高一年级数学 求数列的通项公式 一、考点、热点回顾
1、形如 a 1 - a n = f ( n ) 型 n +
a n +1-a n =d , 此时数列为等差数列，（1）若f(n)为常数, 即：则a n =a 1+(n -1) d .
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
=f (n ) 型 2、形如
（1）当f(n)为常数，即：数列，a n =a 1⋅q n -1.
（2）当f(n)为n 的函数时, 用累乘法
3、形如 a n + 1 + a n = f ( n ) 型
a n +1
a n
a n +1
=q （其中q 是不为0的常数），此时数列为等比a n
（1）若a n +1+a n =d （d 为常数），则数列{a n }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可用逐差法(两式相减) 得a n +1-a n -1=f (n ) -f (n -1) ，，分奇偶项来分求通项.
a n =4、形如 a n + 1 ⋅ f ( n ) 型
a ⋅a =p a
（1）若n +1n (p为常数) ，则数列{n }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
a ⋅a =f (n -1)
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得n n -1，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
a n +1=ca n +d , (c ≠0其中a 5、形如 1=a ）型
a
（1）若c=1时，数列{n }为等差数列;
a
（2）若d=0时，数列{n }为等比数列;
a
（3）若c ≠1且d≠0时，数列{n }为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求（特征方程待定系数、阶差法、两边同除以c n +1）。
a n +1=pa n +f (n ) 型 6、形如
(1)若f (n ) =kn +b (其中k,b 是常数，且k ≠0) (2)若f (n ) =q n (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：a n +1=a n +q n ，累加即可. ②若p ≠1时，即：a n +1=p ⋅a n +q n ，
则求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以p n +1. 即：
a n +1p n +1
=a n q n
+
a n 1p n 1p
⋅() , 令b n =n ，则b n +1-b n =⋅() n , 然后累加求通项. p q p q p
a n +1q n +1
=
p a n 1
⋅+, q q n q
ii. 两边同除以q n +1 .即：
a n q n
令b n =, 则可化为b n +1=
p 1
⋅b n +. 然后转化为类型5来解. q q
iii. 待定系数法：
设a n +1+λ⋅q n +1=p (a n +λ⋅p n ) . 通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
pa n +q
a =7、形如 型 n +1
ra n +s
（1）p , r , s ≠0, q =0即a n =（2）形如a n +1=
pa n -1
取倒数法.
ra n -1+s
ma n +p
(m , p , q 为定值) 型：
a n +q
a -x y +q a n -x mx +p
=⋅用不动点法：解特征方程x =的两根x ，y 则：n +1
a n +1-y x +q a n -y x +q
8、形如9、形如
a n +1=pa n +qa n -1
r
a n +1=pa n
(其中p,q 为常数) 型用特征方程待定系数法.
(其中p,r 为常数p>0，a n >0) 型：用对数法
10、数列方程组型，如：a 1=2，b 1=1，且⎨系数求通项。
⎧a n +1=ma n +nb n
，构造数列{a n +λb n }，待定
⎩b n +1=pa n +qb n
⎧S 1(n =1)
11、与S n 有关的数列的通项，用a n =⎨求解。
S -S (n ≥2) n -1⎩n
二、典型例题
n
1、已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯2，a 1=2，求数列{a n }的通项公式。
，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 2、已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1
3、已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 4、知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1
5、已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式
6、已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。
7、已知数列{a n }，a 1= -1，a n +1=
8、已知a 1=3，a n +1=
a n *
，n ∈N ，求a n =？ 1-a n
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 3n +2
9、已知数列{a n }满足a 1=
10、已知正项数列{a n }，前n 项和S n 满足10S n =a n +5a n +6且a 1, a 3, a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 。
11、已知数列{a n }的首项a 1=（1）求证数列{
4. 数列{an }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·„·a n ＝n 2、求a n 。
2
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
1
，前n 项和S n 满足a n +2S n S n -1=0(n >1) 。 2
1
为等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式 S n
三、习题练习
1、已知{a n }为等比数列，a 4+a 7=2，a 5a 6=-8，则a 1+a 10=
A 、7 B 、5 C 、-5 D 、-7
2、在数列{a n }、{b n }中a 1=2，b 1=1，且⎨的通项公式。
⎧a n +1=2a n -6b n +
（n ∈N ）求数列{a n }和{b n }
⎩b n +1=a n +7b n
S 2n ＋1a
3、已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n T ＝，则9等
n 3n ＋2b
8
于_______________。
*
4、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N ).
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足41.42...4n
b -1
b -1
b -1
=(a n +1) b n (n ∈N *) ，证明：{b n }是等差数列；
四、课后反馈
1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(N ∈N *且n ≥2) ，求该数列的通项公式．
2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.
(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式． (2)求n 为何值时a n 最小．
1
3、(2011·北京模拟) 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4a 1a 2＋a 2a 3＋„＋a n a n
＋1
(n ∈N *) 的取值范围是( )
32321632
A ．[12,16] B ．[8，3 C ．[8，3 D ．[334、已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝4n (n ＞1) ，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋„＋log 2a 2n －1＝( )
A ．n 2 B ．(n ＋1) 2 C ．n (2n －1) D ．(n －1) 2 5、在等比数列中，已知
3
a 3
a 1a 8a 15＝243，则a 的值为(
11
)
A ．3 B ．9 C ．27 D ．81
6、已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝2π，则cos a 3＝( )
3311A. 2 B ．－2 C. 2 D ．－2
n ＋1
7、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n ∈N *) ，设其前n 项和为S n ，则使
n ＋2S n ＜－5成立的自然数n ( )
A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 8、已知数列{a n }中a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
9、数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，„) ．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式； (2)若数列{
10、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数) ．
(1)求数列{a n }的通项公式；
3
(2)记S ＝2n ，kS ＜S n 恒成立，求实数k 的最大值．
1100的前n 项和为T n ，问满足T n 209n 是多少？ a n a n ＋1
高一年级数学 求数列的通项公式 一、考点、热点回顾
1、形如 a 1 - a n = f ( n ) 型 n +
a n +1-a n =d , 此时数列为等差数列，（1）若f(n)为常数, 即：则a n =a 1+(n -1) d .
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
=f (n ) 型 2、形如
（1）当f(n)为常数，即：数列，a n =a 1⋅q n -1.
（2）当f(n)为n 的函数时, 用累乘法
3、形如 a n + 1 + a n = f ( n ) 型
a n +1
a n
a n +1
=q （其中q 是不为0的常数），此时数列为等比a n
（1）若a n +1+a n =d （d 为常数），则数列{a n }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可用逐差法(两式相减) 得a n +1-a n -1=f (n ) -f (n -1) ，，分奇偶项来分求通项.
a n =4、形如 a n + 1 ⋅ f ( n ) 型
a ⋅a =p a
（1）若n +1n (p为常数) ，则数列{n }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
a ⋅a =f (n -1)
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得n n -1，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
a n +1=ca n +d , (c ≠0其中a 5、形如 1=a ）型
a
（1）若c=1时，数列{n }为等差数列;
a
（2）若d=0时，数列{n }为等比数列;
a
（3）若c ≠1且d≠0时，数列{n }为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求（特征方程待定系数、阶差法、两边同除以c n +1）。
a n +1=pa n +f (n ) 型 6、形如
(1)若f (n ) =kn +b (其中k,b 是常数，且k ≠0) (2)若f (n ) =q n (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：a n +1=a n +q n ，累加即可. ②若p ≠1时，即：a n +1=p ⋅a n +q n ，
则求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以p n +1. 即：
a n +1p n +1
=a n q n
+
a n 1p n 1p
⋅() , 令b n =n ，则b n +1-b n =⋅() n , 然后累加求通项. p q p q p
a n +1q n +1
=
p a n 1
⋅+, q q n q
ii. 两边同除以q n +1 .即：
a n q n
令b n =, 则可化为b n +1=
p 1
⋅b n +. 然后转化为类型5来解. q q
iii. 待定系数法：
设a n +1+λ⋅q n +1=p (a n +λ⋅p n ) . 通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
pa n +q
a =7、形如 型 n +1
ra n +s
（1）p , r , s ≠0, q =0即a n =（2）形如a n +1=
pa n -1
取倒数法.
ra n -1+s
ma n +p
(m , p , q 为定值) 型：
a n +q
a -x y +q a n -x mx +p
=⋅用不动点法：解特征方程x =的两根x ，y 则：n +1
a n +1-y x +q a n -y x +q
8、形如9、形如
a n +1=pa n +qa n -1
r
a n +1=pa n
(其中p,q 为常数) 型用特征方程待定系数法.
(其中p,r 为常数p>0，a n >0) 型：用对数法
10、数列方程组型，如：a 1=2，b 1=1，且⎨系数求通项。
⎧a n +1=ma n +nb n
，构造数列{a n +λb n }，待定
⎩b n +1=pa n +qb n
⎧S 1(n =1)
11、与S n 有关的数列的通项，用a n =⎨求解。
S -S (n ≥2) n -1⎩n
二、典型例题
n
1、已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯2，a 1=2，求数列{a n }的通项公式。
，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 2、已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1
3、已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 4、知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1
5、已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式
6、已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。
7、已知数列{a n }，a 1= -1，a n +1=
8、已知a 1=3，a n +1=
a n *
，n ∈N ，求a n =？ 1-a n
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 3n +2
9、已知数列{a n }满足a 1=
10、已知正项数列{a n }，前n 项和S n 满足10S n =a n +5a n +6且a 1, a 3, a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 。
11、已知数列{a n }的首项a 1=（1）求证数列{
4. 数列{an }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·„·a n ＝n 2、求a n 。
2
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
1
，前n 项和S n 满足a n +2S n S n -1=0(n >1) 。 2
1
为等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式 S n
三、习题练习
1、已知{a n }为等比数列，a 4+a 7=2，a 5a 6=-8，则a 1+a 10=
A 、7 B 、5 C 、-5 D 、-7
2、在数列{a n }、{b n }中a 1=2，b 1=1，且⎨的通项公式。
⎧a n +1=2a n -6b n +
（n ∈N ）求数列{a n }和{b n }
⎩b n +1=a n +7b n
S 2n ＋1a
3、已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n T ＝，则9等
n 3n ＋2b
8
于_______________。
*
4、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N ).
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足41.42...4n
b -1
b -1
b -1
=(a n +1) b n (n ∈N *) ，证明：{b n }是等差数列；
四、课后反馈
1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(N ∈N *且n ≥2) ，求该数列的通项公式．
2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.
(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式． (2)求n 为何值时a n 最小．
1
3、(2011·北京模拟) 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4a 1a 2＋a 2a 3＋„＋a n a n
＋1
(n ∈N *) 的取值范围是( )
32321632
A ．[12,16] B ．[8，3 C ．[8，3 D ．[334、已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝4n (n ＞1) ，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋„＋log 2a 2n －1＝( )
A ．n 2 B ．(n ＋1) 2 C ．n (2n －1) D ．(n －1) 2 5、在等比数列中，已知
3
a 3
a 1a 8a 15＝243，则a 的值为(
11
)
A ．3 B ．9 C ．27 D ．81
6、已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝2π，则cos a 3＝( )
3311A. 2 B ．－2 C. 2 D ．－2
n ＋1
7、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n ∈N *) ，设其前n 项和为S n ，则使
n ＋2S n ＜－5成立的自然数n ( )
A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 8、已知数列{a n }中a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
9、数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，„) ．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式； (2)若数列{
10、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数) ．
(1)求数列{a n }的通项公式；
3
(2)记S ＝2n ，kS ＜S n 恒成立，求实数k 的最大值．
1100的前n 项和为T n ，问满足T n 209n 是多少？ a n a n ＋1