黄金分割的应用

黄金分割的应用之一

——作正五角星

我国国旗上的五角星，是我国生活中常见的一种特殊图形。记得我上初中的时候，教材上有一道题是介绍我国古代人们利用他们的聪明才智找到了近似作五角星的方法：口诀是“九五顶五九，八五两边分。”这是画五角星中最简便的方法了。

作法：１、画相互垂直的两条线段AB与CD，交点作O。

２、在标有刻度直尺的帮助之下，自O点开始，让OC=OD=0.8，OA=0.59，OB=0.95；

３、再过B点作EF垂直AB，并且让BE=BF=0.5；４、再连接AB，AD，CE，DF；

５、那么ACEFD，便是一个近似正五角形。

在这个正五角形的内部再连接各个点后，便得到一个五角星了。如下图１：

（注：以３厘米为单位“１”）

记得当时老师在给我们介绍这道题时，还给我们讲了一种用尺规作正五角星的方法。

作法：１、以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP；

２、平分半径ON，得OK=KN；

３、以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH

即为正五边形的边长；

４、以AH为弦长，在圆周上依次截得A、B、C、D、

E各点；

５、顺次连接这些点即得正五边形；

６、在正五边形的内部再连接各个点后，便得到一个五

角星了。如下图２：

今天，我作为一名教师，在教授北师大版八年级数学教材下册时，在第四章第二节《黄金分割》这一课内容中，开篇课文就给出了一个正五角星，让我想起了这一切。那么，黄金分割与正五角星有什么关系呢？首先，我们来了解什么是黄金分割。如图：

把线段ＡＢ分成两线段ＡＣ和ＢＣ，

如果点Ｃ，那么称线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ与ＡＢ的比叫做黄金比，

化成乘积式是

项。

怎样利用黄金分割作正五角星呢？

作法：１、任作线段ＡＢ；２、过点Ｂ作ＢＣ⊥ＡＢ，并取ＢＣ＝ＡＢ；＝

≈0.618，如果把

，ＡＣ叫做ＡＢ和ＢＣ的比例中

３、连接ＡＣ，以点Ｃ为圆心，以ＢＣ为半径画弧交ＣＡ

于点Ｄ；

４、以点Ａ为圆心，以ＡＤ为半径画弧交ＡＢ于点Ｅ；

５、以点Ａ为圆心，以ＢＥ为半径画弧交ＡＢ于点Ｆ；

（点Ｅ、Ｆ就为线段ＡＢ的黄金分割点）

６、分别以点Ｅ、Ｆ为圆心，以ＢＥ为半径画弧，两弧交

于点Ｇ；

７、以点Ｇ为端点，分别过点Ｆ、Ｅ作射线ＧＦ、ＧＥ；８、在射线ＧＦ、ＧＥ点分别取ＧＨ＝ＧＪ＝ＡＢ；

９、连接ＡＪ、ＢＨ，就得到了正五角星了。如下图３：

通过作图知，正五角星任意两角连线中的两个交点，恰好是该线段的两个黄金分割点，所以，我国国旗上的五角星总是给人以庄重、和谐、优美的感觉。