用霍耳效应测量磁场
1879年霍耳在研究生期间，研究载流子导体在磁场中受力作用时发现了霍耳效应。霍耳效应制成的霍耳元件是一种磁电转换元件(又称霍耳传感器) ，它具有频率响应宽(从直流到微波) 、小型、无接触测量等优点，使它在测试、自动化、计算机和信息处理技术等方面，得到了极为广泛的应用。近年来霍耳效应又得到了重要的发展，冯·克利青在极强磁场和极低温度下发现了量子霍耳效应，它的应用大大提高了有关基本常数的准确性。
【实验目的】
1、了解霍耳效应的机理，掌握其测量磁场的原理。 2、学会用霍耳效应测长直螺线管磁场的方法。
【实验仪器】
螺线管磁场测试仪、长直螺线管磁场装置、双刀换向开关。
【实验原理】
1.
图1
如图1所示，设霍耳元件是由均匀的n 型(即参加导电的载流子是电子) 半导体材料制成的矩形薄片，其长为L ，宽为b ，厚为d 。如果在沿X 轴方向的1、2两端按图所示加一稳定电压，则有恒定电流I H 沿X 轴方向通过霍耳元件。1、2间的等位面平行于YZ 平面。设3、4是一个等位面，故沿Y 轴方向的电流为0。假定电流是由沿X 轴负方向、速度为υ的电子运动所形成，电子的电荷为e ，而自由电子的浓度(单位体积内的电子数) 为n ，则电流I H (称为霍耳片的工作电流) 可表示为: I H =
dQ
=nevbd (1) dt
若在垂直于薄片的Z 轴方向上加一恒定磁场B ，沿负X 轴运动的电子就受到洛伦兹力f B 的作用:
f B =-evB (2)
f B 的方向指向负Y 轴。在此力作用下，电子将向左方平面偏移，右方平面剩余正电荷，结
果形成一个右正左负的电场E 。但是，左右两平面的电荷不会进一步的增加，当左右两个平面聚集的电荷所产生的电场对电子的静电作用力f E (指向Y 轴正方向) 与洛伦兹力f B (指向Y 轴负方向) 相等时，左右两个平面建立起一稳定的电势差，即霍耳电压V H ，电子就能
无偏移地从2向1通过半导体(上述过程在短暂的10～10s 内就能完成) 。 此时有如下关系:
-13-11
f E =f B 即 eE =e
再利用式(1)，得到:
V H =bvB =
V H
=evB b
I H B
=K H I H B (3) ned
式中K H 叫做霍耳元件的灵敏度，此式中各个物理量的单位是:V H 用mV ，I H 用mA ，B 用T(特斯拉) ，则K H 的单位为mV/(mA·T) ，即:毫伏/(毫安·特) 。K H 值有正负之分，这取决于载流子带电的正负，如果霍耳元件是n 型半导体材料制成的，则K H =-1/(ned)；如果霍耳元件是由p 型(即参加导电的载流子是空穴) 半导体材料制成的，则K H =1/(ned)。由此可知，根据电流I H 和磁场B 的方向，实验测定出霍耳电压的正负，就可以判定载流子的正负。这是半导体材料研究中的一个重要方法。
由式(3)可知，霍耳电压V H 正比于工作电流和I H 外加磁场B 。显然，图1中3、4两端电位的高低，或者说V H 的方向，即随电流I H 换向而换向，也随磁场B 的换向而换向。同时还可看出，霍耳电压V H 与n ，d 都成反比。由于半导体内载流子浓度比金属的载流子浓度小，故用半导体作霍耳元件，并且将此元件做得很薄(一般d ≈0.2mm) ，以便获得易于观测的霍耳电压V H 。
如果霍耳元件的灵敏度K H 已知，只要测出霍耳电压V H 及工作电流I H ，即可由式(3)算出待测的磁场B 。这就是用霍耳元件测量磁场的基本原理。
但应当指出的是，上述推导过程是一种理想的情况。事实上，在霍耳效应产生的过程中，伴随有各种附加效应产生的附加电压迭加在霍耳电压上，如果忽视这些附加电压，那么计算出的磁感应强度B 也就不准确了。
2. 附加电压及其消除方法
下面简单分析一下四种附加电压的成因及特点，从而找出消除的方法。
图2(a) 图2(b)
(1)不等位电势差V 0:原假定，接通电流I H 后，霍耳电极3，4在同一等位面上的，如
图2(a)所示，当磁场不存在时，即使是3、4两种连成回路也没有电势差。但由于半导体材料的不均匀性，在制作时不可能保证3、4两点处在同一等位面上，如图2(b)所示。于是，在没有加磁场时，就有一个由于不等位电势引起的欧姆压降V 0，称为不等位电势差。V 0的方向与磁场B 的换向无关，而随电流换向而换向。当电流自上向下流时，V 4＞V 3；反之，V 4＜V 3。
(2)厄廷好森(Etinghausen) V t ：原假定，载流子(电子或空穴) 都是以同一速度v 在X 轴上迁移的，但实际上载流子的速度不相同。速度大的载流子受到的洛伦兹力大，绕大圆轨道运动；速度小的载流子受到的洛伦兹力小，绕小圆轨道运动，导致霍耳元件3、4两端平面，一个平面快载流子较多，另一个平面慢载流子较多。因为快载流子能量较大，慢载流子能量较小，所以快载流子多的平面温度较高，慢载流子多的平面温度较低，3、4两端之间形成温度差。由于霍耳电极(金属) 与霍耳片(半导体) 的材料不同，根据温差电偶的原理就产生了温差电动势V t 。这种物理现象称为厄廷好森效应。由此产生的温差电动势V t 的方向与霍耳电势差V H 一样，既随B 也随I H 换向而换向，不能与霍耳电势差分开。
(3)(Nernst)势差V P :由于1、2两端工作电流引线处的焊接点接触电阻大小不同，通X 轴方向电流后，在霍耳片1、2两端产生的焦耳热不同，两端的温度就不同。受热流影响，温度高的一端就向温度低的一端扩散载流子，这种载流子也会受到洛伦兹力的作用而发生偏转。在霍耳片3、4两端之间产生热流电势差V p 。这种物理现象称为能斯脱效应。对于一定的霍耳元件来说，两端接触电阻的大小都是确定了的，不论电流的方向如何，温度的相对高低也是一定了的，因而热流的方向也是一定的。因此热流电势差V P 的方向与工作电流I H 的方向无关，而随B 的换向而换向。
(4)里纪-(Righi-leduc)V S :在上述能斯脱效应
的基础产生的热扩散载流子的速度也不相同，于是又如厄廷好森效应那样，在霍耳片3、4两端之间产生一个附加温差电势差V S 。这种物理现象称为里纪-勒杜克效应。因为这是由能斯脱效应附带而形成的，因此V S 的方向也如V p 那样与I H 无关，而随的B 换向而换向。上述各种效应所产生的电势差的方向与I H 及B 的方向关系，可用表1简明表示之。
表1
综上所述，在确定的磁场B 与工作电流I H 的条件下，实际测量的3、4两端的电压V ，不仅包括V H ，还包括了V 0，V t ， V p 和V s
例如，假设B 和I H 的大小不变，方向如图2所示；又设3、4两端的V 0为正，1端的温度比2端高，所测电压为V 1，其中包含的各种效应的电压全为正，以后I H ，B 分别换向测量得出V 2，V 3，V 4 ，根据前面分析的各种效应产生的电压的方向与I H ，B 的方向的关系，可得出如下的表示式:
(+I H , +B ) V 1=+V H +V 0+V t +V p +V s (4) (-I H , +B ) V 2=-V H -V 0-V t +V p +V s (5) (-I H , -B ) V 3=+V H -V 0+V t -V p -V s (6) (+I H , -B ) V 4=-V H +V 0-V t -V p -V s (7) 由这四个等式得到:
V 1-V 2+V 3-V 4=4⨯(V H +V t )
即
1
V H =(V 1-V 2+V 3-V 4) -V t (8)
4
其中，厄廷好森效应引起的温差电压V t 无法同时消除，但一般比V H 小的多，可以忽略。所以得:
V H =
1
(V 1-V 2+V 3-V 4) (9) 4
这就是基本上消除了附加效应之后，霍耳电压的测量计算公式。
在精密测量中，工作电流I H 也可以用交流电，使霍耳片3、4两端来不及产生温差；也可用恒温槽来避免各种附加效应的影响。
3. 直螺线管的磁场
根据电磁学的知识可以推导出长直螺线管轴线上中心点的磁感应强度:
B 0=
μ⨯NI M
(L 2+4r )
1220
(10)
螺线管轴线上两端面的磁感应强度: B L =
2
1
B 0 (11) 2
-7
式中，μ为磁介质的磁导率，真空中μ0=4π×10(T·m/A) (即:特·米/安) ，N 为螺线管的总匝数，I M 为螺线管的励磁电流，L 为螺线管的长度，r 0为螺线管的半径。
【主要仪器】
螺线管磁场测试仪。其面板图如图3所示(仪器上有两路电流输出端和一路电压输入
端) 。
图3 螺线管磁场测试仪的面板图
【实验内容】
1. 仪器连接
将螺线管磁场装置与螺线管磁场测试仪电路按图3连接好。
2. 调节螺线管的励磁电流I M (或I H ) 、调节霍耳元件的工作电流I S (或I H )
测试仪在通电前，应将“I S (或 I H ) 调节”和“I M 调节”两个旋钮置于零位(即逆时针旋到底) 。
实验中调节“励磁电流调节”旋钮使励磁电流显示为1.000A ；调节“工作电流调节”旋钮，使工作电流显示为5.00mA 3. 测量螺线管轴线的磁场分布
1) 以相距螺线管两端口等远的中心位置为坐标原点，探头离中心位置x=12.5-x1-x 2，轻轻转动螺线管底座上的标尺旋钮，使测距尺读数x 1=x2=0.0cm。
先调节x 1旋钮，保持x 2=0.0cm，使x 1停留在0.0、0.5、1.0、2.0、4.5、7.0、10.0、12.5cm 等读数处，再调节x 2旋钮，保持x 1=12.5cm，使x 2停留在1.0、3.0、5.0、7.0、9.0、11.0、11.5、12.5cm 等读数处，按对称测量的方法测出相应的V 1、V 2、V 3、V 4值。 2) 记下K H 的值，由(2)式及(1)式得此点的V H 与B 。 4. 绘制出螺线管内的B-x 磁场分布曲线。
根据上述测量结果，绘制螺线管内的B-x 磁场分布曲线。
【数据处理】
(1)将螺线管中心轴上各点的磁场测量数据填入表2K H = (单位) 表2
(2)计算螺线管中点的磁场B (求其误差)
(3)绘制出螺线管内的B -X 磁场分布曲线。
(1)换向开关的作用。因为本实验的一个关键问题是消除附加电势差的影响，其方法是多次改变磁场B 和霍耳元件工作电流I H 的方向，这是通过换向开关来V 1，V 2，V 3，V 4实
(2)本实验除测量公式(8)中有“+”、“-”号外，式中各测量值本身还含有“+、-”号，每次测量记录时不要忘记记正负号。
(3)霍耳元件质脆，引线的接头细小，容易损坏，将霍耳元件旋出旋进时，操作动作要轻缓。
【思考题】
1. 根据磁场B 的方向，工作电流I H 的方向及霍尔电压V H 的正负，判断所用霍尔元件是N 型还是P
2. 如图1所示，若磁场B 不垂直霍尔片，对测量结果有何影响? 如何用实验的方法，判断B 与霍尔片是否垂直?
用霍耳效应测量磁场
1879年霍耳在研究生期间，研究载流子导体在磁场中受力作用时发现了霍耳效应。霍耳效应制成的霍耳元件是一种磁电转换元件(又称霍耳传感器) ，它具有频率响应宽(从直流到微波) 、小型、无接触测量等优点，使它在测试、自动化、计算机和信息处理技术等方面，得到了极为广泛的应用。近年来霍耳效应又得到了重要的发展，冯·克利青在极强磁场和极低温度下发现了量子霍耳效应，它的应用大大提高了有关基本常数的准确性。
【实验目的】
1、了解霍耳效应的机理，掌握其测量磁场的原理。 2、学会用霍耳效应测长直螺线管磁场的方法。
【实验仪器】
螺线管磁场测试仪、长直螺线管磁场装置、双刀换向开关。
【实验原理】
1.
图1
如图1所示，设霍耳元件是由均匀的n 型(即参加导电的载流子是电子) 半导体材料制成的矩形薄片，其长为L ，宽为b ，厚为d 。如果在沿X 轴方向的1、2两端按图所示加一稳定电压，则有恒定电流I H 沿X 轴方向通过霍耳元件。1、2间的等位面平行于YZ 平面。设3、4是一个等位面，故沿Y 轴方向的电流为0。假定电流是由沿X 轴负方向、速度为υ的电子运动所形成，电子的电荷为e ，而自由电子的浓度(单位体积内的电子数) 为n ，则电流I H (称为霍耳片的工作电流) 可表示为: I H =
dQ
=nevbd (1) dt
若在垂直于薄片的Z 轴方向上加一恒定磁场B ，沿负X 轴运动的电子就受到洛伦兹力f B 的作用:
f B =-evB (2)
f B 的方向指向负Y 轴。在此力作用下，电子将向左方平面偏移，右方平面剩余正电荷，结
果形成一个右正左负的电场E 。但是，左右两平面的电荷不会进一步的增加，当左右两个平面聚集的电荷所产生的电场对电子的静电作用力f E (指向Y 轴正方向) 与洛伦兹力f B (指向Y 轴负方向) 相等时，左右两个平面建立起一稳定的电势差，即霍耳电压V H ，电子就能
无偏移地从2向1通过半导体(上述过程在短暂的10～10s 内就能完成) 。 此时有如下关系:
-13-11
f E =f B 即 eE =e
再利用式(1)，得到:
V H =bvB =
V H
=evB b
I H B
=K H I H B (3) ned
式中K H 叫做霍耳元件的灵敏度，此式中各个物理量的单位是:V H 用mV ，I H 用mA ，B 用T(特斯拉) ，则K H 的单位为mV/(mA·T) ，即:毫伏/(毫安·特) 。K H 值有正负之分，这取决于载流子带电的正负，如果霍耳元件是n 型半导体材料制成的，则K H =-1/(ned)；如果霍耳元件是由p 型(即参加导电的载流子是空穴) 半导体材料制成的，则K H =1/(ned)。由此可知，根据电流I H 和磁场B 的方向，实验测定出霍耳电压的正负，就可以判定载流子的正负。这是半导体材料研究中的一个重要方法。
由式(3)可知，霍耳电压V H 正比于工作电流和I H 外加磁场B 。显然，图1中3、4两端电位的高低，或者说V H 的方向，即随电流I H 换向而换向，也随磁场B 的换向而换向。同时还可看出，霍耳电压V H 与n ，d 都成反比。由于半导体内载流子浓度比金属的载流子浓度小，故用半导体作霍耳元件，并且将此元件做得很薄(一般d ≈0.2mm) ，以便获得易于观测的霍耳电压V H 。
如果霍耳元件的灵敏度K H 已知，只要测出霍耳电压V H 及工作电流I H ，即可由式(3)算出待测的磁场B 。这就是用霍耳元件测量磁场的基本原理。
但应当指出的是，上述推导过程是一种理想的情况。事实上，在霍耳效应产生的过程中，伴随有各种附加效应产生的附加电压迭加在霍耳电压上，如果忽视这些附加电压，那么计算出的磁感应强度B 也就不准确了。
2. 附加电压及其消除方法
下面简单分析一下四种附加电压的成因及特点，从而找出消除的方法。
图2(a) 图2(b)
(1)不等位电势差V 0:原假定，接通电流I H 后，霍耳电极3，4在同一等位面上的，如
图2(a)所示，当磁场不存在时，即使是3、4两种连成回路也没有电势差。但由于半导体材料的不均匀性，在制作时不可能保证3、4两点处在同一等位面上，如图2(b)所示。于是，在没有加磁场时，就有一个由于不等位电势引起的欧姆压降V 0，称为不等位电势差。V 0的方向与磁场B 的换向无关，而随电流换向而换向。当电流自上向下流时，V 4＞V 3；反之，V 4＜V 3。
(2)厄廷好森(Etinghausen) V t ：原假定，载流子(电子或空穴) 都是以同一速度v 在X 轴上迁移的，但实际上载流子的速度不相同。速度大的载流子受到的洛伦兹力大，绕大圆轨道运动；速度小的载流子受到的洛伦兹力小，绕小圆轨道运动，导致霍耳元件3、4两端平面，一个平面快载流子较多，另一个平面慢载流子较多。因为快载流子能量较大，慢载流子能量较小，所以快载流子多的平面温度较高，慢载流子多的平面温度较低，3、4两端之间形成温度差。由于霍耳电极(金属) 与霍耳片(半导体) 的材料不同，根据温差电偶的原理就产生了温差电动势V t 。这种物理现象称为厄廷好森效应。由此产生的温差电动势V t 的方向与霍耳电势差V H 一样，既随B 也随I H 换向而换向，不能与霍耳电势差分开。
(3)(Nernst)势差V P :由于1、2两端工作电流引线处的焊接点接触电阻大小不同，通X 轴方向电流后，在霍耳片1、2两端产生的焦耳热不同，两端的温度就不同。受热流影响，温度高的一端就向温度低的一端扩散载流子，这种载流子也会受到洛伦兹力的作用而发生偏转。在霍耳片3、4两端之间产生热流电势差V p 。这种物理现象称为能斯脱效应。对于一定的霍耳元件来说，两端接触电阻的大小都是确定了的，不论电流的方向如何，温度的相对高低也是一定了的，因而热流的方向也是一定的。因此热流电势差V P 的方向与工作电流I H 的方向无关，而随B 的换向而换向。
(4)里纪-(Righi-leduc)V S :在上述能斯脱效应
的基础产生的热扩散载流子的速度也不相同，于是又如厄廷好森效应那样，在霍耳片3、4两端之间产生一个附加温差电势差V S 。这种物理现象称为里纪-勒杜克效应。因为这是由能斯脱效应附带而形成的，因此V S 的方向也如V p 那样与I H 无关，而随的B 换向而换向。上述各种效应所产生的电势差的方向与I H 及B 的方向关系，可用表1简明表示之。
表1
综上所述，在确定的磁场B 与工作电流I H 的条件下，实际测量的3、4两端的电压V ，不仅包括V H ，还包括了V 0，V t ， V p 和V s
例如，假设B 和I H 的大小不变，方向如图2所示；又设3、4两端的V 0为正，1端的温度比2端高，所测电压为V 1，其中包含的各种效应的电压全为正，以后I H ，B 分别换向测量得出V 2，V 3，V 4 ，根据前面分析的各种效应产生的电压的方向与I H ，B 的方向的关系，可得出如下的表示式:
(+I H , +B ) V 1=+V H +V 0+V t +V p +V s (4) (-I H , +B ) V 2=-V H -V 0-V t +V p +V s (5) (-I H , -B ) V 3=+V H -V 0+V t -V p -V s (6) (+I H , -B ) V 4=-V H +V 0-V t -V p -V s (7) 由这四个等式得到:
V 1-V 2+V 3-V 4=4⨯(V H +V t )
即
1
V H =(V 1-V 2+V 3-V 4) -V t (8)
4
其中，厄廷好森效应引起的温差电压V t 无法同时消除，但一般比V H 小的多，可以忽略。所以得:
V H =
1
(V 1-V 2+V 3-V 4) (9) 4
这就是基本上消除了附加效应之后，霍耳电压的测量计算公式。
在精密测量中，工作电流I H 也可以用交流电，使霍耳片3、4两端来不及产生温差；也可用恒温槽来避免各种附加效应的影响。
3. 直螺线管的磁场
根据电磁学的知识可以推导出长直螺线管轴线上中心点的磁感应强度:
B 0=
μ⨯NI M
(L 2+4r )
1220
(10)
螺线管轴线上两端面的磁感应强度: B L =
2
1
B 0 (11) 2
-7
式中，μ为磁介质的磁导率，真空中μ0=4π×10(T·m/A) (即:特·米/安) ，N 为螺线管的总匝数，I M 为螺线管的励磁电流，L 为螺线管的长度，r 0为螺线管的半径。
【主要仪器】
螺线管磁场测试仪。其面板图如图3所示(仪器上有两路电流输出端和一路电压输入
端) 。
图3 螺线管磁场测试仪的面板图
【实验内容】
1. 仪器连接
将螺线管磁场装置与螺线管磁场测试仪电路按图3连接好。
2. 调节螺线管的励磁电流I M (或I H ) 、调节霍耳元件的工作电流I S (或I H )
测试仪在通电前，应将“I S (或 I H ) 调节”和“I M 调节”两个旋钮置于零位(即逆时针旋到底) 。
实验中调节“励磁电流调节”旋钮使励磁电流显示为1.000A ；调节“工作电流调节”旋钮，使工作电流显示为5.00mA 3. 测量螺线管轴线的磁场分布
1) 以相距螺线管两端口等远的中心位置为坐标原点，探头离中心位置x=12.5-x1-x 2，轻轻转动螺线管底座上的标尺旋钮，使测距尺读数x 1=x2=0.0cm。
先调节x 1旋钮，保持x 2=0.0cm，使x 1停留在0.0、0.5、1.0、2.0、4.5、7.0、10.0、12.5cm 等读数处，再调节x 2旋钮，保持x 1=12.5cm，使x 2停留在1.0、3.0、5.0、7.0、9.0、11.0、11.5、12.5cm 等读数处，按对称测量的方法测出相应的V 1、V 2、V 3、V 4值。 2) 记下K H 的值，由(2)式及(1)式得此点的V H 与B 。 4. 绘制出螺线管内的B-x 磁场分布曲线。
根据上述测量结果，绘制螺线管内的B-x 磁场分布曲线。
【数据处理】
(1)将螺线管中心轴上各点的磁场测量数据填入表2K H = (单位) 表2
(2)计算螺线管中点的磁场B (求其误差)
(3)绘制出螺线管内的B -X 磁场分布曲线。
(1)换向开关的作用。因为本实验的一个关键问题是消除附加电势差的影响，其方法是多次改变磁场B 和霍耳元件工作电流I H 的方向，这是通过换向开关来V 1，V 2，V 3，V 4实
(2)本实验除测量公式(8)中有“+”、“-”号外，式中各测量值本身还含有“+、-”号，每次测量记录时不要忘记记正负号。
(3)霍耳元件质脆，引线的接头细小，容易损坏，将霍耳元件旋出旋进时，操作动作要轻缓。
【思考题】
1. 根据磁场B 的方向，工作电流I H 的方向及霍尔电压V H 的正负，判断所用霍尔元件是N 型还是P
2. 如图1所示，若磁场B 不垂直霍尔片，对测量结果有何影响? 如何用实验的方法，判断B 与霍尔片是否垂直?