三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小) ，三角形面积也就越大(小) ； 如果三角形的高不变，底越大(小) ，三角形面积也就越大(小) ；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一
31
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S 1:S 2=a :b
A B
S 1a
S 2
b
C D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S △ACD =S △BCD ； 反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形．
【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
A
B
D
C
【例 3】 如右图，ABFE 和C D EF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面
积是 平方厘米．
E
【巩固】(2009年四中小升初入学测试题) 如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是
平方厘米．
【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FD C E 拼成了长方形ABC D ，长方形ABC D 的长是20，宽是12，则
它内部阴影部分的面积是 ．
A
B
F
G 分别是长方形ABC D 边上的中点，H 为AD 【例 4】 如图，长方形ABC D 的面积是56平方厘米，点E 、F 、
边上的任意一点，求阴影部分的面积．
A E B
【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABC D 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
分的面积是 ．
G
E B
C
【例 5】 长方形ABC D 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
E
【例 6】 长方形ABC D 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
E
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABC D 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P 点连接, 求阴影部分面积．
【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD =12厘米，D E =3厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC
面积的几倍？
B
D
C
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一
共有哪几个三角形？
F D
B
【巩固】如图，在 ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与 ABE 等积的三角形一共
有哪几个三角形？
A
B
【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
B
C
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题) 如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE =3AB ，BD =2BC ，三角形BDE
的面积是多少？
A
B E
A
∆A B
C 【例 10】 (2008年四中考题) 如右图，AD =DB ，AE =EF =FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，
的面积是 平方厘米．
【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF
长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
【巩固】如图，在长方形ABC D 中，Y 是BD 的中点，Z 是D Y 的中点，如果AB =24厘米，B C =8厘米，求
三角形Z C Y 的面积．
D
Z A
Y
C B
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．
A
F
B
E C
【巩固】如图，在三角形ABC 中，B C =8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形
EBF 的面积是多少平方厘米？
A E C
【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．
G
C D
E A
F B
【巩固】(97迎春杯决赛) 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2
AN =BN .
那么，阴影部分的面积是多少？
N
D
【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
【例 13】 如图，三角形ABC 中，D C =2BD ，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC C E =3AE ，
的面积是多少？
B
【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级) 如图，在三角形ABC 中，已知三角形AD E 、三角形D C E 、
三角形BC D 的面积分别是89，28，26．那么三角形
DBE 的面积是 ．
C
【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛) 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形
BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．
A
B
【例 16】
C
图中 AOB 的面积为15cm 2，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．
A
B
【例 17】
如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．
A
B
【例 18】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm 2．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄红
绿
红
【例 19】 O 是长方形ABC D 内一点，已知∆O BC 的面积是5cm 2，∆O A B 的面积是2cm 2，求∆
O BD 的面
积是多少？
【例 20】 如右图，过平行四边形ABC D 内的一点P 作边的平行线EF 、G H ，若∆PBD 的面积为8平方
分米，求平行四边形P H C F 的面积比平行四边形P G A
E 的面积大多少平方分米？
H C
【例 21】
如右图，正方形ABC D 的面积是20，正三角形∆B P C 的面积是15，求阴影∆BPD 的面积．
A
B
【巩固】如右图，正方形ABC D 的面积是12，正三角形∆B P C 的面积是5，求阴影
∆BPD 的面积．
A
B
【例 22】 在长方形ABC D 内部有一点O ，形成等腰∆A O B 的面积为16，等腰∆D O C 的面积占长方形面积
的18%，那么阴影∆AO C
的面积是多少？
D
【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABC D 中，E 、F
分别是其两腰AB 、C D 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知∆AD G 的面积为15cm 2，而∆BC G 的
面积恰好是梯形ABC D 面积的
720
，则梯形ABC D 的面积是 cm 2．
A D
E
B
【例 24】
如图所示，四边形ABC D 与AEG F 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
C
A
E
【巩固】如图所示，正方形ABC D 的边长为8厘米，长方形EBG F 的长B G 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
E A F D
G
B
【例 25】
如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1. 5，C F =2．长方形EFGH 的面积为 ．
H
A E
D
G
B
F C
【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果 ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的
面积．
D A
【巩固】如右图，在平行四边形ABC D 中，直线C F 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE =1，求△BEF
的面积．
C
D
【例 27】
F
图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，
则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【例 28】
如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形G F E B 的边长为10
厘米，求阴影部分的面积．
E
K
A B
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
A
【巩固】(2008年西城实验考题) 如图，ABC D 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图
中阴影部分的面积为
．
F
【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
【巩固】(人大附中考题) 已知正方形ABC D 边长为10，正方形B E F G 边长为6，求阴影部分的面积．
A
G
B
【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛) 右图中，ABC D 和C G EF 是两个正方形，A G 和C F 相交于H ，已知C H
等于C F 的三分之一，三角形C H G 的面积等于6平方厘米，求五边形ABG EF 的面积．
F E
A
D H
B C
【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题) 如下图，E 、F 分别是梯形ABC D 的下底BC 和腰C D 上的
点，D F =FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABC D 的面积是
32平方厘米．求图中阴影部分的面积．
G
B
C
【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形A C F 的面积是4，那么
三角形ABC 的面积是多少？
A F C
【例 32】
如图，在平行四边形ABC D 中，B E =E C ，C F =2FD ．求阴影面积与空白面积的比．
B
【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛) 如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E
是A C 边上的一点，且AE =3EC ，O 为D C 与BE 的交点．若∆C E O 的面积为a 平方厘米，∆BD O 的面积为b 平方厘米．且b -a 是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．
A
b
B
O
E C
【例 34】 如图，在梯形ABC D 中，AD :BE =4:3，BE :EC =2:3，且∆B O E 的面积比∆AO D 的面积小10
平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
A
D
B E C
【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛) 如图，BD 是梯形ABC D 的一条对角线，线段AE 与D C 平行，AE
与BD 相交于O 点．已知三角形BO E 的面积比三角形A O D 的面积大4平方米，并且EC =梯形ABC D 的面积．
A D
25BC
．求
B E
【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，4
9．那么图中
阴影部分的面积是多少？
E
【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、
12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分) 的面积是多少平方厘米？
【例 37】 如图，长方形ABC D 的面积是2平方厘米，EC =2D E ，F 是
D G 的中点．阴影部分的面积是
多少平方厘米？
D C
【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题) 如图，三角形田地中有两条小路AE 和C F ，交叉处为D ，张大
伯常走这两条小路，他知道D F =D C , 且AD =2D E ．则两块地A C F 和C F B 的面积比是_________．
C
E F
B
【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试) 如图，BC =45，AC =21，∆A B C 被分
成9个面积相等的小三角形，那么D I +FK = ．
B E A
K
C I
A
F
【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角M O N 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，
并且∆O A B 、∆A B C 、∆B C D 、∆C D E 、∆DEF 的面积都等于1，则∆D C F 的面积等于
．
O
【例 40】
、M 分别为直角梯形ABC D 两边上的点，且DQ 、C P 、M E 彼此平行，若AD =5，BC =7，A E =5，EB =
3．求阴影部分的面积．
E
A Q E B P
C
【例 41】 (2007年人大附中分班考试题) 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形H B C
)
B
【例 42】 (2009年四中入学测试题) 如图，已知C D =5，D E =7，E F =15，FG =6，线段AB 将图形分
成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形AD G 的面积是 ．
D
E G
【巩固】(第四届希望杯) 如图，点D 、E 、F 在线段C G 上，已知C D =2厘米，D E =8厘米，EF =20厘米，
FG =4厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形AD G 的面积是多少平方厘米？
G
G
F
F
A
E
B
A
D
【例 43】 (2008年仁华考题) 如图，正方形的边长为10，四边形E F G H 的面积为5，那么阴影部分的面积
是 ．
A
B
【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形E F G H 的面积是 ．
A
B
【例 44】
(2008年走美六年级初赛) 如图所示，长方形ABC D 内的阴影部分的面积之和为70，A B =8，AD =15，四边形EFG O 的面积为 ．
A B
【巩固】(2008年”华杯赛”初赛) 如图所示，矩形ABC D 的面积为24平方厘米．三角形AD M 与三角形B C N
的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PM O N 的面积是 平方厘米．
D
A
P
C
【巩固】如图所示，矩形ABC D 的面积为36平方厘米，四边形PM O N 的面积是3平方厘米，则阴影部分的
面积是
平方厘米．
B
【巩固】(2008年清华附中考题) 如图，长方形ABC D 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则阴
影部分的面积为 ．
B
【例 45】
(清华附中分班考试题) 如图，如果长方形ABC D 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面
积是多少平方厘米？
【例 46】
(2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
2
10cm
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
厘米？
【巩固】已知正方形的边长为10，E C =3，BF =2，则S 四边形ABCD = ．
A
B
D
F
E
【例 47】
如图，三角形AEF 的面积是17，D E 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABC D 的面积．
A B F
D
【例 48】
E
C
(2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABC D 中，AB =67，BC =30．E 、F 分别是A B 、B C 边上的两点，BE +BF =49．那么，三角形D EF 面积的最小值是 ．
D C F
A
E B
【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试) ABC D 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意
一点，BL =DM =4、BK =D N =5，那么阴影部分的面积是 ．
【例 50】 如图所示，在四边形ABC D 中，E ，F ，G ，H 分别是ABC D 各边的中点，求阴影部分与四
边形PQRS 的面积之比．
【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级) 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABC D 各边的中点，F G 与FH
交于点O ，S 1、S 2、S 3及S 4分别表示四个小四边形的面积．试比较S 1+S 3与S 2+S 4的大小．
D
G
C S 4S 3
B
S 1
H S 2A
E
F
【例 51】 如图，四边形ABC D 中，D E :EF :FC =3:2:1，BG :G H :AH =3:2:1，AD :BC =1:2，已知
四边形ABC D 的面积等于4，则四边形EFH G 的面积= ．
D
A
H
G B
【拓展】如图，对于任意四边形ABC D ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形E F G H ，求四边形
E F G H 的面积是四边形ABC D 的几分之几？
A J
M E
N
F
B
K
H
D
O
G P
C
【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、C A 的正中间分
别取点L 、M 、N ，在边AL 、B M 、C N 上分别取点P 、Q 、R ，使LP =MQ =NR ，当P M 和RL 、
P M
和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY =XL ．
这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．
A P L X
B
Q
M N R C
【例 53】
如图：已知在梯形ABC D 中，上底是下底的
23
，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AM E 、三
角形BM F 、三角形N FC 的面积分别为14、20、12．求三角形N D E 的面积．
A
B
M
E
F
N
D
C
【例 54】
如图，已知ABC D 是梯形，AD ∥BC ，AD :BC =1:2，S ∆AOF :S ∆DOE =1:3，S ∆BEF =24cm 2，求∆AO F 的面积．
A D
F
O E
B
【例 55】
C
C D 的中点．（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABC D 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、如
果∆ASM 、∆M TB 与∆D SN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABC D 的面积为．
D
A
M
T
C N
B
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
如图在△ABC 中，D , E 分别是A B , A C 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在A C 上) ， 则S △ABC :S △ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
D
A
A
D
E
E
B
图⑴ 图⑵
C
B C
【例 56】 如图在△ABC 中，D , E 分别是A B , A C 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16
平方厘米，求△ABC 的面积．
A
D
E
B
C
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，A C 是AE 的3倍，如果三角形AD E 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？
C
B
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分) 、乙两部分，B D =D C =4，B E =3，AE =6，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
E B
甲
D
乙
C
【例 57】
如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在A C 上，且AB :AD =5:2， AE :EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．
D
A
E
B
C
【例 58】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF =2CF ，三角形AFE (
图中阴影部分)
的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【例 59】
已知△D EF 的面积为7平方厘米，BE =C E , AD =2BD , C F =3AF ，求△ABC 的面积．
A
D B
E
C
【例 60】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中AB :BE =2:5，BC :C D =3:2，三角形BDE 的
面积是多少？
A
B E
A
C
【例 61】
(2007年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABC D 边长为6厘米，AE =
13BC
13AC
，
C F =
．三角形D EF
的面积为_______平方厘米．
A
【例 62】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD =AB ；延长BC 至E ，使C E =2BC ；
延长C A 至F ，使AF =3AC ，求三角形D EF 的面积．
F
B D
【例 63】 如图，平行四边形ABC D ，BE =AB ，C F =2C B ，G D =3D C ，HA =4AD ，平行四边形ABC D
的面积是2， 求平行四边形ABC D 与四边形E F G H 的面积比．
H
A
G
D F
B E
【例 64】 如图，四边形E F G H 的面积是66平方米，EA =AB ，C B =BF ，D C =C G ，HD =DA ，求四
边形ABC D 的面积．
H D A E
F
【例 65】 如图，将四边形ABC D 的四条边AB 、C B 、C D 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若
四边形ABC D 的面积为5，则四边形E F G H 的面积是 ．
F H
【例 66】
如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使C E =
12BC
E
G
，F 是A C 的
中点，若△ABC 的面积是2，则△D EF 的面积是多少？
A F
B
D
【例 67】
如图，S △ABC =1，BC =5BD ，AC =4EC ，D G =G S =SE ，AF =FG ．求S FGS ．
C
E
A F G
B
D
E C
【例 68】 如图所示，正方形ABC D 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是C E 的中点，G 是BF 的中点，
三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
E
F D
B
【例 69】
四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
C
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABC D E 的面积是 ．
E
三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小) ，三角形面积也就越大(小) ； 如果三角形的高不变，底越大(小) ，三角形面积也就越大(小) ；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一
31
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S 1:S 2=a :b
A B
S 1a
S 2
b
C D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S △ACD =S △BCD ； 反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形．
【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
A
B
D
C
【例 3】 如右图，ABFE 和C D EF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面
积是 平方厘米．
E
【巩固】(2009年四中小升初入学测试题) 如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是
平方厘米．
【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FD C E 拼成了长方形ABC D ，长方形ABC D 的长是20，宽是12，则
它内部阴影部分的面积是 ．
A
B
F
G 分别是长方形ABC D 边上的中点，H 为AD 【例 4】 如图，长方形ABC D 的面积是56平方厘米，点E 、F 、
边上的任意一点，求阴影部分的面积．
A E B
【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABC D 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
分的面积是 ．
G
E B
C
【例 5】 长方形ABC D 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
E
【例 6】 长方形ABC D 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
E
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABC D 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P 点连接, 求阴影部分面积．
【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD =12厘米，D E =3厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC
面积的几倍？
B
D
C
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一
共有哪几个三角形？
F D
B
【巩固】如图，在 ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与 ABE 等积的三角形一共
有哪几个三角形？
A
B
【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
B
C
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题) 如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE =3AB ，BD =2BC ，三角形BDE
的面积是多少？
A
B E
A
∆A B
C 【例 10】 (2008年四中考题) 如右图，AD =DB ，AE =EF =FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，
的面积是 平方厘米．
【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF
长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
【巩固】如图，在长方形ABC D 中，Y 是BD 的中点，Z 是D Y 的中点，如果AB =24厘米，B C =8厘米，求
三角形Z C Y 的面积．
D
Z A
Y
C B
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．
A
F
B
E C
【巩固】如图，在三角形ABC 中，B C =8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形
EBF 的面积是多少平方厘米？
A E C
【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．
G
C D
E A
F B
【巩固】(97迎春杯决赛) 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2
AN =BN .
那么，阴影部分的面积是多少？
N
D
【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
【例 13】 如图，三角形ABC 中，D C =2BD ，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC C E =3AE ，
的面积是多少？
B
【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级) 如图，在三角形ABC 中，已知三角形AD E 、三角形D C E 、
三角形BC D 的面积分别是89，28，26．那么三角形
DBE 的面积是 ．
C
【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛) 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形
BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．
A
B
【例 16】
C
图中 AOB 的面积为15cm 2，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．
A
B
【例 17】
如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．
A
B
【例 18】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm 2．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄红
绿
红
【例 19】 O 是长方形ABC D 内一点，已知∆O BC 的面积是5cm 2，∆O A B 的面积是2cm 2，求∆
O BD 的面
积是多少？
【例 20】 如右图，过平行四边形ABC D 内的一点P 作边的平行线EF 、G H ，若∆PBD 的面积为8平方
分米，求平行四边形P H C F 的面积比平行四边形P G A
E 的面积大多少平方分米？
H C
【例 21】
如右图，正方形ABC D 的面积是20，正三角形∆B P C 的面积是15，求阴影∆BPD 的面积．
A
B
【巩固】如右图，正方形ABC D 的面积是12，正三角形∆B P C 的面积是5，求阴影
∆BPD 的面积．
A
B
【例 22】 在长方形ABC D 内部有一点O ，形成等腰∆A O B 的面积为16，等腰∆D O C 的面积占长方形面积
的18%，那么阴影∆AO C
的面积是多少？
D
【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABC D 中，E 、F
分别是其两腰AB 、C D 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知∆AD G 的面积为15cm 2，而∆BC G 的
面积恰好是梯形ABC D 面积的
720
，则梯形ABC D 的面积是 cm 2．
A D
E
B
【例 24】
如图所示，四边形ABC D 与AEG F 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
C
A
E
【巩固】如图所示，正方形ABC D 的边长为8厘米，长方形EBG F 的长B G 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
E A F D
G
B
【例 25】
如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1. 5，C F =2．长方形EFGH 的面积为 ．
H
A E
D
G
B
F C
【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果 ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的
面积．
D A
【巩固】如右图，在平行四边形ABC D 中，直线C F 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE =1，求△BEF
的面积．
C
D
【例 27】
F
图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，
则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【例 28】
如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形G F E B 的边长为10
厘米，求阴影部分的面积．
E
K
A B
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
A
【巩固】(2008年西城实验考题) 如图，ABC D 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图
中阴影部分的面积为
．
F
【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
【巩固】(人大附中考题) 已知正方形ABC D 边长为10，正方形B E F G 边长为6，求阴影部分的面积．
A
G
B
【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛) 右图中，ABC D 和C G EF 是两个正方形，A G 和C F 相交于H ，已知C H
等于C F 的三分之一，三角形C H G 的面积等于6平方厘米，求五边形ABG EF 的面积．
F E
A
D H
B C
【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题) 如下图，E 、F 分别是梯形ABC D 的下底BC 和腰C D 上的
点，D F =FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABC D 的面积是
32平方厘米．求图中阴影部分的面积．
G
B
C
【例 31】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形A C F 的面积是4，那么
三角形ABC 的面积是多少？
A F C
【例 32】
如图，在平行四边形ABC D 中，B E =E C ，C F =2FD ．求阴影面积与空白面积的比．
B
【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛) 如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E
是A C 边上的一点，且AE =3EC ，O 为D C 与BE 的交点．若∆C E O 的面积为a 平方厘米，∆BD O 的面积为b 平方厘米．且b -a 是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．
A
b
B
O
E C
【例 34】 如图，在梯形ABC D 中，AD :BE =4:3，BE :EC =2:3，且∆B O E 的面积比∆AO D 的面积小10
平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
A
D
B E C
【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛) 如图，BD 是梯形ABC D 的一条对角线，线段AE 与D C 平行，AE
与BD 相交于O 点．已知三角形BO E 的面积比三角形A O D 的面积大4平方米，并且EC =梯形ABC D 的面积．
A D
25BC
．求
B E
【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，4
9．那么图中
阴影部分的面积是多少？
E
【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、
12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分) 的面积是多少平方厘米？
【例 37】 如图，长方形ABC D 的面积是2平方厘米，EC =2D E ，F 是
D G 的中点．阴影部分的面积是
多少平方厘米？
D C
【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题) 如图，三角形田地中有两条小路AE 和C F ，交叉处为D ，张大
伯常走这两条小路，他知道D F =D C , 且AD =2D E ．则两块地A C F 和C F B 的面积比是_________．
C
E F
B
【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试) 如图，BC =45，AC =21，∆A B C 被分
成9个面积相等的小三角形，那么D I +FK = ．
B E A
K
C I
A
F
【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角M O N 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，
并且∆O A B 、∆A B C 、∆B C D 、∆C D E 、∆DEF 的面积都等于1，则∆D C F 的面积等于
．
O
【例 40】
、M 分别为直角梯形ABC D 两边上的点，且DQ 、C P 、M E 彼此平行，若AD =5，BC =7，A E =5，EB =
3．求阴影部分的面积．
E
A Q E B P
C
【例 41】 (2007年人大附中分班考试题) 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形H B C
)
B
【例 42】 (2009年四中入学测试题) 如图，已知C D =5，D E =7，E F =15，FG =6，线段AB 将图形分
成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形AD G 的面积是 ．
D
E G
【巩固】(第四届希望杯) 如图，点D 、E 、F 在线段C G 上，已知C D =2厘米，D E =8厘米，EF =20厘米，
FG =4厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形AD G 的面积是多少平方厘米？
G
G
F
F
A
E
B
A
D
【例 43】 (2008年仁华考题) 如图，正方形的边长为10，四边形E F G H 的面积为5，那么阴影部分的面积
是 ．
A
B
【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形E F G H 的面积是 ．
A
B
【例 44】
(2008年走美六年级初赛) 如图所示，长方形ABC D 内的阴影部分的面积之和为70，A B =8，AD =15，四边形EFG O 的面积为 ．
A B
【巩固】(2008年”华杯赛”初赛) 如图所示，矩形ABC D 的面积为24平方厘米．三角形AD M 与三角形B C N
的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PM O N 的面积是 平方厘米．
D
A
P
C
【巩固】如图所示，矩形ABC D 的面积为36平方厘米，四边形PM O N 的面积是3平方厘米，则阴影部分的
面积是
平方厘米．
B
【巩固】(2008年清华附中考题) 如图，长方形ABC D 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则阴
影部分的面积为 ．
B
【例 45】
(清华附中分班考试题) 如图，如果长方形ABC D 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面
积是多少平方厘米？
【例 46】
(2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
2
10cm
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
厘米？
【巩固】已知正方形的边长为10，E C =3，BF =2，则S 四边形ABCD = ．
A
B
D
F
E
【例 47】
如图，三角形AEF 的面积是17，D E 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABC D 的面积．
A B F
D
【例 48】
E
C
(2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABC D 中，AB =67，BC =30．E 、F 分别是A B 、B C 边上的两点，BE +BF =49．那么，三角形D EF 面积的最小值是 ．
D C F
A
E B
【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试) ABC D 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意
一点，BL =DM =4、BK =D N =5，那么阴影部分的面积是 ．
【例 50】 如图所示，在四边形ABC D 中，E ，F ，G ，H 分别是ABC D 各边的中点，求阴影部分与四
边形PQRS 的面积之比．
【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级) 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABC D 各边的中点，F G 与FH
交于点O ，S 1、S 2、S 3及S 4分别表示四个小四边形的面积．试比较S 1+S 3与S 2+S 4的大小．
D
G
C S 4S 3
B
S 1
H S 2A
E
F
【例 51】 如图，四边形ABC D 中，D E :EF :FC =3:2:1，BG :G H :AH =3:2:1，AD :BC =1:2，已知
四边形ABC D 的面积等于4，则四边形EFH G 的面积= ．
D
A
H
G B
【拓展】如图，对于任意四边形ABC D ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形E F G H ，求四边形
E F G H 的面积是四边形ABC D 的几分之几？
A J
M E
N
F
B
K
H
D
O
G P
C
【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、C A 的正中间分
别取点L 、M 、N ，在边AL 、B M 、C N 上分别取点P 、Q 、R ，使LP =MQ =NR ，当P M 和RL 、
P M
和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY =XL ．
这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．
A P L X
B
Q
M N R C
【例 53】
如图：已知在梯形ABC D 中，上底是下底的
23
，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AM E 、三
角形BM F 、三角形N FC 的面积分别为14、20、12．求三角形N D E 的面积．
A
B
M
E
F
N
D
C
【例 54】
如图，已知ABC D 是梯形，AD ∥BC ，AD :BC =1:2，S ∆AOF :S ∆DOE =1:3，S ∆BEF =24cm 2，求∆AO F 的面积．
A D
F
O E
B
【例 55】
C
C D 的中点．（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABC D 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、如
果∆ASM 、∆M TB 与∆D SN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABC D 的面积为．
D
A
M
T
C N
B
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
如图在△ABC 中，D , E 分别是A B , A C 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在A C 上) ， 则S △ABC :S △ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
D
A
A
D
E
E
B
图⑴ 图⑵
C
B C
【例 56】 如图在△ABC 中，D , E 分别是A B , A C 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16
平方厘米，求△ABC 的面积．
A
D
E
B
C
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，A C 是AE 的3倍，如果三角形AD E 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？
C
B
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分) 、乙两部分，B D =D C =4，B E =3，AE =6，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
E B
甲
D
乙
C
【例 57】
如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在A C 上，且AB :AD =5:2， AE :EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．
D
A
E
B
C
【例 58】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF =2CF ，三角形AFE (
图中阴影部分)
的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【例 59】
已知△D EF 的面积为7平方厘米，BE =C E , AD =2BD , C F =3AF ，求△ABC 的面积．
A
D B
E
C
【例 60】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中AB :BE =2:5，BC :C D =3:2，三角形BDE 的
面积是多少？
A
B E
A
C
【例 61】
(2007年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABC D 边长为6厘米，AE =
13BC
13AC
，
C F =
．三角形D EF
的面积为_______平方厘米．
A
【例 62】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD =AB ；延长BC 至E ，使C E =2BC ；
延长C A 至F ，使AF =3AC ，求三角形D EF 的面积．
F
B D
【例 63】 如图，平行四边形ABC D ，BE =AB ，C F =2C B ，G D =3D C ，HA =4AD ，平行四边形ABC D
的面积是2， 求平行四边形ABC D 与四边形E F G H 的面积比．
H
A
G
D F
B E
【例 64】 如图，四边形E F G H 的面积是66平方米，EA =AB ，C B =BF ，D C =C G ，HD =DA ，求四
边形ABC D 的面积．
H D A E
F
【例 65】 如图，将四边形ABC D 的四条边AB 、C B 、C D 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若
四边形ABC D 的面积为5，则四边形E F G H 的面积是 ．
F H
【例 66】
如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使C E =
12BC
E
G
，F 是A C 的
中点，若△ABC 的面积是2，则△D EF 的面积是多少？
A F
B
D
【例 67】
如图，S △ABC =1，BC =5BD ，AC =4EC ，D G =G S =SE ，AF =FG ．求S FGS ．
C
E
A F G
B
D
E C
【例 68】 如图所示，正方形ABC D 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是C E 的中点，G 是BF 的中点，
三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
E
F D
B
【例 69】
四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
C
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABC D E 的面积是 ．
E