2013/3/21
§3.6 恒定总流的动量方程及应用
【例3.9】某过水低堰，上游h1＝1.8m，下游h2＝0.6m。 不计损失，求水流对单宽堰段的水平推力。
1
§3.6 恒定总流的动量方程及应用
1
【解】 1.取控制体及流入流出断面 2. 受力分析
h1
P1 F 1 x 2 2 P2
P = ρghC1 A1 = 1
x F 2 P2
1 ρgh12 ⋅1 = 15.88kN 2 1 ρgh22 ⋅1 = 1.76kN 2
h2
h1
P1
P2 = ρghC 2 A2 =
h2
3.沿x方向列动量方程
1
2
− F + P − P2 = ρQ( β 2 v2 − β1v1 ) 1
§3.6 恒定总流的动量方程及应用
4.增加方程
1 x F 1 2 2 P2
§3.7 层流与湍流流动
颜色水
一.雷诺实验
hf
h2
v1 A1 = v1h1 ⋅1 = v2 A2 = v2 h2 ⋅1
——连续方程
h1
P1
h1 +
v1 v = h2 + 2 2g 2g
2
2
颜色水 ——伯努利方程
颜色水
颜色水
联立求解，得：
v1 = 1.71m/s , v 2 = 5.14m/s
方向向右
层流
速度由小到大 层流向紊流过渡 上临界速度 v'k
过渡阶段
速度由大到小 紊流向层流过渡 下临界速度 vk
湍流
F ' = F = P − P2 − ρQ(v2 − v1 ) = 3.53kN 1
§3.7 层流与湍流流动
§3.7 层流与湍流流动 二.流体流动的两种流态
层流 当流速较小时，各流层的液体质点是有条不紊地运动，互不混
杂，这种型态的流动叫做层流。
v
层流运动；AB直线
hf = k1v
′ v > vk
湍流运动；DE线
湍流 当流速较大，各流层的液体质点形成涡体，在流动过程中，
互相混掺，这种型态的流动叫做湍流，或紊流。
hf = k2v
1.75~2
三.层流和湍流的判别
湍流运动；E点之后
hf = k2v2
vk
注：
过渡流，流态不稳
vk = f ( μ , ρ , d )
临界速度不能作为判别流态的标准！！！
1
2013/3/21
§3.7 层流与湍流流动
由μ、 ρ、 d几个物理量可组合成一个无量纲数，可以用 来判别流态，称为雷诺数。
§3.7 层流与湍流流动
实际流体流动呈现出两种不同的型态是扰动因素与粘性稳定作用之间 对比和抗衡的结果。即惯性扰动和粘性稳定之间对比和抗衡的结果。
Re =
vd
υ
扰动因素
对比 抗衡
v
粘性稳定
其中，d 是圆管直径，v 是平均流速，
υ 是流体的运动粘性系数。
d
υ
惯性力 vd = 粘性力 υ
1883年，雷诺试验也表明：圆管中恒定流动的流态转化 取决于雷诺数。
Re =
利于稳定
§3.7 层流与湍流流动
圆管中恒定流动的流态发生转化时对应的雷诺数称为临界雷诺数，又分 为上临界雷诺数和下临界雷诺数。上临界雷诺数表示超过此雷诺数的流动必 为紊流，它很不确定，跨越一个较大的取值范围。有实际意义的是下临界雷 诺数，表示低于此雷诺数的流动必为层流，有确定的取值，圆管定常流动取 为 对圆管：
§3.7 层流与湍流流动
Re k = vk d
υ
= 2000 vk R = 500
d — 圆管直径
对非圆管断面：
Re k =
vk R
υ
R — 水力半径
ReC = 2000
层流 紊流 Re 上临界雷诺数 下临界雷诺数 层流 紊流 Re
对明渠流：
Re k =
υ
= 300
R — 水力半径
对绕流现象：
Re k =
vk l
υ
L — 固体物的特征长度
对流体绕过球形物体： Re k =
vk d
υ
= 1 d — 球形物直径
R'eC = 12000− 40000
ReC = 2000
§3.7 层流与湍流流动
−6 2 −6 2 υ 【例3.10】水和油的运动粘度分别为 1 = 1.79 × 10 m / s 和 υ 2 = 30 × 10 m / s
§3.7 层流与湍流流动
【例3.11】 温度 t = 15 °C ，运动粘度υ = 1.14 × 10 −6 m 2 / s 的水，在直 径 d = 2m 的管中流动，测得流速 v = 8cm / s ，问水流处于什么状态？ 如要改变其运动，可以采取那些办法？
若它们以 v = 0.5m / s 的流速在直径为 d = 100 mm 的圆管中流动，试确定其流 动状态？
【解】
【解】
Re R =
vd
水的流动雷诺数
υ1
= 27933 > 2000
紊流流态
水的流动雷诺数 Re =
vd
υ
= 1404
层流流态
如要改变其流态，可采取如下措施： 油的流动雷诺数
Re = vd
υ2
= 1667
层流流态
1）改变流速
v>
Re k υ = 11 .4 m / s d
2）提高水温改变粘度
υ
vd = 0.008 cm 2 / s Re
2
2013/3/21
§3.8 管内流动的能量损失 一. 能量损失的产生
内因：粘滞性和惯性 外因：与固体边界存在相对运动 流线 流速分布 流线 产生流动阻力 损耗机械能hw 流速分布
§3.8 管内流动的能量损失 二. 能量损失的分类
沿程能量损失
在均匀流中，流体所承受的阻力只有不变的摩擦阻力， 称为沿程阻力。发生在均匀流段上，由沿程阻力产生的 水头损失，用hf 表示。
达西公式
hf = λ
l v2 d 2g
或
pf = λ
l ρv2 d 2
沿程阻力系数
理想液体 能量损失的表示方法：
实际液体
局部能量损失
在非均匀流动中，各流段所形成的阻力有多种，但都集 中在很短的流段内，这种阻力称为局部阻力。发生在非 均匀流段上，由局部阻力产生的水头损失。用hj 表示。
液体：hw— 单位重量流体的能量损失 气体：pw— 单位体积流体的能量损失
hj = ζ
v2 2g
或
pj =ζ
ρv2
2
局部阻力系数
§3.8 管内流动的能量损失
§3.8 管内流动的能量损失 三. 流段的总能量损失
hw = ∑ h f + ∑ h j
各分段沿程水 头损失的总和 各种局部水头 损失的总和
§3.8 管内流动的能量损失 四. 均匀流的沿程水头损失 1、均匀流基本方程的建立
（1）取控制体——流体中一有限体
A p1A α l
§3.8 管内流动的能量损失
（3）列写动量方程
∑ Fn = ρQ(v2 − v1 ) = 0
p1A
p1 A − p2 A + ρgAl cos α − τ 0 χl = 0
ρg
p1
A l
p1
−
ρg
p2
+ l cos α −
τ 0 χl =0 ρgA
τ0 z1
α
p2A z2 n
（2）受力分析 流束本身的重量：
p2A z2 n
（4）列写伯努利方程：
2 p2 α 2 v2 + + h f 1−2 ρg 2 g A 水力半径Rh = χ τ 0 χl τl 联立求解，得： h = 0 f 1− 2 = ρgA ρgRh
G
τ0 z1
G cos α = ρ gAl cos α = ρ gA( z1 − z2 )
断面压力：
z1 +
ρg
+
α1v12
2g
= z2 +
G
( p1 − p2 ) A
T = τ 0 χl
水力坡度J =
—均匀流基本方程
流束表面受到的摩擦力：
h f 1−2 l
τ0
流股湿周上的平均切应力
或：
τ 0 = ρgRh J
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2013/3/21
§3.8 管内流动的能量损失 2、均匀流剪应力分布
由τ0=ρgRJ 及 R=r/2 （圆管）得： R r τ = = τ 0 R0 r0
hf = λ l v d 2g
2
§3.8 管内流动的能量损失 五. 圆管中的层流运动 1、圆管层流速度分布
由均匀流基本方程 τ0＝ρgRJ ，得圆管内任一点处： r0 r dr
r0 τ τ0 r
（园管公式） （通用公式）
τ = ρg J
对于层流，τ 又满足牛顿内摩擦力定律：
r 2
达西公式
l v2 hf = λ 4R 2 g
将均匀流基本方程代入达西公式，得：
τ0 =
λ
8
ρv
2
8τ λ = 02 ρv
τ =μ
du dy
= −μ
du dr
则有：
du = −
ρgJ rdr 2μ
§3.8 管内流动的能量损失
du = −
§3.8 管内流动的能量损失 2、达西公式和沿程阻力系数
由平均流速公式 v =
ρgJ rdr 2μ
积分，并代入边界条件：r＝r0 时，u＝0，得：
u=
ρgJ 2 2 (r0 − r ) 4μ
ρgJ 2 d 得： 32 μ
——抛物线分布
r0 r u umax d
hf =
当 r ＝0 时， u max = 平均流速和流量：
ρgJ 2 ρgJ 2 J J d r0 = 4μ 16 μ
2 μ l v2 32 μl = 64μl ⋅ 1 ⋅ v = 64 ⋅ ⋅ v 2 ρd 2 v 2 g ρvd d 2 g ρgd
hf =
其中
64 l v 2 l v2 ⋅ ⋅ =λ Re d 2 g d 2g 64 Re
—— 沿程阻力系数（无量纲量）
Q = ∫ udA = ∫ u ⋅ 2πrdr =
A
0
r0
ρgJ 4 ρgJ πr0 = πd 2 8μ 128μ
λ =
v=
Q ρgJ 2 1 = d = umax A 32 μ 2
只适于层流
§3.8 管内流动的能量损失
【例3.12】在长度l=10000m、直径 d=300mm 的管路中输送 γ=9.31kN/m3的重油，其重量流量G=2371.6kN/h，求油温分别为10 ℃ (υ=25cm2/s)和40 ℃ (υ =1.5cm2/s)时的水头损失。
【解】
§3.8 管内流动的能量损失
【例3.13】已知ρ=9800kg/m3，Qm=1.0kg/s，l=1800m，υ =0.08cm2/s， d=100mm，z1=85m，z2=105m，求管路的压强降低值及损失功率。
【解】对1－1，2－2列写伯努利方程：
l d z2 z1 0 0
体积流量： Q = 平均流速：
G
γ
= 0.0708m3 / s
z1 +
得 85 + 先判断流态 有 λ=
ρg
p1
p1
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
ρg
p2
+
2 α 2 v2
2g
+ hw1−2
v = Q / A = 1m / s
ρg
= 105 +
ρg
+ h f 1− 2
又 hf = λ
l v2 d 2g
1）10 ℃时的雷诺数
Re =
vd
υ
vd
= 120
hf =
64 l v 2 = 907 .03m油柱 Re d 2 g 64 l v 2 = 54 .42 m油柱 Re d 2 g
Re =
vd
ν
=
Qm d ⋅ = 1625＜2000 为层流 ρA ν
则
2）40 ℃时的雷诺数
Re =
υ
= 2000
hf =
64 l v 2 = 0.61m Re d 2 g 压降为： p1 − p2 = ρg ( z 2 − z1 + h f ) = 198kPa
64 Re
hf =
损失功率为
N = Qm gh f = 5.98w
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2013/3/21
小 结
本章介绍流体运动分析所需要的基本概念及描述流体运动的方法，建立描述流场中流体运 动的普遍关系式。物理学和理论力学中的质量守恒定律、牛顿运动定律、机械能守恒定律及 动量守恒定律等同样是流体运动遵循的规律，是本章推演流体运动普遍关系式的理论依据。
重点与难点：
理解描述流体运动的欧拉法 掌握并熟练运用连续性方程 理解理想流体运动微分方程及其物理意义 掌握并熟练运用伯努利方程，理解其物理意义 掌握并熟练运用动量方程
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§3.6 恒定总流的动量方程及应用
【例3.9】某过水低堰，上游h1＝1.8m，下游h2＝0.6m。 不计损失，求水流对单宽堰段的水平推力。
1
§3.6 恒定总流的动量方程及应用
1
【解】 1.取控制体及流入流出断面 2. 受力分析
h1
P1 F 1 x 2 2 P2
P = ρghC1 A1 = 1
x F 2 P2
1 ρgh12 ⋅1 = 15.88kN 2 1 ρgh22 ⋅1 = 1.76kN 2
h2
h1
P1
P2 = ρghC 2 A2 =
h2
3.沿x方向列动量方程
1
2
− F + P − P2 = ρQ( β 2 v2 − β1v1 ) 1
§3.6 恒定总流的动量方程及应用
4.增加方程
1 x F 1 2 2 P2
§3.7 层流与湍流流动
颜色水
一.雷诺实验
hf
h2
v1 A1 = v1h1 ⋅1 = v2 A2 = v2 h2 ⋅1
——连续方程
h1
P1
h1 +
v1 v = h2 + 2 2g 2g
2
2
颜色水 ——伯努利方程
颜色水
颜色水
联立求解，得：
v1 = 1.71m/s , v 2 = 5.14m/s
方向向右
层流
速度由小到大 层流向紊流过渡 上临界速度 v'k
过渡阶段
速度由大到小 紊流向层流过渡 下临界速度 vk
湍流
F ' = F = P − P2 − ρQ(v2 − v1 ) = 3.53kN 1
§3.7 层流与湍流流动
§3.7 层流与湍流流动 二.流体流动的两种流态
层流 当流速较小时，各流层的液体质点是有条不紊地运动，互不混
杂，这种型态的流动叫做层流。
v
层流运动；AB直线
hf = k1v
′ v > vk
湍流运动；DE线
湍流 当流速较大，各流层的液体质点形成涡体，在流动过程中，
互相混掺，这种型态的流动叫做湍流，或紊流。
hf = k2v
1.75~2
三.层流和湍流的判别
湍流运动；E点之后
hf = k2v2
vk
注：
过渡流，流态不稳
vk = f ( μ , ρ , d )
临界速度不能作为判别流态的标准！！！
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§3.7 层流与湍流流动
由μ、 ρ、 d几个物理量可组合成一个无量纲数，可以用 来判别流态，称为雷诺数。
§3.7 层流与湍流流动
实际流体流动呈现出两种不同的型态是扰动因素与粘性稳定作用之间 对比和抗衡的结果。即惯性扰动和粘性稳定之间对比和抗衡的结果。
Re =
vd
υ
扰动因素
对比 抗衡
v
粘性稳定
其中，d 是圆管直径，v 是平均流速，
υ 是流体的运动粘性系数。
d
υ
惯性力 vd = 粘性力 υ
1883年，雷诺试验也表明：圆管中恒定流动的流态转化 取决于雷诺数。
Re =
利于稳定
§3.7 层流与湍流流动
圆管中恒定流动的流态发生转化时对应的雷诺数称为临界雷诺数，又分 为上临界雷诺数和下临界雷诺数。上临界雷诺数表示超过此雷诺数的流动必 为紊流，它很不确定，跨越一个较大的取值范围。有实际意义的是下临界雷 诺数，表示低于此雷诺数的流动必为层流，有确定的取值，圆管定常流动取 为 对圆管：
§3.7 层流与湍流流动
Re k = vk d
υ
= 2000 vk R = 500
d — 圆管直径
对非圆管断面：
Re k =
vk R
υ
R — 水力半径
ReC = 2000
层流 紊流 Re 上临界雷诺数 下临界雷诺数 层流 紊流 Re
对明渠流：
Re k =
υ
= 300
R — 水力半径
对绕流现象：
Re k =
vk l
υ
L — 固体物的特征长度
对流体绕过球形物体： Re k =
vk d
υ
= 1 d — 球形物直径
R'eC = 12000− 40000
ReC = 2000
§3.7 层流与湍流流动
−6 2 −6 2 υ 【例3.10】水和油的运动粘度分别为 1 = 1.79 × 10 m / s 和 υ 2 = 30 × 10 m / s
§3.7 层流与湍流流动
【例3.11】 温度 t = 15 °C ，运动粘度υ = 1.14 × 10 −6 m 2 / s 的水，在直 径 d = 2m 的管中流动，测得流速 v = 8cm / s ，问水流处于什么状态？ 如要改变其运动，可以采取那些办法？
若它们以 v = 0.5m / s 的流速在直径为 d = 100 mm 的圆管中流动，试确定其流 动状态？
【解】
【解】
Re R =
vd
水的流动雷诺数
υ1
= 27933 > 2000
紊流流态
水的流动雷诺数 Re =
vd
υ
= 1404
层流流态
如要改变其流态，可采取如下措施： 油的流动雷诺数
Re = vd
υ2
= 1667
层流流态
1）改变流速
v>
Re k υ = 11 .4 m / s d
2）提高水温改变粘度
υ
vd = 0.008 cm 2 / s Re
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§3.8 管内流动的能量损失 一. 能量损失的产生
内因：粘滞性和惯性 外因：与固体边界存在相对运动 流线 流速分布 流线 产生流动阻力 损耗机械能hw 流速分布
§3.8 管内流动的能量损失 二. 能量损失的分类
沿程能量损失
在均匀流中，流体所承受的阻力只有不变的摩擦阻力， 称为沿程阻力。发生在均匀流段上，由沿程阻力产生的 水头损失，用hf 表示。
达西公式
hf = λ
l v2 d 2g
或
pf = λ
l ρv2 d 2
沿程阻力系数
理想液体 能量损失的表示方法：
实际液体
局部能量损失
在非均匀流动中，各流段所形成的阻力有多种，但都集 中在很短的流段内，这种阻力称为局部阻力。发生在非 均匀流段上，由局部阻力产生的水头损失。用hj 表示。
液体：hw— 单位重量流体的能量损失 气体：pw— 单位体积流体的能量损失
hj = ζ
v2 2g
或
pj =ζ
ρv2
2
局部阻力系数
§3.8 管内流动的能量损失
§3.8 管内流动的能量损失 三. 流段的总能量损失
hw = ∑ h f + ∑ h j
各分段沿程水 头损失的总和 各种局部水头 损失的总和
§3.8 管内流动的能量损失 四. 均匀流的沿程水头损失 1、均匀流基本方程的建立
（1）取控制体——流体中一有限体
A p1A α l
§3.8 管内流动的能量损失
（3）列写动量方程
∑ Fn = ρQ(v2 − v1 ) = 0
p1A
p1 A − p2 A + ρgAl cos α − τ 0 χl = 0
ρg
p1
A l
p1
−
ρg
p2
+ l cos α −
τ 0 χl =0 ρgA
τ0 z1
α
p2A z2 n
（2）受力分析 流束本身的重量：
p2A z2 n
（4）列写伯努利方程：
2 p2 α 2 v2 + + h f 1−2 ρg 2 g A 水力半径Rh = χ τ 0 χl τl 联立求解，得： h = 0 f 1− 2 = ρgA ρgRh
G
τ0 z1
G cos α = ρ gAl cos α = ρ gA( z1 − z2 )
断面压力：
z1 +
ρg
+
α1v12
2g
= z2 +
G
( p1 − p2 ) A
T = τ 0 χl
水力坡度J =
—均匀流基本方程
流束表面受到的摩擦力：
h f 1−2 l
τ0
流股湿周上的平均切应力
或：
τ 0 = ρgRh J
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§3.8 管内流动的能量损失 2、均匀流剪应力分布
由τ0=ρgRJ 及 R=r/2 （圆管）得： R r τ = = τ 0 R0 r0
hf = λ l v d 2g
2
§3.8 管内流动的能量损失 五. 圆管中的层流运动 1、圆管层流速度分布
由均匀流基本方程 τ0＝ρgRJ ，得圆管内任一点处： r0 r dr
r0 τ τ0 r
（园管公式） （通用公式）
τ = ρg J
对于层流，τ 又满足牛顿内摩擦力定律：
r 2
达西公式
l v2 hf = λ 4R 2 g
将均匀流基本方程代入达西公式，得：
τ0 =
λ
8
ρv
2
8τ λ = 02 ρv
τ =μ
du dy
= −μ
du dr
则有：
du = −
ρgJ rdr 2μ
§3.8 管内流动的能量损失
du = −
§3.8 管内流动的能量损失 2、达西公式和沿程阻力系数
由平均流速公式 v =
ρgJ rdr 2μ
积分，并代入边界条件：r＝r0 时，u＝0，得：
u=
ρgJ 2 2 (r0 − r ) 4μ
ρgJ 2 d 得： 32 μ
——抛物线分布
r0 r u umax d
hf =
当 r ＝0 时， u max = 平均流速和流量：
ρgJ 2 ρgJ 2 J J d r0 = 4μ 16 μ
2 μ l v2 32 μl = 64μl ⋅ 1 ⋅ v = 64 ⋅ ⋅ v 2 ρd 2 v 2 g ρvd d 2 g ρgd
hf =
其中
64 l v 2 l v2 ⋅ ⋅ =λ Re d 2 g d 2g 64 Re
—— 沿程阻力系数（无量纲量）
Q = ∫ udA = ∫ u ⋅ 2πrdr =
A
0
r0
ρgJ 4 ρgJ πr0 = πd 2 8μ 128μ
λ =
v=
Q ρgJ 2 1 = d = umax A 32 μ 2
只适于层流
§3.8 管内流动的能量损失
【例3.12】在长度l=10000m、直径 d=300mm 的管路中输送 γ=9.31kN/m3的重油，其重量流量G=2371.6kN/h，求油温分别为10 ℃ (υ=25cm2/s)和40 ℃ (υ =1.5cm2/s)时的水头损失。
【解】
§3.8 管内流动的能量损失
【例3.13】已知ρ=9800kg/m3，Qm=1.0kg/s，l=1800m，υ =0.08cm2/s， d=100mm，z1=85m，z2=105m，求管路的压强降低值及损失功率。
【解】对1－1，2－2列写伯努利方程：
l d z2 z1 0 0
体积流量： Q = 平均流速：
G
γ
= 0.0708m3 / s
z1 +
得 85 + 先判断流态 有 λ=
ρg
p1
p1
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
ρg
p2
+
2 α 2 v2
2g
+ hw1−2
v = Q / A = 1m / s
ρg
= 105 +
ρg
+ h f 1− 2
又 hf = λ
l v2 d 2g
1）10 ℃时的雷诺数
Re =
vd
υ
vd
= 120
hf =
64 l v 2 = 907 .03m油柱 Re d 2 g 64 l v 2 = 54 .42 m油柱 Re d 2 g
Re =
vd
ν
=
Qm d ⋅ = 1625＜2000 为层流 ρA ν
则
2）40 ℃时的雷诺数
Re =
υ
= 2000
hf =
64 l v 2 = 0.61m Re d 2 g 压降为： p1 − p2 = ρg ( z 2 − z1 + h f ) = 198kPa
64 Re
hf =
损失功率为
N = Qm gh f = 5.98w
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2013/3/21
小 结
本章介绍流体运动分析所需要的基本概念及描述流体运动的方法，建立描述流场中流体运 动的普遍关系式。物理学和理论力学中的质量守恒定律、牛顿运动定律、机械能守恒定律及 动量守恒定律等同样是流体运动遵循的规律，是本章推演流体运动普遍关系式的理论依据。
重点与难点：
理解描述流体运动的欧拉法 掌握并熟练运用连续性方程 理解理想流体运动微分方程及其物理意义 掌握并熟练运用伯努利方程，理解其物理意义 掌握并熟练运用动量方程
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