2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合A ={x |x 2}，则
（A ）(-2, 2) （B ）(-∞, -2) (2,+∞) （C ）[-2, 2] （D ）(-∞, -2] [2,+∞)
（2）若复数(1-i)(a +i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(-∞,1) （B ）(-∞, -1) （C ）(1,+∞) （D ）(-1, +∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）2 （B ）
3
2
（C ）583 （D ）5
⎧x ≤3,
4）若x , y 满足⎪
⎨x +y ≥2, 则x +2y ⎪的最大值为
⎩
y ≤x , （A ）1 （B ）3 （C ）5
（D ）9
5）已知函数f (x ) =3x -(13
) x
，则f (x )
（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（（ （
（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数N 约为1080
．则下列各数中与M
N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.
若sin α=
1
3
，则sin β=_________． （10）若双曲线2
x 2
-y m
=
1m =__________．
（11）已知x ≥0，y ≥0，且x +y =1，则x 2+y 2
的取值范围是__________．
（12）已知点P 在圆x 2
+y 2
=1上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则 AO ⋅ AP
的最大值
为_________．
（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数
a , b , c 的值依次为______________________________．
（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．
（（
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+ +b 2n -1．
（16）（本小题13分）
已知函数f (x ) =x -
π
3
) -2sin x cos x .
（I ）求f (x ) 的最小正周期；
（II ）求证：当x ∈[-
π4, π
4
]时，f (x )≥-1
2．
（17）（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人
数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学. 科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生
人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段
AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间[0,]上的最大值和最小值．
π2
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． （19）（本小题14分）
已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM
的垂线交BN 于点E . 求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
（20）（本小题13分）
已知函数f (x ) =e cos x -x ．
x
2017年普通高等学校招生全国统一考试
解得q 2=3. 所以b 2n -1=b 1q 2n -2=3n -1. 数学（文）（北京卷）答案
一、 （1）C （2）B （3）C （5）B
（6）D
（7）A
二、
（9）13
（10）2 （11）[1
2
,1]
（12）6
（13）-1, -2, -3（答案不唯一） （14）6 12
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1. （Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.
4）D 8）D
从而n b 2
n -1
1+b 3+b 5+ +b 2n -1=1+3+3+ +3
=3-1
2
. （16）（共13分）
解：（Ⅰ）f (x ) =
2cos 2x +32sin 2x -sin 2x =12sin 2x +22x =sin(2x +π
3
) . 所以f (x ) 的最小正周期T =
2π
2
=π. （Ⅱ）因为-
π4≤x ≤π4， 所以-ππ5π6≤2x +3≤6
. 所以sin(2x +π) ≥sin(-π13) =-
2. 所以当x ∈[-π4, π4]时，f (x ) ≥-162
. （17）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04) ⨯10=0.6，所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02) ⨯10=0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100-100⨯0.9-5=5.
（（
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400⨯
5
100
=20. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04) ⨯10⨯100=60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60⨯
1
2
=30. 所以样本中的男生人数为30⨯2=60，女生人数为100-60=40，男生和女生人数的比例为60:40=3:2.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2. （18）（共14分）
解：（I ）因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥
BD .
（II ）因为AB =BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC ，
由（I ）知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE =DE ， 所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE =
1
2
PA =
1，BD =DC =由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E -BCD 的体积V =
16BD ⋅DC ⋅DE =13
. （19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为x 2y 2
a 2+b
2=1(a >0, b >0) .
⎧a =2,
由题意得⎪
⎨c 解得c =⎪⎩
a
=所以b 2=a 2-c 2=1.
所以椭圆C 的方程为x 2
4
+y 2=1. （Ⅱ）设M (m , n ) ，则D (m ,0), N (m , -n ) .
由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =
n
m +2
，故直线DE 的斜率k m +2DE =n .
所以直线DE 的方程为y =-
m +2
n
(x -m ) . 直线BN 的方程为y =
n
2-m
(x -2) . ⎧m 联立⎪⎪y =-+2(x -m ), ⎨n 解得点E 的纵坐标y n (4-m 2) ⎪n E =-4-m 2+n 2
. ⎪⎩
y =2-m (x -2), 由点M 在椭圆C 上，得4-m 2=4n 2. 所以y E =-
45
n . 又S 1△BDE =
2|BD |⋅|y 21
E |=5|BD |⋅|n |， S △BDN =2
|BD |⋅|n |， 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5. （20）（共13分）
解：（Ⅰ）因为f (x ) =e x cos x -x ，所以f '(x ) =e x
(cosx -sin x ) -1, f '(0)=0.
又因为f (0)=1，所以曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.
（Ⅱ）设h (x ) =e x
(cosx -sin x ) -1，则
h '(x ) =e x (cosx -sin x -sin x -cos x ) =-2e x sin x .
当x ∈(0,π2
) 时，h '(x )
所以h (x ) 在区间[0,π2
]上单调递减.
所以对任意x ∈(0,π
2
]有h (x )
所以函数f (x ) 在区间
[0,π
2
]上单调递减. 因此f (x ) 在区间[0,π]上的最大值为f (0)=1，最小值为f (π) =π22-2
.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合A ={x |x 2}，则
（A ）(-2, 2) （B ）(-∞, -2) (2,+∞) （C ）[-2, 2] （D ）(-∞, -2] [2,+∞)
（2）若复数(1-i)(a +i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(-∞,1) （B ）(-∞, -1) （C ）(1,+∞) （D ）(-1, +∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）2 （B ）
3
2
（C ）583 （D ）5
⎧x ≤3,
4）若x , y 满足⎪
⎨x +y ≥2, 则x +2y ⎪的最大值为
⎩
y ≤x , （A ）1 （B ）3 （C ）5
（D ）9
5）已知函数f (x ) =3x -(13
) x
，则f (x )
（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（（ （
（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数N 约为1080
．则下列各数中与M
N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.
若sin α=
1
3
，则sin β=_________． （10）若双曲线2
x 2
-y m
=
1m =__________．
（11）已知x ≥0，y ≥0，且x +y =1，则x 2+y 2
的取值范围是__________．
（12）已知点P 在圆x 2
+y 2
=1上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则 AO ⋅ AP
的最大值
为_________．
（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数
a , b , c 的值依次为______________________________．
（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．
（（
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+ +b 2n -1．
（16）（本小题13分）
已知函数f (x ) =x -
π
3
) -2sin x cos x .
（I ）求f (x ) 的最小正周期；
（II ）求证：当x ∈[-
π4, π
4
]时，f (x )≥-1
2．
（17）（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人
数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学. 科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生
人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段
AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间[0,]上的最大值和最小值．
π2
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． （19）（本小题14分）
已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM
的垂线交BN 于点E . 求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．
（20）（本小题13分）
已知函数f (x ) =e cos x -x ．
x
2017年普通高等学校招生全国统一考试
解得q 2=3. 所以b 2n -1=b 1q 2n -2=3n -1. 数学（文）（北京卷）答案
一、 （1）C （2）B （3）C （5）B
（6）D
（7）A
二、
（9）13
（10）2 （11）[1
2
,1]
（12）6
（13）-1, -2, -3（答案不唯一） （14）6 12
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1. （Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.
4）D 8）D
从而n b 2
n -1
1+b 3+b 5+ +b 2n -1=1+3+3+ +3
=3-1
2
. （16）（共13分）
解：（Ⅰ）f (x ) =
2cos 2x +32sin 2x -sin 2x =12sin 2x +22x =sin(2x +π
3
) . 所以f (x ) 的最小正周期T =
2π
2
=π. （Ⅱ）因为-
π4≤x ≤π4， 所以-ππ5π6≤2x +3≤6
. 所以sin(2x +π) ≥sin(-π13) =-
2. 所以当x ∈[-π4, π4]时，f (x ) ≥-162
. （17）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04) ⨯10=0.6，所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02) ⨯10=0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100-100⨯0.9-5=5.
（（
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400⨯
5
100
=20. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04) ⨯10⨯100=60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60⨯
1
2
=30. 所以样本中的男生人数为30⨯2=60，女生人数为100-60=40，男生和女生人数的比例为60:40=3:2.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2. （18）（共14分）
解：（I ）因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥
BD .
（II ）因为AB =BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC ，
由（I ）知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE =DE ， 所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE =
1
2
PA =
1，BD =DC =由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E -BCD 的体积V =
16BD ⋅DC ⋅DE =13
. （19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为x 2y 2
a 2+b
2=1(a >0, b >0) .
⎧a =2,
由题意得⎪
⎨c 解得c =⎪⎩
a
=所以b 2=a 2-c 2=1.
所以椭圆C 的方程为x 2
4
+y 2=1. （Ⅱ）设M (m , n ) ，则D (m ,0), N (m , -n ) .
由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =
n
m +2
，故直线DE 的斜率k m +2DE =n .
所以直线DE 的方程为y =-
m +2
n
(x -m ) . 直线BN 的方程为y =
n
2-m
(x -2) . ⎧m 联立⎪⎪y =-+2(x -m ), ⎨n 解得点E 的纵坐标y n (4-m 2) ⎪n E =-4-m 2+n 2
. ⎪⎩
y =2-m (x -2), 由点M 在椭圆C 上，得4-m 2=4n 2. 所以y E =-
45
n . 又S 1△BDE =
2|BD |⋅|y 21
E |=5|BD |⋅|n |， S △BDN =2
|BD |⋅|n |， 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5. （20）（共13分）
解：（Ⅰ）因为f (x ) =e x cos x -x ，所以f '(x ) =e x
(cosx -sin x ) -1, f '(0)=0.
又因为f (0)=1，所以曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.
（Ⅱ）设h (x ) =e x
(cosx -sin x ) -1，则
h '(x ) =e x (cosx -sin x -sin x -cos x ) =-2e x sin x .
当x ∈(0,π2
) 时，h '(x )
所以h (x ) 在区间[0,π2
]上单调递减.
所以对任意x ∈(0,π
2
]有h (x )
所以函数f (x ) 在区间
[0,π
2
]上单调递减. 因此f (x ) 在区间[0,π]上的最大值为f (0)=1，最小值为f (π) =π22-2
.