求函数解析式常用的方法
（一） 待定系数法
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1：已知
f (x ) 是二次函数，若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1试求f (x ) 的表达式。
，
f (x ) =ax 2+bx +c (a≠0) ，由f (0)=0, 得c=0，由f (x +1) =f (x ) +x +1 得
a (x +1) 2+b (x +1) +c =ax 2+bx +c +x +1，整理得ax 2+(2a +b ) x +a +b +c =ax 2+(b +c ) x +c +1
解析：设
1⎧a =⎪2⎧2a +b =b +1⎪
得 ⎪a +b +c =c +1⇒⎪b =1
⎨⎨
2⎪c =0⎪
⎩⎪c =0
⎪⎩
11
∴f (x ) =x 2+x
22
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=
k
x
(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 例1 设解：设
f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )
2
(a ≠0) ，则f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a x +ab +b
f (x ) =ax +b
a 2=4∴⎧⎨
⎩ab +b =3
⎧a =-2∴ ∴⎧a =2 或
⎨
⎩b =1
⎨
⎩b =3
f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3
（二）换元法
用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例2
：已知
f 1) =x +1, 求f (x ) 的解析式。
1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数f (t ) ,
1=t 中，用t 表示x , 将右边化为t 的
x ≥0
1=t ∴t ≥1
∴f (t ) =(t -1) +2(t -1) +1=t ∴f (x ) =x 2(x ≥1)
2
2
表达式，问题即可解决。
小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，
即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t 的取值范围。
(三) 配凑法
已知复合函数例3
：已知分析： x +则得
f [g (x )]的表达式，要求f (x ) 的解析式时，若f [g (x )]表达式右边易配成g (x ) 的运算形式，则可用配
凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
f 1) =x +求f (x ) 的解析式。
∴
可用配凑法，解：由f 1) =x +=) 2-
1，令t = x ≥0
∴t ≥1
f (t ) =t 2-1， 即f (x ) =x 2-1(x ≥
1) ，当然，上例也可直接使用换元法，令t =
t =1
x =(t -1) 2
∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1
，即
f (x ) =x 2-1(x ≥1) ，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有
些也可直接用换元法来求解。 例4：已知
11
f (x -) =x 2+2, 求f (x ) .
x x
解析：由f (x -1) =x 2+1=(x -1) 2+2，令t =x -1⇒x 2-tx -1=0，由∆
x x 2x x
即：
≥0即t 2+4≥0得t ∈R ∴f (t ) =t 2+2
f (x ) =x 2+2(x ∈R )
实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。
11
f (x +) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式
x x
11122
解： f (x +) =(x +) -2， x +≥2 ∴f (x ) =x -2 (x ≥2)
x x x
例2 已知
(四) 消元法，此方法的实质是解函数方程组。
f (x ) 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
1
例5：设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 的解析式。
x 11
分析：要求f (x ) 可消去f () , 为此，可根据题中的条件再找一个关于f (x ) 与f () 的等式，通过解方程组达到消元
x x
条件中，有若干复合函数与原函数
11
的目的。解析： f (x ) -2f () =x ①，显然，x ≠0, 将x 换成
x x
112
f () ，得f (x ) =-x - x 33x
得
f (x ) -2f () =x 11
⎪x f () -2f (x ) =②由⎪ ⎨x x 11
⎪f () -2f (x ) =⎪x ⎩x
⎧1
消去例6 设
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =
f (x ) +g (x ) =
1
, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式 x -1
解 ∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) ，又
11 ① ，用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-，即x -1x +1
f (x ) -g (x ) =-
1
② ，解① ②联立的方程组，得f (x ) =1，g (x ) =1 x +1x 2-x x 2-1
1
小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f () ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一
x
（五）赋值法
其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。
个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。
解析：令a =0,
例5：已知
则
f (-b ) =f (0)-b (1-b ) =b 2-b +1 令-b =x
f (x ) =x 2+x +1
则
小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
六、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数解：设
y =x 2+x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式
⎧x '+x
=-2，解得：2⎨y '+y ⎪=3⎩2
M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点 则⎪
⎧x '=-x -4 ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上，∴y '=x '2+x '，把⎧x '=-x -4代入得： ⎨⎨⎩y '=6-y ⎩y '=6-y
6-y =(-x -4) 2+(-x -4) ，整理得y =-x 2-7x -6，∴g (x ) =-x 2-7x -6
七、递推法：
若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设
f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求
f (x )
解 f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ，
又
f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =
f (2)-f (1)=2,
x +1 ①分别令①式中的x =1,2 n -1 得： f (3)-f (2)=3, ，将上述各式相
f (n ) -f (n -1) =n ,
加得：
f (n ) -f (1) =2+3+ n ， ∴f (n ) =1+2+3+ n =n (n +1) ∴f (x ) =1x 2+1x , x ∈N +
2
2
2
五、待定系数法
例5. 已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为（1，3），方程f (x ) +6a 的实根，求f (x ) 的解析式。
解：因为f (x ) +2x >0的解集为（1，3），设f (x ) +2x =a (x -1)(x -3), 且a
=0有两个相等
=ax 2-(2+4a ) x +3a ①，由方程f (x ) +6a =0，得ax 2-(2+4a ) x +9a =0 ②，因为方程②有两个相等的实根，
所以∆=[-(2+4a )]
2
-4a ⋅9a =0，即5a -4a -1=0, 解得
2
a =1或a =-
111
a
163
f (x ) =-x 2-x -
555。 ①得
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 例6. 已知函数y =f (x ) 是R 上的奇函数，当x ≥0时, f (x ) =3解析：因为
x
-1, 求f (x ) 的解析式。
f (x ) 是R 上的奇函数，所以f (-x ) =-f (x ), 即f (x ) =-f (-x ) ，当x 0，
x
⎧⎪3-1, x ≥0f (x ) =⎨-x
⎪+1，所以⎩-3+1, x
f (x ) =-f (-x ) =-(3-x -1) =-3-x
七、反函数法
利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 例7. 已知函数y =ln x +1(x >0) ，求它的反函数。
∴y =ln x +1∈R
由y =ln x +1, 得ln x =y -1,
y -1
解：因为x >0，所以x =e
∴反函数为y =e
x -1
(x ∈R )
八、“即时定义”法
给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。
⎧f (x ) ⋅g (x ), 当x ∈D f 且x ∈D g ⎪⎪
h (x ) =⎨f (x ), 当x ∈D f 且x ∉D g ,
⎪
D 、D ⎪y =f (x ), y =g (x ) f g ⎩g (x ), 当x ∉D f 且x ∈d g 例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数
⎧x 2
, x ∈(-∞, 1) (1, +∞), ⎪
h (x ) =⎨x -11
f (x ) =, g (x ) =x 2⎪1, x =1
⎩x -1若，写出函数h (x ) 的解析式。解：
九、建模法
例9. 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
为
得
那么
值为
[9，10]时f (x ) 的
七．归纳递推法 题7．设
f (x ) =
x -1
，记f n (x ) =f {f [ f (x )]}，求f 2004(x ) . x +1
y x
, ) 在y=g(x)的图象上，求函数g(x). 23
八．相关点法 题8．已知函数
f (x ) =2x +1，当点P(x，y) 在y=f (x ) 的图象上运动时，点Q(-
九．构造函数法 题9．若
f (x ) 表示x 的n 次多项式，且当k=0，1，2，„，n 时， f (k ) =
k
，求f (x ) . k +1
训练例题
112f (x +) =x 3+3，求f (x ) ；（5）已知f (+1) =lg x ，求f (x ) ；
x x x 111313
解：（4）∵f (x +) =x +3=(x +) -3(x +) ，
x x x x 3
∴f (x ) =x -3x （x ≥2或x ≤-2）．
2222
(x >1) ． （5）令+1=t （t >1），则x =，∴f (t ) =lg ，∴f (x ) =lg
x t -1t -1x -1
（4）已知
(8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公
里) 表示成时间t (小时) 的函数。
解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S ＝100t ，∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为t ＝
1500100
小时答：所求函数为：S ＝100t t ∈[0，15]
(9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食. 求出函数y 关于x 的解析式。
2
解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (1＋1.2％) ，2年后的此乡镇人口数为A （1＋1.2％）„
x
经过x 年后此乡镇人口数为A (1＋1.2％) 。再设现在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋4％),
2x
2年后的此乡镇粮食产量为B （1＋4％）„，经过x 年后此乡镇粮食产量为B （1＋4％），因某乡镇现在人均一年占有粮食为
B B (1+4%)x 360(1+4%)x
360 kg，即＝360，所以x 年后的人均一年占有粮食为y ，即y ＝=x
A A (1+1. 2%)(1+1. 2%)x
基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 元。
根据上表中的数据，求、、。
（x ∈N *)
（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝
m 3时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量
33
超过a m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每m 付b 元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5
(1)⎧8+c ,0≤x ≤a
解：设每月用水量为x m ，支付费用为y 元，则有y =⎨
⎩8+b (x -a ) +c , x >a
3
(2)
由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15
m 3
，22
m 3
均大于最低限量
a m 3
，于是就有
-a ) +c ⎧19=8+b (15
，解之得b =2，从而2a =c +19 (3) ⎨
-a ) +c ⎩33=8+b (22
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a
m 3，不妨设9>a ，将x =9代入（2）式，得9=8+2(9-a ) +c ，即
=9，得c =1。
2a =c +17，这与（3）矛盾。∴9≤a 。
从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有8+c
（11）已知函数
y =f (x ) 是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数．又知y =f (x ) 在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x =2时函数取得最小值-5。①证明：f (1)+f (4)=0；②求y =f (x ), x ∈[1,4]的解析式；③求y =f (x ) 在[4,9]上的解析式。
①证明：∵f (x ) 是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4-5) =f (-1) ， 又∵y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (1)=-f (-1) =-f (4)， ∴f (1)+f (4)=0．
f (x ) =a (x -2) 2-5 (a >0) ， 22
由f (1)+f (4)=0得a (1-2) -5+a (4-2) -5=0，∴a =2，
2
∴f (x ) =2(x -2) -5(1≤x ≤4) ．
③解：∵y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (0)=0，
2
又知y =f (x ) 在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x ) =kx (0≤x ≤1) ，而f (1)=2(1-2) -5=-3， ∴k =-3，∴当0≤x ≤1时，f (x ) =-3x ，
从而当-1≤x
∴当4≤x ≤6时，有-1≤x -5≤1，∴f (x ) =f (x -5) =-3(x -5) =-3x +15．
22
当6
⎧-3x +15, 4≤x ≤6
∴f (x ) =⎨
2
⎩2(x -7) -5, 6
②解：当x ∈[1,4]时，由题意可设
求函数解析式常用的方法
（一） 待定系数法
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1：已知
f (x ) 是二次函数，若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1试求f (x ) 的表达式。
，
f (x ) =ax 2+bx +c (a≠0) ，由f (0)=0, 得c=0，由f (x +1) =f (x ) +x +1 得
a (x +1) 2+b (x +1) +c =ax 2+bx +c +x +1，整理得ax 2+(2a +b ) x +a +b +c =ax 2+(b +c ) x +c +1
解析：设
1⎧a =⎪2⎧2a +b =b +1⎪
得 ⎪a +b +c =c +1⇒⎪b =1
⎨⎨
2⎪c =0⎪
⎩⎪c =0
⎪⎩
11
∴f (x ) =x 2+x
22
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=
k
x
(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 例1 设解：设
f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )
2
(a ≠0) ，则f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a x +ab +b
f (x ) =ax +b
a 2=4∴⎧⎨
⎩ab +b =3
⎧a =-2∴ ∴⎧a =2 或
⎨
⎩b =1
⎨
⎩b =3
f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3
（二）换元法
用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例2
：已知
f 1) =x +1, 求f (x ) 的解析式。
1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数f (t ) ,
1=t 中，用t 表示x , 将右边化为t 的
x ≥0
1=t ∴t ≥1
∴f (t ) =(t -1) +2(t -1) +1=t ∴f (x ) =x 2(x ≥1)
2
2
表达式，问题即可解决。
小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，
即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t 的取值范围。
(三) 配凑法
已知复合函数例3
：已知分析： x +则得
f [g (x )]的表达式，要求f (x ) 的解析式时，若f [g (x )]表达式右边易配成g (x ) 的运算形式，则可用配
凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
f 1) =x +求f (x ) 的解析式。
∴
可用配凑法，解：由f 1) =x +=) 2-
1，令t = x ≥0
∴t ≥1
f (t ) =t 2-1， 即f (x ) =x 2-1(x ≥
1) ，当然，上例也可直接使用换元法，令t =
t =1
x =(t -1) 2
∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1
，即
f (x ) =x 2-1(x ≥1) ，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有
些也可直接用换元法来求解。 例4：已知
11
f (x -) =x 2+2, 求f (x ) .
x x
解析：由f (x -1) =x 2+1=(x -1) 2+2，令t =x -1⇒x 2-tx -1=0，由∆
x x 2x x
即：
≥0即t 2+4≥0得t ∈R ∴f (t ) =t 2+2
f (x ) =x 2+2(x ∈R )
实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。
11
f (x +) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式
x x
11122
解： f (x +) =(x +) -2， x +≥2 ∴f (x ) =x -2 (x ≥2)
x x x
例2 已知
(四) 消元法，此方法的实质是解函数方程组。
f (x ) 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
1
例5：设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 的解析式。
x 11
分析：要求f (x ) 可消去f () , 为此，可根据题中的条件再找一个关于f (x ) 与f () 的等式，通过解方程组达到消元
x x
条件中，有若干复合函数与原函数
11
的目的。解析： f (x ) -2f () =x ①，显然，x ≠0, 将x 换成
x x
112
f () ，得f (x ) =-x - x 33x
得
f (x ) -2f () =x 11
⎪x f () -2f (x ) =②由⎪ ⎨x x 11
⎪f () -2f (x ) =⎪x ⎩x
⎧1
消去例6 设
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =
f (x ) +g (x ) =
1
, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式 x -1
解 ∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) ，又
11 ① ，用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =-，即x -1x +1
f (x ) -g (x ) =-
1
② ，解① ②联立的方程组，得f (x ) =1，g (x ) =1 x +1x 2-x x 2-1
1
小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f () ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一
x
（五）赋值法
其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。
个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。
解析：令a =0,
例5：已知
则
f (-b ) =f (0)-b (1-b ) =b 2-b +1 令-b =x
f (x ) =x 2+x +1
则
小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
六、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数解：设
y =x 2+x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式
⎧x '+x
=-2，解得：2⎨y '+y ⎪=3⎩2
M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M '(x ', y ') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点 则⎪
⎧x '=-x -4 ， 点M '(x ', y ') 在y =g (x ) 上，∴y '=x '2+x '，把⎧x '=-x -4代入得： ⎨⎨⎩y '=6-y ⎩y '=6-y
6-y =(-x -4) 2+(-x -4) ，整理得y =-x 2-7x -6，∴g (x ) =-x 2-7x -6
七、递推法：
若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设
f (x ) 是定义在N +上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，求
f (x )
解 f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，∴不妨令a =x , b =1，得：f (x ) +f (1) =f (x +1) -x ，
又
f (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =
f (2)-f (1)=2,
x +1 ①分别令①式中的x =1,2 n -1 得： f (3)-f (2)=3, ，将上述各式相
f (n ) -f (n -1) =n ,
加得：
f (n ) -f (1) =2+3+ n ， ∴f (n ) =1+2+3+ n =n (n +1) ∴f (x ) =1x 2+1x , x ∈N +
2
2
2
五、待定系数法
例5. 已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为（1，3），方程f (x ) +6a 的实根，求f (x ) 的解析式。
解：因为f (x ) +2x >0的解集为（1，3），设f (x ) +2x =a (x -1)(x -3), 且a
=0有两个相等
=ax 2-(2+4a ) x +3a ①，由方程f (x ) +6a =0，得ax 2-(2+4a ) x +9a =0 ②，因为方程②有两个相等的实根，
所以∆=[-(2+4a )]
2
-4a ⋅9a =0，即5a -4a -1=0, 解得
2
a =1或a =-
111
a
163
f (x ) =-x 2-x -
555。 ①得
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 例6. 已知函数y =f (x ) 是R 上的奇函数，当x ≥0时, f (x ) =3解析：因为
x
-1, 求f (x ) 的解析式。
f (x ) 是R 上的奇函数，所以f (-x ) =-f (x ), 即f (x ) =-f (-x ) ，当x 0，
x
⎧⎪3-1, x ≥0f (x ) =⎨-x
⎪+1，所以⎩-3+1, x
f (x ) =-f (-x ) =-(3-x -1) =-3-x
七、反函数法
利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 例7. 已知函数y =ln x +1(x >0) ，求它的反函数。
∴y =ln x +1∈R
由y =ln x +1, 得ln x =y -1,
y -1
解：因为x >0，所以x =e
∴反函数为y =e
x -1
(x ∈R )
八、“即时定义”法
给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。
⎧f (x ) ⋅g (x ), 当x ∈D f 且x ∈D g ⎪⎪
h (x ) =⎨f (x ), 当x ∈D f 且x ∉D g ,
⎪
D 、D ⎪y =f (x ), y =g (x ) f g ⎩g (x ), 当x ∉D f 且x ∈d g 例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数
⎧x 2
, x ∈(-∞, 1) (1, +∞), ⎪
h (x ) =⎨x -11
f (x ) =, g (x ) =x 2⎪1, x =1
⎩x -1若，写出函数h (x ) 的解析式。解：
九、建模法
例9. 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
为
得
那么
值为
[9，10]时f (x ) 的
七．归纳递推法 题7．设
f (x ) =
x -1
，记f n (x ) =f {f [ f (x )]}，求f 2004(x ) . x +1
y x
, ) 在y=g(x)的图象上，求函数g(x). 23
八．相关点法 题8．已知函数
f (x ) =2x +1，当点P(x，y) 在y=f (x ) 的图象上运动时，点Q(-
九．构造函数法 题9．若
f (x ) 表示x 的n 次多项式，且当k=0，1，2，„，n 时， f (k ) =
k
，求f (x ) . k +1
训练例题
112f (x +) =x 3+3，求f (x ) ；（5）已知f (+1) =lg x ，求f (x ) ；
x x x 111313
解：（4）∵f (x +) =x +3=(x +) -3(x +) ，
x x x x 3
∴f (x ) =x -3x （x ≥2或x ≤-2）．
2222
(x >1) ． （5）令+1=t （t >1），则x =，∴f (t ) =lg ，∴f (x ) =lg
x t -1t -1x -1
（4）已知
(8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公
里) 表示成时间t (小时) 的函数。
解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S ＝100t ，∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为t ＝
1500100
小时答：所求函数为：S ＝100t t ∈[0，15]
(9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食. 求出函数y 关于x 的解析式。
2
解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (1＋1.2％) ，2年后的此乡镇人口数为A （1＋1.2％）„
x
经过x 年后此乡镇人口数为A (1＋1.2％) 。再设现在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋4％),
2x
2年后的此乡镇粮食产量为B （1＋4％）„，经过x 年后此乡镇粮食产量为B （1＋4％），因某乡镇现在人均一年占有粮食为
B B (1+4%)x 360(1+4%)x
360 kg，即＝360，所以x 年后的人均一年占有粮食为y ，即y ＝=x
A A (1+1. 2%)(1+1. 2%)x
基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 元。
根据上表中的数据，求、、。
（x ∈N *)
（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝
m 3时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量
33
超过a m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每m 付b 元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5
(1)⎧8+c ,0≤x ≤a
解：设每月用水量为x m ，支付费用为y 元，则有y =⎨
⎩8+b (x -a ) +c , x >a
3
(2)
由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15
m 3
，22
m 3
均大于最低限量
a m 3
，于是就有
-a ) +c ⎧19=8+b (15
，解之得b =2，从而2a =c +19 (3) ⎨
-a ) +c ⎩33=8+b (22
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a
m 3，不妨设9>a ，将x =9代入（2）式，得9=8+2(9-a ) +c ，即
=9，得c =1。
2a =c +17，这与（3）矛盾。∴9≤a 。
从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有8+c
（11）已知函数
y =f (x ) 是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数．又知y =f (x ) 在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x =2时函数取得最小值-5。①证明：f (1)+f (4)=0；②求y =f (x ), x ∈[1,4]的解析式；③求y =f (x ) 在[4,9]上的解析式。
①证明：∵f (x ) 是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4-5) =f (-1) ， 又∵y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (1)=-f (-1) =-f (4)， ∴f (1)+f (4)=0．
f (x ) =a (x -2) 2-5 (a >0) ， 22
由f (1)+f (4)=0得a (1-2) -5+a (4-2) -5=0，∴a =2，
2
∴f (x ) =2(x -2) -5(1≤x ≤4) ．
③解：∵y =f (x )(-1≤x ≤1) 是奇函数，∴f (0)=0，
2
又知y =f (x ) 在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x ) =kx (0≤x ≤1) ，而f (1)=2(1-2) -5=-3， ∴k =-3，∴当0≤x ≤1时，f (x ) =-3x ，
从而当-1≤x
∴当4≤x ≤6时，有-1≤x -5≤1，∴f (x ) =f (x -5) =-3(x -5) =-3x +15．
22
当6
⎧-3x +15, 4≤x ≤6
∴f (x ) =⎨
2
⎩2(x -7) -5, 6
②解：当x ∈[1,4]时，由题意可设