分式运算中的常用技巧与方法1
在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、 整体通分法
a 2
例1．化简：-a-1 a -1
分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 1a 2a 2a 2(a -1)(a +1) a 2-(a 2-1) 解：-a-1=-(a+1)= -== a -1a -1a -1a -1a -1a -1
二、 逐项通分法
2b 114b 3
例2．计算--- a -b a +b a 2+b 2a 4-b 4
分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 2b 2b 11(a +b ) -(a -b ) 4b 34b 3
解：--2-4=-2-4 222244a +b a -b a -b a +b a +b a -b a -b
2b 2b 4b 32b (a 2+b 2) -2b (a 2-b 2) 4b 3
=2--=-4 a -b 2a 2+b 2a 4-b 4a 4-b 4a -b 4
4b 34b 3
=4-4=0 44a -b a -b
三、 先约分，后通分
a 2+6a a 2-4例3．计算：2+ a +2a a 2+4a +4
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 a 2+6a a 2-4a (a +6) (a +2)(a -2) a +6a -22a +4解：2+2=+=+==2 a +2a +2a +2a +2a a +4a +4a (a +2) (a +2) 2
四、 整体代入法
例4．已知112x -5xy +2y +=5求的值 x y x +2xy +y
2211-5+2(+) -5112⨯5-552x -5xy +2y y x x y 解法1：∵+=5∴x y ≠0,. 所以==== x y 5+27x +2xy +y +2+++2y x x y
解法2：由11x +y +=5得，=5, x+y=5xy x y xy
∴2x -5xy +2y 2(x +y ) -5xy 2⨯5xy -5xy 5xy 5==== x +2xy +y (x +y ) +2xy 5xy +2xy 7xy 7
1 a 4
1解：由已知条件可得a ≠0, ∴a+=5 a
111∴a 4+4=(a2+2) 2-2=[(a+) 2-2]2-2=(52-2) 2-2=527 a a a 例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+五、运用公式变形法
六、设辅助参数法
b +c a +c a +b (a +b )(b +c )(c +a ) = = ，计算： a b c abc
b +c a +c a +b 解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck； a b c 例6．已知
把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1
若a+b+c ≠0，则k=2
(a +b )(b +c )(c +a ) ak ⋅bk ⋅ck 3 ==kabc abc
当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
七、应用倒数变换法
a a 2
例7．已知2=7，求4的值 a -a +1a +a 2+1
18a 2-a +11解：由条件知a ≠0, ∴=, 即a+= 7a 7a
1215a 4+a 2+121∴=a++1=(a+) -1= 22a 49a a
49a 2
∴4= a +a 2+115
八、取常数值法
例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算
解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. y +z x +z x +y ++ x z y
则y +z x +z x +y ++=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。 x z y
九、把未知数当成已知数法
a 2+b 2+c 2
例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: ab +bc +ac
解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c a 2+b 2+c 214c 214∴==. ab +bc +ac 11c 211
十、巧用因式分解法
a 2b 2c 2
例10．已知a+b+c=0，计算2+2+2 2a +bc 2b +ac 2c +ab
解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
2222∴2a +bc=a+a+bc=a+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)
22同理可得2b +ac=(b-c)(b-a),2c+ab=(c-a)(c-b)
a 2b 2c 2a 2b 2c 2
++= ++ 2a 2+bc 2b 2+ac 2c 2+ab (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)
a 2b 2c 2a 2(b -c ) -b 2(a -c ) +c 2(a -b ) = -+= (a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(c-a)(c-b)(a -b )(a -c )(b -c )
a 2(b -c ) -b 2a +b 2c +c 2a -c 2b a 2(b -c ) -a (b +c )(b -c ) +bc (b -c ) == (a -b )(a -c )(b -c ) (a -b )(a -c )(b -c )
(b -c )(a 2-ab -ac +bc ) (a -b )(a -c )(b -c ) ===1 (a -b )(a -c )(b -c ) (a -b )(a -c )(b -c )
分式运算中的常用技巧与方法1
在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、 整体通分法
a 2
例1．化简：-a-1 a -1
分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 1a 2a 2a 2(a -1)(a +1) a 2-(a 2-1) 解：-a-1=-(a+1)= -== a -1a -1a -1a -1a -1a -1
二、 逐项通分法
2b 114b 3
例2．计算--- a -b a +b a 2+b 2a 4-b 4
分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 2b 2b 11(a +b ) -(a -b ) 4b 34b 3
解：--2-4=-2-4 222244a +b a -b a -b a +b a +b a -b a -b
2b 2b 4b 32b (a 2+b 2) -2b (a 2-b 2) 4b 3
=2--=-4 a -b 2a 2+b 2a 4-b 4a 4-b 4a -b 4
4b 34b 3
=4-4=0 44a -b a -b
三、 先约分，后通分
a 2+6a a 2-4例3．计算：2+ a +2a a 2+4a +4
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 a 2+6a a 2-4a (a +6) (a +2)(a -2) a +6a -22a +4解：2+2=+=+==2 a +2a +2a +2a +2a a +4a +4a (a +2) (a +2) 2
四、 整体代入法
例4．已知112x -5xy +2y +=5求的值 x y x +2xy +y
2211-5+2(+) -5112⨯5-552x -5xy +2y y x x y 解法1：∵+=5∴x y ≠0,. 所以==== x y 5+27x +2xy +y +2+++2y x x y
解法2：由11x +y +=5得，=5, x+y=5xy x y xy
∴2x -5xy +2y 2(x +y ) -5xy 2⨯5xy -5xy 5xy 5==== x +2xy +y (x +y ) +2xy 5xy +2xy 7xy 7
1 a 4
1解：由已知条件可得a ≠0, ∴a+=5 a
111∴a 4+4=(a2+2) 2-2=[(a+) 2-2]2-2=(52-2) 2-2=527 a a a 例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+五、运用公式变形法
六、设辅助参数法
b +c a +c a +b (a +b )(b +c )(c +a ) = = ，计算： a b c abc
b +c a +c a +b 解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck； a b c 例6．已知
把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1
若a+b+c ≠0，则k=2
(a +b )(b +c )(c +a ) ak ⋅bk ⋅ck 3 ==kabc abc
当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
七、应用倒数变换法
a a 2
例7．已知2=7，求4的值 a -a +1a +a 2+1
18a 2-a +11解：由条件知a ≠0, ∴=, 即a+= 7a 7a
1215a 4+a 2+121∴=a++1=(a+) -1= 22a 49a a
49a 2
∴4= a +a 2+115
八、取常数值法
例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算
解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. y +z x +z x +y ++ x z y
则y +z x +z x +y ++=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。 x z y
九、把未知数当成已知数法
a 2+b 2+c 2
例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: ab +bc +ac
解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c a 2+b 2+c 214c 214∴==. ab +bc +ac 11c 211
十、巧用因式分解法
a 2b 2c 2
例10．已知a+b+c=0，计算2+2+2 2a +bc 2b +ac 2c +ab
解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
2222∴2a +bc=a+a+bc=a+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)
22同理可得2b +ac=(b-c)(b-a),2c+ab=(c-a)(c-b)
a 2b 2c 2a 2b 2c 2
++= ++ 2a 2+bc 2b 2+ac 2c 2+ab (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)
a 2b 2c 2a 2(b -c ) -b 2(a -c ) +c 2(a -b ) = -+= (a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(c-a)(c-b)(a -b )(a -c )(b -c )
a 2(b -c ) -b 2a +b 2c +c 2a -c 2b a 2(b -c ) -a (b +c )(b -c ) +bc (b -c ) == (a -b )(a -c )(b -c ) (a -b )(a -c )(b -c )
(b -c )(a 2-ab -ac +bc ) (a -b )(a -c )(b -c ) ===1 (a -b )(a -c )(b -c ) (a -b )(a -c )(b -c )