求极限的方法及例题总结

1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2

lim(3x1)5

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB （2）limf(x)g(x)AB （3）

lim

f(x)A

,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

lim

x1

例1

3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4

解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。 例2

limn(n2n1)

n

n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

limnn2n1

lim

n

3

21

nn



3

2

解：原式=

(1)n3nlimn

n

例3 n23

。

上下同除以3n



解：原式

1

()n1lim1n2n

()13。

3．两个重要极限

sinx

1

x0x（1）

lim

（2）x0

lim(1x)e

1

x

lim(1)xe

；x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3xlim1lim(12x)2xelim(1)3e例如：x03x，x0，x；等等。

1

x

利用两个重要极限求极限

1cosx

2x03x例5

lim

xx

2sin2

lim1lim

x0x0x63x2

12()2

2解：原式=。

2sin2

注：本题也可以用洛比达法则。

lim(13sinx)

x0

2

x

例6

16sinx

解：原式=x0

lim(13sinx)lim[(13sinx)

x0

1

3sinx

]

6sinxe6

。

例7

lim(

n

n2n

)n1

n13n

33

lim(1)nn1解：原式=33lim[(1)]e3nn1。

n1

3n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin

面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上

关系成立，例如：当x0时，e

3x

1～3x；ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)

lim

g1(x)存在时，xx0g(x)也存在且

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且

f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0

lim

f1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

lim

x0

例9

xln(13x)arctan(x2)

ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 解：x0时，

lim

x3x3x2。

 原式=x0

exesinx

lim

例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

lim

x0

tanxsinxxx

lim0x0x3x3。

1tan(x2sin)

lim

sinx例11 x0

解：

当x0时，x2sin

111

是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，

x2sin

所以，原式=x0

lim

1

limxsin10

x0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等

价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1. x0

1/21

lim(

xsinx1sinsin(x1))lim2

lnxex1 2. x0

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和

g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

f(x)

lim

g(x)存在（或是无穷大）（3）；

lim

f(x)f(x)

limmil

g(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)

limg(x)=g(x)。

则极限

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0

（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件

（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx

2x03x例12 （例4）

lim

sinx1



x06x6。解：原式=（最后一步用到了重要极限）

lim

cos

x

例13

lim

x1

x1 



sin

x

解：原式=x1例14

lim

x0

lim

12。

xsinxx3 lim

1cosxsinx1

lim2x0x06x6。3x解：原式==（连续用洛比达法则，最后用重

要极限）

sinxxcosx

2

例15 x0xsinx

lim

解：

原式lim

sinxxcosxcosx(cosxxsinx)

lim

x0x0x2x3x2

xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再

用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x) 例18

11

lim[]0

解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xln(1x)x

lim

x0xln(1x)xxx0

1

1

x1

limlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19

lim

x

x2sinx

3xcosx

12cosx0

lim

解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，

此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxlim

xcosx

3

x（分子、分母同时除以x） 原式=

1

1

=3（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数

f(x)的定义去间内的一点，则有xx0

limf(x)f(x0)

。

利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

limx2e

x2

1x

12x

解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点， 所以原式=2e4e。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。 例1. 设a0，

x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)

2

12

求极限n

limxn

。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足： （1）ynxnzn,(n1,2,3,) （2）n则极限

10. 夹逼定理

limyna

n

，n

limzna

n

limxn

一定存在，且极限值也是a ，即

limxna

。

利用极限存在准则求极限 例20 已知

x12,xn12xn,(n1,2,)

，求n

limxn

limxn

x{x}解：易证：数列n单调递增，且有界（0

存在，设n

limxna

。对已知的递推公式

xn12xn

两边求极限，

得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去） 所以n

limxn2

lim(

1

。



1n2

1n21

2

例21

n

n1n

2



1

2

nn 1



1n2n



nn21

)

2

解：易见：nn



n22

lim

nnn

2

因为

n

1lim

nn1

1

2

，

n

n2

1

1n2

2

lim(

所以由准则2得：

n1



1nn

2

)1

。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法

12. 利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8. 利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限n

limf(n)

u

n1



n

收敛，则n

limun0

，故对某

，可将函数

f(n)作为级数n1

f(n)



的一般项，只须证明此

技术收敛，便有n

limf(n)0

。

n!

例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求n

lim(1

1332n1)333

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）

1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2

lim(3x1)5

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB （2）limf(x)g(x)AB （3）

lim

f(x)A

,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

lim

x1

例1

3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4

解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。 例2

limn(n2n1)

n

n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

limnn2n1

lim

n

3

21

nn



3

2

解：原式=

(1)n3nlimn

n

例3 n23

。

上下同除以3n



解：原式

1

()n1lim1n2n

()13。

3．两个重要极限

sinx

1

x0x（1）

lim

（2）x0

lim(1x)e

1

x

lim(1)xe

；x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3xlim1lim(12x)2xelim(1)3e例如：x03x，x0，x；等等。

1

x

利用两个重要极限求极限

1cosx

2x03x例5

lim

xx

2sin2

lim1lim

x0x0x63x2

12()2

2解：原式=。

2sin2

注：本题也可以用洛比达法则。

lim(13sinx)

x0

2

x

例6

16sinx

解：原式=x0

lim(13sinx)lim[(13sinx)

x0

1

3sinx

]

6sinxe6

。

例7

lim(

n

n2n

)n1

n13n

33

lim(1)nn1解：原式=33lim[(1)]e3nn1。

n1

3n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin

面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上

关系成立，例如：当x0时，e

3x

1～3x；ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)

lim

g1(x)存在时，xx0g(x)也存在且

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且

f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0

lim

f1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

lim

x0

例9

xln(13x)arctan(x2)

ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 解：x0时，

lim

x3x3x2。

 原式=x0

exesinx

lim

例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

lim

x0

tanxsinxxx

lim0x0x3x3。

1tan(x2sin)

lim

sinx例11 x0

解：

当x0时，x2sin

111

是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，

x2sin

所以，原式=x0

lim

1

limxsin10

x0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等

价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1. x0

1/21

lim(

xsinx1sinsin(x1))lim2

lnxex1 2. x0

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和

g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

f(x)

lim

g(x)存在（或是无穷大）（3）；

lim

f(x)f(x)

limmil

g(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)

limg(x)=g(x)。

则极限

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0

（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件

（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx

2x03x例12 （例4）

lim

sinx1



x06x6。解：原式=（最后一步用到了重要极限）

lim

cos

x

例13

lim

x1

x1 



sin

x

解：原式=x1例14

lim

x0

lim

12。

xsinxx3 lim

1cosxsinx1

lim2x0x06x6。3x解：原式==（连续用洛比达法则，最后用重

要极限）

sinxxcosx

2

例15 x0xsinx

lim

解：

原式lim

sinxxcosxcosx(cosxxsinx)

lim

x0x0x2x3x2

xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再

用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x) 例18

11

lim[]0

解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xln(1x)x

lim

x0xln(1x)xxx0

1

1

x1

limlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19

lim

x

x2sinx

3xcosx

12cosx0

lim

解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，

此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxlim

xcosx

3

x（分子、分母同时除以x） 原式=

1

1

=3（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数

f(x)的定义去间内的一点，则有xx0

limf(x)f(x0)

。

利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

limx2e

x2

1x

12x

解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点， 所以原式=2e4e。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。 例1. 设a0，

x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)

2

12

求极限n

limxn

。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足： （1）ynxnzn,(n1,2,3,) （2）n则极限

10. 夹逼定理

limyna

n

，n

limzna

n

limxn

一定存在，且极限值也是a ，即

limxna

。

利用极限存在准则求极限 例20 已知

x12,xn12xn,(n1,2,)

，求n

limxn

limxn

x{x}解：易证：数列n单调递增，且有界（0

存在，设n

limxna

。对已知的递推公式

xn12xn

两边求极限，

得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去） 所以n

limxn2

lim(

1

。



1n2

1n21

2

例21

n

n1n

2



1

2

nn 1



1n2n



nn21

)

2

解：易见：nn



n22

lim

nnn

2

因为

n

1lim

nn1

1

2

，

n

n2

1

1n2

2

lim(

所以由准则2得：

n1



1nn

2

)1

。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法

12. 利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8. 利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限n

limf(n)

u

n1



n

收敛，则n

limun0

，故对某

，可将函数

f(n)作为级数n1

f(n)



的一般项，只须证明此

技术收敛，便有n

limf(n)0

。

n!

例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求n

lim(1

1332n1)333

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）