专题讲座六 图表信息类问题
,[学生用书P194～P196])
所谓图表信息类问题，就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求考生依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力．解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息．
图表信息与推理
合情推理是归纳推理与类比推理的统称，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用．其实质是“发现”，它是发展我们创新意识的重要途径，随着课程改革的推进，近几年的高考题对利用图表信息进行合情推理的考查有所加强．
把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2 015，则n＝________．
k（k＋1）
[解析] 图乙中第k行有k个数，第k行最后一个数为k2，前k行共有2由44×44＝1 936，45×45＝2 025知an＝2 015出现在第45行，第45行第一个数为1 937，2 015－1 93744（44＋1）第1＝40(个)数为2 015．所以n＝＋40＝1 030．
22
[答案] 1 030
[规律方法] 本题考查归纳推理．归纳推理是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，像本题这样通过观察、试验、思考，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的结论，乃是科学发现的最基本的方法之一．
图表信息与统计
统计这一章出现了许多图与表，如频率分布直方图、折线图、茎叶图、随机数表、频率分布表等．
(2014·
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．
[解] (1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21． (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这
20名工人年龄的茎叶图如下：
4,0(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30
×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为：
1335431(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋[1**********]020(30－40)2＝12．6．
[规律方法] 频率分布直方图反映样本的频率分布；作频率分布直方图的一般步骤为：(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．
图表信息与方程、不等式
根据图表信息列方程或不等式解决的问题，大都通过图象、表格或几何图形的形状特征、位置特征、变化趋势以及数据、数量特征等方面来呈现信息；要求根据图表信息得到方程或不等式，由此解决问题，其根本在于得到数量之间的关系．
根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(k，k
＋1)(k∈N)，则k的值为________．
[解析] 设f(x)＝e－x－2，由已知表格可得f(－1)＝0．37－1
x
＝2．72－30，f(3)＝20．09－5>0，故f(1)·f(2)
[答案] 1
[规律方法] 函数零点所在区间的判定，可从两方面求解：一是根据函数零点存在性定理求解；二是根据函数图象求解．
图表信息与函数
图表信息与函数、三角函数结合是高考的热点，求解的关键是抓住图形的一些信息，利用其信息所给数量求解问题．
某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，
具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系式； (2)
*(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月消费不超过12元，
[解] (1)y关于x的函数关系式为 2x，0≤x≤4，
y＝4x－8，46.
(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；
当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12； 当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22． 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为22×2)≈13(元)．
77
(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77%，据
100此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%．
[规律方法] (1)一些实际问题，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本例．
(2)解答函数应用题框图表示如下：
1
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋12
,[学生用书P196～P197])
1．如图是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，侧视图为一直角三角形，俯视图为一直角梯形，则此几何体的体积是(
)
1A．2C．
2 2
B D．1
解析：选A．由三视图可知该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上、下底长分别为1、2，高为1，顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点，四棱锥的高为1，因此该111
几何体的体积为(1＋2)×1×1＝．
322
2．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三
角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a63＝18，若aij＝2 016，则i＋j＝( )
1 2 4 3 5 7
6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 „ A．77 B．78 C．79 D．80
解析：选D．观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，„，依次类推，第2n行有2n个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，„，依次类推，（2＋2n）n2
前2n(n∈N*)行(包括第2n行)共有2＋4＋6＋„＋2n＝＝n＋n(个)偶数，第2n行
22 112－2 016
的最后一个数为2n2＋2n，当n＝32时，2n2＋2n＝2 112，故2 016应在第64行．又
2
＝48，所以2 016应在第64行从左往右数第64－48＝16(个)数，所以i＋j＝64＋16＝80．
3．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过点B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，„，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝________．
解析：数列{an}的奇数项满足a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，„，可得a4k－3＝k，a4k－1＝－k；偶数项满足a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，„，可得a2k＝k．所以a2 013＋a2 014＋a2 015＝a4×504－3＋a2×1 007＋a4×504－1＝504＋1 007－504＝1 007．
答案：1 007 4．(2015·山东青岛八中调研)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，b＋3f′(x)为f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a＋b)
a＋3取值范围是________．
解析：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．
由于f(－2)＝1，f(4)＝1， ∴－2
0
∴a，b满足a>0，作出点(a，b)的可行域．(如图中阴影部分)
b>0，b＋3b＋337可以看作动点(a，b)与点C(－3，－3)连线的斜率．故． a
＋3a＋35337答案：53
5．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯； (2)
(3)能否有99% n（ad－bc）2
附：K＝其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)2×22
30×（8－128）(3)K＝
10>6．635，
12×18×20×10
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
6．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5 m，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解：(1)
(2)依据图象，设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将表中的前三组数值代入，得 c＝0，a＝0.002，
100a＋10b＋c＝0.3，解得b＝0.01， 400a＋20b＋c＝1.0，c＝0，
∴函数的解析式为y＝0．002x2＋0．01x(0≤x≤140)． 经检验，表中的其他各组值也符合此解析式．
(3)当y＝46．5时，即0．002x2＋0．01x＝46．5， ∴x2＋5x－23 250＝0，
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)， ∴推测刹车时的速度为150 km/h．
∵150>140，∴发生事故时，汽车超速行驶．
专题讲座六 图表信息类问题
,[学生用书P194～P196])
所谓图表信息类问题，就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求考生依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力．解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息．
图表信息与推理
合情推理是归纳推理与类比推理的统称，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用．其实质是“发现”，它是发展我们创新意识的重要途径，随着课程改革的推进，近几年的高考题对利用图表信息进行合情推理的考查有所加强．
把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2 015，则n＝________．
k（k＋1）
[解析] 图乙中第k行有k个数，第k行最后一个数为k2，前k行共有2由44×44＝1 936，45×45＝2 025知an＝2 015出现在第45行，第45行第一个数为1 937，2 015－1 93744（44＋1）第1＝40(个)数为2 015．所以n＝＋40＝1 030．
22
[答案] 1 030
[规律方法] 本题考查归纳推理．归纳推理是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，像本题这样通过观察、试验、思考，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的结论，乃是科学发现的最基本的方法之一．
图表信息与统计
统计这一章出现了许多图与表，如频率分布直方图、折线图、茎叶图、随机数表、频率分布表等．
(2014·
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．
[解] (1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21． (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这
20名工人年龄的茎叶图如下：
4,0(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30
×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为：
1335431(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋[1**********]020(30－40)2＝12．6．
[规律方法] 频率分布直方图反映样本的频率分布；作频率分布直方图的一般步骤为：(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．
图表信息与方程、不等式
根据图表信息列方程或不等式解决的问题，大都通过图象、表格或几何图形的形状特征、位置特征、变化趋势以及数据、数量特征等方面来呈现信息；要求根据图表信息得到方程或不等式，由此解决问题，其根本在于得到数量之间的关系．
根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(k，k
＋1)(k∈N)，则k的值为________．
[解析] 设f(x)＝e－x－2，由已知表格可得f(－1)＝0．37－1
x
＝2．72－30，f(3)＝20．09－5>0，故f(1)·f(2)
[答案] 1
[规律方法] 函数零点所在区间的判定，可从两方面求解：一是根据函数零点存在性定理求解；二是根据函数图象求解．
图表信息与函数
图表信息与函数、三角函数结合是高考的热点，求解的关键是抓住图形的一些信息，利用其信息所给数量求解问题．
某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，
具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系式； (2)
*(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月消费不超过12元，
[解] (1)y关于x的函数关系式为 2x，0≤x≤4，
y＝4x－8，46.
(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；
当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12； 当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22． 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为22×2)≈13(元)．
77
(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77%，据
100此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%．
[规律方法] (1)一些实际问题，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本例．
(2)解答函数应用题框图表示如下：
1
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋12
,[学生用书P196～P197])
1．如图是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，侧视图为一直角三角形，俯视图为一直角梯形，则此几何体的体积是(
)
1A．2C．
2 2
B D．1
解析：选A．由三视图可知该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上、下底长分别为1、2，高为1，顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点，四棱锥的高为1，因此该111
几何体的体积为(1＋2)×1×1＝．
322
2．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三
角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a63＝18，若aij＝2 016，则i＋j＝( )
1 2 4 3 5 7
6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 „ A．77 B．78 C．79 D．80
解析：选D．观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，„，依次类推，第2n行有2n个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，„，依次类推，（2＋2n）n2
前2n(n∈N*)行(包括第2n行)共有2＋4＋6＋„＋2n＝＝n＋n(个)偶数，第2n行
22 112－2 016
的最后一个数为2n2＋2n，当n＝32时，2n2＋2n＝2 112，故2 016应在第64行．又
2
＝48，所以2 016应在第64行从左往右数第64－48＝16(个)数，所以i＋j＝64＋16＝80．
3．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过点B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，„，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝________．
解析：数列{an}的奇数项满足a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，„，可得a4k－3＝k，a4k－1＝－k；偶数项满足a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，„，可得a2k＝k．所以a2 013＋a2 014＋a2 015＝a4×504－3＋a2×1 007＋a4×504－1＝504＋1 007－504＝1 007．
答案：1 007 4．(2015·山东青岛八中调研)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，b＋3f′(x)为f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a＋b)
a＋3取值范围是________．
解析：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．
由于f(－2)＝1，f(4)＝1， ∴－2
0
∴a，b满足a>0，作出点(a，b)的可行域．(如图中阴影部分)
b>0，b＋3b＋337可以看作动点(a，b)与点C(－3，－3)连线的斜率．故． a
＋3a＋35337答案：53
5．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯； (2)
(3)能否有99% n（ad－bc）2
附：K＝其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)2×22
30×（8－128）(3)K＝
10>6．635，
12×18×20×10
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
6．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5 m，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解：(1)
(2)依据图象，设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将表中的前三组数值代入，得 c＝0，a＝0.002，
100a＋10b＋c＝0.3，解得b＝0.01， 400a＋20b＋c＝1.0，c＝0，
∴函数的解析式为y＝0．002x2＋0．01x(0≤x≤140)． 经检验，表中的其他各组值也符合此解析式．
(3)当y＝46．5时，即0．002x2＋0．01x＝46．5， ∴x2＋5x－23 250＝0，
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)， ∴推测刹车时的速度为150 km/h．
∵150>140，∴发生事故时，汽车超速行驶．