第七单元 平面向量 复数 知识体系
第1节 平面向量的概念及线性运算 基础梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的或称．
(2)零向量：
(3)单位向量：长度等于
(4)平行向量：方向一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量
(5)相等向量：长度且方向的向量．
(6)相反向量：与a长度a的相反向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的 ，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 ．
(2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，
如图所示．
3．向量的减法运算及其几何意义
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量
的 ．
(2)如图，AB＝a，AD＝b，则DB＝a－b.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ) a；
②(λ＋μ) a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
典例分析
向量的有关概念
【例1】 给出下列各命题：
①零向量没有方向；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③单位向量都相等；
④向量就是有向线段；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝，＝.
其中真命题是________．
向量的线性运算
【例2】 (2010年高考全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.设CB―→ ＝a，CA―→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD―→等于( ) 1221(A)a＋ (B)＋b 3333 3443(C)a＋ (D)＋b 5555
变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA―→ |AB―→|－3OB―→＋2OC―→＝0，则______． |BC―→|
向量共线与三点共线问题
【例3】 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式探究31：已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
(A)k＝1且c与d同向 (B)k＝1且c与d反向
(C)k＝－1且c与d同向 (D)k＝－1且c与d反向
易错警示
错源一：零向量“惹的祸”
【例1】 下列命题正确的是( )
(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；
(B)在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；
(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；
(D)向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合
M，则集合M的元素个数为________．
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示 基础梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.
(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝π.
(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 质疑探究1：在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角是∠ABC吗？
2．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？
3．平面向量的正交分解与坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
4．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋ba－bλa＝(λx，λy，a∥b(b≠0)的充要条件是－x＝
0.
(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为
1a或1(x，y)． |a|2＋y2
x1＝x2 (4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔. y＝y 12
质疑探究3：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥bx1y1？ 1122x2y2
提示：不能，因为x2，y2有可能为0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
典例分析 平面向量基本定理及其应用
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC
的中
点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d
表示AB，AD.
1变式探究21：(2010年山东临沂联考)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y与线段AB交于 2
C，且AC―→＝2CB―→，则实数a等于( )
45 (A)2 (B)1 (C) (D)53
共线向量的坐标运算
【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b) 向量坐标的概念及运算 11【例2】 已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC―→＝AB―→，DA―→＝－―→，求点C、33D的坐标和CD―→的坐标．
∥c，则m＝________.
变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b等于( )
(A)(－5，－10) (B)(－4，－8)
(C)(－3，－6) (D)(－2，－4)
易错警示
错源：对共线向量不理解 【例题】 已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与AB―→共线的单位向量是( ) (A)e＝(－6,2) 310101010－31010310(C)e＝(或e＝() 10101010(D)e＝(－6,2)或(6，－2) (B)e＝(－第3节 平面向量的数量积
基础梳理
1．数量积的定义
已知两个非零向量a与b，其夹角为θ.我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的几何意义
(1)向量的投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正数，当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.
(2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
质疑探究：若非零向量a，b，c满足①a·c＝b·c，则a＝b吗？②(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立吗？ 提示：①不一定有a＝b，因为a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即c与a－b垂直，但不一定有a＝
b.因此数量积不满足消去律．
②因为(a·b)·c与向量c共线，(b·c)·a与向量a共线．当c与a不共线时(a·b)·c≠a·(b·c)即向量的数量积不满足结合律．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
2 特别地，a·a＝|a
|或|a|a·a. b (4)cos θa·|a||b| (5)|a·b|a||b|. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b1122
(2)夹角公式：若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，2与b的夹角，则cos θ＝
x1x2＋y1y2. 2222 1＋y1x2＋y2
(x2，y2)， (3)距离公式：若表示向量a的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，
22则 |a|＝x2－x1＋y2－y1，这就是平面内两点间的距离公式．
b＝0⇔1＋y2＝0. (4)垂直关系：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·
典例分析
向量数量积的运算及模的问题
【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝
，||＝1，则·＝________.
(2)(2010年高考广东卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的 坐标来计算．
(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若a＝(x，y)，则|a|＋y.
②|a|2＝a2＝a·a.
222③|a±b|＝a±2a·b＋b.
变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则 |a＋2b|等于( ) (A)3 (B)2 (C)4 (D)12
两向量垂直问题 【例2】 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当向量ka－b与a＋2b垂直时， k＝________.
变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a
－2b垂直，则实数λ的值为( ) 1111 (A)－ (B) (C)－ (D) 7766
两向量夹角问题
11【例3】 已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b) 22
(1)a与b的夹角的大小；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹
角是( ) ππππ (A) (B) (C) (D)6432
数量积的综合应用 【例4】 已知|a|＝1，|b|2. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角．
易错警示
错源：忽视角的范围而“惹祸”
【例题】设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
第4节 平面向量的应用
基础梳理
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即
a⊥b⇔a·b＝0⇔③求线段的长，主要利用向量的模，即 |a|a2＝12＋y12. ④求夹角问题，利用数量积的变形公式：
a·bx
1x2＋y1y2即cos θ＝cos 〈a，b〉＝2. 222|a||b| 1＋y1x2＋y2
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．
(2)物理中的功W是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即W＝f·s＝|f||s|cos θ.
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
典例分析
向量在平面几何中的应用
【例1】 如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2
＝AC2＋BD2，
求证：AD⊥BC.
：在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( ) 变式探究11
2(A)|AC―→|＝AC―→·AB―→ 2(B)|BC―→|＝BA―→·BC―→ (C)|AB―→|2＝AC―→·CD―→ AC―→·AB―→×BA―→·BC―→2(D)|CD―→|＝
|AB―→|
平面向量在物理中的应用
【例2】 (2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小 为( ) (A)6 (B)2 7
向量与三角的整合 【例3】 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量b＋c的长度的最大值； π(2)设αa⊥(b＋c)，求cos β的值． 4变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a＝，1)，向量b＝(sin α－m，cos α)， (1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α的值； πcos αsinπ＋2α2(2)若a⊥b，且m＝0的值． cosπ－α
平面向量与解析几何的整合 【例4】 (2010年安徽巢湖模拟)已知A(3，0)，B3，0)，动点P(x，y)满足|PA―→| ＋|PB―→|＝4. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求OM―→·ON―
→的取值范围．
变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )
(A)y2＝2x (B)y2＝4x
(C)y2＝6x (D)y2＝8x
易错警示
错源：“共线”运用出错
【例题】 如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，
B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·PC的最小
值是________．
第5节 复数的概念及运算
基础梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，ba＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数． (5)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作或|z|＝|a
22＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，r∈R)．
第七单元 平面向量 复数 知识体系
第1节 平面向量的概念及线性运算 基础梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的或称．
(2)零向量：
(3)单位向量：长度等于
(4)平行向量：方向一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量
(5)相等向量：长度且方向的向量．
(6)相反向量：与a长度a的相反向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的 ，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 ．
(2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，
如图所示．
3．向量的减法运算及其几何意义
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量
的 ．
(2)如图，AB＝a，AD＝b，则DB＝a－b.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ) a；
②(λ＋μ) a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
典例分析
向量的有关概念
【例1】 给出下列各命题：
①零向量没有方向；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③单位向量都相等；
④向量就是有向线段；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝，＝.
其中真命题是________．
向量的线性运算
【例2】 (2010年高考全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.设CB―→ ＝a，CA―→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD―→等于( ) 1221(A)a＋ (B)＋b 3333 3443(C)a＋ (D)＋b 5555
变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA―→ |AB―→|－3OB―→＋2OC―→＝0，则______． |BC―→|
向量共线与三点共线问题
【例3】 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式探究31：已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
(A)k＝1且c与d同向 (B)k＝1且c与d反向
(C)k＝－1且c与d同向 (D)k＝－1且c与d反向
易错警示
错源一：零向量“惹的祸”
【例1】 下列命题正确的是( )
(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；
(B)在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；
(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；
(D)向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合
M，则集合M的元素个数为________．
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示 基础梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.
(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝π.
(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 质疑探究1：在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角是∠ABC吗？
2．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？
3．平面向量的正交分解与坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
4．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋ba－bλa＝(λx，λy，a∥b(b≠0)的充要条件是－x＝
0.
(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为
1a或1(x，y)． |a|2＋y2
x1＝x2 (4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔. y＝y 12
质疑探究3：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥bx1y1？ 1122x2y2
提示：不能，因为x2，y2有可能为0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
典例分析 平面向量基本定理及其应用
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC
的中
点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d
表示AB，AD.
1变式探究21：(2010年山东临沂联考)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y与线段AB交于 2
C，且AC―→＝2CB―→，则实数a等于( )
45 (A)2 (B)1 (C) (D)53
共线向量的坐标运算
【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b) 向量坐标的概念及运算 11【例2】 已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC―→＝AB―→，DA―→＝－―→，求点C、33D的坐标和CD―→的坐标．
∥c，则m＝________.
变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b等于( )
(A)(－5，－10) (B)(－4，－8)
(C)(－3，－6) (D)(－2，－4)
易错警示
错源：对共线向量不理解 【例题】 已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与AB―→共线的单位向量是( ) (A)e＝(－6,2) 310101010－31010310(C)e＝(或e＝() 10101010(D)e＝(－6,2)或(6，－2) (B)e＝(－第3节 平面向量的数量积
基础梳理
1．数量积的定义
已知两个非零向量a与b，其夹角为θ.我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的几何意义
(1)向量的投影：|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正数，当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.
(2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
质疑探究：若非零向量a，b，c满足①a·c＝b·c，则a＝b吗？②(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立吗？ 提示：①不一定有a＝b，因为a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即c与a－b垂直，但不一定有a＝
b.因此数量积不满足消去律．
②因为(a·b)·c与向量c共线，(b·c)·a与向量a共线．当c与a不共线时(a·b)·c≠a·(b·c)即向量的数量积不满足结合律．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
2 特别地，a·a＝|a
|或|a|a·a. b (4)cos θa·|a||b| (5)|a·b|a||b|. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b1122
(2)夹角公式：若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，2与b的夹角，则cos θ＝
x1x2＋y1y2. 2222 1＋y1x2＋y2
(x2，y2)， (3)距离公式：若表示向量a的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，
22则 |a|＝x2－x1＋y2－y1，这就是平面内两点间的距离公式．
b＝0⇔1＋y2＝0. (4)垂直关系：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·
典例分析
向量数量积的运算及模的问题
【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝
，||＝1，则·＝________.
(2)(2010年高考广东卷)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的 坐标来计算．
(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若a＝(x，y)，则|a|＋y.
②|a|2＝a2＝a·a.
222③|a±b|＝a±2a·b＋b.
变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则 |a＋2b|等于( ) (A)3 (B)2 (C)4 (D)12
两向量垂直问题 【例2】 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当向量ka－b与a＋2b垂直时， k＝________.
变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a
－2b垂直，则实数λ的值为( ) 1111 (A)－ (B) (C)－ (D) 7766
两向量夹角问题
11【例3】 已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b) 22
(1)a与b的夹角的大小；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹
角是( ) ππππ (A) (B) (C) (D)6432
数量积的综合应用 【例4】 已知|a|＝1，|b|2. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角．
易错警示
错源：忽视角的范围而“惹祸”
【例题】设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
第4节 平面向量的应用
基础梳理
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即
a⊥b⇔a·b＝0⇔③求线段的长，主要利用向量的模，即 |a|a2＝12＋y12. ④求夹角问题，利用数量积的变形公式：
a·bx
1x2＋y1y2即cos θ＝cos 〈a，b〉＝2. 222|a||b| 1＋y1x2＋y2
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．
(2)物理中的功W是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即W＝f·s＝|f||s|cos θ.
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
典例分析
向量在平面几何中的应用
【例1】 如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2
＝AC2＋BD2，
求证：AD⊥BC.
：在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( ) 变式探究11
2(A)|AC―→|＝AC―→·AB―→ 2(B)|BC―→|＝BA―→·BC―→ (C)|AB―→|2＝AC―→·CD―→ AC―→·AB―→×BA―→·BC―→2(D)|CD―→|＝
|AB―→|
平面向量在物理中的应用
【例2】 (2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小 为( ) (A)6 (B)2 7
向量与三角的整合 【例3】 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量b＋c的长度的最大值； π(2)设αa⊥(b＋c)，求cos β的值． 4变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a＝，1)，向量b＝(sin α－m，cos α)， (1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α的值； πcos αsinπ＋2α2(2)若a⊥b，且m＝0的值． cosπ－α
平面向量与解析几何的整合 【例4】 (2010年安徽巢湖模拟)已知A(3，0)，B3，0)，动点P(x，y)满足|PA―→| ＋|PB―→|＝4. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求OM―→·ON―
→的取值范围．
变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )
(A)y2＝2x (B)y2＝4x
(C)y2＝6x (D)y2＝8x
易错警示
错源：“共线”运用出错
【例题】 如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，
B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·PC的最小
值是________．
第5节 复数的概念及运算
基础梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，ba＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数． (5)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作或|z|＝|a
22＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，r∈R)．