【典例精析】
a b c 3a -2b +c ==≠0，求的值。 345a -2b -c
a b c
思路导航：首先设===k ，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入
345
3a -2b +c
，即可求得答案。
a -2b -c
例题1 已知
a b c
===k （k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 345
3a -2b +c 3⨯3k -2⨯4k +5k 6k 3所以＝＝＝-
a -2b -c 3k -2⨯4k -5k -10k 5
答案：解：设
点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。
a +2b 3b -c 2c -a c -2b
式相加即可求出k 的值，代入即可求值。
答案：解：设
b +c a +c a +b
==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3a b c
个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k
若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2
(a +b )(b +c )(c +a ) ck ⋅ak ⋅bk 3
＝＝k
abc abc
当k ＝－1时，原式＝－1， 当k ＝2时，原式＝8。
点评：用含k 的代数式表示出a ，b ，c 的值是解决本题的突破点。
【总结提升】
设k 求值解题的基本步骤
[1**********]22
所以a +4=a +2⋅a ⋅2+4-2=(a +2) -2＝(a +2⋅a ⋅+2-2) －2
a a a a a a 122
＝[(a +) -2]-2＝（52－2）2－2＝527
a
点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。解答本题的关键是将a +
1
看做一个整体代入。 a
11116148)(x +)(x +x +16(x 2-1) 248x x x x
11
思路导航：将原式乘以代数式(x -) ，同时再除以代数式(x -) ，即可连续利用平方
x x
例题2 计算(x +)(x +
2
1
x
差公式。
答案：解：原式＝[(x -)(x +)(x 2+
1x 1x 1111611482)(x +)(x +)(x +)](x -1) ÷(x -)
24816x x x x x
完全平方公式的常见变形： （1）a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ， （2）a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ， （3）（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，
（4）a 2＋b 2＋c 2＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋ac ＋bc ） 平方差公式的常见变形：
（1）位置变化：（a ＋b ）（－b ＋a ）＝－（b 2－a 2）；
（2）符号变化：（－a －b ）（a －b ）＝－（a 2－b 2）； （3）系数变化：（3a ＋2b ）（3a －2b ）＝ 9a 2－4b 2； （4）指数变化：（a 3＋b 2）（a 3－b 2）＝a 6－b 4；
（5）项数变化：（a ＋2b －c ）（a －2b ＋c ）＝a 2－（2b －c ）2；
（6）连用变化：（a ＋b ）（a －b ）（a 2＋b 2）＝（a 2－b 2）（a 2＋b 2）＝a 4－b 4。
微课程3：整体通分
【考点精讲】
667a -1a 667-1a 2001-(a 2001-1) ＝ 667
a -11＝667 a -1
点评：本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。注意到a
667
, a 1334与a 2001之间的关系，利用换元法，可以将问
题转化为我们熟悉的形式。
【总结提升】
若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。
例如：计算分式a +2-
4
时，可将a ＋2看做一个整体，将其分母看做“1”进行通2-a
分，可使运算过程大大简化。
=7. 已知x , y , z 满足=，求的值。
x y -z z +x y +2z
a +b -c a -b +c -a +b +c (a +b )(a +c )(b +c )
==8. 已知，求的值。 c b a abc
活用公式变形
一、选择题
a -a 2-4a +4
C. D.
1-a a -1
5. 已知
111b a -=，则-＝_________。 a b a +b a b
三、解答题
2m n m +2n x 2-2x 2x -1
-+÷(x -1-) 6. 计算：（1）；（2）2
m -n n -m n -m x -1x +1x 3
-(x 2+x +1)
7. 计算：
x -1
设k 求值
2a +3b 2k -14k = 4k +21k 12=-
252351
==， 7. 解：设=
x y -z z +x k
则x =2k , y -z =3k , x +z =5k , ∴y =6k , z =3k
5x -y 5⨯2k -6k 4k 1
===
y +2z 6k +2⨯3k 12k 3
a +b -c a -b +c -a +b +c
===k ， 8. 解：设
c b a
则a +b =(k +1) c ，① a +c =(k +1) b ，② b +c =(k +1) a 。③
∴
+x 2+1(x +) 2-12
三、解答题
(a +1)(a -2) a a +1-]÷， 22a -4a +4a -2a a -2
(a +1)(a -2) a a -2，
=[-]⨯(a -2) 2a (a -2) a +1
6. 解：[
b -a 1=，即ab =-3(a -b ) ， ab 3
-3(a -b ) =-3 ∴原式＝a -b
3a 2+2a -33-a 2-2a +33(a +3)(a -1) =-== -3. A 解析：解：原式＝a -1a -1a -1a -1a -1∴
-a 2-2a +6a 2+2a -6＝ a -11-a
二、填空题 22a +11 解析：原式＝＝。 =233(a +1) a +1
b -a 1=, ∴b 2-a 2=ab ，
5. 1 解析：解：对已知等式整理得ab a +b
4.
【典例精析】
a b c 3a -2b +c ==≠0，求的值。 345a -2b -c
a b c
思路导航：首先设===k ，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入
345
3a -2b +c
，即可求得答案。
a -2b -c
例题1 已知
a b c
===k （k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 345
3a -2b +c 3⨯3k -2⨯4k +5k 6k 3所以＝＝＝-
a -2b -c 3k -2⨯4k -5k -10k 5
答案：解：设
点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。
a +2b 3b -c 2c -a c -2b
式相加即可求出k 的值，代入即可求值。
答案：解：设
b +c a +c a +b
==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3a b c
个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k
若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2
(a +b )(b +c )(c +a ) ck ⋅ak ⋅bk 3
＝＝k
abc abc
当k ＝－1时，原式＝－1， 当k ＝2时，原式＝8。
点评：用含k 的代数式表示出a ，b ，c 的值是解决本题的突破点。
【总结提升】
设k 求值解题的基本步骤
[1**********]22
所以a +4=a +2⋅a ⋅2+4-2=(a +2) -2＝(a +2⋅a ⋅+2-2) －2
a a a a a a 122
＝[(a +) -2]-2＝（52－2）2－2＝527
a
点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。解答本题的关键是将a +
1
看做一个整体代入。 a
11116148)(x +)(x +x +16(x 2-1) 248x x x x
11
思路导航：将原式乘以代数式(x -) ，同时再除以代数式(x -) ，即可连续利用平方
x x
例题2 计算(x +)(x +
2
1
x
差公式。
答案：解：原式＝[(x -)(x +)(x 2+
1x 1x 1111611482)(x +)(x +)(x +)](x -1) ÷(x -)
24816x x x x x
完全平方公式的常见变形： （1）a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ， （2）a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ， （3）（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，
（4）a 2＋b 2＋c 2＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋ac ＋bc ） 平方差公式的常见变形：
（1）位置变化：（a ＋b ）（－b ＋a ）＝－（b 2－a 2）；
（2）符号变化：（－a －b ）（a －b ）＝－（a 2－b 2）； （3）系数变化：（3a ＋2b ）（3a －2b ）＝ 9a 2－4b 2； （4）指数变化：（a 3＋b 2）（a 3－b 2）＝a 6－b 4；
（5）项数变化：（a ＋2b －c ）（a －2b ＋c ）＝a 2－（2b －c ）2；
（6）连用变化：（a ＋b ）（a －b ）（a 2＋b 2）＝（a 2－b 2）（a 2＋b 2）＝a 4－b 4。
微课程3：整体通分
【考点精讲】
667a -1a 667-1a 2001-(a 2001-1) ＝ 667
a -11＝667 a -1
点评：本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。注意到a
667
, a 1334与a 2001之间的关系，利用换元法，可以将问
题转化为我们熟悉的形式。
【总结提升】
若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。
例如：计算分式a +2-
4
时，可将a ＋2看做一个整体，将其分母看做“1”进行通2-a
分，可使运算过程大大简化。
=7. 已知x , y , z 满足=，求的值。
x y -z z +x y +2z
a +b -c a -b +c -a +b +c (a +b )(a +c )(b +c )
==8. 已知，求的值。 c b a abc
活用公式变形
一、选择题
a -a 2-4a +4
C. D.
1-a a -1
5. 已知
111b a -=，则-＝_________。 a b a +b a b
三、解答题
2m n m +2n x 2-2x 2x -1
-+÷(x -1-) 6. 计算：（1）；（2）2
m -n n -m n -m x -1x +1x 3
-(x 2+x +1)
7. 计算：
x -1
设k 求值
2a +3b 2k -14k = 4k +21k 12=-
252351
==， 7. 解：设=
x y -z z +x k
则x =2k , y -z =3k , x +z =5k , ∴y =6k , z =3k
5x -y 5⨯2k -6k 4k 1
===
y +2z 6k +2⨯3k 12k 3
a +b -c a -b +c -a +b +c
===k ， 8. 解：设
c b a
则a +b =(k +1) c ，① a +c =(k +1) b ，② b +c =(k +1) a 。③
∴
+x 2+1(x +) 2-12
三、解答题
(a +1)(a -2) a a +1-]÷， 22a -4a +4a -2a a -2
(a +1)(a -2) a a -2，
=[-]⨯(a -2) 2a (a -2) a +1
6. 解：[
b -a 1=，即ab =-3(a -b ) ， ab 3
-3(a -b ) =-3 ∴原式＝a -b
3a 2+2a -33-a 2-2a +33(a +3)(a -1) =-== -3. A 解析：解：原式＝a -1a -1a -1a -1a -1∴
-a 2-2a +6a 2+2a -6＝ a -11-a
二、填空题 22a +11 解析：原式＝＝。 =233(a +1) a +1
b -a 1=, ∴b 2-a 2=ab ，
5. 1 解析：解：对已知等式整理得ab a +b
4.