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概率论 第一章 综合自测
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、设A 、B 、C 为三个事件，则下列命题成立的是（ D ）。 (A)若A +C =B +C ，则A =B ； (B) 若AC =BC ，则A =B (C)若P (AB )=0，则A B =φ； (D) 若A -B =A ，则A B =φ. 2、下列关于事件公式不正确的是（ D ）。
(A)P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) ； (B) A ⊂B , P (B -A ) =P (B ) -P (A ) ； (C)P (AB ) =P (B ) P (A B ) ； (D) P (AB ) =P (A ) P (B ) . 3、设A 、B 为两事件，则命题（ B ）是正确的。
(A)若A 与B 互不相容，则A 与B 也互不相容； (B)若A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立； (C)若A 与B 相容，则A 与B 也相容； (D) 若A 与B 互不相容，则A 与B 相互独立. 4、设A 、B 、C 三个事件满足P (ABC )=P (A )P (B )P (C )，则下列命题成立的是（ D ）。
(A) A与B 相互独立； (B)A、B 与C 相互独立； (C) A、B 、C 相互独立； (D)以上结论均不准确.
5、某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户的概率为（ B ）。
(A) 85%-50%⨯65%； (B) 50%+65%-85%； (C) 85%⨯65%⨯50%； (D) A , B , C 均不是.
6、设10把钥匙中有3把能打开门，任取两把，能打开门的概率为（ D ）
C 1111
11211(A) 3C 2C 2； (B) C 3C 9； C 3C 7C 3C 3
C 710C 2 (C) C 2； (D) 2+2
. 1010C 10C 10
7、投掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中一颗为1点的为（ B ）
（A ）0 ； （B ）
13； （C ）2
3
； （D ）1. 第1页（共 5页）
1
8、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任意抽取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ C ）
（A ）0 ； （B ）
12
； （C ）； （D ）1. 33
9、设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等，若已知事件A 至少出现一次的概率为27，则事件A 在一次实验中出现的概率为（ B ）
（A ）0 ； （B ）
12
； （C ）； （D ）1. 33
10、设一射击手每次命中目标的的概率为p ，现对某一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射击手共射击10次的概率为（ C ）
54
(A)C 10P 5(1-p )； (B) C 10P 4(1-p )；
5
5
4544 (C)C 9P (1-p ); (D) C 9P (1-p ).
5
5
二、填空题。
1、设A 、B 为两个事件，且P (A )=0. 7, P (A -B )=0. 3，则P AB =2、设A 、B 、C 为三个事件，且P (A )=P (B )=P (C )=0. 25, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=， 则P A B = 3/8 .
3、设P (A )=0. 6, P (B )=0. 8, P B =0. 2，则P (B ) 4、把10本书任意放在书架上，则其中指定三本书放在一起的概率为5、在一标准英语字典中有55个由2个不同字母组成的单词，若从26个英文字母中任取2个字母排列，则
2能排列上述单词的概率为 P 26=26⋅25=)
)
()
6、设在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字，旋转这陀螺，它停下来时其圆周上诸点与桌面接触的可能性相等，则接触点的刻度落在[1，7、用事件A , B , C 的运算关系表示下列事件：
（1）A , B , C 都不发生 ；
（2）A , B , C 中不多于一个事件发生 ； （3）A , B , C 中至少两个事件发生 ； （3）A , B , C 中恰有两事件发生 .
8、若事件A 与B 独立，则A 与B A 与B ）.
3
]上的概率为 2
第2页（共 5 页）
2
9、甲、乙、丙三人依次从装有7个白球，三个红球的袋中随机地摸取1个球，已知丙摸取了红球，则甲、乙摸取到不同颜色球的概率为 7/18 .
10、袋中有5个乒乓球，其中2个新球，3个旧球，有两人随机从袋中各取一球，取后不放回，结果第二个人取到一个旧球，则第一个人取到新球的概率为 1/2 .
三、在房间里有10个人，分别佩戴1号到10号的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码。求： （1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率。
3
解：总的基本事件数：C 10
C 521A=最小号码为5; P (A )=3=
12C 10
2
C 41
B=最大号码为5 P (B )=3=
20C 10
四、将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1、2、 3的概率： 解：将3个球放入4个杯子中的方法共有：4种
33
C 4P 3243
== A=杯子中球的最大个数为1 P (A )=43438
3
121C 4C 3C 3369
=3= B=杯子中球的最大个数为2 P (B )=3
1644
13
C 4C 341
==C=杯子中球的最大个数为3 P (C )= 33
1644
五、设有两支球队进行比赛，每场比赛两队获胜的概率分别为p , (1-p )，并且规定一队胜四场就宣告比赛结束，求该比赛需进行7场的概率。
333
解：C 6(1-p )⋅p 3⋅(1-p )=C 63p 3⋅(1-p ) p ⋅(1-p )⋅p +C 6
3
3
3
第3页（共 5 页）
3
六、设有5个独立工作的元件，分别记为：1、2、 3、 4、 5， 第i 号元件的可靠度（即正常工作的概率） 为p ，i =1, 2, 3, 4, 5，将元件按照以下两种方式连接，试分别求两个系统的可靠度. （1）
（2）
解：设系统正常工作为A, 第i 号元件正常工作记为 B i 则（1）A =B 1B 2B 3+B 1B 4
则P (A ) =P (B 1B 2B 3) +P (B 1B 4) -P (B 1B 2B 3B 4) =p 3+p 2-p 4
（2）A =B 1B 2+B 1B 3B 5+B 4B 5+B 4B 3B 2
P (A ) =2p 2+2p 3-5p 4+2p 5
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4
七、有三个相同的箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个
箱子中有3个黑球2个白球．试求：
(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ (2)已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？
解：设A ={取得的球为白球}，B ={取得的球为黑球}，C i ={取得的球为第i 箱的}，i =1, 2, 3 由题意知
132323, P (A C 2) =, P (A C 3) =, P (B C 1) =, P (B C 2) =, P (B C 3) = 455455
1
又 P (C 1) =P (C 2) =P (C 3) =
3
P (A C 1) =所以 P (A ) =
3
∑P (A C i ) P (C i ) =
i =1
5 12
P (AC 3) P (C 3) P (A C 3) 8
P (C 3A ) = ==
P (A ) P (A ) 25
故 随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是 已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是
5
； 12
8。 25
第5页（共 5 页）
5
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概率论 第二章 综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、下列命题正确的是（ C ） （A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数
（B ）连续型随机变量的密度函数f (x )满足0≤f (x )≤1. （C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数. （D ）两个概率密度函数的乘积仍然是密度函数. 2、设ξ~ ⎛012
3 n ⎫
⎝
0.70.7k 0.7k 2
0.7k 3 0.7k n ⎪⎪⎭
，则k 的值是（ C ） （A ）0.1； （B ）0.2； （C ）0.3； （D ）0.4；
3、若X ~N(0,1)，则P ⎨⎧
X =1⎫
⎩2⎬⎭
是（ D ） （A ）
12； （B ） 1 ； （C ） 1
3
； （D ） 0 ； 4、设随机变量X 的密度函数为f (x ) =k cos 2x ，x ∈[-
π4, π
4
]，其余定义为零，则k 的值为（ B ）（A ）0.5； （B ）1； （C ）2； （D ）0.25； 5、设随机变量X 的分布函数F (x ) =A +Be
-1x 22
(x >0) ，其余定义为零，则A , B 的值是（ A ）
。(A) A =1, B =-1； (B) A =1, B =1；
(C) A =-1, B =1； (D)A =-1, B =-1 6、设随机变量X ~N
(μ, σ2
), μ0，有（ A ）(A)f (a )f (-a )； (C) f (a )=f (-a )； (D) f (a )+f (-a )=1.
第1页（共 5页）
6
7、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（ C ）
131
()F x =+arctan x ； ； (B)
1+x 242π
x ≤0⎧1⎪0
(C) F (x )=⎨x ； (D) F (x )=arctan x +1..
x >0π⎪⎩1+x
(A)F (x )=
x ≤0⎧0,
⎪2⎪x ,
0≤x
8、设连续型随机变量X 的分布函数为：F (x ) =⎨ ，则 F () =( C )
22⎪2x -x -1,
⎪21≤x
(A)
137
(B) (C) (D) 888
1
16
0≤x
3⎫⎪⎛1
9、设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨2-x 1≤x ≤2，则P ≤X
2⎭⎝2⎪0其他⎩
(A)
8337
(B) (C) (D) 4898
10、已知随机变量X ~N 2, σ, P (2
2
()
(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.5 (D) 0.8
二、填空题
1、设随机变量X 的概率分布律为：P {X =k }=2、进行某种试验，设试验成功的概率为
a
(k =1, 2, ⋅⋅⋅, N ) ，则a = N
31
，失败的概率为，以X 表示试验首次成功所需试验的次数，
44
则P {X =2}= 3/16 ，P {X ≤2}= 15/16 . 3、设随机变量X ~N
(μ, σ), f (x )为随机变量X 的密度函数，则f (x )的两个拐点为= 2
4、设ξ~U [0, 2]，则P
⎛
⎝1⎫
⎪=3⎭
x -⎧100⎪, x >0，则系数λ= 1/100 . 5、设连续型随机变量X 的概率密度函数为：f (x ) =⎨λe ⎪, x ≤0⎩0
第2页（共 5 页）
7
6、随机变量X 服从二项分布，当 ，则B (m ; n , p ) =B (m -1; n , p ) 为最大值。 7、随机变量X 在[2, 5]上服从均匀分布，对随机变量X 进行三次独立观察，至少有两次观察值大于3的概率为 20/27 .
⎧C +x -1
0
⎪0其他⎩
9、一电话交换机每分钟收到呼叫次数服从参数为4的泊松分布，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为
48-4
e ，每分钟呼叫次数大于3的概率为8!
4k -4
e ∑k ! k =4
∞
三、已知在15只同类型零件中包含2件次品，在其中抽取3次，每次任取1只，做不放回抽样，用随机变量X 表示取出次品的数量，求：（1）随机变量X 的分布律；（2）画出随机变量X 的图形
P (X =0)=P (X =1)=
13121122
=
15141335
[**************]12
++=
[***********]35
22121-= 353535
P (X =2)=1-
图略
⎧13-x
2⎪
四、已知随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2x e
⎪⎩0P (-2
解答：当x ≤0时，F (x ) =
2
x >0, 求随机变量X 的分布函数F (x ) 及
其他
⎰
x
-∞
f (x ) dx =⎰0dx =0；
-∞
x
当x >0时，F (x ) =
⎰
x
-∞
f (x ) dx =⎰0dx +⎰
-∞
0x
13x e 2
-
x 22
dx =1-e
-
x 22
x 2
(1+) ；
2
, x ≤0⎧0
⎪x 22即F (x ) =⎨ -x 2
⎪1-e (1+), x >0
2⎩
P (-2
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8
⎧0
x
五、设连续型随机变量X 的分布函数F (x ) =⎪
⎨ln x 1≤x
⎪⎩
1x ≥e 求（1）系数P {X
⎩2⎬⎭
； （2）随机变量X 的密度函数f (x ) 。
P {X
52⎬⎭=F ⎝2⎪⎭
-F (2)=ln 4
⎧f (x ) =⎪1⎨1
⎩0
其他
)⎧1
x 六、假设随机变量X 的概率密度为f (x =⎪⎨2cos
2
0≤x ≤π，对X 独立观察4次，用Y 表示观察值
⎪⎩0
其他
大于
π
3
的次数，试求Y 的分布律 解： P {X >
π
=1-P {X ≤π
πππ
33=1-⎰3-∞f (x ) dx =1-⎰30f (x ) dx =1-⎰3102cos x 2dx =1
2
令A ={观察值大于π
3
} 故P (A ) =
1k 1k 14-k 2
，则P {Y =k }=C 4(2) (2)
=C k 14
4(2) ，k =0, 1, 2, 3, 4
第4页（共 5 页）
9
七、设随机变量ξ具有如下的概率分布
求（1）1＝＋3， （2）2＝2＋1
的概率分布。
解： （1）因为
故
η1
=ξ+3的概率分布为
（2）因为
故
η2=
2ξ2+1的概率分布为：
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概率论第三章综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、设ξ为随机变量，下面的等式或命题正确的是（ B ）.
(A)E (a ξ+b ) =aE (ξ) ； (B) D (ξ) =E (ξ2) -[E (ξ)]2； (C) D (a ξ+b ) =a D (ξ) ； (D) D (a ξ+b ) =aD (ξ) +b 2.
⎧0, x
, 0≤x ≤1; 则E (ξ) =（ D ）.
⎪⎩
1, x >1. （A ）⎰
+∞
40∞10
x dx ； （B ）⎰x 4dx +⎰xdx ； （C ）⎰3x 2dx ； （D ）⎰1
3x 31
1
dx .
⎧1+x , -1≤x
⎨1-x , 若0≤x
⎪⎩
0, 其他（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 2 ； （D ） 3 .
4、设离散型随机变量X 的所有可能取值为x 1=1, x 2=2, x 3=3, 且E (x )=2.3，D (x )=0.61，则x 1, x 2, x
3所对应的概率为（ B ）.
（A ）0.1, 0.2, 0.8； （B ）0.2, 0.3, 0.5 ； （C ）0.3, 0.5, 0.1 ； （D ）0.2, 0.5, 0.3.
5、设ξ服从的分布率为
则E (ξ) =（ A ）. （A ）0 ； （B ） -
16
； （C ） -1
3； （D ）1.
第1页（共 5页）
11
6、设随机变量X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击击中目标的概率为0.4，则E (X ) 、D (X ) 分别为（ B ）.
（A ）4, 5 ； （B ） 4， 2.4 ； (C) 5, 2.4 ； (D) 0, 5 . 7、设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨
⎧ax +b 0
，且E (X ) =0. 5，则a , b 的值分别为（ A ）.
其他⎩0
（A ）0， 1; （B ）1， 0； （C ）1， 1； （D ）0， 2； 8、某车间生产的圆盘其直径在区间(a , b )服从均匀分布，则圆盘面积的数学期望为（ D ）.
ππ(a +b )π(a 2+b 2)π(a 2+ab +b 2)（A ） （B ） （C ） （D ）
12121212
⎧e -x
9、设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) =⎨
⎩0
x >0
，则E (2X ) =（ D ）. x ≤0
（A ） 0 （B ） 1 （C ）e （D ） 2 10、设随机变量X 的分布律如下，则E (X 2), D (X ) 分别为（ A ）.
（2.8 , 13.4 （D ）2.76, 2.8
二、填空题
1、E (cX ) = ， E (cX +d ) =2、D (c ) = ， D (cX +d ) = 3、D (X ) =E (X ) -4、设随机变量ξ~N(μ，σ2) ，则E (ξ) =，D (ξ) =5、设随机变量X ~B (n , p ) ，则E (X ) =D (X ) =6、设随机变量X ~P (λ)，则E (X ) =，D (X ) =7、设随机变量X ~U (a , b )，则E (X ) =，D (X ) =8、设随机变量X ~E (λ)，则E (X ) =，D (X ) =2
9、设ξ服从[0, 2π]上的均匀分布， 则E (sinξ) 10、设电压（以V 计）X ~N (0, 9)，将电压加到一检波器，其输出电压为Y =5X ，则输出电压Y 的均
2
值为 45 .
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12
三、投掷两枚硬币，X 表示“国徽面朝上”的次数，求E (X ), D (X )
X 的分布律为：
E (X )=1
E X 2=
()
13+1= 22
1
2
D (X ) =E (X 2) -(E (X )) 2=
⎧2x , 0
四、设随机变量X 具有概率密度函数P (x ) =⎨ ，
0, x ≤0, x ≥1⎩
求：（1）E (X ) . （2）E (3X 2+1) . （3）D (X ) . 解： E (X ) =
⎰
+∞
-∞
xp (x ) dx =⎰0⋅x dx +⎰x ⋅2xdx +⎰0⋅x dx =
-∞
1
+∞
1
+∞
-∞2
-∞
1
01+∞
2
3
1 2
22222
又 E (X ) =⎰x p (x ) dx =⎰0⋅x dx +⎰x ⋅2xdx +⎰0⋅x dx =
∴D (X ) =E (X ) -E (X ) =
1221-() = 2318
1522
又 E (3X +1) =3E (X ) +1=3⨯+1=
22
2
故 E (X ) =
五、设随机变量ξ具有如下的概率分布
2512
， E (3X +1) = ， D (x ) = 3218
求E () ，E (2＋1) ， D
第3页（共 5页）
13
六、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
⎧x
f (x )=⎪
1-⎨44e
x >0 ⎪⎩0
x ≤0
工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可以调换，若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望。 解：依题意， P {X
⎰
1
1
-∞
f (x ) dx =⎰
-∞f (x ) dx ⎰f (x ) dx =⎰1
1-1
x
04
e 40dx
1
=-e
-1
4x 1
=1-e
-4
，
1P {X ≥1}=1-P {X
-
4
，
令Y 为售出一台盈利数的随机变量，则其分布律为
111E (Y ) =100⨯e -4
+（-200）⨯(1-e -4
) =300⨯e -
4
-200
即为所求。
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14
⎧ax 2+bx +c , 0
七、设连续型随机变量ξ的分布密度为f (x ) =⎨，已知E(ξ) =, D(ξ) =，求
220其他⎩0,
系数a , b , c 。
解： ⎰f (x ) dx =
-∞
+∞
⎰
-∞
0dx +⎰(ax 2+bx +c ) dx +⎰0dx =
1
1+∞
a b
++c =1 32
即有
+∞
a b
++c =1 32
又 ⎰xf (x ) dx =
-∞⎰
-∞
0xdx +⎰x (ax +bx +c ) dx +⎰0⋅x dx =
1
1
2
+∞
a b c ++ 432
+∞1
又 E (X ) =已知E(X ) =
2
⎰
+∞
-∞
x 2f (x ) dx =⎰x 2⋅0dx +⎰x 2(ax 2+bx +c ) dx +⎰0⋅x 2dx =
-∞
01
a b c ++ 542
13, D(X ) =， 220
a b c 1
++-() 2 5422
∴D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =
综合上述可得：
a b
++c =1 32
a b c 1++= 4322a b c 13++-() 2= 542220
三式联解得：a =12, b =-12, c =3
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15
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概率论部分综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题。
1、设A 、B 满足P （B A ）=1则（ D ）
(A) A 是必然事件； (B)P （B A ）=0； (C)A ⊃B ； (D)P （A ）≤P （B ）
2、将一枚均匀硬币连接抛两次，以A 表示“正面最多出现一次”，以B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则（ A ）。
(A)A ⊂B ； (B) A与B 互不相容 (C) A与B 相互独立 (D) A与B 不独立
3、已知P (A )=P (B )=P (C )=4, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为（ C ）。
(A)
112； (B) 357
12； (C) 12； (D) 12
。 4、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中各随机地抽取一粒都能发芽的概率为（ B ）。
(A) 0. 94； (B)0.56； (C) 0.38； (D)0.5 5、设随机变量X 和随机变量Y ，下列等式中正确的是（ C ）
（A ）D (X +Y )=D (X )+D (Y ); （B ）D (XY )=D (X )D (Y )； （C ）E (X +Y )=E (X )+E (Y )； （D ）E (XY )=E (X )E (Y )
⎧Ae -2x 6、设f (x ) =⎨x >0
0x ≤0
是某个随机变量的密度函数，则A 的值是（ B ）。
⎩(A) 1； (B) 2； (C) -2； (D) 0.5.
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16
7、随机变量ξ的分布函数F (x ) =P (ξ
(A)处处连续； (B)必有间断点； (C)处处左连续； (D)处处右连续. 8、设随机变量X ~N
(μ, σ), F (x )为其分布函数，则对任意实数a ，有F (μ+a )+F (μ-a )=（ D ）
2
（A ）0； （B ）
11
； （C ） ； （D ）1； 23
9、设随机变量ξ~B （n , p ) ， D (ξ) =（ C ）
（A ）np ; （B ）p ； （C ）np (1-p ) ； （D ）np 2 10、设随机变量X ~N (0, 1)，则下列结论正确的是（ B ）
（A ）P {X >x }=Φ(x )； （B ）P {X x }=-Φ(x )； （D ）P {X
二、填空题。
1、设A 、B 为两个集合，若A ⊂B 且B ⊂A 则称集合A 与B 2、设A 、B 为两个事件，若A B =U ，AB =φ，则称A 、B 两事件3、已知P (A ) =0. 6, P (B ) =0. 8, P (B ) =0. 5, 则P (AB ) =, P (B A ) =4、已知P (A ⋃B )=0. 6, P (B )=0. 3, 则P A =5、设
()
F (x ) 为随机变量X
的分布函数，则lim F (x )
x →+∞
6、 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为f (x ) ，则
⎰f (x ) dx -∞
+∞
7、已知X ~N [0,1]，则Y =3X +1~ 8. 、设
A 为事件A 的逆事件，则P (A ) +P (A ) =
9、设有随机变量X 1, X 2, X n ，常数C 1, C 2, C n ，有E (C 1X 1+C 2X 2
+ +C n X n 三、已知在10件产品中有2件次品，在其中抽取两次，每次任取一件，做不放回抽样。求下列事件的概率： （1）两件产品均为正品 （2）两件产品均为次品 （3）一件正品，一件次品 （4）第二次取出次品
第2页（共 5页）
17
解：记A i =第i 次取出正品；B i =第i 次取出次品 i =1， 2 （1）P (A 1A 2)=P (A 1)⋅P A 2A 1=（2）P (B 1B 2)=P (B 1)⋅P B 2B 1=（3）
((
))
8728
= 10945211
= 10945
P (A 1B 2⋃B 1A 2)=P (A 1B 2)+P (B 1A 2)=P (A 1)⋅P (B 2A 1)+P (B 1)⋅P (A 2B 1)822816=+=10910945
（4）
P (B 2)=P (A 1B 2⋃B 1B 2)=P (A 1B 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)⋅P (B 2A 1)+P (B 1)⋅P (B 2B 1)82211=+=1091095
四、设第一个盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子里面各取1只球。 试求：1、至少有一只蓝球的概率
2、已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球和一只白球的概率
11
解：在两个盒子里面各取1球的取法共有C 7， ⨯C 9
1111
两球中只有一只蓝球的取法有C 3 ⨯C 7+C 4⨯C 211两球均为蓝球的取法有C 3 ⨯C 2
1111两球中一只蓝球一只白球的取法有C 3 ⨯C 4+C 2⨯C 2
所以
（1）至少有一只蓝球的概率为
111111
C 3⨯C 7+C 4⨯C 2+C 3⨯C 25
=11
C 7⨯C 99
（2）已知至少有一只蓝球，为一只蓝球和一只白球的概率为
1111
C 3⨯C 4+C 2⨯C 216
=111111
C 3⨯C 7+C 4⨯C 2+C 3⨯C 235
第3页（共5页）
18
五、设电子管的寿命X 具有密度函数（单位：小时）
⎧1000, 1000
⎨⎪x 2 ⎩0
, x ≤1000 ，
假设电子管损坏与否相互独立，任选5只同样的电子管，问其中至少2只寿命大于1500小时的概率是多少？
P {X >1500}=⎰
+∞
+∞
1500
f (x )dx =⎰
10001500x 2=2
3
Y ~B ⎛ ⎝5, 2⎫
3⎪⎭
33
P {Y ≥2}=1-P {Y =0}-P {Y =1}=1-⎛ 1⎫1⎛1⎫⎛2⎫⎝3⎪⎭-C 5 ⎝3⎪⎭ ⎝3⎪⎭
=0. 9547 六、已知随机变量X 的分布律如下：
求Y =X +X 的分布律，以及E Y , D Y
解：（1） E (X ) =∑x i p i =-2⨯0. 2+(-1) ⨯0. 1+0⨯0. 1+1⨯0. 3+2⨯0. 3=0. 4
又 E (X 2
) =
∑x
2
i p i =(-2) 2⨯0. 2+(-1) 2⨯0. 1+02⨯0. 1+12⨯0. 3+22⨯0. 3=2. 4
∴D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =2. 4-0. 16=2. 24
故 E (X ) =0. 4，∴D (X ) =E (X 2) -E 2
(X ) =2. 4-0. 16=2. 24
（2）因
所以
第4页（共 5页）
19
E (Y ) =∑y i p i =0⨯0. 2+2⨯0. 5+6⨯0. 3=2. 8
又 E (Y 2) =
∑y
2i p i =02⨯0. 2+22⨯0. 5+62⨯0. 3=12. 8
∴D (Y ) =E (Y 2) -E 2(Y ) =12. 8-2. 82=4. 96
故 E (Y ) =2. 8，∴D (Y ) =E (Y 2) -E 2(Y ) =12. 8-2. 82=4. 96
七、设国际市场上对某种出口商品的需求量X （单位：吨）是随机变量，且服从区间[2000,4000]上的均匀分布，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元，问：应组织多少货源，才能使得国家受益最大？
解：随机变量Y 表示国家受益，假设组织货源t 吨，显然要求2000≤t ≤4000，则有
Y =g (X , t )=⎧⎨
3t
X ≥t
⎩4X -t
X
由题意知：X 的概率密度函数为
⎧f ⎪12000≤x ≤4000
X (x ) =⎨⎪2000
⎩0
其他
则E (Y )=
⎰+∞
g (x , t )f 1X (x )dx =
⎡t
-∞2000⎢⎣⎰2000
(4x -t )dx +⎰4000t (3t )dx ⎤⎥⎦ =
1
1000
[-t 2+7000t -4⨯106]
dE (Y )1
dt =
1000
(-2t +7000)=0, t =3500
则应组织3500吨货源，才能使得国家受益最大。
第5页（共 5页）
20
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：号 学 封
：业 专 线
：院 学
概率论 第一章 综合自测
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、设A 、B 、C 为三个事件，则下列命题成立的是（ D ）。 (A)若A +C =B +C ，则A =B ； (B) 若AC =BC ，则A =B (C)若P (AB )=0，则A B =φ； (D) 若A -B =A ，则A B =φ. 2、下列关于事件公式不正确的是（ D ）。
(A)P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) ； (B) A ⊂B , P (B -A ) =P (B ) -P (A ) ； (C)P (AB ) =P (B ) P (A B ) ； (D) P (AB ) =P (A ) P (B ) . 3、设A 、B 为两事件，则命题（ B ）是正确的。
(A)若A 与B 互不相容，则A 与B 也互不相容； (B)若A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立； (C)若A 与B 相容，则A 与B 也相容； (D) 若A 与B 互不相容，则A 与B 相互独立. 4、设A 、B 、C 三个事件满足P (ABC )=P (A )P (B )P (C )，则下列命题成立的是（ D ）。
(A) A与B 相互独立； (B)A、B 与C 相互独立； (C) A、B 、C 相互独立； (D)以上结论均不准确.
5、某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户的概率为（ B ）。
(A) 85%-50%⨯65%； (B) 50%+65%-85%； (C) 85%⨯65%⨯50%； (D) A , B , C 均不是.
6、设10把钥匙中有3把能打开门，任取两把，能打开门的概率为（ D ）
C 1111
11211(A) 3C 2C 2； (B) C 3C 9； C 3C 7C 3C 3
C 710C 2 (C) C 2； (D) 2+2
. 1010C 10C 10
7、投掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中一颗为1点的为（ B ）
（A ）0 ； （B ）
13； （C ）2
3
； （D ）1. 第1页（共 5页）
1
8、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任意抽取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ C ）
（A ）0 ； （B ）
12
； （C ）； （D ）1. 33
9、设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等，若已知事件A 至少出现一次的概率为27，则事件A 在一次实验中出现的概率为（ B ）
（A ）0 ； （B ）
12
； （C ）； （D ）1. 33
10、设一射击手每次命中目标的的概率为p ，现对某一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射击手共射击10次的概率为（ C ）
54
(A)C 10P 5(1-p )； (B) C 10P 4(1-p )；
5
5
4544 (C)C 9P (1-p ); (D) C 9P (1-p ).
5
5
二、填空题。
1、设A 、B 为两个事件，且P (A )=0. 7, P (A -B )=0. 3，则P AB =2、设A 、B 、C 为三个事件，且P (A )=P (B )=P (C )=0. 25, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=， 则P A B = 3/8 .
3、设P (A )=0. 6, P (B )=0. 8, P B =0. 2，则P (B ) 4、把10本书任意放在书架上，则其中指定三本书放在一起的概率为5、在一标准英语字典中有55个由2个不同字母组成的单词，若从26个英文字母中任取2个字母排列，则
2能排列上述单词的概率为 P 26=26⋅25=)
)
()
6、设在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字，旋转这陀螺，它停下来时其圆周上诸点与桌面接触的可能性相等，则接触点的刻度落在[1，7、用事件A , B , C 的运算关系表示下列事件：
（1）A , B , C 都不发生 ；
（2）A , B , C 中不多于一个事件发生 ； （3）A , B , C 中至少两个事件发生 ； （3）A , B , C 中恰有两事件发生 .
8、若事件A 与B 独立，则A 与B A 与B ）.
3
]上的概率为 2
第2页（共 5 页）
2
9、甲、乙、丙三人依次从装有7个白球，三个红球的袋中随机地摸取1个球，已知丙摸取了红球，则甲、乙摸取到不同颜色球的概率为 7/18 .
10、袋中有5个乒乓球，其中2个新球，3个旧球，有两人随机从袋中各取一球，取后不放回，结果第二个人取到一个旧球，则第一个人取到新球的概率为 1/2 .
三、在房间里有10个人，分别佩戴1号到10号的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码。求： （1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率。
3
解：总的基本事件数：C 10
C 521A=最小号码为5; P (A )=3=
12C 10
2
C 41
B=最大号码为5 P (B )=3=
20C 10
四、将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1、2、 3的概率： 解：将3个球放入4个杯子中的方法共有：4种
33
C 4P 3243
== A=杯子中球的最大个数为1 P (A )=43438
3
121C 4C 3C 3369
=3= B=杯子中球的最大个数为2 P (B )=3
1644
13
C 4C 341
==C=杯子中球的最大个数为3 P (C )= 33
1644
五、设有两支球队进行比赛，每场比赛两队获胜的概率分别为p , (1-p )，并且规定一队胜四场就宣告比赛结束，求该比赛需进行7场的概率。
333
解：C 6(1-p )⋅p 3⋅(1-p )=C 63p 3⋅(1-p ) p ⋅(1-p )⋅p +C 6
3
3
3
第3页（共 5 页）
3
六、设有5个独立工作的元件，分别记为：1、2、 3、 4、 5， 第i 号元件的可靠度（即正常工作的概率） 为p ，i =1, 2, 3, 4, 5，将元件按照以下两种方式连接，试分别求两个系统的可靠度. （1）
（2）
解：设系统正常工作为A, 第i 号元件正常工作记为 B i 则（1）A =B 1B 2B 3+B 1B 4
则P (A ) =P (B 1B 2B 3) +P (B 1B 4) -P (B 1B 2B 3B 4) =p 3+p 2-p 4
（2）A =B 1B 2+B 1B 3B 5+B 4B 5+B 4B 3B 2
P (A ) =2p 2+2p 3-5p 4+2p 5
第4页（共 5 页）
4
七、有三个相同的箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个
箱子中有3个黑球2个白球．试求：
(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ (2)已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？
解：设A ={取得的球为白球}，B ={取得的球为黑球}，C i ={取得的球为第i 箱的}，i =1, 2, 3 由题意知
132323, P (A C 2) =, P (A C 3) =, P (B C 1) =, P (B C 2) =, P (B C 3) = 455455
1
又 P (C 1) =P (C 2) =P (C 3) =
3
P (A C 1) =所以 P (A ) =
3
∑P (A C i ) P (C i ) =
i =1
5 12
P (AC 3) P (C 3) P (A C 3) 8
P (C 3A ) = ==
P (A ) P (A ) 25
故 随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是 已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是
5
； 12
8。 25
第5页（共 5 页）
5
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概率论 第二章 综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、下列命题正确的是（ C ） （A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数
（B ）连续型随机变量的密度函数f (x )满足0≤f (x )≤1. （C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数. （D ）两个概率密度函数的乘积仍然是密度函数. 2、设ξ~ ⎛012
3 n ⎫
⎝
0.70.7k 0.7k 2
0.7k 3 0.7k n ⎪⎪⎭
，则k 的值是（ C ） （A ）0.1； （B ）0.2； （C ）0.3； （D ）0.4；
3、若X ~N(0,1)，则P ⎨⎧
X =1⎫
⎩2⎬⎭
是（ D ） （A ）
12； （B ） 1 ； （C ） 1
3
； （D ） 0 ； 4、设随机变量X 的密度函数为f (x ) =k cos 2x ，x ∈[-
π4, π
4
]，其余定义为零，则k 的值为（ B ）（A ）0.5； （B ）1； （C ）2； （D ）0.25； 5、设随机变量X 的分布函数F (x ) =A +Be
-1x 22
(x >0) ，其余定义为零，则A , B 的值是（ A ）
。(A) A =1, B =-1； (B) A =1, B =1；
(C) A =-1, B =1； (D)A =-1, B =-1 6、设随机变量X ~N
(μ, σ2
), μ0，有（ A ）(A)f (a )f (-a )； (C) f (a )=f (-a )； (D) f (a )+f (-a )=1.
第1页（共 5页）
6
7、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（ C ）
131
()F x =+arctan x ； ； (B)
1+x 242π
x ≤0⎧1⎪0
(C) F (x )=⎨x ； (D) F (x )=arctan x +1..
x >0π⎪⎩1+x
(A)F (x )=
x ≤0⎧0,
⎪2⎪x ,
0≤x
8、设连续型随机变量X 的分布函数为：F (x ) =⎨ ，则 F () =( C )
22⎪2x -x -1,
⎪21≤x
(A)
137
(B) (C) (D) 888
1
16
0≤x
3⎫⎪⎛1
9、设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨2-x 1≤x ≤2，则P ≤X
2⎭⎝2⎪0其他⎩
(A)
8337
(B) (C) (D) 4898
10、已知随机变量X ~N 2, σ, P (2
2
()
(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.5 (D) 0.8
二、填空题
1、设随机变量X 的概率分布律为：P {X =k }=2、进行某种试验，设试验成功的概率为
a
(k =1, 2, ⋅⋅⋅, N ) ，则a = N
31
，失败的概率为，以X 表示试验首次成功所需试验的次数，
44
则P {X =2}= 3/16 ，P {X ≤2}= 15/16 . 3、设随机变量X ~N
(μ, σ), f (x )为随机变量X 的密度函数，则f (x )的两个拐点为= 2
4、设ξ~U [0, 2]，则P
⎛
⎝1⎫
⎪=3⎭
x -⎧100⎪, x >0，则系数λ= 1/100 . 5、设连续型随机变量X 的概率密度函数为：f (x ) =⎨λe ⎪, x ≤0⎩0
第2页（共 5 页）
7
6、随机变量X 服从二项分布，当 ，则B (m ; n , p ) =B (m -1; n , p ) 为最大值。 7、随机变量X 在[2, 5]上服从均匀分布，对随机变量X 进行三次独立观察，至少有两次观察值大于3的概率为 20/27 .
⎧C +x -1
0
⎪0其他⎩
9、一电话交换机每分钟收到呼叫次数服从参数为4的泊松分布，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为
48-4
e ，每分钟呼叫次数大于3的概率为8!
4k -4
e ∑k ! k =4
∞
三、已知在15只同类型零件中包含2件次品，在其中抽取3次，每次任取1只，做不放回抽样，用随机变量X 表示取出次品的数量，求：（1）随机变量X 的分布律；（2）画出随机变量X 的图形
P (X =0)=P (X =1)=
13121122
=
15141335
[**************]12
++=
[***********]35
22121-= 353535
P (X =2)=1-
图略
⎧13-x
2⎪
四、已知随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2x e
⎪⎩0P (-2
解答：当x ≤0时，F (x ) =
2
x >0, 求随机变量X 的分布函数F (x ) 及
其他
⎰
x
-∞
f (x ) dx =⎰0dx =0；
-∞
x
当x >0时，F (x ) =
⎰
x
-∞
f (x ) dx =⎰0dx +⎰
-∞
0x
13x e 2
-
x 22
dx =1-e
-
x 22
x 2
(1+) ；
2
, x ≤0⎧0
⎪x 22即F (x ) =⎨ -x 2
⎪1-e (1+), x >0
2⎩
P (-2
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8
⎧0
x
五、设连续型随机变量X 的分布函数F (x ) =⎪
⎨ln x 1≤x
⎪⎩
1x ≥e 求（1）系数P {X
⎩2⎬⎭
； （2）随机变量X 的密度函数f (x ) 。
P {X
52⎬⎭=F ⎝2⎪⎭
-F (2)=ln 4
⎧f (x ) =⎪1⎨1
⎩0
其他
)⎧1
x 六、假设随机变量X 的概率密度为f (x =⎪⎨2cos
2
0≤x ≤π，对X 独立观察4次，用Y 表示观察值
⎪⎩0
其他
大于
π
3
的次数，试求Y 的分布律 解： P {X >
π
=1-P {X ≤π
πππ
33=1-⎰3-∞f (x ) dx =1-⎰30f (x ) dx =1-⎰3102cos x 2dx =1
2
令A ={观察值大于π
3
} 故P (A ) =
1k 1k 14-k 2
，则P {Y =k }=C 4(2) (2)
=C k 14
4(2) ，k =0, 1, 2, 3, 4
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9
七、设随机变量ξ具有如下的概率分布
求（1）1＝＋3， （2）2＝2＋1
的概率分布。
解： （1）因为
故
η1
=ξ+3的概率分布为
（2）因为
故
η2=
2ξ2+1的概率分布为：
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概率论第三章综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题
1、设ξ为随机变量，下面的等式或命题正确的是（ B ）.
(A)E (a ξ+b ) =aE (ξ) ； (B) D (ξ) =E (ξ2) -[E (ξ)]2； (C) D (a ξ+b ) =a D (ξ) ； (D) D (a ξ+b ) =aD (ξ) +b 2.
⎧0, x
, 0≤x ≤1; 则E (ξ) =（ D ）.
⎪⎩
1, x >1. （A ）⎰
+∞
40∞10
x dx ； （B ）⎰x 4dx +⎰xdx ； （C ）⎰3x 2dx ； （D ）⎰1
3x 31
1
dx .
⎧1+x , -1≤x
⎨1-x , 若0≤x
⎪⎩
0, 其他（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 2 ； （D ） 3 .
4、设离散型随机变量X 的所有可能取值为x 1=1, x 2=2, x 3=3, 且E (x )=2.3，D (x )=0.61，则x 1, x 2, x
3所对应的概率为（ B ）.
（A ）0.1, 0.2, 0.8； （B ）0.2, 0.3, 0.5 ； （C ）0.3, 0.5, 0.1 ； （D ）0.2, 0.5, 0.3.
5、设ξ服从的分布率为
则E (ξ) =（ A ）. （A ）0 ； （B ） -
16
； （C ） -1
3； （D ）1.
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11
6、设随机变量X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击击中目标的概率为0.4，则E (X ) 、D (X ) 分别为（ B ）.
（A ）4, 5 ； （B ） 4， 2.4 ； (C) 5, 2.4 ； (D) 0, 5 . 7、设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎨
⎧ax +b 0
，且E (X ) =0. 5，则a , b 的值分别为（ A ）.
其他⎩0
（A ）0， 1; （B ）1， 0； （C ）1， 1； （D ）0， 2； 8、某车间生产的圆盘其直径在区间(a , b )服从均匀分布，则圆盘面积的数学期望为（ D ）.
ππ(a +b )π(a 2+b 2)π(a 2+ab +b 2)（A ） （B ） （C ） （D ）
12121212
⎧e -x
9、设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) =⎨
⎩0
x >0
，则E (2X ) =（ D ）. x ≤0
（A ） 0 （B ） 1 （C ）e （D ） 2 10、设随机变量X 的分布律如下，则E (X 2), D (X ) 分别为（ A ）.
（2.8 , 13.4 （D ）2.76, 2.8
二、填空题
1、E (cX ) = ， E (cX +d ) =2、D (c ) = ， D (cX +d ) = 3、D (X ) =E (X ) -4、设随机变量ξ~N(μ，σ2) ，则E (ξ) =，D (ξ) =5、设随机变量X ~B (n , p ) ，则E (X ) =D (X ) =6、设随机变量X ~P (λ)，则E (X ) =，D (X ) =7、设随机变量X ~U (a , b )，则E (X ) =，D (X ) =8、设随机变量X ~E (λ)，则E (X ) =，D (X ) =2
9、设ξ服从[0, 2π]上的均匀分布， 则E (sinξ) 10、设电压（以V 计）X ~N (0, 9)，将电压加到一检波器，其输出电压为Y =5X ，则输出电压Y 的均
2
值为 45 .
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三、投掷两枚硬币，X 表示“国徽面朝上”的次数，求E (X ), D (X )
X 的分布律为：
E (X )=1
E X 2=
()
13+1= 22
1
2
D (X ) =E (X 2) -(E (X )) 2=
⎧2x , 0
四、设随机变量X 具有概率密度函数P (x ) =⎨ ，
0, x ≤0, x ≥1⎩
求：（1）E (X ) . （2）E (3X 2+1) . （3）D (X ) . 解： E (X ) =
⎰
+∞
-∞
xp (x ) dx =⎰0⋅x dx +⎰x ⋅2xdx +⎰0⋅x dx =
-∞
1
+∞
1
+∞
-∞2
-∞
1
01+∞
2
3
1 2
22222
又 E (X ) =⎰x p (x ) dx =⎰0⋅x dx +⎰x ⋅2xdx +⎰0⋅x dx =
∴D (X ) =E (X ) -E (X ) =
1221-() = 2318
1522
又 E (3X +1) =3E (X ) +1=3⨯+1=
22
2
故 E (X ) =
五、设随机变量ξ具有如下的概率分布
2512
， E (3X +1) = ， D (x ) = 3218
求E () ，E (2＋1) ， D
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六、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
⎧x
f (x )=⎪
1-⎨44e
x >0 ⎪⎩0
x ≤0
工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可以调换，若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望。 解：依题意， P {X
⎰
1
1
-∞
f (x ) dx =⎰
-∞f (x ) dx ⎰f (x ) dx =⎰1
1-1
x
04
e 40dx
1
=-e
-1
4x 1
=1-e
-4
，
1P {X ≥1}=1-P {X
-
4
，
令Y 为售出一台盈利数的随机变量，则其分布律为
111E (Y ) =100⨯e -4
+（-200）⨯(1-e -4
) =300⨯e -
4
-200
即为所求。
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⎧ax 2+bx +c , 0
七、设连续型随机变量ξ的分布密度为f (x ) =⎨，已知E(ξ) =, D(ξ) =，求
220其他⎩0,
系数a , b , c 。
解： ⎰f (x ) dx =
-∞
+∞
⎰
-∞
0dx +⎰(ax 2+bx +c ) dx +⎰0dx =
1
1+∞
a b
++c =1 32
即有
+∞
a b
++c =1 32
又 ⎰xf (x ) dx =
-∞⎰
-∞
0xdx +⎰x (ax +bx +c ) dx +⎰0⋅x dx =
1
1
2
+∞
a b c ++ 432
+∞1
又 E (X ) =已知E(X ) =
2
⎰
+∞
-∞
x 2f (x ) dx =⎰x 2⋅0dx +⎰x 2(ax 2+bx +c ) dx +⎰0⋅x 2dx =
-∞
01
a b c ++ 542
13, D(X ) =， 220
a b c 1
++-() 2 5422
∴D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =
综合上述可得：
a b
++c =1 32
a b c 1++= 4322a b c 13++-() 2= 542220
三式联解得：a =12, b =-12, c =3
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：号班学教 ：名 姓 密
：号 学 封
：业 专 线
：院 学
概率论部分综合自测题
本试题满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题。
1、设A 、B 满足P （B A ）=1则（ D ）
(A) A 是必然事件； (B)P （B A ）=0； (C)A ⊃B ； (D)P （A ）≤P （B ）
2、将一枚均匀硬币连接抛两次，以A 表示“正面最多出现一次”，以B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则（ A ）。
(A)A ⊂B ； (B) A与B 互不相容 (C) A与B 相互独立 (D) A与B 不独立
3、已知P (A )=P (B )=P (C )=4, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为（ C ）。
(A)
112； (B) 357
12； (C) 12； (D) 12
。 4、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中各随机地抽取一粒都能发芽的概率为（ B ）。
(A) 0. 94； (B)0.56； (C) 0.38； (D)0.5 5、设随机变量X 和随机变量Y ，下列等式中正确的是（ C ）
（A ）D (X +Y )=D (X )+D (Y ); （B ）D (XY )=D (X )D (Y )； （C ）E (X +Y )=E (X )+E (Y )； （D ）E (XY )=E (X )E (Y )
⎧Ae -2x 6、设f (x ) =⎨x >0
0x ≤0
是某个随机变量的密度函数，则A 的值是（ B ）。
⎩(A) 1； (B) 2； (C) -2； (D) 0.5.
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7、随机变量ξ的分布函数F (x ) =P (ξ
(A)处处连续； (B)必有间断点； (C)处处左连续； (D)处处右连续. 8、设随机变量X ~N
(μ, σ), F (x )为其分布函数，则对任意实数a ，有F (μ+a )+F (μ-a )=（ D ）
2
（A ）0； （B ）
11
； （C ） ； （D ）1； 23
9、设随机变量ξ~B （n , p ) ， D (ξ) =（ C ）
（A ）np ; （B ）p ； （C ）np (1-p ) ； （D ）np 2 10、设随机变量X ~N (0, 1)，则下列结论正确的是（ B ）
（A ）P {X >x }=Φ(x )； （B ）P {X x }=-Φ(x )； （D ）P {X
二、填空题。
1、设A 、B 为两个集合，若A ⊂B 且B ⊂A 则称集合A 与B 2、设A 、B 为两个事件，若A B =U ，AB =φ，则称A 、B 两事件3、已知P (A ) =0. 6, P (B ) =0. 8, P (B ) =0. 5, 则P (AB ) =, P (B A ) =4、已知P (A ⋃B )=0. 6, P (B )=0. 3, 则P A =5、设
()
F (x ) 为随机变量X
的分布函数，则lim F (x )
x →+∞
6、 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为f (x ) ，则
⎰f (x ) dx -∞
+∞
7、已知X ~N [0,1]，则Y =3X +1~ 8. 、设
A 为事件A 的逆事件，则P (A ) +P (A ) =
9、设有随机变量X 1, X 2, X n ，常数C 1, C 2, C n ，有E (C 1X 1+C 2X 2
+ +C n X n 三、已知在10件产品中有2件次品，在其中抽取两次，每次任取一件，做不放回抽样。求下列事件的概率： （1）两件产品均为正品 （2）两件产品均为次品 （3）一件正品，一件次品 （4）第二次取出次品
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解：记A i =第i 次取出正品；B i =第i 次取出次品 i =1， 2 （1）P (A 1A 2)=P (A 1)⋅P A 2A 1=（2）P (B 1B 2)=P (B 1)⋅P B 2B 1=（3）
((
))
8728
= 10945211
= 10945
P (A 1B 2⋃B 1A 2)=P (A 1B 2)+P (B 1A 2)=P (A 1)⋅P (B 2A 1)+P (B 1)⋅P (A 2B 1)822816=+=10910945
（4）
P (B 2)=P (A 1B 2⋃B 1B 2)=P (A 1B 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)⋅P (B 2A 1)+P (B 1)⋅P (B 2B 1)82211=+=1091095
四、设第一个盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子里面各取1只球。 试求：1、至少有一只蓝球的概率
2、已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球和一只白球的概率
11
解：在两个盒子里面各取1球的取法共有C 7， ⨯C 9
1111
两球中只有一只蓝球的取法有C 3 ⨯C 7+C 4⨯C 211两球均为蓝球的取法有C 3 ⨯C 2
1111两球中一只蓝球一只白球的取法有C 3 ⨯C 4+C 2⨯C 2
所以
（1）至少有一只蓝球的概率为
111111
C 3⨯C 7+C 4⨯C 2+C 3⨯C 25
=11
C 7⨯C 99
（2）已知至少有一只蓝球，为一只蓝球和一只白球的概率为
1111
C 3⨯C 4+C 2⨯C 216
=111111
C 3⨯C 7+C 4⨯C 2+C 3⨯C 235
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五、设电子管的寿命X 具有密度函数（单位：小时）
⎧1000, 1000
⎨⎪x 2 ⎩0
, x ≤1000 ，
假设电子管损坏与否相互独立，任选5只同样的电子管，问其中至少2只寿命大于1500小时的概率是多少？
P {X >1500}=⎰
+∞
+∞
1500
f (x )dx =⎰
10001500x 2=2
3
Y ~B ⎛ ⎝5, 2⎫
3⎪⎭
33
P {Y ≥2}=1-P {Y =0}-P {Y =1}=1-⎛ 1⎫1⎛1⎫⎛2⎫⎝3⎪⎭-C 5 ⎝3⎪⎭ ⎝3⎪⎭
=0. 9547 六、已知随机变量X 的分布律如下：
求Y =X +X 的分布律，以及E Y , D Y
解：（1） E (X ) =∑x i p i =-2⨯0. 2+(-1) ⨯0. 1+0⨯0. 1+1⨯0. 3+2⨯0. 3=0. 4
又 E (X 2
) =
∑x
2
i p i =(-2) 2⨯0. 2+(-1) 2⨯0. 1+02⨯0. 1+12⨯0. 3+22⨯0. 3=2. 4
∴D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =2. 4-0. 16=2. 24
故 E (X ) =0. 4，∴D (X ) =E (X 2) -E 2
(X ) =2. 4-0. 16=2. 24
（2）因
所以
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E (Y ) =∑y i p i =0⨯0. 2+2⨯0. 5+6⨯0. 3=2. 8
又 E (Y 2) =
∑y
2i p i =02⨯0. 2+22⨯0. 5+62⨯0. 3=12. 8
∴D (Y ) =E (Y 2) -E 2(Y ) =12. 8-2. 82=4. 96
故 E (Y ) =2. 8，∴D (Y ) =E (Y 2) -E 2(Y ) =12. 8-2. 82=4. 96
七、设国际市场上对某种出口商品的需求量X （单位：吨）是随机变量，且服从区间[2000,4000]上的均匀分布，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元，问：应组织多少货源，才能使得国家受益最大？
解：随机变量Y 表示国家受益，假设组织货源t 吨，显然要求2000≤t ≤4000，则有
Y =g (X , t )=⎧⎨
3t
X ≥t
⎩4X -t
X
由题意知：X 的概率密度函数为
⎧f ⎪12000≤x ≤4000
X (x ) =⎨⎪2000
⎩0
其他
则E (Y )=
⎰+∞
g (x , t )f 1X (x )dx =
⎡t
-∞2000⎢⎣⎰2000
(4x -t )dx +⎰4000t (3t )dx ⎤⎥⎦ =
1
1000
[-t 2+7000t -4⨯106]
dE (Y )1
dt =
1000
(-2t +7000)=0, t =3500
则应组织3500吨货源，才能使得国家受益最大。
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