总课题：数学的发展史
子课题：函数的发展史
一、 组长：李
组员：刘 田
二、 指导老师：张
仁 姬 孙
三、班级：高一12班
四、成员简介：
李：性格开朗、刻苦认真 担任组长
刘 ：喜欢英语、大方 担任搜集
仁 ：喜欢信息、刻苦认真 担任写作
姬：开朗大方、热情 担任搜集
孙：爱好动漫、画画 性格外向 担任整理
田 ：开朗大方刻苦认真 担任整理
五、选题的原因：
开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合
在一起，加强团结，了解数学。
六：研究计划：
共六人： 姬 刘 担任搜集
李 仁 担任写作
孙 田 整理资料
七： 研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学
发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发
展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分
有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更
能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．
马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代
的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的
问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降
的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上? 行星运行的轨道是椭圆，原
理是什么? 还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，
以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也
是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概
念，这是函数概念的力学来源．
（二）
早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，
比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何
中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到
需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的
时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点
的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词
最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论
中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝
努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变
量x 和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和
对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c 而成的式子，
取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函
数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，
而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函
数概念的外延． （三）十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748) 在莱布尼
兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一
形式所构成的量。”他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x 的函
数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L．Euler ，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，
以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随
着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
18世纪中叶欧拉(L．Euler ，瑞，1707－1783) 给出了定义：“一个变量的
函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约
翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为为代数函数和
超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努
利的定义更普遍、更具有广泛意义。
（四） 十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：
“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变
数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”
在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要
有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年（Fourier ，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 y x 表示出.
其中， 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x 都有确定的值，并且随着x 一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
1837年(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x 与y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有一个或多个确定的值，那么y 叫做x 的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄利克雷函数）：
f （x ）= 1 （x 为有理数），
0 （x 为无理数）．
在这个函数中，如果x 由0逐渐增大地取值，则f （x ）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f （x ）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄利克雷的定义下，这个f （x ）仍是一个函数．
的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．
等到康托(Cantor，德，1845－1918) 创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960) 用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
（五）现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff) 在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
随着生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，
即 ρ（x ）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是
P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即 P（x ）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M 的任意元素x, 总有集合N 确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y=f（x ）. 元素x 称为自变元，元素y 称为因变元．
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意
味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
设集合X 、Y ，我们定义X 与Y 的积集X×Y 为
X×Y=｛（x,y ）｜x ∈X,y ∈Y ｝．
积集X×Y 中的一子集R 称为X 与Y 的一个关系，若（x,y ）∈R ，则称x 与y 有关系R ，记为xRy. 若（x,y ）R ，则称x 与y 无关系．
现设f 是X 与Y 的关系，即fX×Y ，如果（x,y ），（x,z ）∈f, 必有y=z，那么称f 为X 到Y 的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．
从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． 八：结论总结
函数（function ）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f 中对应输入值的输出值x 的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A 到实数集B 的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X 是一个非空集合，Y 是非空数集 ，f 是个对应法则 ， 若对X 中的每个x ，按对应法则f ，使Y 中存在唯一的一个元素y 与之对应 ， 就称对应法则f 是X 上的一个函数，记作y ＝f （x ），称X 为函数f （x ）的定义域，集合{y|y=f（x ），x ∈R}为其值域（值域是Y 的子集），x 叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说y 是x 的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。
注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f( )=2× +1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。
意外收获 丰富视野
（一）：与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
因变量(函数) ，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数) 有且只有唯一值与其相对应。
函数值，在y 是x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值，当
（二）：几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X 轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
（三）函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D ，数集X 包含于D 。如果存在数K1，使得f(x)＜=K1对任一x ∈X 都成立，则称函数f(x)在X 上有上界，而K1称为函数f(x)在X 上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)>=K2对任一x ∈X 都成立，则称函数f(x)在X 上有下界，而K2称为函数f(x)在X 上的一个下界。如果存在正数M ，使得|f(x)|
函数f(x)在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。
（四）函数的单调性
设函数f(x)的定义域为D ，区间I 包含于D 。如果对于区间I 上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
（五）函数的奇偶性
设f (x ) 为一个实变量实值函数，则f 为奇函数若下列的方程对所有实数x 都成立：
f (x ) = − f ( − x ) 或 f ( − x ) = − f (x ) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x 、sin (x ) 、sinh (x ) 和erf (x ) 。
设f (x ) 为一实变量实值函数，则f 为偶函数若下列的方程对所有实数x 都成立：
f (x ) = f ( − x ) 几何上，一个偶函数会对y 轴对称，亦即其图在对y 轴为镜射后不会改变。
偶函数的例子有|x |、x 、x^2、cos (x ) 和cosh(sec)(x ) 。
偶函数不可能是个双射映射。
（六）函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D 。如果存在一个正数l ，使得对于任一x ∈D 有(x士l) ∈D ，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet ）函数。
（七）函数的连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
课后感言
通过这次学习 ，使我们获益匪浅 ， 不只是数学知识， 从中还得知了团结的重要性。丰富了我们的生活 ，开阔了我们的视野。其中的很多东西并不是在课本上找得到的 ，通过这些积累更有助于我们的语文语言的提高 。从中也看到了数学的有趣，使我们对数学产生更深厚的兴趣。
2011年6月12日
总课题：数学的发展史
子课题：函数的发展史
一、 组长：李
组员：刘 田
二、 指导老师：张
仁 姬 孙
三、班级：高一12班
四、成员简介：
李：性格开朗、刻苦认真 担任组长
刘 ：喜欢英语、大方 担任搜集
仁 ：喜欢信息、刻苦认真 担任写作
姬：开朗大方、热情 担任搜集
孙：爱好动漫、画画 性格外向 担任整理
田 ：开朗大方刻苦认真 担任整理
五、选题的原因：
开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合
在一起，加强团结，了解数学。
六：研究计划：
共六人： 姬 刘 担任搜集
李 仁 担任写作
孙 田 整理资料
七： 研究成果：
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学
发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发
展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分
有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更
能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．
马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代
的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的
问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降
的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上? 行星运行的轨道是椭圆，原
理是什么? 还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，
以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也
是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概
念，这是函数概念的力学来源．
（二）
早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，
比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何
中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到
需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的
时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点
的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词
最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论
中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝
努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变
量x 和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和
对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c 而成的式子，
取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函
数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，
而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函
数概念的外延． （三）十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748) 在莱布尼
兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一
形式所构成的量。”他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x 的函
数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L．Euler ，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，
以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随
着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
18世纪中叶欧拉(L．Euler ，瑞，1707－1783) 给出了定义：“一个变量的
函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约
翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为为代数函数和
超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努
利的定义更普遍、更具有广泛意义。
（四） 十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：
“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变
数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”
在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要
有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年（Fourier ，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 y x 表示出.
其中， 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x 都有确定的值，并且随着x 一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
1837年(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x 与y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有一个或多个确定的值，那么y 叫做x 的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄利克雷函数）：
f （x ）= 1 （x 为有理数），
0 （x 为无理数）．
在这个函数中，如果x 由0逐渐增大地取值，则f （x ）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f （x ）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄利克雷的定义下，这个f （x ）仍是一个函数．
的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．
等到康托(Cantor，德，1845－1918) 创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960) 用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
（五）现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff) 在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
随着生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，
即 ρ（x ）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是
P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即 P（x ）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M 的任意元素x, 总有集合N 确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y=f（x ）. 元素x 称为自变元，元素y 称为因变元．
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意
味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
设集合X 、Y ，我们定义X 与Y 的积集X×Y 为
X×Y=｛（x,y ）｜x ∈X,y ∈Y ｝．
积集X×Y 中的一子集R 称为X 与Y 的一个关系，若（x,y ）∈R ，则称x 与y 有关系R ，记为xRy. 若（x,y ）R ，则称x 与y 无关系．
现设f 是X 与Y 的关系，即fX×Y ，如果（x,y ），（x,z ）∈f, 必有y=z，那么称f 为X 到Y 的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．
从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． 八：结论总结
函数（function ）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f 中对应输入值的输出值x 的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A 到实数集B 的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X 是一个非空集合，Y 是非空数集 ，f 是个对应法则 ， 若对X 中的每个x ，按对应法则f ，使Y 中存在唯一的一个元素y 与之对应 ， 就称对应法则f 是X 上的一个函数，记作y ＝f （x ），称X 为函数f （x ）的定义域，集合{y|y=f（x ），x ∈R}为其值域（值域是Y 的子集），x 叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说y 是x 的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。
注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f( )=2× +1，x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为函数。
意外收获 丰富视野
（一）：与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
因变量(函数) ，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数) 有且只有唯一值与其相对应。
函数值，在y 是x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值，当
（二）：几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X 轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
（三）函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D ，数集X 包含于D 。如果存在数K1，使得f(x)＜=K1对任一x ∈X 都成立，则称函数f(x)在X 上有上界，而K1称为函数f(x)在X 上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)>=K2对任一x ∈X 都成立，则称函数f(x)在X 上有下界，而K2称为函数f(x)在X 上的一个下界。如果存在正数M ，使得|f(x)|
函数f(x)在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。
（四）函数的单调性
设函数f(x)的定义域为D ，区间I 包含于D 。如果对于区间I 上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
（五）函数的奇偶性
设f (x ) 为一个实变量实值函数，则f 为奇函数若下列的方程对所有实数x 都成立：
f (x ) = − f ( − x ) 或 f ( − x ) = − f (x ) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例子有x 、sin (x ) 、sinh (x ) 和erf (x ) 。
设f (x ) 为一实变量实值函数，则f 为偶函数若下列的方程对所有实数x 都成立：
f (x ) = f ( − x ) 几何上，一个偶函数会对y 轴对称，亦即其图在对y 轴为镜射后不会改变。
偶函数的例子有|x |、x 、x^2、cos (x ) 和cosh(sec)(x ) 。
偶函数不可能是个双射映射。
（六）函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D 。如果存在一个正数l ，使得对于任一x ∈D 有(x士l) ∈D ，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet ）函数。
（七）函数的连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
课后感言
通过这次学习 ，使我们获益匪浅 ， 不只是数学知识， 从中还得知了团结的重要性。丰富了我们的生活 ，开阔了我们的视野。其中的很多东西并不是在课本上找得到的 ，通过这些积累更有助于我们的语文语言的提高 。从中也看到了数学的有趣，使我们对数学产生更深厚的兴趣。
2011年6月12日