《一次函数的简单应用1》教学设计
（初中数学·八年级·上册·第七章）
【教学目标】
1．知识与技能目标
（1）了解通过实验获得的数据, 然后根据数据建立一次函数模型的一般过程. （2）会综合运用一次函数的解析式，函数图象以及结合方程（组）等其他数学模型，解决实际问题.
2．数学思考目标
不断增强分析问题、解决问题的能力，加强领会数形结合的思想方法，发展学生的形象思维能力。
3．问题解决目标
（1）了解通过实验获得的数据, 然后根据数据建立一次函数解决问题的建模方法。 （2）能从实际问题中抽象出函数的解析式和图像，并能运用函数解决有关实际问题，了解分段函数的概念及其应用。
4．情感与态度目标
（1）在解决问题的过程中，进一步体会函数来自于实际又服务于实际，增强数学的应用意识。
（2）通过小组实验，培养学生认真、求实、勇于探索的品质，通过小组互动，合作探究培养学生的合作精神和热爱学习的品质。
【教学重点】
利用函数图象取得函数解析式的基本方法和步骤. 【教学难点】
例2涉及的情境比较复杂并且涉及分段定义函数，理解分段函数在解决实际问题中的应用及从实际问题中提炼出函数解式，是本节的难点. 【教学设计】
一、创设情景，激发兴趣
1．以4人为一小组，每组提供弹簧一根，带刻度的直尺一把，5克，10克，20克，50克，100克的砝码五个，让学生测量当弹簧分别挂上5克，10克，20克，50克，100克的砝码时弹簧的长度，并填写如下表格：
问题:（1）你认为弹簧的长度y （cm ）与砝码的质量x （克）) 之间有没有关系？ （2）若有关系，你猜会是什么关系？并求出这种关系的解析式？
实验小结：通过此次实验活动，你学到了什么？感受到什么？教师给予点拨和总结，并板书课题7.5一次函数的简单运用。
2．总结一次函数的简单应用一般步骤和方法： （1）通过实验得到数据
（2）对实验得到的数据用建立模型的思想将两个变量的数据以点的形式描在坐标系上 （3）观察所画的图象是否符合一次函数图象 （4）用待定系数法求出一次函数解析式
（说明：让学生亲自动手得到实验数据，并对实验中两个变量间的数据，用观察图象的方法，得到从数据到函数的一般步骤。） 二、交流合作，探求新知
例题教学（多媒体显示题目和图片）
例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y 和吻尖到喷水孔的长度x 的数据如下表（单位：m ）
析式。
合作探讨：如何判定一次函数呢？应用前面总结的一次函数的简单应用一般步骤和方法。引导学生画图象，并根据图象判定函数的类型。
1． 观察数据，发现规律
留有一定的时间让学生观察这些数据的内在规律。数据比较复杂，学生想要得出x 与y 之间的关系，可能会存在一定的困难，教师及时抛出问题。
教师提问1：怎样才能知道变量x 和y 之间是否是一次函数的关系呢？
教师可以引导学生一起回顾前面总结的“一次函数的简单应用一般步骤和方法”，引出将两个变量的数据以点的形式描在坐标系上，然后观察。
2． 小组合作，完成图象
画图象会有一定的困难，由小组合作完成。留有一定的时间让学生画，教师巡视指导，特别注意坐标轴单位长度的选取。学生完成后，选几副有代表性的进行讲评，纠正易犯错误（由学生纠错，教师适当点评），最后教师示范画图象的过程（若有必要）。
3． 师生合作，共同求解
教师问题2：这7个点几乎在同一条直线上，所以可以近似的用一次函数来刻画两个变量x 、y 之间的关系。怎样求出一次函数的解析式呢？（学生已经有用待定系数法求解函数解析式的经验，所以求解过程由学生口述，教师板书即可。）
4．抛出问题，继续思考
x
教师问题3：确定两个变量是否构成一次函数的关系除了图象法，还有其他的方法吗？ （小组内交流汇报） 师生总结：
确定两个变量是否构成一次函数的关系的方法：
1. 图象法：①通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
②建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象；
③观察图象特征，判定函数的类型。
2. 尝试检验法：①通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； ②猜想函数类型，再利用对应变量求求得函数解析式； ③检验其它点是否符合函数解析式。
设这个一次函数为y=kx+b,把点（1.91，10.25），（2.59,12.50）的坐标分别代入y=kx+b得
10.25=1.91k+b
12.50=2.59k+b 解得：k ≈3.31，b ≈3.93
所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93
（说明：1．由学生合作探讨，解题由师生共同完成. 2．实验数据的偏差、图象近似一条直线，这样求得一次函数解析式只能近似地刻画x 和y 两个变量之间的关系。3．求一次函数解析式的一般步骤，根据图象选取数值较简单但又不靠得太近的两对. ） 三、继续探究，拓展深化
例题教学（多媒体显示沙尘暴情况和图片）
O
例2 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇、遇到防护林则减速，最终停止。某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y （km\h）随着时间t(h)变化的图象(如图)
（1）求沙尘暴的最大风速；
（2）用恰当的方法表示沙尘暴风速与时间之间的关系。
32
解：（1）从图可知，沙尘暴最大风速为32km/h
(2)当o ≤t ≤4时，y 与t 成正比例关系。设y=kt,直线y=kt 经过（4，8）∴k=2,即y=2t(0≤t ≤4)
（3）当4≤t ≤10时，y 是t 的一次函数，设y=k1t+b,直线y=k1t+b经过点（4,8），（10,32）
⎧4k 1+b =8∴
⎨
⎩10k 1+b =32
1
解得：⎨ ∴y=4t-8(4≤t ≤10)
⎧k =4
⎩b =-8
当10≤t ≤25时y=32(10≤t ≤25), 即风速是一个常量32km/h 当25≤t ≤57时，用同样方法求得y=-t+57(25≤t ≤57)
（说明：探究问题（2）是本节课的难点所在，教师需做必要的引导，可以借助以下几个小问题：①沙尘暴经历了多少时间？风速的取值范围是什么？②它的图象由几条线段组成？每条线段分别表示风速y 与时间t 的怎样的一种函数？能用一个函数来表示吗？③要表示风速y 与时间t 之间的函数关系，你认为应分几段来求？） 四、大胆实践，自主探究
如图，大拇指与小指尽量张开时，两指尖的距离称位指距
.
每一个人的身高h 与其指距d 满足怎样的函数关系呢? 据估测, 电影《功夫》中周星驰的“如来神掌”的指距为9米, 由此可知那时周星驰将自己变成了多高的巨人? 五、归纳小结，反思内化
通过本节课的学习，你知道了什么？你学会了什么？ 学生总结．补充，教师归纳。 【作业布置】 1．作业本（2）；
2．课本作业题A ．B 组，C 组题可以选做；
3．设计题：生活中还有哪些变量间的关系可以用一次函数来刻画？ 【设计意图】
1. 从学生实际出发，让学生在已有的经验基础上更好的学习数学，因此在整体设计中采用“问题情境——探索交流——建立模型”的模式安排教学；第二，体现数学知识的形成，提供充分的探索时间，让学生在自己的经验中通过观察、交流等数学活动，形成良好的数学思维习惯，提高自己解决问题的能力。
2. 一次函数的图象是现实生活中经常应用的工具之一，也是解决数学中实际问题的重要辅助手段。随着中考命题的不断改革，利用函数图象来解决函数应用题越来越成为中考的热点，在对一次函数的图象的应用中，要注意在认真审题的基础上，仔细分析图象中各点的意义，尤其是图象与坐标轴的交点，这是我们常用的；其次要善于从图象中获取有用信息，很多题目解题的方法、思路往往就蕴含在其图象中。总之，在应用中要发展自己的数形结合能力和数学应用能力。 【参考文献】
〔1〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．杭州：浙江教育出版社，2006．
〔2〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．北京：北师大出版社，2006．
《一次函数的简单应用1》教学设计
（初中数学·八年级·上册·第七章）
【教学目标】
1．知识与技能目标
（1）了解通过实验获得的数据, 然后根据数据建立一次函数模型的一般过程. （2）会综合运用一次函数的解析式，函数图象以及结合方程（组）等其他数学模型，解决实际问题.
2．数学思考目标
不断增强分析问题、解决问题的能力，加强领会数形结合的思想方法，发展学生的形象思维能力。
3．问题解决目标
（1）了解通过实验获得的数据, 然后根据数据建立一次函数解决问题的建模方法。 （2）能从实际问题中抽象出函数的解析式和图像，并能运用函数解决有关实际问题，了解分段函数的概念及其应用。
4．情感与态度目标
（1）在解决问题的过程中，进一步体会函数来自于实际又服务于实际，增强数学的应用意识。
（2）通过小组实验，培养学生认真、求实、勇于探索的品质，通过小组互动，合作探究培养学生的合作精神和热爱学习的品质。
【教学重点】
利用函数图象取得函数解析式的基本方法和步骤. 【教学难点】
例2涉及的情境比较复杂并且涉及分段定义函数，理解分段函数在解决实际问题中的应用及从实际问题中提炼出函数解式，是本节的难点. 【教学设计】
一、创设情景，激发兴趣
1．以4人为一小组，每组提供弹簧一根，带刻度的直尺一把，5克，10克，20克，50克，100克的砝码五个，让学生测量当弹簧分别挂上5克，10克，20克，50克，100克的砝码时弹簧的长度，并填写如下表格：
问题:（1）你认为弹簧的长度y （cm ）与砝码的质量x （克）) 之间有没有关系？ （2）若有关系，你猜会是什么关系？并求出这种关系的解析式？
实验小结：通过此次实验活动，你学到了什么？感受到什么？教师给予点拨和总结，并板书课题7.5一次函数的简单运用。
2．总结一次函数的简单应用一般步骤和方法： （1）通过实验得到数据
（2）对实验得到的数据用建立模型的思想将两个变量的数据以点的形式描在坐标系上 （3）观察所画的图象是否符合一次函数图象 （4）用待定系数法求出一次函数解析式
（说明：让学生亲自动手得到实验数据，并对实验中两个变量间的数据，用观察图象的方法，得到从数据到函数的一般步骤。） 二、交流合作，探求新知
例题教学（多媒体显示题目和图片）
例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y 和吻尖到喷水孔的长度x 的数据如下表（单位：m ）
析式。
合作探讨：如何判定一次函数呢？应用前面总结的一次函数的简单应用一般步骤和方法。引导学生画图象，并根据图象判定函数的类型。
1． 观察数据，发现规律
留有一定的时间让学生观察这些数据的内在规律。数据比较复杂，学生想要得出x 与y 之间的关系，可能会存在一定的困难，教师及时抛出问题。
教师提问1：怎样才能知道变量x 和y 之间是否是一次函数的关系呢？
教师可以引导学生一起回顾前面总结的“一次函数的简单应用一般步骤和方法”，引出将两个变量的数据以点的形式描在坐标系上，然后观察。
2． 小组合作，完成图象
画图象会有一定的困难，由小组合作完成。留有一定的时间让学生画，教师巡视指导，特别注意坐标轴单位长度的选取。学生完成后，选几副有代表性的进行讲评，纠正易犯错误（由学生纠错，教师适当点评），最后教师示范画图象的过程（若有必要）。
3． 师生合作，共同求解
教师问题2：这7个点几乎在同一条直线上，所以可以近似的用一次函数来刻画两个变量x 、y 之间的关系。怎样求出一次函数的解析式呢？（学生已经有用待定系数法求解函数解析式的经验，所以求解过程由学生口述，教师板书即可。）
4．抛出问题，继续思考
x
教师问题3：确定两个变量是否构成一次函数的关系除了图象法，还有其他的方法吗？ （小组内交流汇报） 师生总结：
确定两个变量是否构成一次函数的关系的方法：
1. 图象法：①通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
②建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象；
③观察图象特征，判定函数的类型。
2. 尝试检验法：①通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； ②猜想函数类型，再利用对应变量求求得函数解析式； ③检验其它点是否符合函数解析式。
设这个一次函数为y=kx+b,把点（1.91，10.25），（2.59,12.50）的坐标分别代入y=kx+b得
10.25=1.91k+b
12.50=2.59k+b 解得：k ≈3.31，b ≈3.93
所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93
（说明：1．由学生合作探讨，解题由师生共同完成. 2．实验数据的偏差、图象近似一条直线，这样求得一次函数解析式只能近似地刻画x 和y 两个变量之间的关系。3．求一次函数解析式的一般步骤，根据图象选取数值较简单但又不靠得太近的两对. ） 三、继续探究，拓展深化
例题教学（多媒体显示沙尘暴情况和图片）
O
例2 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇、遇到防护林则减速，最终停止。某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y （km\h）随着时间t(h)变化的图象(如图)
（1）求沙尘暴的最大风速；
（2）用恰当的方法表示沙尘暴风速与时间之间的关系。
32
解：（1）从图可知，沙尘暴最大风速为32km/h
(2)当o ≤t ≤4时，y 与t 成正比例关系。设y=kt,直线y=kt 经过（4，8）∴k=2,即y=2t(0≤t ≤4)
（3）当4≤t ≤10时，y 是t 的一次函数，设y=k1t+b,直线y=k1t+b经过点（4,8），（10,32）
⎧4k 1+b =8∴
⎨
⎩10k 1+b =32
1
解得：⎨ ∴y=4t-8(4≤t ≤10)
⎧k =4
⎩b =-8
当10≤t ≤25时y=32(10≤t ≤25), 即风速是一个常量32km/h 当25≤t ≤57时，用同样方法求得y=-t+57(25≤t ≤57)
（说明：探究问题（2）是本节课的难点所在，教师需做必要的引导，可以借助以下几个小问题：①沙尘暴经历了多少时间？风速的取值范围是什么？②它的图象由几条线段组成？每条线段分别表示风速y 与时间t 的怎样的一种函数？能用一个函数来表示吗？③要表示风速y 与时间t 之间的函数关系，你认为应分几段来求？） 四、大胆实践，自主探究
如图，大拇指与小指尽量张开时，两指尖的距离称位指距
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每一个人的身高h 与其指距d 满足怎样的函数关系呢? 据估测, 电影《功夫》中周星驰的“如来神掌”的指距为9米, 由此可知那时周星驰将自己变成了多高的巨人? 五、归纳小结，反思内化
通过本节课的学习，你知道了什么？你学会了什么？ 学生总结．补充，教师归纳。 【作业布置】 1．作业本（2）；
2．课本作业题A ．B 组，C 组题可以选做；
3．设计题：生活中还有哪些变量间的关系可以用一次函数来刻画？ 【设计意图】
1. 从学生实际出发，让学生在已有的经验基础上更好的学习数学，因此在整体设计中采用“问题情境——探索交流——建立模型”的模式安排教学；第二，体现数学知识的形成，提供充分的探索时间，让学生在自己的经验中通过观察、交流等数学活动，形成良好的数学思维习惯，提高自己解决问题的能力。
2. 一次函数的图象是现实生活中经常应用的工具之一，也是解决数学中实际问题的重要辅助手段。随着中考命题的不断改革，利用函数图象来解决函数应用题越来越成为中考的热点，在对一次函数的图象的应用中，要注意在认真审题的基础上，仔细分析图象中各点的意义，尤其是图象与坐标轴的交点，这是我们常用的；其次要善于从图象中获取有用信息，很多题目解题的方法、思路往往就蕴含在其图象中。总之，在应用中要发展自己的数形结合能力和数学应用能力。 【参考文献】
〔1〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．杭州：浙江教育出版社，2006．
〔2〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．北京：北师大出版社，2006．