数列的函数特征
例4 (1)[2013·吉林实验中学二模] 已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *) ，且该数列为单调递增数列，则k 的取值范围是________．
b (2)[2013·合肥二模] 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋n 若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数
b 的取值范围是________
[解析] (1)因为数列{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n
⎧a 4≥a 5，(2)由题意可得b >0.因为对所有n ∈N ，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎨即⎩a 6≥a 5，*
b b 4＋5＋⎧⎪45解得⎨b b ⎪⎩6＋65＋520≤b ≤30，经验证，此时数列在区间(1，4) 上递减，在区间(5，＋∞)
上递增或在区间(1，5) 上递减，在区间(6，＋∞) 上递增，符合题意．所以b ∈[20，30]．
已知函数f (x )={(3-a ) x -3, x ≤7, a x -6, x >7若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *) ，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )C
⎡9⎫⎛9⎫A. ⎢4，3⎪ B. 4，3⎪ C ．(2，3) D ．(1，3) ⎣⎭⎝⎭
[2013·乐山一模] 在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1) a n ＋2(n ∈N *) ，则a 10＝( )
A ．34 B ．36 C ．38 D ．40
[解析] C 因为na n ＋1＝(n ＋1) a n ＋2，所以a n ＋1a 211a a －n ＝＝2n －，所以10＝10n ＋1n （n ＋1）n ＋1
a 9a 9a 8a 2a 138－9＋9－8＋…＋21＋a 1＝2 ＋2＝10a 10＝38.
已知f (x ) 为偶函数，且f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，当－2≤x ≤0时，f (x ) ＝2x . 若n ∈N *，a n ＝f (n ) ，则a 2013＝( )
A ．2013 B ．2
1C ．2 D ．－2
[解析] C 由f (x ) 为偶函数，故当0≤x ≤2时，f (x ) ＝2－x . 又f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，所以f (x ) 的图像还关于直线x ＝2对称，所以f (x ＋4) ＝f (x ) ，所以a n ＋4＝a n ，所以a 2013＝a 4×503＋1＝a 1＝f (1)
1＝2－1＝2.
(2)[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；
p 2：数列{na n }是递增数列；
⎧a ⎫p 3：数列n ⎬是递增数列； ⎩⎭
p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( )D
A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4
S n 2n ＋1a 10*已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且T ＝(n ∈N ) ，则b 3＋b 18n 4n －2
a ( ) D b 6＋b 15
39413941A ．68 B ．68 C ．78 D ．78已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 6·a 15的最大值为( )A
A ．25 B ．50
C ．100 D ．不存在
例 在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *) ，a 1＝－23.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．
[解析] (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *) ，得a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1) －44.
所以a n ＋2－a n ＝2. 又a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23，所以a 2＝－19.
同理得a 3＝－21，a 4＝－17.
故数列a 1，a 3，a 5，…是以－23为首项，2为公差的等差数列，
数列a 2，a 4，a 6，…是以－19为首项，2为公差的等差数列．
⎧n －24，n 为奇数，从而a n ＝⎨ ⎩n －21，n 为偶数.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝(a 1＋a 2) ＋(a 3＋a 4) ＋…＋(a n －1＋a n )
＝(2×1－44) ＋(2×3－44) ＋…＋[2×(n －1) －44]
n n 2＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－244＝2－22n . 故当n ＝22时，S n 取得最小值－242.
当n 为奇数时，
S n ＝a 1＋(a 2＋a 3) ＋(a 4＋a 5) ＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋(2×2－44) ＋…＋[2×(n －1) －44]
n －1＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋2(－44)
（n ＋1）（n －1）n 23＝－23＋22(n －1) ＝22n －222故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243. 综上所述，当n 为偶数时，S n 在n ＝22时取得最小值－242；当n 为奇数时，S n 在n ＝21或23时取得最小值－243.
数列的函数特征
例4 (1)[2013·吉林实验中学二模] 已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *) ，且该数列为单调递增数列，则k 的取值范围是________．
b (2)[2013·合肥二模] 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋n 若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数
b 的取值范围是________
[解析] (1)因为数列{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n
⎧a 4≥a 5，(2)由题意可得b >0.因为对所有n ∈N ，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎨即⎩a 6≥a 5，*
b b 4＋5＋⎧⎪45解得⎨b b ⎪⎩6＋65＋520≤b ≤30，经验证，此时数列在区间(1，4) 上递减，在区间(5，＋∞)
上递增或在区间(1，5) 上递减，在区间(6，＋∞) 上递增，符合题意．所以b ∈[20，30]．
已知函数f (x )={(3-a ) x -3, x ≤7, a x -6, x >7若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *) ，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )C
⎡9⎫⎛9⎫A. ⎢4，3⎪ B. 4，3⎪ C ．(2，3) D ．(1，3) ⎣⎭⎝⎭
[2013·乐山一模] 在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1) a n ＋2(n ∈N *) ，则a 10＝( )
A ．34 B ．36 C ．38 D ．40
[解析] C 因为na n ＋1＝(n ＋1) a n ＋2，所以a n ＋1a 211a a －n ＝＝2n －，所以10＝10n ＋1n （n ＋1）n ＋1
a 9a 9a 8a 2a 138－9＋9－8＋…＋21＋a 1＝2 ＋2＝10a 10＝38.
已知f (x ) 为偶函数，且f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，当－2≤x ≤0时，f (x ) ＝2x . 若n ∈N *，a n ＝f (n ) ，则a 2013＝( )
A ．2013 B ．2
1C ．2 D ．－2
[解析] C 由f (x ) 为偶函数，故当0≤x ≤2时，f (x ) ＝2－x . 又f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，所以f (x ) 的图像还关于直线x ＝2对称，所以f (x ＋4) ＝f (x ) ，所以a n ＋4＝a n ，所以a 2013＝a 4×503＋1＝a 1＝f (1)
1＝2－1＝2.
(2)[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；
p 2：数列{na n }是递增数列；
⎧a ⎫p 3：数列n ⎬是递增数列； ⎩⎭
p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( )D
A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4
S n 2n ＋1a 10*已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且T ＝(n ∈N ) ，则b 3＋b 18n 4n －2
a ( ) D b 6＋b 15
39413941A ．68 B ．68 C ．78 D ．78已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 6·a 15的最大值为( )A
A ．25 B ．50
C ．100 D ．不存在
例 在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *) ，a 1＝－23.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．
[解析] (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *) ，得a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1) －44.
所以a n ＋2－a n ＝2. 又a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23，所以a 2＝－19.
同理得a 3＝－21，a 4＝－17.
故数列a 1，a 3，a 5，…是以－23为首项，2为公差的等差数列，
数列a 2，a 4，a 6，…是以－19为首项，2为公差的等差数列．
⎧n －24，n 为奇数，从而a n ＝⎨ ⎩n －21，n 为偶数.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝(a 1＋a 2) ＋(a 3＋a 4) ＋…＋(a n －1＋a n )
＝(2×1－44) ＋(2×3－44) ＋…＋[2×(n －1) －44]
n n 2＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－244＝2－22n . 故当n ＝22时，S n 取得最小值－242.
当n 为奇数时，
S n ＝a 1＋(a 2＋a 3) ＋(a 4＋a 5) ＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋(2×2－44) ＋…＋[2×(n －1) －44]
n －1＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋2(－44)
（n ＋1）（n －1）n 23＝－23＋22(n －1) ＝22n －222故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243. 综上所述，当n 为偶数时，S n 在n ＝22时取得最小值－242；当n 为奇数时，S n 在n ＝21或23时取得最小值－243.