数学教学设计的基本理论
每一位数学教师，无论他教大学生、中学生、还是小学生，甚至是幼儿园的小朋友，都会非常关注如何教数学的问题，而要使数学教学活动富有成效，事先必须有所计划。在教学活动开始之前制定教学计划的工作就是教学设计,它反映了教师对未来教学的认识与期望，在很大程度上决定了教学活动的效果。因此，本专题将就中学数学教学设计的基本概念、过程和策略进行讲解。
一、数学教学设计的基本概念
数学课堂教学是学校数学教师的主要工作，其教学的效果受多种因素的影响，数学教学设计是重要的因素。在数学教学实施前，数学教师应对数学教学实施的目标、内容、方法、手段等进行精心的设计，这就是我们所说的数学教学设计。
即数学教学设计是以数学学习论、数学教学论等数学教育理论为基础，运用系统方法分析数学教学问题，确定数学教学目标，设计解决数学教学问题的策略方案、试行方案、评价试行结果和修改方案的过程。
数学教学设计一般含有四个要素：
（1）数学教学的对象。数学教学设计是以学生为中心的，所以，所设计的一切教学活动都是为了学生学好数学。因此，要使数学教学设计取得好的效果，必须重视对学生的分析。
（2）数学教学内容和目标。要进行数学教学活动和过程的设计，必须明确教什么内容，教到什么程度，有了目标，教学才有明确的方向和要求。
（3）数学教学策略。这是解决教师如何进行数学教学的问题，是数学教学设计的重要组成要素。它一般包括教学方法和教学媒体的选择和设计。
（4）数学教学设计方案评价。为了知道教学设计的效果如何？必须对数学教学设计的方案进行评价，在此基础上对方案进行修改，使数学教学效果更好。
二、数学教学设计的基本过程
数学教学设计是一个系统性活动，由于教学任务或教学目标不同，数学教学设计又有多种类型。尽管如此，数学教学设计的基本过程却大致相同，即在数学教学内容分析和学生情况分析的基础上，确定数学教学目标，根据确定的数学教学目标和重难点，设计数学教学活动和数学教学评价方案。其基本过程如下图1.1。
图1.1：数学教学设计的基本过程
就一个完整的数学教学设计而言，上述五个环节缺一不可，每一环节的意义和作用不尽相同。下面我们就五个环节进行分别讲解。
（一）数学教学内容分析
数学教师在进行数学教学设计时，应首先了解教师教什么？学生学什么？ 数学教学内容是指为了实现数学教学目标，要求学生学习的数学知识和内容的总和。包括知识背景、地位和作用、知识结构和组成要素。
1. 知识背景
应明确此课时的数学内容和实际背景，了解数学知识的发生、发展的过程，以及它与生产、生活实际的联系。
2. 地位和作用
应明确此课时的数学内容在整个数学中的地位和作用，以及在培养学生的素养方面的教育价值。
3. 知识结构
应明确此课时数学的知识、技能、思想和方法的系统，掌握它们之间的关系。
4. 组成要素
应明确此课时数学内容的构成要素，包括数学概念或命题、例题、习题等。
例如：在设计高中函数概念的教学时，教师不但要了解“函数概念”的历史发展过程，还要对高中与初中函数概念的不同、高中函数概念的本质、蕴含的思想方法以及高中函数教学有一个整体的理解。
1.高中与初中函数概念的不同
“函数”是中学数学的核心概念。在初中，学生已经学习过函数概念。初中建立的函数概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量。
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。
例如 f（X）=1。
进入高中，学生需要建立的函数概念是：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
这个概念与初中概念相比更具有一般性，高中与初中函数概念的不同是：
（1）高中引入了抽象的符号f（x）。f（x）指集合B中与x对应的那个数。当x确定时，f（x）也唯一确定。
（2）初中并没有明确函数值域这个概念。
2. 函数概念的本质
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
（1）两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应；
（2）涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；
这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有。而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
（3）函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
3.函数蕴含的思想方法
函数是描述变化规律的数学模型；函数是描述变量之间依赖关系的数学模型。函数概念所反映的思想方法：用数量关系表示变量之间的依赖关系，并通过数及其运算等研究变化规律。
4.对函数教学的整体理解
（1）“变量说”到“对应说”，引进抽象符号f(x)表示函数；
（2）较全面地学习各种初等函数的表示与性质；
如指数函数、对数函数、三角函数等；奇偶性、单调性等。
（3）函数是刻画运动变化规律的数学模型，因此，在函数的教学中，要强调函数的背景、思想和应用；
（4）函数与方程、不等式有着密切的联系，要注重用函数观点理解和解决方程、不等式问题；
（5）用导数研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到全新高度；
总之，高中阶段的函数学习，定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等。特别是，引入具有一般性的抽象符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而解释现实问题，认识和把握其中的规律。
数学教学设计的基本理论
每一位数学教师，无论他教大学生、中学生、还是小学生，甚至是幼儿园的小朋友，都会非常关注如何教数学的问题，而要使数学教学活动富有成效，事先必须有所计划。在教学活动开始之前制定教学计划的工作就是教学设计,它反映了教师对未来教学的认识与期望，在很大程度上决定了教学活动的效果。因此，本专题将就中学数学教学设计的基本概念、过程和策略进行讲解。
一、数学教学设计的基本概念
数学课堂教学是学校数学教师的主要工作，其教学的效果受多种因素的影响，数学教学设计是重要的因素。在数学教学实施前，数学教师应对数学教学实施的目标、内容、方法、手段等进行精心的设计，这就是我们所说的数学教学设计。
即数学教学设计是以数学学习论、数学教学论等数学教育理论为基础，运用系统方法分析数学教学问题，确定数学教学目标，设计解决数学教学问题的策略方案、试行方案、评价试行结果和修改方案的过程。
数学教学设计一般含有四个要素：
（1）数学教学的对象。数学教学设计是以学生为中心的，所以，所设计的一切教学活动都是为了学生学好数学。因此，要使数学教学设计取得好的效果，必须重视对学生的分析。
（2）数学教学内容和目标。要进行数学教学活动和过程的设计，必须明确教什么内容，教到什么程度，有了目标，教学才有明确的方向和要求。
（3）数学教学策略。这是解决教师如何进行数学教学的问题，是数学教学设计的重要组成要素。它一般包括教学方法和教学媒体的选择和设计。
（4）数学教学设计方案评价。为了知道教学设计的效果如何？必须对数学教学设计的方案进行评价，在此基础上对方案进行修改，使数学教学效果更好。
二、数学教学设计的基本过程
数学教学设计是一个系统性活动，由于教学任务或教学目标不同，数学教学设计又有多种类型。尽管如此，数学教学设计的基本过程却大致相同，即在数学教学内容分析和学生情况分析的基础上，确定数学教学目标，根据确定的数学教学目标和重难点，设计数学教学活动和数学教学评价方案。其基本过程如下图1.1。
图1.1：数学教学设计的基本过程
就一个完整的数学教学设计而言，上述五个环节缺一不可，每一环节的意义和作用不尽相同。下面我们就五个环节进行分别讲解。
（一）数学教学内容分析
数学教师在进行数学教学设计时，应首先了解教师教什么？学生学什么？ 数学教学内容是指为了实现数学教学目标，要求学生学习的数学知识和内容的总和。包括知识背景、地位和作用、知识结构和组成要素。
1. 知识背景
应明确此课时的数学内容和实际背景，了解数学知识的发生、发展的过程，以及它与生产、生活实际的联系。
2. 地位和作用
应明确此课时的数学内容在整个数学中的地位和作用，以及在培养学生的素养方面的教育价值。
3. 知识结构
应明确此课时数学的知识、技能、思想和方法的系统，掌握它们之间的关系。
4. 组成要素
应明确此课时数学内容的构成要素，包括数学概念或命题、例题、习题等。
例如：在设计高中函数概念的教学时，教师不但要了解“函数概念”的历史发展过程，还要对高中与初中函数概念的不同、高中函数概念的本质、蕴含的思想方法以及高中函数教学有一个整体的理解。
1.高中与初中函数概念的不同
“函数”是中学数学的核心概念。在初中，学生已经学习过函数概念。初中建立的函数概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量。
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。
例如 f（X）=1。
进入高中，学生需要建立的函数概念是：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
这个概念与初中概念相比更具有一般性，高中与初中函数概念的不同是：
（1）高中引入了抽象的符号f（x）。f（x）指集合B中与x对应的那个数。当x确定时，f（x）也唯一确定。
（2）初中并没有明确函数值域这个概念。
2. 函数概念的本质
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
（1）两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应；
（2）涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；
这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有。而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
（3）函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
3.函数蕴含的思想方法
函数是描述变化规律的数学模型；函数是描述变量之间依赖关系的数学模型。函数概念所反映的思想方法：用数量关系表示变量之间的依赖关系，并通过数及其运算等研究变化规律。
4.对函数教学的整体理解
（1）“变量说”到“对应说”，引进抽象符号f(x)表示函数；
（2）较全面地学习各种初等函数的表示与性质；
如指数函数、对数函数、三角函数等；奇偶性、单调性等。
（3）函数是刻画运动变化规律的数学模型，因此，在函数的教学中，要强调函数的背景、思想和应用；
（4）函数与方程、不等式有着密切的联系，要注重用函数观点理解和解决方程、不等式问题；
（5）用导数研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到全新高度；
总之，高中阶段的函数学习，定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等。特别是，引入具有一般性的抽象符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而解释现实问题，认识和把握其中的规律。