导数及其应用
一. 设计立意及思路：
导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，
二. 高考考点回顾： 1. 考试要求：
(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式（c ，x m （m 为有理数），sinx ，cosx ，e x ，a x ，lnx ，log a x 的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
2. 近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：
三. 基础知识梳理： 1. 导数的有关概念。 (1)定义：
函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当∆x →0时，函数的增量∆y 与自变量的增量∆x 的比
∆y ∆y f (x +∆x ) -f (x )
的极限，即f /(x ) =lim 。 =lim
∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：
函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率。
2. 求导的方法： (1)常用的导数公式： C /=0（C 为常数）； (xm ) /=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (ex ) /=ex ; (ax ) /=ax lna
1; x 1
(loga x ) /=log a e .
x (lnx ) /=
(2)两个函数的四则运算的导数：
(u ±v ) /=u /±v /; (uv ) /=u /v +uv /; u /v -uv /⎛u ⎫
(v ≠0). ⎪=2
v ⎝v ⎭
/
(3)复合函数的导数：y /x =y /u ⋅u /x 3. 导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f (x)
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)f(x0) ）, 我们就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。 四. 例题讲解：
例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R 上可导，且f(x)= -f(x)，求f /(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y 与自变量的改变量△x 之比
∆y f (0+∆x ) -f (0)
，当∆x →0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0=
∆x ∆x
f (0+∆x ) -f (0)
。
∆x
/
处的导数。记作f /(0) =lim
∆x →0
(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x)
∴f /(0) =lim
∆x →0
f (∆x ) -f (0) f (-∆x ) -f (0)
=-lim
∆x -∆x ∆x →0
当∆x →0时，有-∆x →0 ∴f /(0) =-lim ∴f /(0) =0。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对
f /(x ) =f /(x ) ⋅(-x ) /=-f /(x )
-∆x →0
f (-∆x ) -f (0)
=-f /(0)
-∆x
x 求导，得
∴f /(0) =-f /(0) ∴f /(0) =0。
评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）
可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y 轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y 轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y 轴上，且f /(0)存在，故在该点的切线必须平行x 轴（当f(0)=0时，与x 轴重合），于是有f (0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例
lim
/
2. 设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则
∆x →0
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0-a ∆x )
等于( )
∆x
A.f /(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0 解：
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0-a ∆x ) ∆x →0∆x
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0-a ∆x ) =lim ∆x →0 ∆x
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0) f (x 0-a ∆x ) -f (x 0)
=a lim +a lim a ∆x →0-a ∆x →0a ∆x -a ∆x =2af /(x 0) lim
故选(C)
评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的
导数的定义的掌握。
例3. 一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h
的速度离开此车直线上升，求1h 后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修Ⅱ）第三章复习参考题B 组第6题）
解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标
系系（如图），t 时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，
则两汽车和气球的距离s =(50t ) 2+(10t ) 2
s /(t ) =
11
⋅⋅(2⨯502t +2⨯102t ) 2(50t ) 2+(10t ) 2
令t=1,
s /(1) =
11⋅⋅(2⨯502+2⨯102) 2(50) 2+(10) 2
=1026
故1h 后它们彼此分离的速度为1026km /h 。
（例3图）
评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟
练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。
例4. 已知抛物线C ：y=x2+2x，按下列条件求切线方程： (1)切线过曲线上一点（1，3）。
拓展：已知抛物线C 1：y=x2+2x和C 2：y= -x2+a，如果直线l 同时是
C 1和C 2的切线，当a 取何值时，C 1和C 2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科））
(2)切线过抛物线外的一点（1，1）。 (3)切线的斜率为2。
拓展：点P 为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P 到直线y=2x-2
的最小距离为_______。
评析：本题考查曲线y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)
在点P(x0,y 0) 处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。
例5. 设f /(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则
y=f(x) 的图象最有可能是（ ）
（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题）
答案：（C ）
评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。
令f (x ) =
13
x -x 2+1，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：
3
(1)求f(x)的极值；
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下
列说法是否正确：①极大值一定比极小值大；②区间的端点一定是极值点；③导数为0的点一定是极值点；④极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x ∈[0,3]上的最值；
让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数
最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器
的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）
此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。 (4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、
解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。
例6. 设函数f (x ) =
x 2+1-ax ，其中a>0。
(1)求f(x)的单调区间； (2)解不等式f(x)≤1。
解：(1)f /(x ) =
x x +1x x 2+1
2
-a
① 当a ≥1时，有
∴函数f(x)在区间(-∞, +∞) 上是单调递减函数。 ② 当0
a -a
2
a -a
2
，
∴f(x)在区间(-∞, ]上是单调递减函数。
解不等式f /(x)>0得x >
a -a
2
a -a
2
，
∴f(x)在区间[, +∞) 上是单调递增函数。
(2)当a ≥1时, ∵函数f(x)在区间(-∞, +∞) 上是单调递减函数, 由f(0)=1,
∴当且仅当x ≥0时f(x)≤1. 当0
a -a
2
a -a
2
]上是单调递减函数,
f(x)在区间[, +∞) 上是单调递增函数,
由f(x)=1得x=0或x =且0
a -a 2
2a
， 2
1-a
2a
, 1-a 2
∴当且仅当0≤x ≤综上可得：
2a
时，f(x)≤1. 2
1-a
当a ≥1时，f(x)≤1的解集为{x|x≥0}; 当0
2a
}。 2
1-a
评析：本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改
动而得到。使学生在例5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。
五. 思维能力训练： （一）选择题：
2 x≥0
1. 已知函数那么y /|x=0的值为（ ） A.0 B.1 C.1或0 D.不存在 2. 已知曲线C:y=3x-x3及点P(2,2)，则过点P 可向C 引切线的条数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 下列求导的式子中正确的是( )
A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B.(e πx ) /=e π+e πx
11
C.(ax ) /=xax-1 D.(ln) /=-
x x
1π
4．函数y =a sin x +sin 3x 在x =处有极值，则（ ）
33
1
A.a=2 B.a=1 C.a = D.a= -2
2
5. 函数y=x3-3x ，x ∈[a 2+1, 2]的最小值是a 2-1，则实数a 的值是
( )
11
C. a =- D.1 22
6. 若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0）为增函数，则( )
A.b 2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac
7. 对函数f(x)，已知f(3)=2，f /(3)=-2，则
A.0 B.a =
lim
2x -3f (x )
=___________。
x →3x -3
8. 某日中午12时整，6船自A 处以16km/h的速度向正东行驶，乙船
自A 的正北18km 处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_______km/h。（2004年全国高考湖北卷（理科）16题）
（三）解答题：
9. 设抛物线C:y=x2(x≥0) 上的点P 0(x0,y 0) ，过P 0做曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1(x1,y 1) ，然后再过P 1作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线交于P 2(x2,y 2) ，仿此作出以下各点：P 0,Q 1,P 1,Q 2,P 2,Q 3…,P n ,Q n+1, …, 已知x 0=1。 (1) 求过P 0的切线方程； (2)
求lim (x 0+x 1+x 2+ +x n ) 的值。
n →∞
10.如果f(x)=x2+1，g(x)=f[f(x)],设F (x ) =g (x ) -λ(x ) ，问是否存在适当的λ，使f(x)在(-∞, -
22
, 0) 上是增函数？) 上是减函数，在(-22
若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。
11.在半径为R 的球内，内接一个圆柱，问该圆柱的高为多少时，其体积最大？
参考答案：（一）1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D)
（二）7.8 8.-1.6
（三）9.(1)2x-y-1=0; (2)2
10. λ=3 11.x =
积最大。
[参考文献]
223
R 时圆柱的体R ，即圆柱的高为33
1.《热点重点难点专题透析》，吉林文史出版社，2003年10月 2.《高中新教材导教导学》，北京师范大学出版社，2003年4月 3．《数学通讯》，2004年11月
导数及其应用
一. 设计立意及思路：
导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，
二. 高考考点回顾： 1. 考试要求：
(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式（c ，x m （m 为有理数），sinx ，cosx ，e x ，a x ，lnx ，log a x 的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
2. 近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：
三. 基础知识梳理： 1. 导数的有关概念。 (1)定义：
函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当∆x →0时，函数的增量∆y 与自变量的增量∆x 的比
∆y ∆y f (x +∆x ) -f (x )
的极限，即f /(x ) =lim 。 =lim
∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：
函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率。
2. 求导的方法： (1)常用的导数公式： C /=0（C 为常数）； (xm ) /=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (ex ) /=ex ; (ax ) /=ax lna
1; x 1
(loga x ) /=log a e .
x (lnx ) /=
(2)两个函数的四则运算的导数：
(u ±v ) /=u /±v /; (uv ) /=u /v +uv /; u /v -uv /⎛u ⎫
(v ≠0). ⎪=2
v ⎝v ⎭
/
(3)复合函数的导数：y /x =y /u ⋅u /x 3. 导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f (x)
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)f(x0) ）, 我们就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。 四. 例题讲解：
例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R 上可导，且f(x)= -f(x)，求f /(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y 与自变量的改变量△x 之比
∆y f (0+∆x ) -f (0)
，当∆x →0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0=
∆x ∆x
f (0+∆x ) -f (0)
。
∆x
/
处的导数。记作f /(0) =lim
∆x →0
(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x)
∴f /(0) =lim
∆x →0
f (∆x ) -f (0) f (-∆x ) -f (0)
=-lim
∆x -∆x ∆x →0
当∆x →0时，有-∆x →0 ∴f /(0) =-lim ∴f /(0) =0。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对
f /(x ) =f /(x ) ⋅(-x ) /=-f /(x )
-∆x →0
f (-∆x ) -f (0)
=-f /(0)
-∆x
x 求导，得
∴f /(0) =-f /(0) ∴f /(0) =0。
评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）
可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y 轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y 轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y 轴上，且f /(0)存在，故在该点的切线必须平行x 轴（当f(0)=0时，与x 轴重合），于是有f (0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例
lim
/
2. 设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则
∆x →0
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0-a ∆x )
等于( )
∆x
A.f /(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0 解：
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0-a ∆x ) ∆x →0∆x
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0-a ∆x ) =lim ∆x →0 ∆x
f (x 0+a ∆x ) -f (x 0) f (x 0-a ∆x ) -f (x 0)
=a lim +a lim a ∆x →0-a ∆x →0a ∆x -a ∆x =2af /(x 0) lim
故选(C)
评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的
导数的定义的掌握。
例3. 一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h
的速度离开此车直线上升，求1h 后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修Ⅱ）第三章复习参考题B 组第6题）
解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标
系系（如图），t 时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，
则两汽车和气球的距离s =(50t ) 2+(10t ) 2
s /(t ) =
11
⋅⋅(2⨯502t +2⨯102t ) 2(50t ) 2+(10t ) 2
令t=1,
s /(1) =
11⋅⋅(2⨯502+2⨯102) 2(50) 2+(10) 2
=1026
故1h 后它们彼此分离的速度为1026km /h 。
（例3图）
评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟
练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。
例4. 已知抛物线C ：y=x2+2x，按下列条件求切线方程： (1)切线过曲线上一点（1，3）。
拓展：已知抛物线C 1：y=x2+2x和C 2：y= -x2+a，如果直线l 同时是
C 1和C 2的切线，当a 取何值时，C 1和C 2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科））
(2)切线过抛物线外的一点（1，1）。 (3)切线的斜率为2。
拓展：点P 为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P 到直线y=2x-2
的最小距离为_______。
评析：本题考查曲线y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)
在点P(x0,y 0) 处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。
例5. 设f /(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则
y=f(x) 的图象最有可能是（ ）
（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题）
答案：（C ）
评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。
令f (x ) =
13
x -x 2+1，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：
3
(1)求f(x)的极值；
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下
列说法是否正确：①极大值一定比极小值大；②区间的端点一定是极值点；③导数为0的点一定是极值点；④极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x ∈[0,3]上的最值；
让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数
最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器
的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）
此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。 (4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、
解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。
例6. 设函数f (x ) =
x 2+1-ax ，其中a>0。
(1)求f(x)的单调区间； (2)解不等式f(x)≤1。
解：(1)f /(x ) =
x x +1x x 2+1
2
-a
① 当a ≥1时，有
∴函数f(x)在区间(-∞, +∞) 上是单调递减函数。 ② 当0
a -a
2
a -a
2
，
∴f(x)在区间(-∞, ]上是单调递减函数。
解不等式f /(x)>0得x >
a -a
2
a -a
2
，
∴f(x)在区间[, +∞) 上是单调递增函数。
(2)当a ≥1时, ∵函数f(x)在区间(-∞, +∞) 上是单调递减函数, 由f(0)=1,
∴当且仅当x ≥0时f(x)≤1. 当0
a -a
2
a -a
2
]上是单调递减函数,
f(x)在区间[, +∞) 上是单调递增函数,
由f(x)=1得x=0或x =且0
a -a 2
2a
， 2
1-a
2a
, 1-a 2
∴当且仅当0≤x ≤综上可得：
2a
时，f(x)≤1. 2
1-a
当a ≥1时，f(x)≤1的解集为{x|x≥0}; 当0
2a
}。 2
1-a
评析：本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改
动而得到。使学生在例5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。
五. 思维能力训练： （一）选择题：
2 x≥0
1. 已知函数那么y /|x=0的值为（ ） A.0 B.1 C.1或0 D.不存在 2. 已知曲线C:y=3x-x3及点P(2,2)，则过点P 可向C 引切线的条数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 下列求导的式子中正确的是( )
A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B.(e πx ) /=e π+e πx
11
C.(ax ) /=xax-1 D.(ln) /=-
x x
1π
4．函数y =a sin x +sin 3x 在x =处有极值，则（ ）
33
1
A.a=2 B.a=1 C.a = D.a= -2
2
5. 函数y=x3-3x ，x ∈[a 2+1, 2]的最小值是a 2-1，则实数a 的值是
( )
11
C. a =- D.1 22
6. 若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a>0）为增函数，则( )
A.b 2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac
7. 对函数f(x)，已知f(3)=2，f /(3)=-2，则
A.0 B.a =
lim
2x -3f (x )
=___________。
x →3x -3
8. 某日中午12时整，6船自A 处以16km/h的速度向正东行驶，乙船
自A 的正北18km 处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_______km/h。（2004年全国高考湖北卷（理科）16题）
（三）解答题：
9. 设抛物线C:y=x2(x≥0) 上的点P 0(x0,y 0) ，过P 0做曲线C 的切线与x 轴交于Q 1，过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1(x1,y 1) ，然后再过P 1作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线交于P 2(x2,y 2) ，仿此作出以下各点：P 0,Q 1,P 1,Q 2,P 2,Q 3…,P n ,Q n+1, …, 已知x 0=1。 (1) 求过P 0的切线方程； (2)
求lim (x 0+x 1+x 2+ +x n ) 的值。
n →∞
10.如果f(x)=x2+1，g(x)=f[f(x)],设F (x ) =g (x ) -λ(x ) ，问是否存在适当的λ，使f(x)在(-∞, -
22
, 0) 上是增函数？) 上是减函数，在(-22
若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。
11.在半径为R 的球内，内接一个圆柱，问该圆柱的高为多少时，其体积最大？
参考答案：（一）1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D)
（二）7.8 8.-1.6
（三）9.(1)2x-y-1=0; (2)2
10. λ=3 11.x =
积最大。
[参考文献]
223
R 时圆柱的体R ，即圆柱的高为33
1.《热点重点难点专题透析》，吉林文史出版社，2003年10月 2.《高中新教材导教导学》，北京师范大学出版社，2003年4月 3．《数学通讯》，2004年11月