氏变换表中查到的 取原函数 设
。
，
的阶次不高于
的阶次，否则，用
除
展开成部分分
的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求
，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出
=0的根。
设象函数的一般形式：
即 F （s ）为真分式。下面讨论
（1）
若F (s)分解为：
=0 的根的情况。
=0 有 n 个不同的单根 p 1、p 2……p n 。利用部分分式可将
待定常数的确定： 方法一：按
， i =1, 2, 3, … , n 来确定。
方法二：用求极限方法确定a i 的值
得原函数的一般形式为：
（2） 若
=0有共轭复根
和
，可将F (s)分解为：
则
，
和
为共轭复数。设
因为F (s )
为实系数多项式之比，故
（3）
，
=0 的具有重根时，因含有
的因式。
则，
；
； …… ；
总结上述得由 F (s) 求 f( t) 的步骤：
（1） n = m 时将 F (s) 化成真分式和多项式之和； （2） 求真分式分母的根，确定分解单元；
（3） 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数； （4） 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。 例13-8 已知
求原函数
解法一： 设
其中
所以
解法二：
例13-9 已知
求原函数
。
解： 因为
所以
的根为：
例13-10
已知
求原函数 解：
；
；
；
则，
例13-11 已知
求原函数
。
解： 原式
所以
§13－4 运算电路
应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首
先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运
算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1. 电路定律的运算形式
基尔霍夫定律的时域表示：
把时间函数变换为对应的象函数：
得基尔霍夫定律的运算形式：
2. 电路元件的运算形式
根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
（1） 电阻 R 的运算形式
图 13.1（a ）所示电阻元件的电压电流关系为：u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，
得电阻元件 VCR 的运算形式： 或
根据上式得电阻 R 的运算电路如图（b ）所示。
图 13.1（a ） （b ）
（2） 电感 L 的运算形式
图13.2（a ）所示电感元件的电压电流关系为：
图 13.2（a ）
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件 VCR 的运算形式：
或：
表示附加
根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中
电压源的电压，式中
表示附加电流源的电流。
分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图 13.2（b ） 图 13.2（c ）
（3） 电容 C 的运算形式
图13.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：
图 13.3（a ）
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件 VCR 的运算形式：
或：
根据上式得电容 C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中 式中
表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图 13.3（b ） 图 13.3（c ） （4） 耦合电感的运算形式
图13.4（a ）所示耦合电感的电压电流关系为：
图13.4（a ）
两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR的运算形式：
根据上式得耦合电感的运算电路如图（b ）所示。
图13.4（b ） 图中
和
都是附加电压源。式中
分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。
（5) 受控源的运算形式
图13.5（a ）所示 VCVS 的电压电流关系为：
两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：
根据上式得 VCVS 的运算电路如图（b ）所示。
图13.5（a ） 3. 运算电路模型
图 13.6 为 RLC 串联电路，设电容电压的初值为
，其时域方程为：
图13.5（b ）
，电感电流的初值为
图13.6（a ）
图13.6（b ）
取拉普拉斯变换，得运算方程
或写为
即：
上式称运算形式的欧姆定律，式中
称运算阻抗。根据上式得图（b ）所示的运算电路。因此，运算电路实际是： （1） 电压、电流用象函数形式
（2） 元件用运算阻抗或运算导纳表示；
（3） 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 例13-12 给出图（a ）所示电路的运算电路模型。已知
例 13-12 图（a ）
解： 运算电路如图（b ）所示。
例 13-12 图（b ）
例13-13 给出图（a ）所示电路的运算电路模型，已知 t =0 时打开开关。
例 13-13 图（a
）
解：由图（a ）可知：uc (0-)=25V，iL (0-)=5A，则运算电路模型如图（b ）所示。
例 13-13 图（b ）
注意图中的附加电源。
§13－5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为： 1. 由换路前的电路计算 u c(0-) , i L(0-) 。
2. 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。 3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。 注意：
（1）运算法直接求得全响应；
（2）用 0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中；
例13-14 电路如图（a ）所示，开关 S 原来闭合，求 S 在 0 时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。其中，R 1=2Ω，R 2=2Ω，L 1=0.3H，L 2=0.1H，U s =10V 。
例 13-14 图（a ） 例 13-14 图（b ）
解：图（b ）是开关 S 打开后的运算电路图。 L 1 中的初始电流为 U s /R 1=5A 。则
故
A
所以
V V
例13-15 电路如图（
a ）所示，t=0
时刻开关 S 闭合，用运算法求
S 闭合后电路中感元件上的电压及电流。已知
。
例 13-15 图（a ）
解：
(1) 首先计算初值
由已知条件和图（a ）得：
(2) 画运算电路如图（b ）所示。其中
例 13-15 图（b ）
(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：
从中解得：
(4) 反变换求原函数
令
有三个根：
所以
注意：
例13-16 电路如图（
a
）所示，已知电容元件上的电压及电流。
，用运算法求电路中
例 13-16 图（a ） 例 13-16 图（（b ）
解： 由已知条件知：
，运算电路如图（
b
）所示。有：
所以
例13-17 电路如图（a ）所示，t =0 时打开开关 k ,
求电流 i
1, i 2。 已知：
例 13-17 图（a ）
解： 由 图（b ）所示的运算电路得：
例 13-17
图（
b ）
所以