大连市2014年初中毕业升学考试 数学
注意事项：
1．请在答题卡上作答．在试卷上作答无效．
2．本试卷共五大题，26小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．(2014辽宁大连，1，3分) 3的相反数是 ( )
A ．3 B ．-3 C ．11 D ．- 33
【答案】B
【考点解剖】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握求相反数的方法．
【解题思路】利用相反数求法求解即可．
【解答过程】解：将3的前面加上“－”号，得3的相反数是－3，故选择B ．
【易错点睛】此类问题容易出错的地方是和倒数等概念混淆．
【方法规律】求一个数a 的相反数，就是在这个数的前面添上“-”号即可求得-a ．
【试题难度】★
【关键词】相反数
2．(2014辽宁大连，2，3分) 如图所示的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是(
)
A ． B ． C ． D ． 正面
【答案】A
【考点解剖】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是能够观察出几何组合体的主视图．
【解题思路】直接从几何体的正面进行观察，所看到的平面图形即为所求答案．
【解答过程】解：从几何组合体的正面观察，看的平面图形共上下两层，上层横排两个，下层横排三个，故选A ．
【易错点睛】此类问题空间想象能力制约了解题是否正确．
【思维模式】主视图是从几何体正面看得到的平面图形，俯视图是从几何体上方看得到的平面图形，左视图是从几何体左侧看得到的平面图形．
【试题难度】★
【关键词】视图
3．(2014辽宁大连，3，3分) 《2013年大连市海洋环境状况公报》显示，2013年大连市管辖海域总面积为29000平方公里，29000用科学计数法表示为 ( )
A ．2. 9⨯10 B ．2. 9⨯10 C ．29⨯10 D ．0. 29⨯10
【答案】
B
3435
【考点解剖】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的一般形式及规律．
【解题思路】根据科学记数法的规律及一般形式求解．
【解答过程】解：本题是用科学记数法记较大的数，整数位共有5位，所以用科学记数法记为2. 9⨯10，故选A ．
【易错点睛】此类问题能否规范地书写是学生易错的点．
【归纳拓展】用科学记数法记较大的数的一般形式为a×10n (其中1≤a＜10，n 是正整数) ，其中n 是原数的整数位减1；用科学记数法记较小的数的一般形式为a×10n (其中1≤a＜10，n 是负整数) ，其中n 是从左边起第一个不为0的数前面0的个数．
【试题难度】★
【关键词】科学记数法
4．(2014辽宁大连，4，3分) 在平面直角坐标系中，将点(2，3) 向上平移1个单位，所得到的点的坐标是( )
A ．(1，3) B ．(2，2) C ．(2，4) D ．(3，3)
【答案】C
【考点解剖】本题考查了平面直角坐标系下点的平移规律问题，解题的关键是掌握平移点的坐标变化规律．
【解题思路】根据平移点的坐标变化规律确定平移后的坐标．
【解答过程】解：点(2，3) 向上平移一个单位，故横坐标不变，纵坐标加1即可得平移后坐标，故选C ．
【易错点睛】此类问题审题不细致，混淆平面内点平移前后横、纵坐标变化特征是错误主因．
【方法规律】在平面直角坐标系中，将点(x，y) 向右(或向左) 平移a 个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x－a ，y)) ；将点(x，y) 向上(或向下) 平移b 个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y －b)) ．
【试题难度】★
【关键词】探索点的坐标变化规律
5．(2014辽宁大连，5，3分) 下列计算正确的是 ( )
22A ．a +a =a B ．(3a ) =6a C ．a ÷a =a D ．a 2·a 3＝a 5 236234
【答案】D
【考点解剖】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握幂的相关运算公式．
【解题思路】根据幂的相关运算公式逐一排除选出正确答案．
【解答过程】解：A 选项不符合同底数幂乘法公式，结果错误；B 选项是积的乘方公式，结果应该是9a 2，故错误；C 选项为同底数幂相除，结果应该是a 4，故错误；D 选项符合同底数幂乘法公式，故选D ．
【易错点睛】对公式掌握不熟，分不清类别是易错的原因．
【方法规律】幂的运算公式的掌握是解决此类问题的关键，公式包含有：(1)同底数幂乘法公式：a m ×a n =a m +n (m 、n 都是正整数) ；(2)同底数幂除法公式：a m ÷a n =a m -n (m 、n 都是正整数) ；
(3)幂的乘方公式：(a m ) n =a mn (m 、n 都是正整数) ；(4)积的乘方的公式：(ab ) m =a m b m (m 是正整数) ．
【试题难度】★★
【关键词】同底数幂的乘法；积的乘方；同底数幂的除法
6．(2014辽宁大连，6，3分) 不等式组⎨⎧x -2>1的解集是 ( )
⎩3x -4>x
A ．x >-2 B ．x 3 D ．x
【答案】C
【考点解剖】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．
【解题思路】分别解出两个不等式的解集，取其公共部分作为不等式组的解集．
【解答过程】解：解不等式①得x ＞3，解不等式②得x ＞2，根据“大大取大”确定不等式组的解集为x ＞3，故选C ．
【易错点睛】解不等式过程中，不等号是否改变方向这一步骤学生容易忽视导致犯错误．
【方法规律】确定不等式组的解集有两种方法：一是采用画数轴的方法确定解集的公共部分；二是可采用口诀：大大取大， 小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
【试题难度】★★
【关键词】一元一次不等式组的解法
7．(2014辽宁大连，7，3分) 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除了颜色以外都相同。从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红色的概率为 ( )
A ．1115 B ． C ． D ． 6326
【答案】A
【考点解剖】本题考查了求事件发生的概率，解题的关键是能不重不漏写出所有等可能的结果．
【解题思路】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的情况，从中找到两个球都是红球的可能性结果，进而确定事件发生的概率．
【解答过程】解：列表可得共有6种等可能情况：(红，红) ，(红，黄) ，(红，绿) ，(黄，红) ，(黄，黄) ，(黄，绿) ；其中两次取出的球都是红球的情况有1种，故概率为
【易错点睛】列树状图或者列表出错是本题的错误产生的主要原因．
【思维模式】运用公式P (A )=1，选A ． 6m 求简单事件发生的概率，关键是用列表的方法或列树状图n
的方法求出所有等可能情况的数目(n ) 和事件发生的数目(m ) ，进而求解．
【试题难度】★★
【关键词】求概率的方法
8．(2014辽宁大连，8，3分) 一个圆锥的高为4㎝，底面圆的半径为3㎝，则这个圆锥的侧面积为 ( )
A ．12π㎝2 B ．15π㎝2 C ．20π㎝2 D ．30π㎝2
【答案】B
【考点解剖】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面积求法的公式．
【解题思路】首先利用勾股定理求出母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解．
【解答过程】解：根据勾股定理可以求出母线长l
，再由圆锥的侧面积公式S 圆锥侧=πlr ，将l =5、r =3代入得S 圆锥侧=15π㎝2，故选B ．
【易错点睛】不能正确熟练掌握圆锥的侧面积公式，制约着问题的解决．
【思维模式】圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧=πlr ，因此，在求圆锥的侧面积时，首先要解决的就是求出其底面半径和母线．
【试题难度】★★
【关键词】几何体的展开图及其应用
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9．(2014辽宁大连，9，3分) 分解因式：x -4=______________．
【答案】(x-2)(x+2)
【考点解剖】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
【解题思路】观察符合平方差公式，因此可以用平方差公式进行分解．
【解答过程】解：根据平方差公式，原式可以分解为(x-2)(x+2)．
【易错点睛】没有把4写出平方的形式，分解成 (x + 4)(x–4) ．
【思维模式】在解决因式分解问题时，首先要观察是否有公因式，有公因式一定要提公因式，然后再看是否符合公式法，即使提完公因式，也要观察是否继续可以用公式法因式分解，当上述方法都不符合时，分组分解．
【试题难度】★
【关键词】 因式分解；平方差公式
10．(2014辽宁大连，10，3分) 函数y =(x -1) 2+3的最小值为________．
【答案】3
【考点解剖】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握用二次函数顶点坐标求最值的方法．
【解题思路】通过二次函数的顶点坐标确定二次函数的最值．
【解答过程】解：根据二次函数的解析式确定其顶点坐标为(1，3) ，即当x=1时，y 有最小值3，故二次函数的最小值为3．
【易错点睛】不能正确从二次函数顶点式中确定函数的最大值或最小值，导致出现错误．
【思维模式】在求二次函数的最值问题或者对称轴时，首先要将解析式化为y ＝a(x－h) 2＋k 的形式，其中直线x ＝h 是对称轴，k 是函数的最值．
【试题难度】★
【关键词】 二次函数的性质
2
211．(2014辽宁大连，11，3分) 当a =9时，代数式a +2a +1的值为_________．
【答案】100
【考点解剖】本题考查了代数式的求值，解题的关键是正确代入求值．
【解题思路】首先将多项式因式分解，然后将a 的值代入求值．
【解答过程】解：a +2a +1可以化简为(a+1)2，再由a=9，可得原式=(9+1)2=100．
【易错点睛】代入过程中计算不准确容易导致解题错误．
【方法规律】在求代数式值的过程中，要注意如何使代入后求值简便，有时可以采用将代数式化简，有时可以采取将代数式通过因式分解等方法进行变形，使得代入更易于操作、计算．
【试题难度】★★
【关键词】 求代数式的值
12．(2014辽宁大连，12，3分) 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若BC ＝4㎝，则DE ＝_____㎝．
2
A
B B C
(第12题) (第13题) (第14题)
【答案】2
【考点解剖】本题考查了三角形的中位线，解题的关键是掌握中位线的定义及性质．
【解题思路】根据题意可知DE 为△ABC 的中位线，故DE=1BC 可求得DE ． 2
【解答过程】解：因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以DE 为△ABC 的中位线，所以DE=1BC ，而BC=4cm可得DE=2cm． 2
【易错点睛】对中位线性质掌握不准是解题的主要障碍．
【方法规律】在遇到多个中点的条件的问题中，运用三角形中位线性质得出线段间的位置关系和数量关系进而求解是常用的手段．
【试题难度】★
【关键词】三角形中位线定理
13．(2014辽宁大连，13，3分) 如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO ＝55°，则∠ADO ＝_____°．
【答案】35
【考点解剖】本题考查了菱形的性质，解题的关键是合理运用菱形的相关性质．
【解题思路】根据菱形的性质得到对角线互相垂直，由∠BCO 求出∠CBO ，再由菱形的性质可知BDC 是等腰三角形，得到∠CBO 等于∠CDO ，即可求出∠CDO ．
【解答过程】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CB ＝CD. ∴∠BOC ＝90°，∠CBO ＝∠CDO. ∵∠BCO ＝55°，∴∠CBO ＝90°－55°＝35°. ∴∠CDO ＝35°．
【易错点睛】对菱形的性质不熟是问题易错的主要原因．
【方法规律】在平行四边形及特殊的平行四边形的背景的题目中，往往运用相关的性质，得到角与角、线段与线段之间的关系去求解线段的长或角的度数．
【试题难度】★★
【关键词】菱形；菱形的性质及应用
14．(2014辽宁大连，14，3分) 如图，从一艘船的点A 处观测海岸上高41 m的灯塔BC ，(观测点A 与灯塔底部C 在一个水平面上) ，测得灯塔顶部B 的仰角为35°，则观测点A 到BC 灯塔的距离约为________m．(精确到1m)(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7)
【答案】59
【考点解剖】本题考查了解直角三角形，解题的关键是寻找合适的三角函数关系式．
【解题思路】在直角三角形ABC 中，可以利用正切函数及已知条件求解BC 长．
【解答过程】解：在Rt △ABC 中，tanA ＝BC BC 4141=，∴AC ＝=≈59． AC tan A tan 35︒0.7
【易错点睛】找错三角函数关系式是解直角三角形问题中易错的主要点．
【方法规律】解直角三角形寻找关系式时，只要把已知的角和边和需要求的角(或边) 组成两边一角，则两边的比值必构成这个角的某一三角函数值，而这个函数就是能用来求解的关系式．
【试题难度】★★
【关键词】解直角三角形的应用；仰角、俯角问题
15．(2014辽宁大连，
【答案】15
【考点解剖】本题考查了求一组数据的平均数，解题的关键是运用适当的平均数公式求解．
【解题思路】根据表格，知道各数据的频数，故可用加权平均数公式求解．
【解答过程】解：根据表格和加权平均数公式求解如下：
x =13⨯1+14⨯2+15⨯5+16⨯4=15． 1+2+5+4
【易错点睛】忽视各数据的个数，直接求各数据的平均数是学生易犯的错误．
【方法规律】平均数的计算公式有两个：①算术平均数公式：如果有n 个数据x 1，x 2，…，
11x n ，则(x 1+x 2+ +x n ) 就是这组数据的平均数，即=(x 1+x 2+ +x n ) ；②加n n
权平均数的公式：x =
【试题难度】★★
【关键词】平均数
16．(2014辽宁大连，16，3分) 点A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2) 分别在双曲线y =-
上，若y 1+y 2>0，则x 1+x 2的范围是____________．
【答案】x 1+x 2＞0
【考点解剖】本题考查了反比例函数图象性质，解题的关键是能够直观运用反比例函数图象解题．
【解题思路】画出反比例函数图像，根据题意把A 、B 两点画在图像上，根据图像分析问题.
【解答过程】解：点A 、B 分别在两个分支上，说明y 1与y 2异号，不妨设y 1＞0，则y 2＜0，而根据条件y 1+y 2>0可知y 1＞y 2，根据函数图象可知，y 的绝对值越大，其横坐标离原点越近，即x 的绝对值越小. 故x 1＜x 2，而根据函数关系式，每一点的横纵坐标异号，故x 1＜0，x 2＞0，所以x 1+x 2＞0．
【易错点睛】不会利用函数直观观察横坐标的关系是解题的障碍．
【方法规律】从图象上观察函数图象的变化规律，有时解决计算问题要远比直接计算要简便，而且有时这种解决方式，会解决计算无法解决的问题．
【试题难度】★★★★★
【关键词】反比函数的图像 数形结合
三、解答题(本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分)
17(2014辽宁大连，17，9分) ．计算：3(1-) ++()
【考点解剖】本题考查了实数的计算，解题的关键是能够掌握实数运算法则．
【解题思路】先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【解答过程】解：(1-3) ++()
3＋
3
x 1w 1+x 2w 2+... x n w n ． w 1+w 2+... w n 1的两支x 13-113-1
＝
【易错点睛】二次根式的运算不够准确是运算中最容易犯错的知识．
【方法规律】实数的运算，重要的是掌握运算法则和运算顺序的正确．
【试题难度】★★
【关键词】实数的四则运算；二次根式的化简
18．(2014辽宁大连，18，9分) 解方程：3=x +1 x +12x +2
【考点解剖】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法．
【解题思路】去分母、去括号、解一元一次方程、检验，按照解分式方程的步骤进行即可．
【解答过程】解：方程两边同时乘以2(x＋1) ，得
6＝x ＋2(x＋1)
解得x ＝4 3
【易错点睛】去分母时最简公分母的寻找、1漏乘最简公分母、忘记检验等都是学生易错的点．
【方法规律】解分式方程只需要按照解分式方程的步骤进行即可，但是要注意最简公分母的寻找要准确，一定要把所有分母因式分解后寻找，取所有因式的最高次幂的积即可．
【试题难度】★★
【关键词】分式方程的解法
19．(2014辽宁大连，19，9分) 如图：点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB ＝CD ，AE ∥BF ，CE ∥DF ．
求证：AE ＝BF
【考点解剖】本题考查了三角形全等的证明，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法．
【解题思路】利用AB=CD寻找边相等的条件，通过平行得到角相等的条件，进而得到三角形全等．
【解答过程】证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC
即AC=BD
∵AE ∥BF ，CE ∥DF
∴∠A=∠FBC ，∠D=∠ECA
在△AEC 和△BFD 中
B C
⎧∠A =∠FBC ⎪⎨AC =BD
⎪∠ECA =∠D ⎩
∴△AEC ≌△BFD(ASA)
∴AE ＝BF
【易错点睛】对全等的条件理解不足，往往会出现直接应用AB=CD作为问题条件导致出现错误．
【方法规律】证明三角形全等，需要根据判定方法寻找条件，平行线的条件为三角形全等的证明提供了证明角相等的条件．
【试题难度】★
【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质
20．(2014辽宁大连，20，12分) 某地为了解气温变化情况，对某月中午12时的气温(单位：℃) 进行了统计. 以下是根据有关数据制作的统计图表的一部分.
根据以上信息解答下列问题：
(1)这个月中午12时的气温在8℃至12℃(不含12℃) 的天数为_______天，占这个月总天数的百分比为_______％，这个月共有_______天；
(2)统计表中的a ＝_______，这个月中午12时的气温在_______范围内的天数最多；
(3)求这个月中午12时的气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比.
【考点解剖】本题考查了频数统计表和扇形统计图的应用，解题的关键是从统计表和扇形统计图中读取信息，并进一步应用．
【解题思路】第(1)问是关于B 组的一系列问题，从统计表和统计图中直接读取信息，利用B 组天数和百分比算出这个月总天数；(2)通过总天数减去其余天数即可得到a 的值，并对比出哪一组的频数最高；(3)把气温不低于16℃的天数求出并除以这个月的天数即可．
【解答过程】解：(1)6；20；30
(2)3；12≤x
(3)(8+4)÷30=40%
答：这个月中午12时的气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比为40%．
【易错点睛】数据读取错误，公式运用不熟都易造成错误．
【思维模式】在解决统计表和扇形统计图的问题中，要注意找到表中和图中都已知的数据，据此求出总数，并进一步应用．
【试题难度】★★
【关键词】统计表；扇形图
四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)
21．(2014辽宁大连，21，9分) 某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件．
【考点解剖】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是对增长率问题的理解与掌握．
【解题思路】(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可解出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
【解答过程】解：(1)设这种产品产量的年增长率为x ，根据题意列方程得
100(1+x)2＝121
解x 1=0.1，x 2=-2.1(舍去)
答：这种产品产量的年增长率为10%．
(2)100×(1+10%)=110
答：2014年这种产品的产量达到110万件．
【易错点睛】增长率公式运用不熟是学生易错点．
【方法规律】增长率问题，可以设基数为a ，平均增长率为x ，增长的次数为n ，则增长后的结果为a(1+x)n ；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1-x)n ．
【试题难度】★★
【关键词】一元二次方程的应用---增长率问题
22．(2014辽宁大连，22，9分) 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同的路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距离出发地280米．小明登上山顶立即按照原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山的速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离开出发地的路程y 1(米) 、y 2(米) 、与小明出发的时间x (分) 的函数关系如图所示．
O /分
(1)图中a =______，b =_______；
(2)求小明的爸爸下山所用的时间．
【考点解剖】本题考查了一次函数的应用，解
题的关键是从图象中读取信息，并进一步应用． 【解题思路】(1)结合已知条件读出a 、b 的值； (2)利用条件求出直线OB 的解析式，并求出 AC 的解析式，从而求出C 点坐标，24与C 点 横坐标的差即为所求．
【解答过程】解：(1)8；280
(2)由题意可知B 点坐标为(8,280)，设OB
的解析式为y=kx，则280=8k，解k=35，所以 OB 的解析式为y=35x.设直线AC 的解析式为 y=ax+b，因为AC 经过点(8,400)、(24,0)
400=8a +b , 解得⎧a =-25, ∴AC 解析式为y =-25x +600．∴⎧解方程组⎨⎨⎩0=24a +b .
⎨
⎩b =600.
⎧y =35x
⎩y =-25x +600
得x=10，24－10=14．
∴小明的爸爸下山所用的时间为14分钟．
【易错点睛】不能正确地从图像中获取相关信息，导致无法寻求解题的突破口，往往是学生找不到解题思路的主要原因．
【方法规律】一次函数的实际应用问题，要注意从图象中读取相关的信息，并结合已知条件，通过列方程或者求函数关系式的方法求解． 【试题难度】★★★
【关键词】一次函数的实际应用；一次函数的图象及性质 23．(2014辽宁大连，23，10分) 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，与⊙O 相切， BD ∥AC ．
(1)图中∠OCD ＝_______°，理由是_____________________； (2)⊙O 的半径为3，AC ＝4，求OD 的长．
D
A
【考点解剖】本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似的判定和性质，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)根据切线的性质容易得出结论；
(2)连接BC ，利用直角三角形可求BC 长，进而证明△ACB ∽△CBD ，并进而用比例式求
CD 长进而求OD ．
【解答过程】(1)90，圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)解：连接BC ．
（第23题）
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．
∵⊙O 的半径为3，AC =4，
∴BC
∵∠BCD +∠OCB=∠OCD ＝90°． ∠OCA +∠OCB =90°， ∴∠OCA=∠BCD ． ∵OA =OC ，
∴∠OAC=∠OCA ． ∴∠OAC=∠BCD ． ∵BD ∥AC ，
∴∠ACB =∠CBD ． ∴△ACB ∽△CBD ．
AB ⋅
BC
∴AC =AB ，即CD =
AC CB CD
∴OD
【易错点睛】不能将问题转化，而出现不能根据条件构造相似三角形是解题中学生感到最大的障碍．
【方法规律】求线段长的问题往往解决的方法是相似或者解直角三角形，本题中应该利用好平行得到角相等的条件及圆的相关性质寻找角相等的条件，进而证明相似． 【试题难度】★★★★
【关键词】圆周角；切线的判定与性质；相似三角形的性质与判定；勾股定理的应用
五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)
24．(2014辽宁大连，24，11分) 如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，折叠纸片使点B 落在AD 上，落点为B’ ．点B’从点A 开始沿着AD 移动，折痕所在的直线l 的位置也随之改变，当直线l 经过点A 时，点B’停止移动，连接BB’ ．设直线l 与AB 相交于点E 、与CD 所在直线相交于点F ，点B’ 的移动距离为x ，点F 与点C 的距离为y ． (1)求证：∠BEF ＝∠A B’B；
(2)求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．
【考点解剖】本题考查了轴对称性质、相似的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)利用对称轴垂直平分对称点的连线及矩形性质得到对角互补的四边形，构造外角等于内对角得到问题(1)中的两角相等；(2)作FG ⊥AB 于G ，构造△ABB ′与△GFE 相似，利用相似用x 表示EG ，然后利用勾股定理用x 表示AE ，进而表示出BG ，得到y 与x 的关系式，第二种情况也可以类似解决．
【解答过程】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
B
C
（第24题图1）
∴∠BAD =90°． ∵点B 、B ′关于直线l 对称， ∴BB ′⊥EF ．
∴∠AEF +∠A B′B =180°=∠A +∠EPB ′， ∵∠BEF +∠AEF =180° ∴∠BEF=∠AB ′B ．
(2)解：∵点B 、B ′关于直线l 对称， ∴EB ′=EB ． 在Rt △AEB ′中，
2
2
AB '2+AE 2=EB '2,
2
即x +AE =(6-AE ) ． 解得AE =-
112
x +3．
2
当l
恰好经过点C 时，情况发生变化，此时B ′C ′即为B ′C
，DB ′=
① 当0≤x ≤8－1，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．
∴∠EGF =∠FGB =90°=∠B ′AB ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC =∠BCD =90° ∴四边形GBCF 是矩形． ∴BG =CF =y ，GF =BC =8． 由(1)知∠AB ′B =∠BEF ， ∴△ABB ′∽△GFE ．
AB '⋅GF 8x 4
==x ． ∴AB '=AB ，即EG =
EG GF
AB 63
∴y =AB -AE -EG =6-(-
112
x +3) -
2
43
x =
112
x -
2
43
x +3．
②当8－x ≤6时，如图2，
过点F 作FG ⊥AB ，与AB 的延长线相交于点G ． 同理，△ABB ′∽△GFE ，EG =x ，BG =CF =y ． ∴y =AE +EG -AB =(-
112x +3) +
2
43
43
x -6=-
112
x +
2
43
x -3．
⎧124
x -x +3(0≤x ≤8-⎪⎪123
综上，y =⎨
142⎪-x +x -3(8-x ≤6). ⎪3⎩12
【易错点睛】不能利用动点运动情形下可能出现的不同位置，而导致分类不全面的错误结
果．
【方法规律】(1)在动点问题中，要多画图，通过画图去理解当形状发生变化时，就会出现其它情况，要注意分情况讨论；(2)在折叠(轴对称) 问题中，通常会利用直角三角形运用勾股定理求线段长或用自变量表示线段长度；(3)在动点问题中，寻求变化的情况时，要注意界限点的寻找，这是求函数自变量取值范围的重要依据；(4)线段之间的关系问题，可以利用相似构造比例式求解． 【试题难度】★★★★★
【关键词】相似三角形；轴对称；勾股定理；分类讨论思想
25．(2014辽宁大连，25，12分) 如图1，△ABC 中，AB ＝AC ， 点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，DE ＝DC ，点F 是DE 与AC 的交点，且DF ＝FE ．
(1)图1中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理
由；
(2)求证BE ＝EC ；
(3)若将“点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上”和“点F 是DE 与AC 的交点，且DF ＝FE ”，分别改为“点D 在AB 上，点E 是在CB 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与AC 的交点，且DF ＝kFE ．”，其他条件不变(如图2). 当AB ＝1，∠ABC ＝a 时，求BE 的长(用含k 、a 的式子表示).
D
B
图1 图2
【考点解剖】本题考查了等腰三角形性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)利用等腰三角形性质得到底角相等，再利用等角减等角差相等得到和∠BDE 相等的角，即∠ACD ；(2)作DG ∥CB 交CA 延长线于G ，构造△DGF 与△ECF 全等，得到CE =DG 及∠DGC=∠GCB ，进而得到∠DGC=∠EBD ，再利用DE =DC 及第一问中的角相等条件证明△GCD ≌△BDE ，从而得到DG =BE ，从而得到CE =BE ；(3)类似第(2)问作DG ∥CB 交CA 于G ，得到△BDE ≌△GCD ，得到BE=GD，再利用△FDG ∽△FEC 得到BE 与BC 的关系，再根据解直角三角形得到BC 与AB 、a 的关系，从而得到BE 的长． 【解答过程】(1)存在，∠ACD=∠BDE ．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB ． ∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE ．
∵∠ACD =∠DCE －∠ACB ，∠BDE=∠DEC －∠ABC ， ∴∠ACD=∠BDE ．
(2)证明：如图1，过点D 作BC 的平行线，与CA 的延
长线相交于点G ．则∠DGF=∠ECF
∵DF=FE，∠DFG=∠EFC ，∠DGF=∠ECF ， ∴△DFG ≌△EFC ．
∴∠DGC=∠GCB=∠EBD ，GD=CE． ∵∠ACD=∠BDE ，CD=DE， ∴△GCD ≌△BDE ． ∴GD=BE． ∴BE =EC ．
(3)解：如图2，过点D 作BC 的平行线，
（第25题图1）
与AC 相交于点G ． ∴∠GDC=∠DCE ． ∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠GDC ． ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB ．
又∵∠BDE=∠ABC －∠DEB=∠ACB －∠DCE=∠GCD ， ∴△BDE ≌△GCD ． ∴BE=GD． ∵DG ∥EC ，
∴△FDG ∽△FEC ． ∴FD =GD ，即k =
FE
CE
BE BC +BE
（第25题图2）
，BE =
kBC 1-k
．
过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ．则 BC=2BH=2AB cos α=2cos α， ∴BE =
2k cos α1-k
．
【易错点睛】不能灵活从问题特殊情形时解题的过程中获取一般性的解题规律，导致解题错误．
【方法规律】(1)有关中点问题，倍长中线或者做平行线是一种有效的解题手段；(2)求线段长问题中，主要有两种解决问题的方法：一是相似，二是解直角三角形；(3)建立边、角之间的关系，显然应该用解直角三角形解决；(4)在解决综合问题中，往往蕴含着转化的数学思想，这也是分析问题的方向． 【试题难度】★★★★★
【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形；解直角三角形；特殊与一般思想
26．(2014辽宁大连，26，12分) 如图，抛物线y =a (x -m ) 2+2m -2(其中m >1) 与其对称轴l 相交于点P ，与y 轴相交于点A(0，m -1). 连接并延长P A 、PO ，与x 轴、抛物线分别相交于点B 、C ，连接BC . 点C 关于直线l 的对称点为C’，连接PC’，即有PC’＝PC . 将△PBC 绕点P 逆时针旋转，使点C 与点C ’重合，得到△PB’C’ (1)该抛物线的解析式为___________________(用含m 的式子表示) ； (2)求证：BC ∥y 轴
(3)若点B’恰好落在线段BC’上，求此时m 的值.
P
【考点解剖】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定、解一元二次方程，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)将点A 坐标代入函数解析式求a 值，从而求得函数解析式；(2)首先用m 表示直线P A 、PO 的解析式，进而表示出点C 的坐标、B 点坐标，由两点的横坐标相同可以得到BC ∥y 轴；(3)通过已知条件用m 表示出PF 长，进而表示出BC′的长，而BC 长和CC′长均比较容易用m 表示出，可以用勾股定理列方程求解． 【解答过程】解：(1)y =
1-m
2
m m
(2)设直线P A 的解析式为y =k 1x +b ，则
x +
2
2m -2
x +m -1．
m -1⎧⎧mk 1+b =2m -2, k =, ⎪ 解得1⎨m ⎨
⎩b =m -1. ⎪
⎩b =m -1.
∴直线P A 的解析式为 y =
m -1m
x +m -1．
当y =0时，x =-m ．即点B 的坐标为(-m ，0) ． 设直线PO 的解析式为y =k 2x ，则
mk 2=2m -2．解得k 2=
2m -2m
．
x ．
∴直线PO 的解析式为y =设点C 的坐标为(x c ,
2m -2m
2m -2
x c ) ，则 m
2m -21-m 2m -2
x c =2x c 2+x c +m -1． m m m
解得x c =m (舍) 或x c =-m ．
∴点C 的坐标为(-m ，2-2m ) ． ∴BC ∥y 轴．
(3)连接BB′，与对称轴l 相交于点F ． 由旋转性质可知，∠PCB =∠P C′B′．
由对称性知，CE =EC′，PE ⊥CC′，∠CPE =∠C′PE． 由(2)知，BC ∥y 轴∥l ，
BF CE
==1，∠PCB =∠CPE=∠C′PE，即∠PC′B′=∠C′PE． FC 'EC '
1
∴BF=FC′，PF=FC′，即PF =BC '．
2
1
∴FE =BC =-1+m ．
2
∴
BC′=2PF=2(PE －EF ) =2[(2m -2) -(2-2m ) -(-1+m ) ]=6m -6． 在Rt △BCC′中，BC '=BC +CC '，即(6m -6)
2
2
2
2
=
(2-2m ) +(4m ) ．
2
2
解得m 1=2
m 2=2(因m>1,舍) ．
即点B′ 恰好落在线段BC′上时，m
值为2
【易错点睛】不能抓住点与函数图像之间的关系，导致无法解答问题(1)；不能正确理解直角坐标系内线段与坐标轴平行的本质，导致无法解答问题(2)；不能应用图形的旋转变换过程中隐含的图形性质，导致无法揭示线段之间的数量关系导致出现无法解答问题(3)的现象．
【方法规律】(1)旋转问题主要是运用旋转的性质找到不变的线段和角，作为条件进一步应用；(2)求线段长问题中，主要有两种解决问题的方法：一是相似，二是解直角三角形，本题中利用勾股定理列方程求解就是解决问题的重要手段；(3)在证明一条线段平行于y 轴时，主要是得到其上两个点的纵坐标相等．
【试题难度】★★★★★
【关键词】图形旋转的特征；二次函数的应用；勾股定理；数形结合思想
大连市2014年初中毕业升学考试 数学
注意事项：
1．请在答题卡上作答．在试卷上作答无效．
2．本试卷共五大题，26小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．(2014辽宁大连，1，3分) 3的相反数是 ( )
A ．3 B ．-3 C ．11 D ．- 33
【答案】B
【考点解剖】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握求相反数的方法．
【解题思路】利用相反数求法求解即可．
【解答过程】解：将3的前面加上“－”号，得3的相反数是－3，故选择B ．
【易错点睛】此类问题容易出错的地方是和倒数等概念混淆．
【方法规律】求一个数a 的相反数，就是在这个数的前面添上“-”号即可求得-a ．
【试题难度】★
【关键词】相反数
2．(2014辽宁大连，2，3分) 如图所示的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是(
)
A ． B ． C ． D ． 正面
【答案】A
【考点解剖】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是能够观察出几何组合体的主视图．
【解题思路】直接从几何体的正面进行观察，所看到的平面图形即为所求答案．
【解答过程】解：从几何组合体的正面观察，看的平面图形共上下两层，上层横排两个，下层横排三个，故选A ．
【易错点睛】此类问题空间想象能力制约了解题是否正确．
【思维模式】主视图是从几何体正面看得到的平面图形，俯视图是从几何体上方看得到的平面图形，左视图是从几何体左侧看得到的平面图形．
【试题难度】★
【关键词】视图
3．(2014辽宁大连，3，3分) 《2013年大连市海洋环境状况公报》显示，2013年大连市管辖海域总面积为29000平方公里，29000用科学计数法表示为 ( )
A ．2. 9⨯10 B ．2. 9⨯10 C ．29⨯10 D ．0. 29⨯10
【答案】
B
3435
【考点解剖】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的一般形式及规律．
【解题思路】根据科学记数法的规律及一般形式求解．
【解答过程】解：本题是用科学记数法记较大的数，整数位共有5位，所以用科学记数法记为2. 9⨯10，故选A ．
【易错点睛】此类问题能否规范地书写是学生易错的点．
【归纳拓展】用科学记数法记较大的数的一般形式为a×10n (其中1≤a＜10，n 是正整数) ，其中n 是原数的整数位减1；用科学记数法记较小的数的一般形式为a×10n (其中1≤a＜10，n 是负整数) ，其中n 是从左边起第一个不为0的数前面0的个数．
【试题难度】★
【关键词】科学记数法
4．(2014辽宁大连，4，3分) 在平面直角坐标系中，将点(2，3) 向上平移1个单位，所得到的点的坐标是( )
A ．(1，3) B ．(2，2) C ．(2，4) D ．(3，3)
【答案】C
【考点解剖】本题考查了平面直角坐标系下点的平移规律问题，解题的关键是掌握平移点的坐标变化规律．
【解题思路】根据平移点的坐标变化规律确定平移后的坐标．
【解答过程】解：点(2，3) 向上平移一个单位，故横坐标不变，纵坐标加1即可得平移后坐标，故选C ．
【易错点睛】此类问题审题不细致，混淆平面内点平移前后横、纵坐标变化特征是错误主因．
【方法规律】在平面直角坐标系中，将点(x，y) 向右(或向左) 平移a 个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x－a ，y)) ；将点(x，y) 向上(或向下) 平移b 个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y －b)) ．
【试题难度】★
【关键词】探索点的坐标变化规律
5．(2014辽宁大连，5，3分) 下列计算正确的是 ( )
22A ．a +a =a B ．(3a ) =6a C ．a ÷a =a D ．a 2·a 3＝a 5 236234
【答案】D
【考点解剖】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握幂的相关运算公式．
【解题思路】根据幂的相关运算公式逐一排除选出正确答案．
【解答过程】解：A 选项不符合同底数幂乘法公式，结果错误；B 选项是积的乘方公式，结果应该是9a 2，故错误；C 选项为同底数幂相除，结果应该是a 4，故错误；D 选项符合同底数幂乘法公式，故选D ．
【易错点睛】对公式掌握不熟，分不清类别是易错的原因．
【方法规律】幂的运算公式的掌握是解决此类问题的关键，公式包含有：(1)同底数幂乘法公式：a m ×a n =a m +n (m 、n 都是正整数) ；(2)同底数幂除法公式：a m ÷a n =a m -n (m 、n 都是正整数) ；
(3)幂的乘方公式：(a m ) n =a mn (m 、n 都是正整数) ；(4)积的乘方的公式：(ab ) m =a m b m (m 是正整数) ．
【试题难度】★★
【关键词】同底数幂的乘法；积的乘方；同底数幂的除法
6．(2014辽宁大连，6，3分) 不等式组⎨⎧x -2>1的解集是 ( )
⎩3x -4>x
A ．x >-2 B ．x 3 D ．x
【答案】C
【考点解剖】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．
【解题思路】分别解出两个不等式的解集，取其公共部分作为不等式组的解集．
【解答过程】解：解不等式①得x ＞3，解不等式②得x ＞2，根据“大大取大”确定不等式组的解集为x ＞3，故选C ．
【易错点睛】解不等式过程中，不等号是否改变方向这一步骤学生容易忽视导致犯错误．
【方法规律】确定不等式组的解集有两种方法：一是采用画数轴的方法确定解集的公共部分；二是可采用口诀：大大取大， 小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
【试题难度】★★
【关键词】一元一次不等式组的解法
7．(2014辽宁大连，7，3分) 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除了颜色以外都相同。从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红色的概率为 ( )
A ．1115 B ． C ． D ． 6326
【答案】A
【考点解剖】本题考查了求事件发生的概率，解题的关键是能不重不漏写出所有等可能的结果．
【解题思路】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的情况，从中找到两个球都是红球的可能性结果，进而确定事件发生的概率．
【解答过程】解：列表可得共有6种等可能情况：(红，红) ，(红，黄) ，(红，绿) ，(黄，红) ，(黄，黄) ，(黄，绿) ；其中两次取出的球都是红球的情况有1种，故概率为
【易错点睛】列树状图或者列表出错是本题的错误产生的主要原因．
【思维模式】运用公式P (A )=1，选A ． 6m 求简单事件发生的概率，关键是用列表的方法或列树状图n
的方法求出所有等可能情况的数目(n ) 和事件发生的数目(m ) ，进而求解．
【试题难度】★★
【关键词】求概率的方法
8．(2014辽宁大连，8，3分) 一个圆锥的高为4㎝，底面圆的半径为3㎝，则这个圆锥的侧面积为 ( )
A ．12π㎝2 B ．15π㎝2 C ．20π㎝2 D ．30π㎝2
【答案】B
【考点解剖】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面积求法的公式．
【解题思路】首先利用勾股定理求出母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解．
【解答过程】解：根据勾股定理可以求出母线长l
，再由圆锥的侧面积公式S 圆锥侧=πlr ，将l =5、r =3代入得S 圆锥侧=15π㎝2，故选B ．
【易错点睛】不能正确熟练掌握圆锥的侧面积公式，制约着问题的解决．
【思维模式】圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧=πlr ，因此，在求圆锥的侧面积时，首先要解决的就是求出其底面半径和母线．
【试题难度】★★
【关键词】几何体的展开图及其应用
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9．(2014辽宁大连，9，3分) 分解因式：x -4=______________．
【答案】(x-2)(x+2)
【考点解剖】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
【解题思路】观察符合平方差公式，因此可以用平方差公式进行分解．
【解答过程】解：根据平方差公式，原式可以分解为(x-2)(x+2)．
【易错点睛】没有把4写出平方的形式，分解成 (x + 4)(x–4) ．
【思维模式】在解决因式分解问题时，首先要观察是否有公因式，有公因式一定要提公因式，然后再看是否符合公式法，即使提完公因式，也要观察是否继续可以用公式法因式分解，当上述方法都不符合时，分组分解．
【试题难度】★
【关键词】 因式分解；平方差公式
10．(2014辽宁大连，10，3分) 函数y =(x -1) 2+3的最小值为________．
【答案】3
【考点解剖】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握用二次函数顶点坐标求最值的方法．
【解题思路】通过二次函数的顶点坐标确定二次函数的最值．
【解答过程】解：根据二次函数的解析式确定其顶点坐标为(1，3) ，即当x=1时，y 有最小值3，故二次函数的最小值为3．
【易错点睛】不能正确从二次函数顶点式中确定函数的最大值或最小值，导致出现错误．
【思维模式】在求二次函数的最值问题或者对称轴时，首先要将解析式化为y ＝a(x－h) 2＋k 的形式，其中直线x ＝h 是对称轴，k 是函数的最值．
【试题难度】★
【关键词】 二次函数的性质
2
211．(2014辽宁大连，11，3分) 当a =9时，代数式a +2a +1的值为_________．
【答案】100
【考点解剖】本题考查了代数式的求值，解题的关键是正确代入求值．
【解题思路】首先将多项式因式分解，然后将a 的值代入求值．
【解答过程】解：a +2a +1可以化简为(a+1)2，再由a=9，可得原式=(9+1)2=100．
【易错点睛】代入过程中计算不准确容易导致解题错误．
【方法规律】在求代数式值的过程中，要注意如何使代入后求值简便，有时可以采用将代数式化简，有时可以采取将代数式通过因式分解等方法进行变形，使得代入更易于操作、计算．
【试题难度】★★
【关键词】 求代数式的值
12．(2014辽宁大连，12，3分) 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若BC ＝4㎝，则DE ＝_____㎝．
2
A
B B C
(第12题) (第13题) (第14题)
【答案】2
【考点解剖】本题考查了三角形的中位线，解题的关键是掌握中位线的定义及性质．
【解题思路】根据题意可知DE 为△ABC 的中位线，故DE=1BC 可求得DE ． 2
【解答过程】解：因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以DE 为△ABC 的中位线，所以DE=1BC ，而BC=4cm可得DE=2cm． 2
【易错点睛】对中位线性质掌握不准是解题的主要障碍．
【方法规律】在遇到多个中点的条件的问题中，运用三角形中位线性质得出线段间的位置关系和数量关系进而求解是常用的手段．
【试题难度】★
【关键词】三角形中位线定理
13．(2014辽宁大连，13，3分) 如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO ＝55°，则∠ADO ＝_____°．
【答案】35
【考点解剖】本题考查了菱形的性质，解题的关键是合理运用菱形的相关性质．
【解题思路】根据菱形的性质得到对角线互相垂直，由∠BCO 求出∠CBO ，再由菱形的性质可知BDC 是等腰三角形，得到∠CBO 等于∠CDO ，即可求出∠CDO ．
【解答过程】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CB ＝CD. ∴∠BOC ＝90°，∠CBO ＝∠CDO. ∵∠BCO ＝55°，∴∠CBO ＝90°－55°＝35°. ∴∠CDO ＝35°．
【易错点睛】对菱形的性质不熟是问题易错的主要原因．
【方法规律】在平行四边形及特殊的平行四边形的背景的题目中，往往运用相关的性质，得到角与角、线段与线段之间的关系去求解线段的长或角的度数．
【试题难度】★★
【关键词】菱形；菱形的性质及应用
14．(2014辽宁大连，14，3分) 如图，从一艘船的点A 处观测海岸上高41 m的灯塔BC ，(观测点A 与灯塔底部C 在一个水平面上) ，测得灯塔顶部B 的仰角为35°，则观测点A 到BC 灯塔的距离约为________m．(精确到1m)(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7)
【答案】59
【考点解剖】本题考查了解直角三角形，解题的关键是寻找合适的三角函数关系式．
【解题思路】在直角三角形ABC 中，可以利用正切函数及已知条件求解BC 长．
【解答过程】解：在Rt △ABC 中，tanA ＝BC BC 4141=，∴AC ＝=≈59． AC tan A tan 35︒0.7
【易错点睛】找错三角函数关系式是解直角三角形问题中易错的主要点．
【方法规律】解直角三角形寻找关系式时，只要把已知的角和边和需要求的角(或边) 组成两边一角，则两边的比值必构成这个角的某一三角函数值，而这个函数就是能用来求解的关系式．
【试题难度】★★
【关键词】解直角三角形的应用；仰角、俯角问题
15．(2014辽宁大连，
【答案】15
【考点解剖】本题考查了求一组数据的平均数，解题的关键是运用适当的平均数公式求解．
【解题思路】根据表格，知道各数据的频数，故可用加权平均数公式求解．
【解答过程】解：根据表格和加权平均数公式求解如下：
x =13⨯1+14⨯2+15⨯5+16⨯4=15． 1+2+5+4
【易错点睛】忽视各数据的个数，直接求各数据的平均数是学生易犯的错误．
【方法规律】平均数的计算公式有两个：①算术平均数公式：如果有n 个数据x 1，x 2，…，
11x n ，则(x 1+x 2+ +x n ) 就是这组数据的平均数，即=(x 1+x 2+ +x n ) ；②加n n
权平均数的公式：x =
【试题难度】★★
【关键词】平均数
16．(2014辽宁大连，16，3分) 点A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2) 分别在双曲线y =-
上，若y 1+y 2>0，则x 1+x 2的范围是____________．
【答案】x 1+x 2＞0
【考点解剖】本题考查了反比例函数图象性质，解题的关键是能够直观运用反比例函数图象解题．
【解题思路】画出反比例函数图像，根据题意把A 、B 两点画在图像上，根据图像分析问题.
【解答过程】解：点A 、B 分别在两个分支上，说明y 1与y 2异号，不妨设y 1＞0，则y 2＜0，而根据条件y 1+y 2>0可知y 1＞y 2，根据函数图象可知，y 的绝对值越大，其横坐标离原点越近，即x 的绝对值越小. 故x 1＜x 2，而根据函数关系式，每一点的横纵坐标异号，故x 1＜0，x 2＞0，所以x 1+x 2＞0．
【易错点睛】不会利用函数直观观察横坐标的关系是解题的障碍．
【方法规律】从图象上观察函数图象的变化规律，有时解决计算问题要远比直接计算要简便，而且有时这种解决方式，会解决计算无法解决的问题．
【试题难度】★★★★★
【关键词】反比函数的图像 数形结合
三、解答题(本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分)
17(2014辽宁大连，17，9分) ．计算：3(1-) ++()
【考点解剖】本题考查了实数的计算，解题的关键是能够掌握实数运算法则．
【解题思路】先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【解答过程】解：(1-3) ++()
3＋
3
x 1w 1+x 2w 2+... x n w n ． w 1+w 2+... w n 1的两支x 13-113-1
＝
【易错点睛】二次根式的运算不够准确是运算中最容易犯错的知识．
【方法规律】实数的运算，重要的是掌握运算法则和运算顺序的正确．
【试题难度】★★
【关键词】实数的四则运算；二次根式的化简
18．(2014辽宁大连，18，9分) 解方程：3=x +1 x +12x +2
【考点解剖】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法．
【解题思路】去分母、去括号、解一元一次方程、检验，按照解分式方程的步骤进行即可．
【解答过程】解：方程两边同时乘以2(x＋1) ，得
6＝x ＋2(x＋1)
解得x ＝4 3
【易错点睛】去分母时最简公分母的寻找、1漏乘最简公分母、忘记检验等都是学生易错的点．
【方法规律】解分式方程只需要按照解分式方程的步骤进行即可，但是要注意最简公分母的寻找要准确，一定要把所有分母因式分解后寻找，取所有因式的最高次幂的积即可．
【试题难度】★★
【关键词】分式方程的解法
19．(2014辽宁大连，19，9分) 如图：点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB ＝CD ，AE ∥BF ，CE ∥DF ．
求证：AE ＝BF
【考点解剖】本题考查了三角形全等的证明，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法．
【解题思路】利用AB=CD寻找边相等的条件，通过平行得到角相等的条件，进而得到三角形全等．
【解答过程】证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC
即AC=BD
∵AE ∥BF ，CE ∥DF
∴∠A=∠FBC ，∠D=∠ECA
在△AEC 和△BFD 中
B C
⎧∠A =∠FBC ⎪⎨AC =BD
⎪∠ECA =∠D ⎩
∴△AEC ≌△BFD(ASA)
∴AE ＝BF
【易错点睛】对全等的条件理解不足，往往会出现直接应用AB=CD作为问题条件导致出现错误．
【方法规律】证明三角形全等，需要根据判定方法寻找条件，平行线的条件为三角形全等的证明提供了证明角相等的条件．
【试题难度】★
【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质
20．(2014辽宁大连，20，12分) 某地为了解气温变化情况，对某月中午12时的气温(单位：℃) 进行了统计. 以下是根据有关数据制作的统计图表的一部分.
根据以上信息解答下列问题：
(1)这个月中午12时的气温在8℃至12℃(不含12℃) 的天数为_______天，占这个月总天数的百分比为_______％，这个月共有_______天；
(2)统计表中的a ＝_______，这个月中午12时的气温在_______范围内的天数最多；
(3)求这个月中午12时的气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比.
【考点解剖】本题考查了频数统计表和扇形统计图的应用，解题的关键是从统计表和扇形统计图中读取信息，并进一步应用．
【解题思路】第(1)问是关于B 组的一系列问题，从统计表和统计图中直接读取信息，利用B 组天数和百分比算出这个月总天数；(2)通过总天数减去其余天数即可得到a 的值，并对比出哪一组的频数最高；(3)把气温不低于16℃的天数求出并除以这个月的天数即可．
【解答过程】解：(1)6；20；30
(2)3；12≤x
(3)(8+4)÷30=40%
答：这个月中午12时的气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比为40%．
【易错点睛】数据读取错误，公式运用不熟都易造成错误．
【思维模式】在解决统计表和扇形统计图的问题中，要注意找到表中和图中都已知的数据，据此求出总数，并进一步应用．
【试题难度】★★
【关键词】统计表；扇形图
四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)
21．(2014辽宁大连，21，9分) 某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件．
【考点解剖】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是对增长率问题的理解与掌握．
【解题思路】(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可解出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
【解答过程】解：(1)设这种产品产量的年增长率为x ，根据题意列方程得
100(1+x)2＝121
解x 1=0.1，x 2=-2.1(舍去)
答：这种产品产量的年增长率为10%．
(2)100×(1+10%)=110
答：2014年这种产品的产量达到110万件．
【易错点睛】增长率公式运用不熟是学生易错点．
【方法规律】增长率问题，可以设基数为a ，平均增长率为x ，增长的次数为n ，则增长后的结果为a(1+x)n ；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1-x)n ．
【试题难度】★★
【关键词】一元二次方程的应用---增长率问题
22．(2014辽宁大连，22，9分) 小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同的路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距离出发地280米．小明登上山顶立即按照原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山的速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离开出发地的路程y 1(米) 、y 2(米) 、与小明出发的时间x (分) 的函数关系如图所示．
O /分
(1)图中a =______，b =_______；
(2)求小明的爸爸下山所用的时间．
【考点解剖】本题考查了一次函数的应用，解
题的关键是从图象中读取信息，并进一步应用． 【解题思路】(1)结合已知条件读出a 、b 的值； (2)利用条件求出直线OB 的解析式，并求出 AC 的解析式，从而求出C 点坐标，24与C 点 横坐标的差即为所求．
【解答过程】解：(1)8；280
(2)由题意可知B 点坐标为(8,280)，设OB
的解析式为y=kx，则280=8k，解k=35，所以 OB 的解析式为y=35x.设直线AC 的解析式为 y=ax+b，因为AC 经过点(8,400)、(24,0)
400=8a +b , 解得⎧a =-25, ∴AC 解析式为y =-25x +600．∴⎧解方程组⎨⎨⎩0=24a +b .
⎨
⎩b =600.
⎧y =35x
⎩y =-25x +600
得x=10，24－10=14．
∴小明的爸爸下山所用的时间为14分钟．
【易错点睛】不能正确地从图像中获取相关信息，导致无法寻求解题的突破口，往往是学生找不到解题思路的主要原因．
【方法规律】一次函数的实际应用问题，要注意从图象中读取相关的信息，并结合已知条件，通过列方程或者求函数关系式的方法求解． 【试题难度】★★★
【关键词】一次函数的实际应用；一次函数的图象及性质 23．(2014辽宁大连，23，10分) 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，与⊙O 相切， BD ∥AC ．
(1)图中∠OCD ＝_______°，理由是_____________________； (2)⊙O 的半径为3，AC ＝4，求OD 的长．
D
A
【考点解剖】本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似的判定和性质，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)根据切线的性质容易得出结论；
(2)连接BC ，利用直角三角形可求BC 长，进而证明△ACB ∽△CBD ，并进而用比例式求
CD 长进而求OD ．
【解答过程】(1)90，圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)解：连接BC ．
（第23题）
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．
∵⊙O 的半径为3，AC =4，
∴BC
∵∠BCD +∠OCB=∠OCD ＝90°． ∠OCA +∠OCB =90°， ∴∠OCA=∠BCD ． ∵OA =OC ，
∴∠OAC=∠OCA ． ∴∠OAC=∠BCD ． ∵BD ∥AC ，
∴∠ACB =∠CBD ． ∴△ACB ∽△CBD ．
AB ⋅
BC
∴AC =AB ，即CD =
AC CB CD
∴OD
【易错点睛】不能将问题转化，而出现不能根据条件构造相似三角形是解题中学生感到最大的障碍．
【方法规律】求线段长的问题往往解决的方法是相似或者解直角三角形，本题中应该利用好平行得到角相等的条件及圆的相关性质寻找角相等的条件，进而证明相似． 【试题难度】★★★★
【关键词】圆周角；切线的判定与性质；相似三角形的性质与判定；勾股定理的应用
五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)
24．(2014辽宁大连，24，11分) 如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，折叠纸片使点B 落在AD 上，落点为B’ ．点B’从点A 开始沿着AD 移动，折痕所在的直线l 的位置也随之改变，当直线l 经过点A 时，点B’停止移动，连接BB’ ．设直线l 与AB 相交于点E 、与CD 所在直线相交于点F ，点B’ 的移动距离为x ，点F 与点C 的距离为y ． (1)求证：∠BEF ＝∠A B’B；
(2)求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．
【考点解剖】本题考查了轴对称性质、相似的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)利用对称轴垂直平分对称点的连线及矩形性质得到对角互补的四边形，构造外角等于内对角得到问题(1)中的两角相等；(2)作FG ⊥AB 于G ，构造△ABB ′与△GFE 相似，利用相似用x 表示EG ，然后利用勾股定理用x 表示AE ，进而表示出BG ，得到y 与x 的关系式，第二种情况也可以类似解决．
【解答过程】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
B
C
（第24题图1）
∴∠BAD =90°． ∵点B 、B ′关于直线l 对称， ∴BB ′⊥EF ．
∴∠AEF +∠A B′B =180°=∠A +∠EPB ′， ∵∠BEF +∠AEF =180° ∴∠BEF=∠AB ′B ．
(2)解：∵点B 、B ′关于直线l 对称， ∴EB ′=EB ． 在Rt △AEB ′中，
2
2
AB '2+AE 2=EB '2,
2
即x +AE =(6-AE ) ． 解得AE =-
112
x +3．
2
当l
恰好经过点C 时，情况发生变化，此时B ′C ′即为B ′C
，DB ′=
① 当0≤x ≤8－1，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．
∴∠EGF =∠FGB =90°=∠B ′AB ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC =∠BCD =90° ∴四边形GBCF 是矩形． ∴BG =CF =y ，GF =BC =8． 由(1)知∠AB ′B =∠BEF ， ∴△ABB ′∽△GFE ．
AB '⋅GF 8x 4
==x ． ∴AB '=AB ，即EG =
EG GF
AB 63
∴y =AB -AE -EG =6-(-
112
x +3) -
2
43
x =
112
x -
2
43
x +3．
②当8－x ≤6时，如图2，
过点F 作FG ⊥AB ，与AB 的延长线相交于点G ． 同理，△ABB ′∽△GFE ，EG =x ，BG =CF =y ． ∴y =AE +EG -AB =(-
112x +3) +
2
43
43
x -6=-
112
x +
2
43
x -3．
⎧124
x -x +3(0≤x ≤8-⎪⎪123
综上，y =⎨
142⎪-x +x -3(8-x ≤6). ⎪3⎩12
【易错点睛】不能利用动点运动情形下可能出现的不同位置，而导致分类不全面的错误结
果．
【方法规律】(1)在动点问题中，要多画图，通过画图去理解当形状发生变化时，就会出现其它情况，要注意分情况讨论；(2)在折叠(轴对称) 问题中，通常会利用直角三角形运用勾股定理求线段长或用自变量表示线段长度；(3)在动点问题中，寻求变化的情况时，要注意界限点的寻找，这是求函数自变量取值范围的重要依据；(4)线段之间的关系问题，可以利用相似构造比例式求解． 【试题难度】★★★★★
【关键词】相似三角形；轴对称；勾股定理；分类讨论思想
25．(2014辽宁大连，25，12分) 如图1，△ABC 中，AB ＝AC ， 点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，DE ＝DC ，点F 是DE 与AC 的交点，且DF ＝FE ．
(1)图1中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理
由；
(2)求证BE ＝EC ；
(3)若将“点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上”和“点F 是DE 与AC 的交点，且DF ＝FE ”，分别改为“点D 在AB 上，点E 是在CB 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与AC 的交点，且DF ＝kFE ．”，其他条件不变(如图2). 当AB ＝1，∠ABC ＝a 时，求BE 的长(用含k 、a 的式子表示).
D
B
图1 图2
【考点解剖】本题考查了等腰三角形性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)利用等腰三角形性质得到底角相等，再利用等角减等角差相等得到和∠BDE 相等的角，即∠ACD ；(2)作DG ∥CB 交CA 延长线于G ，构造△DGF 与△ECF 全等，得到CE =DG 及∠DGC=∠GCB ，进而得到∠DGC=∠EBD ，再利用DE =DC 及第一问中的角相等条件证明△GCD ≌△BDE ，从而得到DG =BE ，从而得到CE =BE ；(3)类似第(2)问作DG ∥CB 交CA 于G ，得到△BDE ≌△GCD ，得到BE=GD，再利用△FDG ∽△FEC 得到BE 与BC 的关系，再根据解直角三角形得到BC 与AB 、a 的关系，从而得到BE 的长． 【解答过程】(1)存在，∠ACD=∠BDE ．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB ． ∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE ．
∵∠ACD =∠DCE －∠ACB ，∠BDE=∠DEC －∠ABC ， ∴∠ACD=∠BDE ．
(2)证明：如图1，过点D 作BC 的平行线，与CA 的延
长线相交于点G ．则∠DGF=∠ECF
∵DF=FE，∠DFG=∠EFC ，∠DGF=∠ECF ， ∴△DFG ≌△EFC ．
∴∠DGC=∠GCB=∠EBD ，GD=CE． ∵∠ACD=∠BDE ，CD=DE， ∴△GCD ≌△BDE ． ∴GD=BE． ∴BE =EC ．
(3)解：如图2，过点D 作BC 的平行线，
（第25题图1）
与AC 相交于点G ． ∴∠GDC=∠DCE ． ∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠GDC ． ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB ．
又∵∠BDE=∠ABC －∠DEB=∠ACB －∠DCE=∠GCD ， ∴△BDE ≌△GCD ． ∴BE=GD． ∵DG ∥EC ，
∴△FDG ∽△FEC ． ∴FD =GD ，即k =
FE
CE
BE BC +BE
（第25题图2）
，BE =
kBC 1-k
．
过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ．则 BC=2BH=2AB cos α=2cos α， ∴BE =
2k cos α1-k
．
【易错点睛】不能灵活从问题特殊情形时解题的过程中获取一般性的解题规律，导致解题错误．
【方法规律】(1)有关中点问题，倍长中线或者做平行线是一种有效的解题手段；(2)求线段长问题中，主要有两种解决问题的方法：一是相似，二是解直角三角形；(3)建立边、角之间的关系，显然应该用解直角三角形解决；(4)在解决综合问题中，往往蕴含着转化的数学思想，这也是分析问题的方向． 【试题难度】★★★★★
【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形；解直角三角形；特殊与一般思想
26．(2014辽宁大连，26，12分) 如图，抛物线y =a (x -m ) 2+2m -2(其中m >1) 与其对称轴l 相交于点P ，与y 轴相交于点A(0，m -1). 连接并延长P A 、PO ，与x 轴、抛物线分别相交于点B 、C ，连接BC . 点C 关于直线l 的对称点为C’，连接PC’，即有PC’＝PC . 将△PBC 绕点P 逆时针旋转，使点C 与点C ’重合，得到△PB’C’ (1)该抛物线的解析式为___________________(用含m 的式子表示) ； (2)求证：BC ∥y 轴
(3)若点B’恰好落在线段BC’上，求此时m 的值.
P
【考点解剖】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定、解一元二次方程，解题的关键是综合运用这些知识．
【解题思路】(1)将点A 坐标代入函数解析式求a 值，从而求得函数解析式；(2)首先用m 表示直线P A 、PO 的解析式，进而表示出点C 的坐标、B 点坐标，由两点的横坐标相同可以得到BC ∥y 轴；(3)通过已知条件用m 表示出PF 长，进而表示出BC′的长，而BC 长和CC′长均比较容易用m 表示出，可以用勾股定理列方程求解． 【解答过程】解：(1)y =
1-m
2
m m
(2)设直线P A 的解析式为y =k 1x +b ，则
x +
2
2m -2
x +m -1．
m -1⎧⎧mk 1+b =2m -2, k =, ⎪ 解得1⎨m ⎨
⎩b =m -1. ⎪
⎩b =m -1.
∴直线P A 的解析式为 y =
m -1m
x +m -1．
当y =0时，x =-m ．即点B 的坐标为(-m ，0) ． 设直线PO 的解析式为y =k 2x ，则
mk 2=2m -2．解得k 2=
2m -2m
．
x ．
∴直线PO 的解析式为y =设点C 的坐标为(x c ,
2m -2m
2m -2
x c ) ，则 m
2m -21-m 2m -2
x c =2x c 2+x c +m -1． m m m
解得x c =m (舍) 或x c =-m ．
∴点C 的坐标为(-m ，2-2m ) ． ∴BC ∥y 轴．
(3)连接BB′，与对称轴l 相交于点F ． 由旋转性质可知，∠PCB =∠P C′B′．
由对称性知，CE =EC′，PE ⊥CC′，∠CPE =∠C′PE． 由(2)知，BC ∥y 轴∥l ，
BF CE
==1，∠PCB =∠CPE=∠C′PE，即∠PC′B′=∠C′PE． FC 'EC '
1
∴BF=FC′，PF=FC′，即PF =BC '．
2
1
∴FE =BC =-1+m ．
2
∴
BC′=2PF=2(PE －EF ) =2[(2m -2) -(2-2m ) -(-1+m ) ]=6m -6． 在Rt △BCC′中，BC '=BC +CC '，即(6m -6)
2
2
2
2
=
(2-2m ) +(4m ) ．
2
2
解得m 1=2
m 2=2(因m>1,舍) ．
即点B′ 恰好落在线段BC′上时，m
值为2
【易错点睛】不能抓住点与函数图像之间的关系，导致无法解答问题(1)；不能正确理解直角坐标系内线段与坐标轴平行的本质，导致无法解答问题(2)；不能应用图形的旋转变换过程中隐含的图形性质，导致无法揭示线段之间的数量关系导致出现无法解答问题(3)的现象．
【方法规律】(1)旋转问题主要是运用旋转的性质找到不变的线段和角，作为条件进一步应用；(2)求线段长问题中，主要有两种解决问题的方法：一是相似，二是解直角三角形，本题中利用勾股定理列方程求解就是解决问题的重要手段；(3)在证明一条线段平行于y 轴时，主要是得到其上两个点的纵坐标相等．
【试题难度】★★★★★
【关键词】图形旋转的特征；二次函数的应用；勾股定理；数形结合思想