第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面内, 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基本的, 也是非常重要的图形. 在证明某些平面几何问题时, 若能依据证题的需要, 添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题, 一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置
大家知道, 两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等, 内错角相等, 同旁内角互补. 利用这些性质, 常可通过添加平行线, 将某些角的位置改变, 以满足求解的需要.
例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点, 且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1). 当点A 运动到
A D 使
∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 在△DBP ＝∠AQC 中, 显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ , 可知△DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .
于是, DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆, 且四边形ADBP 为等腰梯形. 故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .
这里, 通过作平行线, 将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置. 由于A 、D 、B 、P 四点共圆,
使证明很顺畅.
例2、如图2, 四边形ABCD 为平行四边形, ∠BAF ＝∠BCE . 求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2, 分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线, 得交点P , 连PE .
B
P 图1
证明：如图1, 分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D . 连结DA .
∥CD , 易知△PBA ≌△ECD . 有PA ＝ED , PB ＝EC . 由AB ＝
显然, 四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形. 有
∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE , 可知
P
E B F
图2∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .
这里, 通过添加平行线, 使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆, 紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介, 证法很巧妙.
2、欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条, 常可通过添加平行线, 将某些线段“送”到恰当位置, 以证题.
例3、在△ABC 中, BD 、CE 为角平分线, P 为ED 上任意一点. 过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线, M 、N 、Q 为垂足. 求证：PM ＋PN ＝PQ .
证明：如图3, 过点P 作AB 的平行线交BD 于F , 过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G , 连PG . 由BD 平行∠ABC , 可知点F 到AB 、BC
B
E A N Q 图3
M D C
两边距离相等. 有KQ ＝PN . 显然,
EP EF CG
＝＝, 可知PG ∥EC . PD FD GD
由CE 平分∠BCA , 知GP 平分∠FGA . 有PK ＝PM . 于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里, 通过添加平行线, 将PQ “掐开”成两段, 证得PM ＝PK , 就有PM ＋PN ＝PQ . 证
法非常简捷.
3 、为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边, 所得对应线段成比例”,在一些问题中, 可以通过添加平行线, 实现某些线段比的良性转化. 这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点, 且BM 1＝CM 2. 任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2. 试证：
AM 2AC AM 1AB
＋＝＋. AP AQ AN 1AN 2
A
证明：如图4, 若PQ ∥BC , 易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D . 过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2, 可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知 则
B
Q
2
M 1M 2C D
图4
E
M E AM 2M E AB BE AC CE AM 1
＝, ＝, ＝1, ＝2. AP DE AQ DE AN 1DE AN 2DE
AM 1AM 2M E +M 2E AC BE +CE AB ＋＝＝1＝＋. AP DE DE AQ AN 1AN 2
AM 2AC AM 1AB
＋＝＋. AP AQ AN 1AN 2
所以,
这里, 仅仅添加了一条平行线, 将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE , 于是问题迎刃而解.
例5、 AD 是△ABC 的高线, K 为AD 上一点, BK 交AC 于E , CK 交AB 于F . 求证：∠FDA ＝∠EDA .
证明：如图5, 过点A 作BC 的平行线, 分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .
M
P A Q N
BD KD DC 显然, ＝＝. 有BD ·AM ＝DC ·AN AN KA AM
B C BD ·AM AP AF AM D
由＝＝, 有AP ＝. (2) 图5
BD FB BC BC AQ AE AN DC ·AN 由＝＝, 有AQ ＝. (3)
EC BC BC DC
对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .
显然AD 为PQ 的中垂线, 故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA ＝∠EDA .
这里, 原题并未涉及线段比, 添加BC 的平行线, 就有大量的比例式产生, 恰当地运用这些比例式, 就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.
4、为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时, 应注意到平行线等分线段定理, 用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC 中, AD 是BC 边上的中线, 点M 在AB 边上, 点N 在AC 边上, 并且
1
(AB 2＋AC 2). 4
证明：如图6, 过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E . 连ME .
∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2, 求证：AD 2＝
由BD ＝DC , 可知ED ＝DN . 有△BED ≌△CND . 于是, BE ＝B 显然, MD 为EN 的中垂线. 有 EM ＝MN .
2
2
2
2
2
2
2
2
A
N C
E
图6 由BM ＋BE ＝BM ＋NC ＝MD ＋DN ＝MN ＝EM , 可知△BEM 为直角三角
形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.
1⎛1⎫
所以, AD 2＝ BC ⎪＝(AB 2＋AC 2).
4⎝2⎭
这里, 添加AC 的平行线, 将BC 的以D 为中点的性质传递给EN , 使解题找到出路. 例7、如图7, AB 为半圆直径, D 为AB 上一点, 分别在半圆上取点E 、F , 使EA ＝DA , FB ＝DB . 过D 作AB 的垂线, 交半圆于C . 求证：CD 平分EF .
证明：如图7, 分别过点E 、F 作AB 的垂线, G 、H 为垂足, 连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB , AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 于是, DB －AD ＝HB －AG , 或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD . 显然, EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .
这里, 为证明CD 平分EF , 想到可先证CD 平分GH . 为此添加CD 的两条平行线EG 、FH , 从而得到G 、H 两点. 证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等, 在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8, 三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束, DE 是与BC 平行的直线. 于是, 有
A
C F
2
二式相减, 得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ), 或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 图7
G
D O H
B
ME ME DM AM DM BN DM
＝＝, 即 ＝或＝. BN AN BN ME NC NC NC
此式表明, DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .
利用平行线的这一性质, 解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9, ABCD 为四边形, 两组对边延长后得交点E 、F , 对角线BD ∥EF , AC 的延长线交EF 于G . 求证：EG ＝GF .
D
M
N 图8
C E
A
证明：如图9, 过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N . 由BD ∥EF , 可知MN ∥BD . 易知 S △BEF ＝S △DEF . 有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以, EG ＝GF .
E
B
D N
例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆, D 、E 、F 分别为⊙O 与
G
BC 图9、CA 、AB
的切点. 若OD 与EF 相交于K , 求证：AK 平分BC .
证明：如图10, 过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点, 连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC , 可知OK ⊥PQ .
由OF ⊥AB , 可知O 、K 、F 、Q 四点共圆, 有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC , 可知O 、K 、P 、E 四点共圆. 有∠EOP ＝∠EKP .
O
图10
显然,∠FKQ ＝∠EKP , 可知∠FOQ ＝∠EOP . 由OF ＝OE, 可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP . 于是, OK 为PQ 的中垂线, 故 QK ＝KP . 所以, AK 平分BC .
综上, 我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用. 同学们在实践中应注意适时添加平行线, 让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD 中, AB ＝CD , M 、N 分别为AD 、BC 的中点, 延长BA 交直线NM 于E , 延长CD 交直线NM 于F . 求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点, 易证PM ＝PN .)
2. 设P 为△ABC 边BC 上一点, 且PC ＝2PB . 已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D . 易证△ACD ∽△PBA . 答：75°) 3. 六边形ABCDEF 的各角相等, FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm . 求六边形ABCDEF 的面积.
(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q , 过点E 作DC 的平行线交AB 于点M . 所求面积与
EMQD 面积相等. 答：120cm 2)
4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高, P 是AD 的中点, 连BP 并延长交AC 于E . 已知AC :AB ＝k . 求AE :EC .
(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F . 设BC ＝1, 有AD ＝k , DC ＝k 2. 答：
2
1
) 2
1 k
5. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点, CD ⊥AB 于D , E 为DB 上一点, 过D 作CE 的垂线交CB 于F . 求证：垂心.)
6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . 求证：＋
AD CF
＝.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H . H 为△CDF 的DE FB
1
a
11
＝.(提示：在BC 上取一点D , 使AD ＝AB . 分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线b c
CA 、BA 于点E 、F .)
7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F , 过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G . 求证：FH ＝HG
.
(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)
8. AD 为⊙O 的直径, PD 为⊙O 的切线, PCB 为⊙O 的割线, PO 分别交AB 、AC 于点M 、N . 求证：OM ＝ON .
(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F . 过O 作BP 的垂线, G 为垂足. AB ∥GF .)
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中, 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系, 通过圆的有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”, 此时若能把握问题提供的信息, 恰当补出辅助圆, 并合理挖掘图形隐含的性质, 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 A 例1 如图1, 在△ABC 中, AB ＝AC , D 是底边BC 上一点, E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A . 求证：BD ＝2CD .
分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线, 但因BE ≠ED , 故不能直接证出BD ＝2CD . 若延长AD 交△ABC 的外接圆于F , 则可得EB ＝EF , 从而获取.
＝∠ABC ＝∠AFC, 即∠BFD ＝∠CFD . 故BF :CF ＝BD :DC .
又∠BEF ＝∠BAC , ∠BFE ＝∠BCA , 从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G , 则BG ＝GF . 因∠GEF ＝
B
E
F
图1
证明：如图1, 延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F , 连结CF 与BF , 则∠BFA ＝∠BCA
1
∠BEF ＝∠CEF , ∠GFE ＝∠CFE , 故△FEG ≌△FEC . 从而GF ＝FC . 2
C
D
B
于是, BF ＝2CF . 故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆
例2 凸四边形ABCD 中, ∠ABC ＝60°, ∠BAD ＝∠BCD ＝90°,
AB ＝2, CD ＝1, 对角线AC 、BD 交于点O , 如图2. 则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D
四点共圆, 欲求sin ∠AOB , 联想到托勒密定理, 只须求出BC 、AD 即可.
解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°, 故A 、B 、C 、D 四点共圆. 延长BA 、CD 交于P , 则∠ADP 图2＝∠ABC ＝60°.
设AD ＝x , 有AP ＝3x , DP ＝2x . 由割线定理得(2＋3x ) 3x ＝2x (1＋2x ). 解得
P
1
BP ＝4－. 2
由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2) ＋2×1＝103－12.
AD ＝x ＝2－2, BC ＝
又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝
315+6. 故sin ∠AOB ＝. 226
A
例3 已知：如图3, AB ＝BC ＝CA ＝AD , AH ⊥CD 于H , CP ⊥BC , CP 交AH 于P . 求证：
3
△ABC 的面积S ＝AP ·BD .
4323
分析：因S △ABC ＝BC ＝AC ·BC , 只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,
44
转化为证△APC ∽△BCD . 这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).
B
D
图3
H
证明：记BD 与AH 交于点Q , 则由AC ＝AD , AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD , 故∠ADQ ＝∠ABQ .
从而, ∠ABQ ＝∠ACQ . 可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD , ∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是, S ＝
3AC ·BC ＝AP ·BD . 44
2 、构造相关的辅助圆解题
有些问题貌似与圆无关, 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息, 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆, 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆
例4 如图4, 四边形ABCD 中, AB ∥CD , AD ＝DC ＝DB ＝p , BC ＝q . 求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上. 利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. ∵AB ∥CD , ∴BC ＝AE .
从而, ＝q . 在△ACE 中, ∠CAE ＝90°, CE ＝2p , AE ＝q , 故 AC ＝CE 2-AE 2＝4p 2-q 2. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆
例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC . 若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点, 且∠BAC 为锐角, 则AD 的取值范围是____.
分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外, 又点A 在x 轴上侧, 从而可确定动点A 的范围, 进而确定AD 的取值范围.
解：如图5, 所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1, 与x 轴交于两点B (－2,0) 、C (4,0).
分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E , 则两圆与抛物线均交于两点
B
A E
解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点, 连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上C
D
图4
P (1－22,1) 、Q (1＋22,1).
可知, 点A 0Q 内时, ∠BAC ＜90°. 且有
3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9, 即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆
例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高, ∠B 的平行线交AD 于M , 交AC 于N . 求证：AB 2－AN ＝BM ·BN .
分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝BM ·BN , 而由题设易知AM ＝AN , 联想割
E 线定理, 构造辅助圆即可证得结论.
证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, A 又∠3＝∠4, ∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2. 从而, AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A , 交AB 于F , 交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . AN 2,
即 AB －AN ＝BM ·BN .
例7 如图7, ABCD 是⊙O 的内接四边形, 延长AB 和DC 相交于E , 延长AB 和DC 相交于E , 延长AD 和BC 相交于F , EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q . 求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线, 由结论联想到切割线定理, 构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.
证明：如图7, 作△BCE 的外接圆交EF 于G , 连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE , 故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理, 有EF ＝(EG ＋GF ) ·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP ＋FQ , 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.
2.4 联想托勒密定理构造辅助圆
∠B ＇, ∠A ＋∠A ＇＝180°. 试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.
分析：因∠B ＝∠B ＇, ∠A ＋∠A ＇＝180°, 由结论联想到托勒密定理, 构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆, 过C 作CD ∥AB 交圆于D , 连结AD 和BD , 如图9所示.
∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D , ∠B ＇＝∠BCD .
B
b D
图9
c
(1)
图8
2
2
2
2
2
2
F
B
N
由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB 图6－AN ) ＝AB 2－
例8 如图8, △ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇, 且∠B ＝
A
b C
B'
(2)
A'
A c
C
A ' B ' B ' C ' A ' C '
＝＝, DC CB DB
c ' a ' b ' ac ' ab ' 即 ＝＝. 故DC ＝, DB ＝.
DB a ' a ' DC a
∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有
又AB ∥DC , 可知BD ＝AC ＝b , BC ＝AD ＝a . 从而, 由托勒密定理, 得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·
ac ' ab ' ＋b ·. 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. a ' a '
AB BD
＝. AC DC
AB
＝AC
练习题
1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中, 若AD 平分∠A , 则
(提示：不妨设AB ≥AC , 作△ADC 的外接圆交AB 于E , 证△ABC ∽△DBE , 从而
BD BD
＝.) DE DC
2. 已知凸五边形ABCDE 中, ∠BAE ＝3a , BC ＝CD ＝DE , ∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .
(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a , 从而A 、B 、C 、D 、E 共圆, 得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)
3. 在△ABC 中AB ＝BC , ∠ABC ＝20°, 在AB 边上取一点M , 使BM ＝AC . 求∠AMC 的度数.
(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC , 连结KM , 证B 、M 、C 共圆, 从而∠BCM ＝∠BKM ＝10°, 得∠AMC ＝30°.) 4．如图10, AC 是
ABCD 较长的对角线, 过C 作CF ⊥AF , CE ⊥AE .
2
12
求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC .
(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H . 则CG ＝AH , 由割线定理可证得结论.)
5. 如图11. 已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B , 直线
CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D , 且AC ＝AD , EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .
(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3, 延长BA 交⊙O 3于F , 证E 在⊙O 3上, 得△ACE ≌△ADF , 从而AE ＝AF , 由相交弦定理即得结论.)
6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE .
2
F D
C
A
图10
B E
图11
(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E , 交AE 及其延长线于N 、M , 由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)
7. 若正五边形ABCD E 的边长为a , 对角线长为b , 试证：
2
2
b a
－＝1. a b
(提示：证b ＝a ＋ab , 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)
第三讲 点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1、点共线的证明
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n (n ≥4) 点共线可转化为三点共线。 例1、如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ，BFCG 。又作平行四边形CFHD ，CGKE 。求证：H ，C ，K 三点共线。证：连AK ，DG ，HB 。
由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于是AK DG 。同样可证AK HB 。四边形AHBK 是平行四边形，其对角线AB ，KH 互相平分。而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K ，C ，H 三点共线。 例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120
°，D ，E ，F 三点共线。
证：如图，连AC ，DF ，DE 。因为M
则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB ， 有△AMC ∽△ACF ，得
上，
G
A O
为△ABC 外接圆，M 为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。求证：
MC CF CF
==。 MA CA CD
MC AC AD
==。 MA AE AE
又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得所以
CF AD
=，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽△ADE 。所以∠ADE =∠DFB 。因CD AE
为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F ；求证：P ，E ，F 三点共线。
证 ：如图：连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。设PF 与圆的另一交点为E ’，并作QG 丄PF ，垂足为G 。易
QE 2=QM ·QP =QC ·QB ① ∠PMC =∠ABC =∠PDQ 。
从而C ，D ，Q ，M 四点共圆，于是PM ·PQ =PC ·PD ② 由①，②得PM ·PQ +QM ·PQ =PC ·PD +QC ·QB ， 即PQ 2=QC ·QB +PC ·PD 。易知PD ·PC =PE ’·PF ， 又QF =QC ·QB ，有PE ’·PF+QF=PD ·PC +QC ·AB =PQ ，
2
2
2
(E 如 Q
即PE ’·PF =PQ 2-QF 2。又PQ 2－QF 2=PG 2－GF 2=(PG +GF ) ·(PG －GF )=PF ·(PG －GF ) ，从而PE ’=PG －GF =PG －GE ’，即GF =GE ’，故E ’与E 重合。 所以P ，E ，F 三点共线。
例4 以圆O 外一点P ，引圆的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点。割线PCD 交圆O 于C ，D 。又由B 作CD 的平行线交圆O 于E 。若F 为CD 中点，求证：A ，F ，E 三点共线。
证：如图，连AF ，EF ，OA ，OB ，OP ，BF ，OF ，延长FC 交BE 于G 。 易如OA 丄AP ，OB 丄BP ，OF 丄CP ，所以P ，A ，F ，O ，B 五点共圆，有∠AFP =∠AOP =∠POB =∠PFB 。 又因CD ∥BE ，所以有∠PFB =∠FBE ，∠EFD =∠FEB ， 而FOG 为BE 的垂直平分线，故EF =FB ，∠FEB =∠EBF ，
所以∠AFP =∠EFD ，A ，F ，E 三点共线。
2、线共点的证明
证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点) ，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。
M 例5 以△ABC 的两边AB ，AC 向外作正方形ABDE ，
ACFG 。△ABC 的高为AH 。求证：AH ，BF ，CD 交于一
点。
证：如图。延长HA 到M ，使AM =BC 。连CM ，BM 。 设CM 与BF 交于点K 。
在△ACM 和△BCF 中，AC =CF ，AM =BC ，
∠MAC +∠HAC =180°，∠HAC +∠HCA =90°，并且∠BCF =90°+∠HCA ，
因此∠BCF +∠HAC =180°∠MAC =∠BCF 。从而△MAC ≌△BCF ，∠ACM =∠CFB 。 所以∠MKF =∠KCF +∠KFC =∠KCF +∠MCF =90°，即 BF 丄MC 。
同理CD 丄MB 。AH ，BF ，CD 为△MBC 的3条高线，故AH ，BF ，CD 三线交于一点。
例6 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB=∠APC －∠ABC 。又设D ，E 分别是△APB 及△APC 的内心。证明：AP ，BD ，CE 交于一点。 证：如图，过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T 。连RS ，ST ，RT ，设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N 。 易知P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共 圆，则∠APB －∠ACB =∠PAC +∠PBC =∠PRS +∠PRT =∠SRT 。
G
D
K F
同理，∠APC －∠ABC =∠RST ，由条件知∠SRT =∠RST ，所以RT =ST 。
又RT =PBsinB ，ST =PCsinC ，所以PBsinB =PCsinC ，那么
PB PC
=。 AB AC
AN AC AB AM
===由角平分线定理知。故M ，N 重合，即AP ，BD ，CE 交于一NP PC PB MP
点。 例
7
1
与
O 2外切于P 点，QR 为两圆的公切线, 其中Q ，R
分别为
1
2上
的切点，过Q 且垂直于QO 2的直线与过R 且垂直于RO 1的直线交于点I ，IN 垂直于O 1O 2, 垂足为N , IN 与QR 交于点M . 证明：PM ，RO 1，QO 2三条直线交于一点。
证：如图，设RO 1与QO 2交于点O ，连MO ，PO 。
因为∠O 1QM =∠O 1NM =90°，所以Q ，O 1，N ，M 四点共圆，有∠QMI =∠QO 1O 2。 而∠IQO 2=90°=∠RQO 1，所以∠IQM =∠O 2QO 1，
Q
O 1N
2
I
QO 1O 1O 2RO 2O 1O 2
==同理可证。因此 QM MI RM MI
O 1O QO 1QM QO 1
== ① 因为QO 1∥RO 2，所以有 ② MR RO 2OR RO 2
O 1O O 1Q O 1P
==由①，②得MO ∥QO 1。 又由于O 1P=O1Q ，PO 2=RO2，所以 ， OR RO 2PO 2
故△QIM ∽△QO 2O 1，得
即OP ∥RO 2。从而MO ∥QO 1∥RO 2∥OP ，故M ，O ，P 三点共线，所以PM ，RO 1，QO 2三条直线相交于同一点。
3、 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理1 (塞瓦(Ceva ) 定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点。若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，
则
BP CQ AR
⋅⋅=1PC QA RB 。
证：如图，由三角形面积的性质，有
BP CQ AR AR S ∆AMC BP S ∆AMB CQ S ∆BMC
⋅⋅=1. ===, , . 以上三式相乘，得PC QA RB RB S ∆BMC PC S ∆AMC QA S ∆AMB
定理2 (定理1的逆定理):
BP CQ AR ⋅⋅=1，则AP ，设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 上的点。若
PC QA RB
BQ ，CR 交于一点。
证：如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R ’。 由定理1有
BP CQ AR ' BP CQ AR AR ' AR
⋅⋅=1. 而⋅⋅=1，所以=. PC QA R ' B PC QA RB R ' B RB
11
于是R ’与R 重合，故AP ，BQ ，CR 交于一点。 定理3 (梅涅劳斯(Menelaus ) 定理):
一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC ，CA ，AB (或它们的延长线) 分别交
BP CQ AR
⋅⋅=1 于P ，Q ，R ，则
PC QA RB
证：如图，由三角形面积的性质，有
B
BP CQ AR AR S ∆ARP BP S ∆BRP CQ S ∆CRP
⋅⋅=1. ===, , . 将以上三式相乘，得
PC QA RB RB S ∆BRP PC S ∆CPR QA S ∆ARP
定理4 (定理3的逆定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长线上的3点。若
BP CQ AR
⋅⋅=1，则P ，Q ，R 三点共线。 PC QA RB
定理4与定理2的证明方法类似。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。
例8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC 。
证：如图，连接BD 交AC 于H ，过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J 。 对△BCD 用塞瓦定理，可得
A
CG BH DE
⋅⋅=1 ① GB HD EC
D
因为AH 是∠BAD 的角平分线， 由角平分线定理知
B BH AB CG AB DE
=⋅⋅=1② , 代入①式HD AD GB AD EC
CG CI DE AD J
==因为CI ∥AB ，CJ ∥AD ，则，。代入②式得I GB AB EC CJ
CI AB AD ⋅⋅=1. 从而CI =CJ 。又由于∠ACI =180°－∠BAC =180°－∠DAC =∠ACJ ， AB AD CJ
所以△ACI ≌△ACJ ，故∠IAC =∠JAC ，即∠GAC =∠EAC . 例9 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H 。连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。求证：DL =BM .
证：如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ，与DC 的延长线交于点I 。
在△ECD 与△FAB 中分别使用梅涅劳斯定理，得
J A L
C I E
B
EG DI CH AG FH BJ
⋅⋅=1， ⋅⋅=1. GD IC HE GF HB JA
12
因为AB ∥CD ，所以
EG AG CH FH DI BJ
===， . 从而，即GD GF HE HB IC JA
CD +CI AB +AJ BM BJ DI DL
====，故CI =AJ . 而， CI AJ MC CI AJ LA
且BM +MC =BC =AD =AL +LD . 所以BM =DL 。
例10 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。求证：EF 平分∠CFD 。
证：如图，设AD 与BC 相交于点P ，用O 表示半圆T 的圆心。过P 作PH 丄l 于H ，连OD ，OC ，OP 。
AH HP
=由题意知Rt △OAD ∽Rt △PAH ，于是有. AD DO BH HP
=类似地，Rt △OCB ∽Rt △PHB ， 则有. BC CO
AH BH AH BC PD
=⋅⋅=1. 由CO =DO ，有，从而AD BC HB CP DA
F(H)
l
由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC ，BD ，PH 相交于一点，即E 在PH 上，点H 与F 重
合。
因∠ODP =∠OCP =90°，所以O ，D ，C ，P 四点共圆，直径为OP . 又∠PFC =90°，从而推得点F 也在这个圆上，因此∠DFP =∠DOP =∠COP =∠CFP ，所以EF 平分∠CFD 。 例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 先证两个引理。
引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交
F
A 1B 1C 1D 1E 1F 1
⋅⋅=1. 如图，设A 1D 1，B 1E 1，于一点，则有
B 1C 1D 1E 1F 1A 1
C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知
△ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1，△OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有
A 1B 1C 1D 1E 1F 1A 1B 1B 1O E 1F 1F 1O C 1D 1D 1O
⋅⋅=1， ===, , . 将上面三式相乘即得
B 1C 1D 1E 1F 1A 1D 1E 1D 1O B 1C 1B 1O F 1A 1F 1O
引理2：
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足C 1F 1交于一点。
13
A 1B 1C 1D 1E 1F 1
⋅⋅=1则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，B 1C 1D 1E 1F 1A 1
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知
B
BR EB PA FP BR EB ⋅FP A ===, . 两式相乘，得. ① PA EP DS FD DS EP ⋅FD
CR EC PD FP ==又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知，. D PD EP AS FA
CR EC ⋅FP =两式相乘，得 ② AS EP ⋅FA BR ⋅AS EB ⋅FA BR CD SA EB AF DC
=⋅⋅=⋅⋅由①，②得. 故. ③
DS ⋅CR EC ⋅FD RC DS AB BA FD CE
EB AF DC ⋅⋅=1 ④ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有
BA FD CE
BR CD SA
⋅⋅=1. 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点, 所以R ，T ，S 三点共由③④得
RC DS AB
1
1
1
11
1
线。
练 习 A 组
1. 由矩形ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和MP ，向另两边延长线引垂线MR ，MT 。证明：PR 与QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。 2. 在△ABC 的BC 边上任取一点P ，作PD ∥AC ，PE ∥AB ，PD ，PE 和以AB ，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D ，E 。求证：D ，A ，E 三点共线。 3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D ，E ，又和△ABC 的外接圆相切于F 。求证：△ABC 的内心G 和D ，E 在一条直线上。
4. 设四边形ABCD 为等腰梯形，把△ABC 绕点C 旋转某一角度变成△A ’B ’C ’。证明：线段A ’D , BC 和B ’C 的中点在一条直线上。
5. 四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P 。设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1，O 2，O 3，O 4。求证：OP ，O 1O 3，O 2O 4三直线交于一点。
6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。
7. △ABC 为锐角三角形，AH 为BC 边上的高，以AH 为直径的圆分别交AB ，AC 于M ，N ；M ，N 与A 不同。过A 作直线l A 垂直于MN 。类似地作出直线l B 与l C 。证明：直线l A ，l B ，l C 共点。
8. 以△ABC 的边BC ，CA ，AB 向外作正方形，A 1，B 1，C 1是正方形的边BC ，CA ，AB 的对边的中点。求证：直线AA 1，BB 1，CC 1相交于一点。
B 组
14
9. 设A 1，B 1，C 1是直线l 1上的任意三点，A 2，B 2，C 2是另一条直线l 2上的任意三点，A 1B 2和B 1A 2交于L ，A 1C 2和A 2C 1交于M ，B 1C 2和B 2C 1交于N 。求证：L ，M ，N 三点共线。 10. 在△ABC ，△A ’B ’C ’中，连接AA ’，BB ’，CC ’，使这3条直线交于一点S 。求证：AB 与A ’B ’、BC 与B ’C ’、CA 与C ’A ’的交点F ，D ，E 在同一条直线上(笛沙格定理) 。
11. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P ，Q ，R ，则这三点在一条直线上(帕斯卡定理) 。
第四讲 四点共圆问题
“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1、“四点共圆”作为证题目的
例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N . 以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q . 求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.
A (第19届美国数学奥林匹克)
Q 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P
C ′四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，
即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′) ·(PB ′+KB ′B 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有AB ′2+PB ′2=AC′2+MC ′2.
故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.
O
例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△
O 1
OAB ，△OBC ，△OCA 的外心. 求证：O ，O 1，O 2，O 3四点共圆.
(第27届莫斯科数学奥林匹克) O 2
3
分析：作出图中各辅助线. 易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分
A B C 1
OA . 观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=∠OO 2B =∠OCB .
2
观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=
OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.
2、以“四点共圆”作为解题手段
这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等
15
1
∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠2
例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . （第二届袓冲之杯初中竞赛） 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆. 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK . ∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ，∴∠DMA ＝∠CKB . (2)证线垂直
外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M . 求证：∠BMO =90°.
(第26届IMO 第五题)
分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步. 其实，
B
只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +∠BMK =180°-∠CMK ， ∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆.
在这个圆中，由OC =OK ⇒ ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ，故∠BMO =90°.
(3)判断图形形状
例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，
I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B . 易得∠AI C B =90°
D K A C M B
例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同). △BMK . 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G . 易得∠GMC =∠BAC =∠11
+∠ADB =90°+∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆. 22
同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆. 此时
I B A
C
A 1∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-∠ADC ，
2211
∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-(∠ABC +∠ADC )=360°-×180°
C 22D
=270°. 故∠I B I C I D =90°.
同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°. 该四边形必为矩形.
(4)计算
例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝. P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________(1989，全国初中联赛)
2
A B
16
分析：答案是PB =42㎝. 怎样得到的呢？连接OA ，OB . 易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB . (5)其他 A E
例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找
出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)
F 分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角B
形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上.
作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒
∠KDE =∠KGE =60°. 同理，∠KAE =60°. 故△KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =
D
G C
也最小. 当KF 通过B 点时，边长为2·2-，这时边长最大，面积4
S =2-3也最大.
例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q . 求证：RS ＞MQ .(1991)
分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′. 连接MQ ′，SQ ′. 易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ . 根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .
又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°) ，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°) ，故RS ＞MQ ′. 但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .
练习题 1. ⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1于D 点. 求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2
四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)
2. △ABC 为不等边三角形. ∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2.
(提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.)
3. 设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合). 求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.
4. 在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点. 求证：PD 丄QD .
17
(提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆)
5. AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高. 从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3. 求证：l 1，l 2，l 3三线共点.(提示：过B 作AB 的垂线交l 1于K ，证：A ，B ，K ，C 四点共圆)
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P ′. 试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心. 有 ∠BP ′P=∠PP ′C=
11
∠BMP =∠BAC ， 22
P A 11
∠PNC =∠BAC . 22
B
P
∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .
从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .
C
例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S . 证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形
P O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .
K
O B C Q ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°. 从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3° SO 1=360
将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=PO 1O 2)=
111
∠O 2O 1K =(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=(∠O 2O 1S +∠222
1
∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B . 故△O 1O 2O 3∽△ABC . 2
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
18
例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点. 证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交. 从A ，C ，D ，E ，F 分别
作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，D ′，E ′，F ′.
B
A ' ' A E
C
P
易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △+S △PGF . 两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似. 其逆亦真.
PGD
分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′. G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .
(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有CF = AD =
112a 2+2b 2-c 2，BE =2c 2+2a 2-b 2， 22
1
2b 2+2c 2-a 2. 2
将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF = ∴CF :BE :AD =
3a ，BE =b ，AD =c . 222
33
a :b :c =a :b :c . 故有△∽△′. 222
(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴
S ∆' CF 2
＝() . S ∆a
S ∆' 33
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
S ∆44
CF 23
∴2=⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.
4a
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心. 由三角形的垂心造成的四个等(外接) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心. 求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)
分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R . 由△A 2A 3A 4知
A 1
A 2H 1
=2R ⇒A 2H 1=2Rcos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得sin ∠A 2A 3H 1
19
2
4
A
A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4. 但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， ∥
=
故得H 1H 2 A 2A 1. 设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称. 故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上. 后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称. 由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.
例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心. 一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B
2
分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可. 设BC =a ， CA =b ，AB =c ， △ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M .
A A1=AM +A 1M =AM 2+r -MH =r +(AM -MH ) ， ① 又AM 2-HM 2=(② 而
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
C 1
A 1
B
E
A 2
C
1
1122222B 1·bc -AH 2, ) -(-) =·-=·-AH 1AH AH 1AH AH 1AH 2AH AB AH =22
AH a =2R ⇒AH 2=4R2cos 2A , =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-sin ∠ABH sin A
22
1=r +
a . ③
1b 2+c 2-a 2
由①、②、③有A A ·bc -(4R 2-a 2)=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.
22bc
11
同理，BB 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，CC 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.
22
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心. 对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C . 换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1, O 2，O 3，O 4. 求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题), 证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切. 试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
D C
B
20
分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC . 当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然EF 中点P 、圆心Q 中点K 都在∠BAC 平分
M
A
r C B
线上. 易知AQ =. ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴
sin αN
K
MQ ⋅QN (2R -r ) ⋅r
==sin α⋅(2R -r ) . QK =
AQ r /sin α
由Rt △EPQ 知PQ =sin α⋅r . ∴PK =PQ +QK =sin α⋅r +sin α⋅(2R -r ) =sin α⋅2R .
∴PK =BK .
利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心. 旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p.
式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
1
c
O 3
K O 2
r b
a C
分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p-c )=(p-a )(p-b ).
111122
∵p (p-c )=(a+b+c) ·(a+b-c) =[(a+b) -c ] =ab ；
22421111
(p-a )(p-b )=(-a+b+c) ·(a-b+c)=[c 2-(a-b ) 2]=ab . ∴p (p-c )=(p-a )(p-b ). ①
2242
1
观察图形，可得r a =AF -AC =p-b ，r b =BG -BC =p-a ，r c =CK =p . 而r =(a+b-c)=p-c .
2
∴r +r a +r b +r c =(p-c )+(p-b )+(p-a )+p =4p -(a+b+c)=2p . 由①及图形易证.
例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点. r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径. 证明：
r 1r 2r ·=.(IMO -12) q 1q 2q
分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·sin
A ' 2
A E
C ' B '
A ' B '
B ' sin ⋅sin
A ' sin ， sin =A ′B ′·· =A ′B ′·A ' +B ' 2
sin sin ∠A ' O ' B '
2
O '
A ' B ' cos 22. ∴OD =tg
O ′E = A ′B ′·
A ' +B ' O ' E sin
2
r 1r 2A ∠CMA ∠CNB
tg tg 亦即有·=tg tg
q 1q 2222
cos
A ' B '
tg . 22B A B r =tg tg =. 222q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA . 试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心. 从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .
再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用Erdos 不等式有：
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2
IS . ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I 就是一点两心.
C 例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心
B
A
F
E
证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .
A
1
易证：DG :GK =DC 3
) DC =2:1.
E F
∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，
B C
∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB . 求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题) 分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .
1
利用内心张角公式，有∠AIB =90°+∠C =105°，
2
∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+
A
I B
D
C
111
∠DAO =30°+(∠BAC -∠BAO )=30°+(∠BAC -60°) 222
=
1
∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE . 2
由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .
例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心. 设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.
分析：这里用三角法. 设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ，C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cosA+cosB+cosC， ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH 1=sinB ·AB =sinB ·(2sinC )=2sinB ·sinC ， 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2·(sinB ·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB ) ② ∴
B
H G O H 1
O 2G 2H 2
C
A
O 1G 1
BH
=2，∴HH 1=cosC ·BH =2·cosB ·cosC .
sin BCH
同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3 =2(cosB ·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB ·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB )+( cosA+ cosB+ sinB ·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB . 即可.
练 习 题
1. I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′，B ′，C ′. 则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)
2. △T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等. 求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3. I 为△ABC 的内心. 取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3. 求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4. AD 为△ABC 内角平分线. 取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2. 则△OO 1O 2是等腰三角形.
5. △ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ . H 是△CPQ 的垂心. 当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7) 6. △ABC 的边BC =
1
(AB+AC) ，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心. 试证：过2
A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面内, 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基本的, 也是非常重要的图形. 在证明某些平面几何问题时, 若能依据证题的需要, 添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题, 一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置
大家知道, 两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等, 内错角相等, 同旁内角互补. 利用这些性质, 常可通过添加平行线, 将某些角的位置改变, 以满足求解的需要.
例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点, 且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1). 当点A 运动到
A D 使
∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 在△DBP ＝∠AQC 中, 显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ , 可知△DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .
于是, DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆, 且四边形ADBP 为等腰梯形. 故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .
这里, 通过作平行线, 将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置. 由于A 、D 、B 、P 四点共圆,
使证明很顺畅.
例2、如图2, 四边形ABCD 为平行四边形, ∠BAF ＝∠BCE . 求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2, 分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线, 得交点P , 连PE .
B
P 图1
证明：如图1, 分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D . 连结DA .
∥CD , 易知△PBA ≌△ECD . 有PA ＝ED , PB ＝EC . 由AB ＝
显然, 四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形. 有
∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE , 可知
P
E B F
图2∠BAF ＝∠BPE . 有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .
这里, 通过添加平行线, 使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆, 紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介, 证法很巧妙.
2、欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条, 常可通过添加平行线, 将某些线段“送”到恰当位置, 以证题.
例3、在△ABC 中, BD 、CE 为角平分线, P 为ED 上任意一点. 过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线, M 、N 、Q 为垂足. 求证：PM ＋PN ＝PQ .
证明：如图3, 过点P 作AB 的平行线交BD 于F , 过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G , 连PG . 由BD 平行∠ABC , 可知点F 到AB 、BC
B
E A N Q 图3
M D C
两边距离相等. 有KQ ＝PN . 显然,
EP EF CG
＝＝, 可知PG ∥EC . PD FD GD
由CE 平分∠BCA , 知GP 平分∠FGA . 有PK ＝PM . 于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里, 通过添加平行线, 将PQ “掐开”成两段, 证得PM ＝PK , 就有PM ＋PN ＝PQ . 证
法非常简捷.
3 、为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边, 所得对应线段成比例”,在一些问题中, 可以通过添加平行线, 实现某些线段比的良性转化. 这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点, 且BM 1＝CM 2. 任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2. 试证：
AM 2AC AM 1AB
＋＝＋. AP AQ AN 1AN 2
A
证明：如图4, 若PQ ∥BC , 易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D . 过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2, 可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知 则
B
Q
2
M 1M 2C D
图4
E
M E AM 2M E AB BE AC CE AM 1
＝, ＝, ＝1, ＝2. AP DE AQ DE AN 1DE AN 2DE
AM 1AM 2M E +M 2E AC BE +CE AB ＋＝＝1＝＋. AP DE DE AQ AN 1AN 2
AM 2AC AM 1AB
＋＝＋. AP AQ AN 1AN 2
所以,
这里, 仅仅添加了一条平行线, 将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE , 于是问题迎刃而解.
例5、 AD 是△ABC 的高线, K 为AD 上一点, BK 交AC 于E , CK 交AB 于F . 求证：∠FDA ＝∠EDA .
证明：如图5, 过点A 作BC 的平行线, 分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .
M
P A Q N
BD KD DC 显然, ＝＝. 有BD ·AM ＝DC ·AN AN KA AM
B C BD ·AM AP AF AM D
由＝＝, 有AP ＝. (2) 图5
BD FB BC BC AQ AE AN DC ·AN 由＝＝, 有AQ ＝. (3)
EC BC BC DC
对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .
显然AD 为PQ 的中垂线, 故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA ＝∠EDA .
这里, 原题并未涉及线段比, 添加BC 的平行线, 就有大量的比例式产生, 恰当地运用这些比例式, 就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.
4、为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时, 应注意到平行线等分线段定理, 用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC 中, AD 是BC 边上的中线, 点M 在AB 边上, 点N 在AC 边上, 并且
1
(AB 2＋AC 2). 4
证明：如图6, 过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E . 连ME .
∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2, 求证：AD 2＝
由BD ＝DC , 可知ED ＝DN . 有△BED ≌△CND . 于是, BE ＝B 显然, MD 为EN 的中垂线. 有 EM ＝MN .
2
2
2
2
2
2
2
2
A
N C
E
图6 由BM ＋BE ＝BM ＋NC ＝MD ＋DN ＝MN ＝EM , 可知△BEM 为直角三角
形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.
1⎛1⎫
所以, AD 2＝ BC ⎪＝(AB 2＋AC 2).
4⎝2⎭
这里, 添加AC 的平行线, 将BC 的以D 为中点的性质传递给EN , 使解题找到出路. 例7、如图7, AB 为半圆直径, D 为AB 上一点, 分别在半圆上取点E 、F , 使EA ＝DA , FB ＝DB . 过D 作AB 的垂线, 交半圆于C . 求证：CD 平分EF .
证明：如图7, 分别过点E 、F 作AB 的垂线, G 、H 为垂足, 连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB , AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 于是, DB －AD ＝HB －AG , 或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD . 显然, EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .
这里, 为证明CD 平分EF , 想到可先证CD 平分GH . 为此添加CD 的两条平行线EG 、FH , 从而得到G 、H 两点. 证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等, 在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8, 三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束, DE 是与BC 平行的直线. 于是, 有
A
C F
2
二式相减, 得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ), 或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 图7
G
D O H
B
ME ME DM AM DM BN DM
＝＝, 即 ＝或＝. BN AN BN ME NC NC NC
此式表明, DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .
利用平行线的这一性质, 解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9, ABCD 为四边形, 两组对边延长后得交点E 、F , 对角线BD ∥EF , AC 的延长线交EF 于G . 求证：EG ＝GF .
D
M
N 图8
C E
A
证明：如图9, 过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N . 由BD ∥EF , 可知MN ∥BD . 易知 S △BEF ＝S △DEF . 有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以, EG ＝GF .
E
B
D N
例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆, D 、E 、F 分别为⊙O 与
G
BC 图9、CA 、AB
的切点. 若OD 与EF 相交于K , 求证：AK 平分BC .
证明：如图10, 过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点, 连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC , 可知OK ⊥PQ .
由OF ⊥AB , 可知O 、K 、F 、Q 四点共圆, 有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC , 可知O 、K 、P 、E 四点共圆. 有∠EOP ＝∠EKP .
O
图10
显然,∠FKQ ＝∠EKP , 可知∠FOQ ＝∠EOP . 由OF ＝OE, 可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP . 于是, OK 为PQ 的中垂线, 故 QK ＝KP . 所以, AK 平分BC .
综上, 我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用. 同学们在实践中应注意适时添加平行线, 让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD 中, AB ＝CD , M 、N 分别为AD 、BC 的中点, 延长BA 交直线NM 于E , 延长CD 交直线NM 于F . 求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点, 易证PM ＝PN .)
2. 设P 为△ABC 边BC 上一点, 且PC ＝2PB . 已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D . 易证△ACD ∽△PBA . 答：75°) 3. 六边形ABCDEF 的各角相等, FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm . 求六边形ABCDEF 的面积.
(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q , 过点E 作DC 的平行线交AB 于点M . 所求面积与
EMQD 面积相等. 答：120cm 2)
4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高, P 是AD 的中点, 连BP 并延长交AC 于E . 已知AC :AB ＝k . 求AE :EC .
(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F . 设BC ＝1, 有AD ＝k , DC ＝k 2. 答：
2
1
) 2
1 k
5. AB 为半圆直径, C 为半圆上一点, CD ⊥AB 于D , E 为DB 上一点, 过D 作CE 的垂线交CB 于F . 求证：垂心.)
6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . 求证：＋
AD CF
＝.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H . H 为△CDF 的DE FB
1
a
11
＝.(提示：在BC 上取一点D , 使AD ＝AB . 分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线b c
CA 、BA 于点E 、F .)
7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F , 过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G . 求证：FH ＝HG
.
(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)
8. AD 为⊙O 的直径, PD 为⊙O 的切线, PCB 为⊙O 的割线, PO 分别交AB 、AC 于点M 、N . 求证：OM ＝ON .
(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F . 过O 作BP 的垂线, G 为垂足. AB ∥GF .)
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中, 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系, 通过圆的有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”, 此时若能把握问题提供的信息, 恰当补出辅助圆, 并合理挖掘图形隐含的性质, 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 A 例1 如图1, 在△ABC 中, AB ＝AC , D 是底边BC 上一点, E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A . 求证：BD ＝2CD .
分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线, 但因BE ≠ED , 故不能直接证出BD ＝2CD . 若延长AD 交△ABC 的外接圆于F , 则可得EB ＝EF , 从而获取.
＝∠ABC ＝∠AFC, 即∠BFD ＝∠CFD . 故BF :CF ＝BD :DC .
又∠BEF ＝∠BAC , ∠BFE ＝∠BCA , 从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G , 则BG ＝GF . 因∠GEF ＝
B
E
F
图1
证明：如图1, 延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F , 连结CF 与BF , 则∠BFA ＝∠BCA
1
∠BEF ＝∠CEF , ∠GFE ＝∠CFE , 故△FEG ≌△FEC . 从而GF ＝FC . 2
C
D
B
于是, BF ＝2CF . 故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆
例2 凸四边形ABCD 中, ∠ABC ＝60°, ∠BAD ＝∠BCD ＝90°,
AB ＝2, CD ＝1, 对角线AC 、BD 交于点O , 如图2. 则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D
四点共圆, 欲求sin ∠AOB , 联想到托勒密定理, 只须求出BC 、AD 即可.
解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°, 故A 、B 、C 、D 四点共圆. 延长BA 、CD 交于P , 则∠ADP 图2＝∠ABC ＝60°.
设AD ＝x , 有AP ＝3x , DP ＝2x . 由割线定理得(2＋3x ) 3x ＝2x (1＋2x ). 解得
P
1
BP ＝4－. 2
由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2) ＋2×1＝103－12.
AD ＝x ＝2－2, BC ＝
又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝
315+6. 故sin ∠AOB ＝. 226
A
例3 已知：如图3, AB ＝BC ＝CA ＝AD , AH ⊥CD 于H , CP ⊥BC , CP 交AH 于P . 求证：
3
△ABC 的面积S ＝AP ·BD .
4323
分析：因S △ABC ＝BC ＝AC ·BC , 只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,
44
转化为证△APC ∽△BCD . 这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).
B
D
图3
H
证明：记BD 与AH 交于点Q , 则由AC ＝AD , AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD , 故∠ADQ ＝∠ABQ .
从而, ∠ABQ ＝∠ACQ . 可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD , ∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是, S ＝
3AC ·BC ＝AP ·BD . 44
2 、构造相关的辅助圆解题
有些问题貌似与圆无关, 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息, 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆, 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆
例4 如图4, 四边形ABCD 中, AB ∥CD , AD ＝DC ＝DB ＝p , BC ＝q . 求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上. 利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. ∵AB ∥CD , ∴BC ＝AE .
从而, ＝q . 在△ACE 中, ∠CAE ＝90°, CE ＝2p , AE ＝q , 故 AC ＝CE 2-AE 2＝4p 2-q 2. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆
例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC . 若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点, 且∠BAC 为锐角, 则AD 的取值范围是____.
分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外, 又点A 在x 轴上侧, 从而可确定动点A 的范围, 进而确定AD 的取值范围.
解：如图5, 所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1, 与x 轴交于两点B (－2,0) 、C (4,0).
分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E , 则两圆与抛物线均交于两点
B
A E
解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点, 连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上C
D
图4
P (1－22,1) 、Q (1＋22,1).
可知, 点A 0Q 内时, ∠BAC ＜90°. 且有
3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9, 即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆
例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高, ∠B 的平行线交AD 于M , 交AC 于N . 求证：AB 2－AN ＝BM ·BN .
分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝BM ·BN , 而由题设易知AM ＝AN , 联想割
E 线定理, 构造辅助圆即可证得结论.
证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, A 又∠3＝∠4, ∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2. 从而, AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A , 交AB 于F , 交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . AN 2,
即 AB －AN ＝BM ·BN .
例7 如图7, ABCD 是⊙O 的内接四边形, 延长AB 和DC 相交于E , 延长AB 和DC 相交于E , 延长AD 和BC 相交于F , EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q . 求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线, 由结论联想到切割线定理, 构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.
证明：如图7, 作△BCE 的外接圆交EF 于G , 连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE , 故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理, 有EF ＝(EG ＋GF ) ·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP ＋FQ , 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.
2.4 联想托勒密定理构造辅助圆
∠B ＇, ∠A ＋∠A ＇＝180°. 试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.
分析：因∠B ＝∠B ＇, ∠A ＋∠A ＇＝180°, 由结论联想到托勒密定理, 构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆, 过C 作CD ∥AB 交圆于D , 连结AD 和BD , 如图9所示.
∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D , ∠B ＇＝∠BCD .
B
b D
图9
c
(1)
图8
2
2
2
2
2
2
F
B
N
由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB 图6－AN ) ＝AB 2－
例8 如图8, △ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇, 且∠B ＝
A
b C
B'
(2)
A'
A c
C
A ' B ' B ' C ' A ' C '
＝＝, DC CB DB
c ' a ' b ' ac ' ab ' 即 ＝＝. 故DC ＝, DB ＝.
DB a ' a ' DC a
∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有
又AB ∥DC , 可知BD ＝AC ＝b , BC ＝AD ＝a . 从而, 由托勒密定理, 得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·
ac ' ab ' ＋b ·. 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. a ' a '
AB BD
＝. AC DC
AB
＝AC
练习题
1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中, 若AD 平分∠A , 则
(提示：不妨设AB ≥AC , 作△ADC 的外接圆交AB 于E , 证△ABC ∽△DBE , 从而
BD BD
＝.) DE DC
2. 已知凸五边形ABCDE 中, ∠BAE ＝3a , BC ＝CD ＝DE , ∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .
(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a , 从而A 、B 、C 、D 、E 共圆, 得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)
3. 在△ABC 中AB ＝BC , ∠ABC ＝20°, 在AB 边上取一点M , 使BM ＝AC . 求∠AMC 的度数.
(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC , 连结KM , 证B 、M 、C 共圆, 从而∠BCM ＝∠BKM ＝10°, 得∠AMC ＝30°.) 4．如图10, AC 是
ABCD 较长的对角线, 过C 作CF ⊥AF , CE ⊥AE .
2
12
求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC .
(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H . 则CG ＝AH , 由割线定理可证得结论.)
5. 如图11. 已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B , 直线
CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D , 且AC ＝AD , EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .
(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3, 延长BA 交⊙O 3于F , 证E 在⊙O 3上, 得△ACE ≌△ADF , 从而AE ＝AF , 由相交弦定理即得结论.)
6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE .
2
F D
C
A
图10
B E
图11
(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E , 交AE 及其延长线于N 、M , 由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)
7. 若正五边形ABCD E 的边长为a , 对角线长为b , 试证：
2
2
b a
－＝1. a b
(提示：证b ＝a ＋ab , 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)
第三讲 点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1、点共线的证明
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n (n ≥4) 点共线可转化为三点共线。 例1、如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ，BFCG 。又作平行四边形CFHD ，CGKE 。求证：H ，C ，K 三点共线。证：连AK ，DG ，HB 。
由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于是AK DG 。同样可证AK HB 。四边形AHBK 是平行四边形，其对角线AB ，KH 互相平分。而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K ，C ，H 三点共线。 例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120
°，D ，E ，F 三点共线。
证：如图，连AC ，DF ，DE 。因为M
则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB ， 有△AMC ∽△ACF ，得
上，
G
A O
为△ABC 外接圆，M 为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。求证：
MC CF CF
==。 MA CA CD
MC AC AD
==。 MA AE AE
又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得所以
CF AD
=，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽△ADE 。所以∠ADE =∠DFB 。因CD AE
为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F ；求证：P ，E ，F 三点共线。
证 ：如图：连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。设PF 与圆的另一交点为E ’，并作QG 丄PF ，垂足为G 。易
QE 2=QM ·QP =QC ·QB ① ∠PMC =∠ABC =∠PDQ 。
从而C ，D ，Q ，M 四点共圆，于是PM ·PQ =PC ·PD ② 由①，②得PM ·PQ +QM ·PQ =PC ·PD +QC ·QB ， 即PQ 2=QC ·QB +PC ·PD 。易知PD ·PC =PE ’·PF ， 又QF =QC ·QB ，有PE ’·PF+QF=PD ·PC +QC ·AB =PQ ，
2
2
2
(E 如 Q
即PE ’·PF =PQ 2-QF 2。又PQ 2－QF 2=PG 2－GF 2=(PG +GF ) ·(PG －GF )=PF ·(PG －GF ) ，从而PE ’=PG －GF =PG －GE ’，即GF =GE ’，故E ’与E 重合。 所以P ，E ，F 三点共线。
例4 以圆O 外一点P ，引圆的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点。割线PCD 交圆O 于C ，D 。又由B 作CD 的平行线交圆O 于E 。若F 为CD 中点，求证：A ，F ，E 三点共线。
证：如图，连AF ，EF ，OA ，OB ，OP ，BF ，OF ，延长FC 交BE 于G 。 易如OA 丄AP ，OB 丄BP ，OF 丄CP ，所以P ，A ，F ，O ，B 五点共圆，有∠AFP =∠AOP =∠POB =∠PFB 。 又因CD ∥BE ，所以有∠PFB =∠FBE ，∠EFD =∠FEB ， 而FOG 为BE 的垂直平分线，故EF =FB ，∠FEB =∠EBF ，
所以∠AFP =∠EFD ，A ，F ，E 三点共线。
2、线共点的证明
证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点) ，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。
M 例5 以△ABC 的两边AB ，AC 向外作正方形ABDE ，
ACFG 。△ABC 的高为AH 。求证：AH ，BF ，CD 交于一
点。
证：如图。延长HA 到M ，使AM =BC 。连CM ，BM 。 设CM 与BF 交于点K 。
在△ACM 和△BCF 中，AC =CF ，AM =BC ，
∠MAC +∠HAC =180°，∠HAC +∠HCA =90°，并且∠BCF =90°+∠HCA ，
因此∠BCF +∠HAC =180°∠MAC =∠BCF 。从而△MAC ≌△BCF ，∠ACM =∠CFB 。 所以∠MKF =∠KCF +∠KFC =∠KCF +∠MCF =90°，即 BF 丄MC 。
同理CD 丄MB 。AH ，BF ，CD 为△MBC 的3条高线，故AH ，BF ，CD 三线交于一点。
例6 设P 为△ABC 内一点，∠APB －∠ACB=∠APC －∠ABC 。又设D ，E 分别是△APB 及△APC 的内心。证明：AP ，BD ，CE 交于一点。 证：如图，过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T 。连RS ，ST ，RT ，设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N 。 易知P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共 圆，则∠APB －∠ACB =∠PAC +∠PBC =∠PRS +∠PRT =∠SRT 。
G
D
K F
同理，∠APC －∠ABC =∠RST ，由条件知∠SRT =∠RST ，所以RT =ST 。
又RT =PBsinB ，ST =PCsinC ，所以PBsinB =PCsinC ，那么
PB PC
=。 AB AC
AN AC AB AM
===由角平分线定理知。故M ，N 重合，即AP ，BD ，CE 交于一NP PC PB MP
点。 例
7
1
与
O 2外切于P 点，QR 为两圆的公切线, 其中Q ，R
分别为
1
2上
的切点，过Q 且垂直于QO 2的直线与过R 且垂直于RO 1的直线交于点I ，IN 垂直于O 1O 2, 垂足为N , IN 与QR 交于点M . 证明：PM ，RO 1，QO 2三条直线交于一点。
证：如图，设RO 1与QO 2交于点O ，连MO ，PO 。
因为∠O 1QM =∠O 1NM =90°，所以Q ，O 1，N ，M 四点共圆，有∠QMI =∠QO 1O 2。 而∠IQO 2=90°=∠RQO 1，所以∠IQM =∠O 2QO 1，
Q
O 1N
2
I
QO 1O 1O 2RO 2O 1O 2
==同理可证。因此 QM MI RM MI
O 1O QO 1QM QO 1
== ① 因为QO 1∥RO 2，所以有 ② MR RO 2OR RO 2
O 1O O 1Q O 1P
==由①，②得MO ∥QO 1。 又由于O 1P=O1Q ，PO 2=RO2，所以 ， OR RO 2PO 2
故△QIM ∽△QO 2O 1，得
即OP ∥RO 2。从而MO ∥QO 1∥RO 2∥OP ，故M ，O ，P 三点共线，所以PM ，RO 1，QO 2三条直线相交于同一点。
3、 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理1 (塞瓦(Ceva ) 定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点。若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，
则
BP CQ AR
⋅⋅=1PC QA RB 。
证：如图，由三角形面积的性质，有
BP CQ AR AR S ∆AMC BP S ∆AMB CQ S ∆BMC
⋅⋅=1. ===, , . 以上三式相乘，得PC QA RB RB S ∆BMC PC S ∆AMC QA S ∆AMB
定理2 (定理1的逆定理):
BP CQ AR ⋅⋅=1，则AP ，设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 上的点。若
PC QA RB
BQ ，CR 交于一点。
证：如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R ’。 由定理1有
BP CQ AR ' BP CQ AR AR ' AR
⋅⋅=1. 而⋅⋅=1，所以=. PC QA R ' B PC QA RB R ' B RB
11
于是R ’与R 重合，故AP ，BQ ，CR 交于一点。 定理3 (梅涅劳斯(Menelaus ) 定理):
一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC ，CA ，AB (或它们的延长线) 分别交
BP CQ AR
⋅⋅=1 于P ，Q ，R ，则
PC QA RB
证：如图，由三角形面积的性质，有
B
BP CQ AR AR S ∆ARP BP S ∆BRP CQ S ∆CRP
⋅⋅=1. ===, , . 将以上三式相乘，得
PC QA RB RB S ∆BRP PC S ∆CPR QA S ∆ARP
定理4 (定理3的逆定理):
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长线上的3点。若
BP CQ AR
⋅⋅=1，则P ，Q ，R 三点共线。 PC QA RB
定理4与定理2的证明方法类似。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。
例8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC 。
证：如图，连接BD 交AC 于H ，过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J 。 对△BCD 用塞瓦定理，可得
A
CG BH DE
⋅⋅=1 ① GB HD EC
D
因为AH 是∠BAD 的角平分线， 由角平分线定理知
B BH AB CG AB DE
=⋅⋅=1② , 代入①式HD AD GB AD EC
CG CI DE AD J
==因为CI ∥AB ，CJ ∥AD ，则，。代入②式得I GB AB EC CJ
CI AB AD ⋅⋅=1. 从而CI =CJ 。又由于∠ACI =180°－∠BAC =180°－∠DAC =∠ACJ ， AB AD CJ
所以△ACI ≌△ACJ ，故∠IAC =∠JAC ，即∠GAC =∠EAC . 例9 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H 。连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。求证：DL =BM .
证：如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ，与DC 的延长线交于点I 。
在△ECD 与△FAB 中分别使用梅涅劳斯定理，得
J A L
C I E
B
EG DI CH AG FH BJ
⋅⋅=1， ⋅⋅=1. GD IC HE GF HB JA
12
因为AB ∥CD ，所以
EG AG CH FH DI BJ
===， . 从而，即GD GF HE HB IC JA
CD +CI AB +AJ BM BJ DI DL
====，故CI =AJ . 而， CI AJ MC CI AJ LA
且BM +MC =BC =AD =AL +LD . 所以BM =DL 。
例10 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。求证：EF 平分∠CFD 。
证：如图，设AD 与BC 相交于点P ，用O 表示半圆T 的圆心。过P 作PH 丄l 于H ，连OD ，OC ，OP 。
AH HP
=由题意知Rt △OAD ∽Rt △PAH ，于是有. AD DO BH HP
=类似地，Rt △OCB ∽Rt △PHB ， 则有. BC CO
AH BH AH BC PD
=⋅⋅=1. 由CO =DO ，有，从而AD BC HB CP DA
F(H)
l
由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC ，BD ，PH 相交于一点，即E 在PH 上，点H 与F 重
合。
因∠ODP =∠OCP =90°，所以O ，D ，C ，P 四点共圆，直径为OP . 又∠PFC =90°，从而推得点F 也在这个圆上，因此∠DFP =∠DOP =∠COP =∠CFP ，所以EF 平分∠CFD 。 例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 先证两个引理。
引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交
F
A 1B 1C 1D 1E 1F 1
⋅⋅=1. 如图，设A 1D 1，B 1E 1，于一点，则有
B 1C 1D 1E 1F 1A 1
C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知
△ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1，△OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有
A 1B 1C 1D 1E 1F 1A 1B 1B 1O E 1F 1F 1O C 1D 1D 1O
⋅⋅=1， ===, , . 将上面三式相乘即得
B 1C 1D 1E 1F 1A 1D 1E 1D 1O B 1C 1B 1O F 1A 1F 1O
引理2：
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足C 1F 1交于一点。
13
A 1B 1C 1D 1E 1F 1
⋅⋅=1则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，B 1C 1D 1E 1F 1A 1
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知
B
BR EB PA FP BR EB ⋅FP A ===, . 两式相乘，得. ① PA EP DS FD DS EP ⋅FD
CR EC PD FP ==又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知，. D PD EP AS FA
CR EC ⋅FP =两式相乘，得 ② AS EP ⋅FA BR ⋅AS EB ⋅FA BR CD SA EB AF DC
=⋅⋅=⋅⋅由①，②得. 故. ③
DS ⋅CR EC ⋅FD RC DS AB BA FD CE
EB AF DC ⋅⋅=1 ④ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有
BA FD CE
BR CD SA
⋅⋅=1. 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点, 所以R ，T ，S 三点共由③④得
RC DS AB
1
1
1
11
1
线。
练 习 A 组
1. 由矩形ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和MP ，向另两边延长线引垂线MR ，MT 。证明：PR 与QT 垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。 2. 在△ABC 的BC 边上任取一点P ，作PD ∥AC ，PE ∥AB ，PD ，PE 和以AB ，AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D ，E 。求证：D ，A ，E 三点共线。 3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D ，E ，又和△ABC 的外接圆相切于F 。求证：△ABC 的内心G 和D ，E 在一条直线上。
4. 设四边形ABCD 为等腰梯形，把△ABC 绕点C 旋转某一角度变成△A ’B ’C ’。证明：线段A ’D , BC 和B ’C 的中点在一条直线上。
5. 四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P 。设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1，O 2，O 3，O 4。求证：OP ，O 1O 3，O 2O 4三直线交于一点。
6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。
7. △ABC 为锐角三角形，AH 为BC 边上的高，以AH 为直径的圆分别交AB ，AC 于M ，N ；M ，N 与A 不同。过A 作直线l A 垂直于MN 。类似地作出直线l B 与l C 。证明：直线l A ，l B ，l C 共点。
8. 以△ABC 的边BC ，CA ，AB 向外作正方形，A 1，B 1，C 1是正方形的边BC ，CA ，AB 的对边的中点。求证：直线AA 1，BB 1，CC 1相交于一点。
B 组
14
9. 设A 1，B 1，C 1是直线l 1上的任意三点，A 2，B 2，C 2是另一条直线l 2上的任意三点，A 1B 2和B 1A 2交于L ，A 1C 2和A 2C 1交于M ，B 1C 2和B 2C 1交于N 。求证：L ，M ，N 三点共线。 10. 在△ABC ，△A ’B ’C ’中，连接AA ’，BB ’，CC ’，使这3条直线交于一点S 。求证：AB 与A ’B ’、BC 与B ’C ’、CA 与C ’A ’的交点F ，D ，E 在同一条直线上(笛沙格定理) 。
11. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P ，Q ，R ，则这三点在一条直线上(帕斯卡定理) 。
第四讲 四点共圆问题
“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1、“四点共圆”作为证题目的
例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N . 以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q . 求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.
A (第19届美国数学奥林匹克)
Q 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P
C ′四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，
即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′) ·(PB ′+KB ′B 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有AB ′2+PB ′2=AC′2+MC ′2.
故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.
O
例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△
O 1
OAB ，△OBC ，△OCA 的外心. 求证：O ，O 1，O 2，O 3四点共圆.
(第27届莫斯科数学奥林匹克) O 2
3
分析：作出图中各辅助线. 易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分
A B C 1
OA . 观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=∠OO 2B =∠OCB .
2
观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=
OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.
2、以“四点共圆”作为解题手段
这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等
15
1
∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠2
例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . （第二届袓冲之杯初中竞赛） 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆. 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK . ∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ，∴∠DMA ＝∠CKB . (2)证线垂直
外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M . 求证：∠BMO =90°.
(第26届IMO 第五题)
分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步. 其实，
B
只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +∠BMK =180°-∠CMK ， ∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆.
在这个圆中，由OC =OK ⇒ ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ，故∠BMO =90°.
(3)判断图形形状
例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，
I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B . 易得∠AI C B =90°
D K A C M B
例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同). △BMK . 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G . 易得∠GMC =∠BAC =∠11
+∠ADB =90°+∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆. 22
同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆. 此时
I B A
C
A 1∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-∠ADC ，
2211
∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-(∠ABC +∠ADC )=360°-×180°
C 22D
=270°. 故∠I B I C I D =90°.
同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°. 该四边形必为矩形.
(4)计算
例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝. P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________(1989，全国初中联赛)
2
A B
16
分析：答案是PB =42㎝. 怎样得到的呢？连接OA ，OB . 易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB . (5)其他 A E
例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找
出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)
F 分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角B
形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上.
作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒
∠KDE =∠KGE =60°. 同理，∠KAE =60°. 故△KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =
D
G C
也最小. 当KF 通过B 点时，边长为2·2-，这时边长最大，面积4
S =2-3也最大.
例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q . 求证：RS ＞MQ .(1991)
分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′. 连接MQ ′，SQ ′. 易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ . 根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .
又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°) ，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°) ，故RS ＞MQ ′. 但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .
练习题 1. ⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1于D 点. 求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2
四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)
2. △ABC 为不等边三角形. ∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2.
(提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.)
3. 设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合). 求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.
4. 在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点. 求证：PD 丄QD .
17
(提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆)
5. AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高. 从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3. 求证：l 1，l 2，l 3三线共点.(提示：过B 作AB 的垂线交l 1于K ，证：A ，B ，K ，C 四点共圆)
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P ′. 试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心. 有 ∠BP ′P=∠PP ′C=
11
∠BMP =∠BAC ， 22
P A 11
∠PNC =∠BAC . 22
B
P
∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .
从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .
C
例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S . 证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形
P O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .
K
O B C Q ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°. 从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3° SO 1=360
将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=PO 1O 2)=
111
∠O 2O 1K =(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=(∠O 2O 1S +∠222
1
∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B . 故△O 1O 2O 3∽△ABC . 2
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
18
例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点. 证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交. 从A ，C ，D ，E ，F 分别
作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，D ′，E ′，F ′.
B
A ' ' A E
C
P
易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △+S △PGF . 两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似. 其逆亦真.
PGD
分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′. G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .
(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有CF = AD =
112a 2+2b 2-c 2，BE =2c 2+2a 2-b 2， 22
1
2b 2+2c 2-a 2. 2
将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF = ∴CF :BE :AD =
3a ，BE =b ，AD =c . 222
33
a :b :c =a :b :c . 故有△∽△′. 222
(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴
S ∆' CF 2
＝() . S ∆a
S ∆' 33
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
S ∆44
CF 23
∴2=⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.
4a
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心. 由三角形的垂心造成的四个等(外接) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心. 求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)
分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R . 由△A 2A 3A 4知
A 1
A 2H 1
=2R ⇒A 2H 1=2Rcos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得sin ∠A 2A 3H 1
19
2
4
A
A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4. 但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， ∥
=
故得H 1H 2 A 2A 1. 设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称. 故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上. 后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称. 由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.
例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心. 一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B
2
分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可. 设BC =a ， CA =b ，AB =c ， △ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M .
A A1=AM +A 1M =AM 2+r -MH =r +(AM -MH ) ， ① 又AM 2-HM 2=(② 而
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
C 1
A 1
B
E
A 2
C
1
1122222B 1·bc -AH 2, ) -(-) =·-=·-AH 1AH AH 1AH AH 1AH 2AH AB AH =22
AH a =2R ⇒AH 2=4R2cos 2A , =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-sin ∠ABH sin A
22
1=r +
a . ③
1b 2+c 2-a 2
由①、②、③有A A ·bc -(4R 2-a 2)=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.
22bc
11
同理，BB 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，CC 12=(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.
22
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心. 对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C . 换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1, O 2，O 3，O 4. 求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题), 证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切. 试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
D C
B
20
分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC . 当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然EF 中点P 、圆心Q 中点K 都在∠BAC 平分
M
A
r C B
线上. 易知AQ =. ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴
sin αN
K
MQ ⋅QN (2R -r ) ⋅r
==sin α⋅(2R -r ) . QK =
AQ r /sin α
由Rt △EPQ 知PQ =sin α⋅r . ∴PK =PQ +QK =sin α⋅r +sin α⋅(2R -r ) =sin α⋅2R .
∴PK =BK .
利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心. 旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p.
式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
1
c
O 3
K O 2
r b
a C
分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p-c )=(p-a )(p-b ).
111122
∵p (p-c )=(a+b+c) ·(a+b-c) =[(a+b) -c ] =ab ；
22421111
(p-a )(p-b )=(-a+b+c) ·(a-b+c)=[c 2-(a-b ) 2]=ab . ∴p (p-c )=(p-a )(p-b ). ①
2242
1
观察图形，可得r a =AF -AC =p-b ，r b =BG -BC =p-a ，r c =CK =p . 而r =(a+b-c)=p-c .
2
∴r +r a +r b +r c =(p-c )+(p-b )+(p-a )+p =4p -(a+b+c)=2p . 由①及图形易证.
例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点. r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径. 证明：
r 1r 2r ·=.(IMO -12) q 1q 2q
分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·sin
A ' 2
A E
C ' B '
A ' B '
B ' sin ⋅sin
A ' sin ， sin =A ′B ′·· =A ′B ′·A ' +B ' 2
sin sin ∠A ' O ' B '
2
O '
A ' B ' cos 22. ∴OD =tg
O ′E = A ′B ′·
A ' +B ' O ' E sin
2
r 1r 2A ∠CMA ∠CNB
tg tg 亦即有·=tg tg
q 1q 2222
cos
A ' B '
tg . 22B A B r =tg tg =. 222q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA . 试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心. 从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .
再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用Erdos 不等式有：
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2
IS . ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I 就是一点两心.
C 例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心
B
A
F
E
证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .
A
1
易证：DG :GK =DC 3
) DC =2:1.
E F
∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，
B C
∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB . 求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题) 分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .
1
利用内心张角公式，有∠AIB =90°+∠C =105°，
2
∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+
A
I B
D
C
111
∠DAO =30°+(∠BAC -∠BAO )=30°+(∠BAC -60°) 222
=
1
∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE . 2
由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .
例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心. 设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.
分析：这里用三角法. 设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ，C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cosA+cosB+cosC， ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH 1=sinB ·AB =sinB ·(2sinC )=2sinB ·sinC ， 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2·(sinB ·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB ) ② ∴
B
H G O H 1
O 2G 2H 2
C
A
O 1G 1
BH
=2，∴HH 1=cosC ·BH =2·cosB ·cosC .
sin BCH
同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3 =2(cosB ·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB ·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB )+( cosA+ cosB+ sinB ·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB . 即可.
练 习 题
1. I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′，B ′，C ′. 则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)
2. △T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等. 求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3. I 为△ABC 的内心. 取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3. 求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4. AD 为△ABC 内角平分线. 取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2. 则△OO 1O 2是等腰三角形.
5. △ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ . H 是△CPQ 的垂心. 当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7) 6. △ABC 的边BC =
1
(AB+AC) ，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心. 试证：过2
A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)