第50卷第11期钢铁V ol.50，No.11，p69-74
November 2015
2015年11月Iron and Steel
DOI ：10.13228/j.boyuan.issn0449-749x.20150059
四辊轧机辊系弹性变形高效计算方法
22
王东城1，，吴燕林1，刘宏民1，
（1. 燕山大学国家冷轧板带装备及工艺工程技术研究中心，河北秦皇岛066004；2. 燕山大学亚稳材料制备技术
与科学国家重点实验室，河北秦皇岛066004）
摘
要：为解决普通影响函数法计算速度慢的缺点，在分析普通影响函数法计算精度与计算速度主要影响因素的
基础上，提出了一种新型四辊轧机辊系弹性变形高效计算方法。该方法采用高次多项式描述辊间压力与轧制压力的横向分布，减少了轧辊挠度的计算量；与普通影响函数法相比，求解辊间压力的线性方程组阶数显著降低，大大降低了计算时间。采用该方法后，四辊轧机辊系弹性变形的单次计算时间不超过1ms ，计算精度与划分单元数为100的普通影响函数法计算精度相差很小，为板形在线设定提供了理想的必要条件，并可推广应用于其他机型。关键词：四辊轧机；辊系弹性变形；影响函数法；高效计算方法文献标志码：A
文章编号：0449-749X （2015）11-0069-06
High-efficiency calculation method for roll stack elastic deformation of four-high mill
22
WANG Dong-cheng 1，，WU Yan-lin 1，LIU Hong-min 1，
（1. National Engineering Research Center for Equipment and Technology of Cold Rolling Strip ，Yanshan University ，Qinhuangdao 066004，Hebei ，China ；2. State Key Laboratory of Metastable Materials Science and Technology ，
Yanshan University ，Qinhuangdao 066004，Hebei ，China ）
Abstract ：The calculation speed of the general influence function method is slow. To solve the problem, a new high-effi-ciency calculation method of roll stack elastic deformation for four-high mill was proposed based on the analysis of the main factors affecting the calculation precision and speed of general influence function method. In this method ，the trans-verse distribution of the pressure between rolls and rolling pressure were described by high-order polynomial ，reducing the calculated amount of roll deflection. Compared with the general influence function method ，the order of linear equations to solve the pressure between rolls was significantly reduced ，thus greatly saving the computing time. With this method ，the single computing time of roll stack elastic deformation for four-high mill was less than 1ms. Meanwhile ，the computing accuracy matched well with that obtained by general influence function when dividing into 100elements. It provided the ideal necessary condition for the on-line setting of flatness ，and it could be applied to other mill types.
Key words ：four-high mill ；roll stack elastic deformation ；influence function method ；high-efficiency calculation method
辊系弹性变形模型是板形控制的核心模型之一[1]，在进行板形设定计算时，需要多次反复调用辊系弹性变形模型才能获得各机架或各道次的最佳弯辊力与窜辊量等参数。为实现板形在线设定，辊系弹性变形模型必须同时具备精确与快速2个特点[2-3]。现有的辊系弹性变形模型可分为2大类，即解析法与数值法，2类方法各有优缺点。
本城模型是早期比较完善的解析模型，但运算与表达复杂，为其实际应用造成困难[4]。龚寄等研究了
普通四辊轧机辊系弹性变形解析模型[5]，提高了计算效率与计算精度，但模型推导过程中假设辊间压力与轧制压力均为二次分布，无法应用于CVC 轧机。陈杰等人研究了CVC 四辊轧机辊系弹性变形解析模型[6]，通过辊间变形协调条件直接获得辊间压力分布解析式，更加符合物理本质，但模型推导过程中假设辊间压力与弹性压扁为线性关系，必然会造成一定误差。总体而言，解析法计算速度快，但由于数学方程求解困难，需引入较多假设，必然牺牲一定的计算精度。
基金项目：河北省高等学校科学技术研究资助项目（ZD2014034）；国家工程中心开发课题资助项目（NECSR-201206）；燕山大学青年自主研
究计划课题资助项目(14LGA003)
作者简介：王东城（1981—），男，博士，副教授；
E-mail ：[email protected]；
收稿日期：2015-02-02
数值法又可分为有限元法与影响函数法。有限元法的代表性文献如张清东等[7]与魏娟等[8]分别采用ANSYS 软件对六辊CVC 轧机与HC 轧机辊系变形进行了分析，时旭等采用Marc 有限元软件对轧辊弯曲与压扁变形进行了研究[9]，曹建国等采用辊系与轧件一体化有限元模型对边缘降控制进行了研究
[10]
由图1可知，当单元划分数超过40时，随着单元划分数的增加，计算精度的提高极为有限；当单元划分数小于10时，随着单元划分数的减少，计算误差急剧增加；随着单元划分数的增加，计算时间按照抛物线规律增加，这是由于普通影响函数的计算时间主要消耗在线性方程组的求解上，而求解线性方程组的运算量与单元划分数的平方近似呈正比。通过上述分析可知，要达到较高的精度，普通影响函数的单元划分数不应小于40，对于四辊轧机而言，相应的计算时间不小于20ms 。
为进一步提高影响函数法的计算速度，本文提出一种新型四辊轧机辊系弹性变形快速计算方法，该方法采用高次多项式描述辊间压力与轧制压力的横向分布，减少了轧辊挠度的计算量，并使求解辊间压力的线性方程组阶数比普通影响函数法显著减小，计算时间大大降低，单次计算时间不超过1ms ，并且其计算精度与普通影响函数相差很小。这是一种实用高效的计算方法。
，还有麻永林、董占斌、周禹成等也做过相关的研
究[11-13]；影响函数法的代表性文献如梁勋国采用影响函数法对六辊冷连轧机弯辊力进行了设定计算[14]，于斌等采用影响函数法对热连轧机的弯辊、窜辊与同宽轧制公里数进行了研究[15-16]，刘光明等采用影响函数法对CVC 四辊冷轧机辊间压力影响因素进行了分析[17]。总体而言，由于减少了模型的假设，数值法的计算精度高于解析法，但由于计算量增加，速度变慢，目前仍较难实现在线应用。
在不降低数值模型精度的前提下，合理提高计算速度具有重要的工程意义。为此，董立杰等提出一种计算辊系变形的递推法[18]，将单次时间减少到20ms ；孔繁甫等人提出一种基于有限差分法的快速辊系变形计算方法[2]，计算速度比普通影响函数法提高了1倍；秦剑等提出一种矩阵迭代法[19]，并用于多辊轧机辊系变形分析，有效提高了计算速度。
2高效影响函数法
对四辊轧机辊系受力状态简化后，可得图2所示的力学模型。图2中，p l (y ) 为单位宽度轧制压q wb (y ) 为工作辊与支撑辊间单位宽度接触压力；力；
1普通影响函数法分析
普通影响函数的基本思路是将辊系沿轴向划分一定数量的单元，假设每个单元上承受均布压力，即通过分段均布压力逼近真实的曲线分布力，因此其计算精度与单元划分数直接相关。图1所示为采用普通影响函数法计算的某四辊轧机有载辊缝形状的误差与时耗随单元划分数的变化规律，其中最大误差指当前计算有载辊缝形状与单元划分数为100时有载辊缝形状的最大差值，均方差指当前计算有载辊缝形状与单元划分数为100
时有载辊缝形状的均方差。
右压下支点的支反力；L s 为左、右F s l 、F s r 分别为左、L b 分别为工作辊、压下支点距离；支撑辊辊身长L w 、F w 为工作辊弯辊力；L fw 为工作辊弯辊缸间距；C 度；
D 为工作为支撑辊辊身端部距同侧压下支点的距离；B
为带材宽度。辊辊身端部距同侧压下支点的距离；
图2四辊轧机辊系受力示意图
Fig. 2Load graph of rolls for 4-high mill
2. 1支撑辊轴线挠度
图1
Fig. 1
误差与时耗随单元数变化图
将支撑辊从图2中取出进行单独受力分析，以左压下支点作为坐标原点，其轴线挠度由工作辊与
Error and time variation with element number
支撑辊间单位宽度接触压力引起。假设作用在支撑
辊上的辊间压力的左边界坐标为y 1，右边界坐标为y 2，辊间压力横向分布采用多项式形式见式（1）。
q wb (y )＝(y 1＜y ＜y 2) ∑a i y i ，
n i ＝0
b j 为轧制压力横向分布系数；m 为轧制压力式中：
分布多项式最高次数。
p
在轧制压力作用下，工作辊挠度f w (y )计算方法与支撑辊类似，最终得到式（6）。
p
m
p
j ＝0
（1）
a i 为辊间压力横向分布系数；n 为辊间压力多式中：
项式最高次数。
根据莫尔积分法，可得在式（1）分布力作用下支撑辊的挠曲位移见式（2）。
f b (y )＝∑a i αb (i , y )
n i =0
式中：γw 为j 与y 的函数。
工作辊轴线在辊间压力作用下的挠度表示为见式（7）。
f
wb
w
p
f w (y )＝∑b j γw (j , y )
（6）
（2）
αb 为i 与y 的函数。αb 的具体表达式见式式中：（3）。
i ＋1i ＋2
éy i 2＋1－y 1ùy i 2＋2－y 12
L －L y ＋(s s )C ＋αb (i , y )＝r 2êú3E b I b L s êú2y －L ()s ëû
3
i +1i +2
y i 2+2－y 1éy i 2+1－y 1ù2
L s －L s y )＋αQ C (＋r 2êúG b A b L s êú2y －L ()s ëû
i ＋1
ìy i 2＋1－y 1ü
－L 2(ïïs C ＋L s Cy )＋ïi ＋ïi ＋2
αQ ïy 22－y 1y i 2＋1－y i ＋12ï
[L s C －(2C ＋L s )y ]+L s y ＋ý＋2íG b A R b L s ïï
ïy i ＋2－y i ＋2ï
1
L 2ïïs
îþi ＋1ìy i 2＋1－y 1ü323
ï(－2L s C ＋2L s C y )＋ïïi ＋1i ＋1ïi +2i +2y －y y －y 3321ï2ï－L 2[2L s C 3＋(2L 3(s y )＋s －4C )y ＋ïïýR 2íi +2
6E b I b L s ï3y i +2－y 1y i 2+3－y i +3222
L y ]＋(－3L s y )＋(－3L s y )＋ïïs ïi +4i +4ïy i +4－y i +4ïy －y 1221
ïï(L s y )＋(－L s )îþ
式中：γwb w 为i 与y 的函数
由工作辊弯辊力造成的挠曲位移见式（8）。
F w (L w －y ＋D )(y －D )(L fw －L w )f w F (y ) ＝（8）R
4E w I w
工作辊轴线总位移见式（9）。
p
f w (y )＝f w K (y )＋f w (y )－f w wb (y )－f w F (y )（9）2. 3辊间弹性压扁
工作辊与支撑辊之间的弹性压扁量，即两轧辊中心线的接近量，按照弹性半平面体模型求解，得到式（10）。
δwb (y )＝∑a i λwb (i , y )
n i ＝0
(y )＝w (i , y )∑a i γwb
n i ＝0
（7）
（10）
δwb 为工作辊与支撑辊之间的弹性压扁量；λwb 式中：
为辊间弹性压扁影响系数。λwb 见式（11）。é2(1－ν2æ2R b b ) 1×1－4νb ö＋λwb (i , y )＝ln ç÷b
b y b wb èøëæ2R w 2(1－ν21－4νw öùi w ) ×çln ÷úy （11）
w èb wb y w øú
û
R w 、νw 、R b 分别为工作辊与支撑辊半径；νb 分别式中：
为工作辊与支撑辊泊松比；b wb (y )为辊间接触压扁半
（3）
αQ 为截面系数，G b 分别为支撑式中：取值1.11；E b 、辊弹性模量、剪切弹性模量；I b R 、I b r 分别为支撑辊辊身、辊颈惯性矩；A R 辊颈横A r b 分别为支撑辊辊身、b 、截面积。
2. 2工作辊轴线位移
工作辊轴线位移由4部分组成[20]：刚性位移；轧制压力引起的挠曲位移；工作辊与支撑辊间接触压力引起的挠曲位移；工作辊弯辊力引起的挠曲位移。其中刚性位移见式（4）。
C －C 1
f w K (y ) ＝C 1＋2(y －D ) （4）
w
C 1、C 2分别为工作辊辊身左、式中：右端轴线刚性位移。假设作用在工作辊上的轧制压力左边界坐标为y 3，右边界为y 4，轧制压力横向分布采用多项式形式见式（5）。
p (y ) ＝(y 3＜y ＜y 4) ∑b j y ，
m
j
j ＝0
宽度，按照赫兹公式进行计算。b wb (y )见式（12）。
b wb (y
)12）
2. 4轧辊之间位移协调方程及辊间压力求解
由工作辊与支撑辊之间的位移协调性原理见式（13）。
f w (y )＝f b (y )＋δwb (y )＋ΔD wb (y )（13）式中：根据轧ΔD wb 为工作辊与支撑辊间无载间隙，
辊原始磨削辊型计算。
将式（2）、式（9）、式（10）代入式（13），得到式（14）。n
y －L w －D
a i (αb (i , y )＋γwb C 1＋w (i , y )＋λwb (i , y ))＋∑w i ＝0
m
D －y p
C 2＝∑b j γw (j , y )－f w F (y )－ΔD wb (y )（14）w j =0
（5）
由工作辊力与力矩平衡可得到式（15）。
j ＋1j ＋1i ＋1m
ìn y i 2＋1－y 1y 4－y 3
b i 2F w ï∑a i ∑ïi ＝0j =0
（15）ín j ＋2j ＋2i ＋2i ＋2m
y －y 1y －y 3ï
a i 2b i 4F w L s ï∑∑i ＝0j =0î
式（14）与式（15）中包含a i (i ＝0，1，2，⋯n )、
形状。
s (y )＝2f w (L s 2)－[f w (y )＋f w (L s －y )]＋2δws (L s 2)－
[δ(y )＋δ(L －y )]＋[R (y )＋R (L －y )]－2R (L 2)
ws
ws
s
w
w
s
w
s
（17）
δws 为工作辊与带材之间弹性压扁量，式中：可根据
C 1、C 2共n ＋3个未知量，为求得全部未知量，需将式
弹性半空间理论计算[20]。
（14）扩展为n ＋1个方程式，考虑到式（14）对于任意y 1≤y ≤y 2均成立，选取见式（16）。
(i ＝0，1，2，⋯，n ) （16）
分别在y （14）的系数具体ˉi (i ＝0，1，2，n ) 将式y ˉi ＝y 1＋i
3实例分析
分别采用普通影响函数法[20]与本文方法计算了
(y 2－y 1)
普通四辊轧机与CVC 四辊轧机的辊间压力与有载辊缝形状，计算参数见表1，计算结果如图4和图5所示，其中普通影响函数法的单元化划分数为100，本文方法的辊间压力多项式最高次数为4。图4中曲线标识符的数值为工作辊弯辊力；图5中所有曲线的工作辊弯辊力均为500kN ，曲线标识符的数值为工作辊窜辊量。轧制压力（N/mm）作为已知参数给
定，表达式见式（18）。æy －1450öp (y )＝8000－400×ç÷，950≤y ≤1950
èø
（18）
2
化，则可得n ＋1个方程。与普通影响函数法类似，辊间弹性压扁影响系数λwb (j , y )与辊间压力有关，需进行迭代求解，具体计算过程如图3
所示。
CVC 四辊轧机的辊型曲线见式（19）。
æ2y －L s ö
R w (y )＝350－0.2263×ç÷＋0.4644×
w èø
æ2y －L s öæ2y －L s ö
ç÷－0.0398×ç÷
w w èøèø
表1
图3
Fig. 3
辊间压力分布迭代计算流程图
参数数值
3
5
（19）
计算参数
Table 1Calculation parameters
R w /mm
R b /mm
L w /mm
L b /mm
L fw /mm
L s /mm
Roll pressure distribution iterative calculation flow
diagram
求得辊间压力后，可根据式（17）计算有载辊缝
[***********]2900
（a ）辊间压力分布；（b ）有载辊缝形状。
图4Fig. 4
普通四辊轧机计算结果
Results of common 4-high mill
（a ）辊间压力分布；（b ）有载辊缝形状。
图5CVC 四辊轧机计算结果Fig. 5Results of CVC 4-high mill
由图4和图5可以看出，不论对普通四辊轧机还是CVC 四辊轧机，不同弯辊力与窜辊量下的辊间压力横向分布与有载辊缝形状与普通影响函数法均吻合很好。所有工况下本文方法计算的有载辊缝形状与普通影响函数的误差最大值均不超过0.8μm ，计算时间均小于1ms ，这为实现高精度板形在线设定提供了必要条件，并可推广应用于六辊轧机或多辊轧机。
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4结论
（1）随着普通影响函数法单元划分数的增加，
计算精度不断提高，计算时间呈抛物线规律增长，要达到较高的精度，单元划分数不应小于40。
（2）采用高次多项式描述辊间压力和轧制压力的横向分布，可减少轧辊挠度的计算量，并使求解辊间压力的线性方程组阶数显著降低，在几乎不降低计算精度的前提下显著提高计算速度。
（3）本文方法单次计算时间小于1ms ，为实现高精度板形在线设定提供了必要条件，并可推广应用于六辊轧机或多辊轧机。
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四方变频器在动力放线架上的控制方案
方案背景：线缆行业目前正在向产品多样化、生产自动化等更高的技术层次发展。在线缆行业中，目前应用最广泛的就是放线架，而动力放线架又是其中技术含量较高的一种设备。动力放线架一般要求变频器具有PID 调节功能，并且PID 是可以双向控制的。在目前的行业应用中，四方电气V560矢量型变频器不加任何辅助配件即可实现该控制要求。拟结合四方电气V560变频器自带的PID 控制器，介绍一种针对线缆行业设计的恒张力控制的主动放线系统。
工艺特点：动力放线架作为多种设备的最前端，在线缆行业中有着广泛的应用。一般来说，对动力放线架的要求有以下几点：（1）在引取速度加快时，放线速度也跟着引取速度快速加速；（2）在引取速度减速时，放线速度也跟着引取速度减速；（3）当稳定运行在某个速度时，放线架的摆杆要稳定；（4）当出现松线和断线的时候，要求放线盘可以进行自动反转。以上几点要求全部由变频器的PID 功能完成，而且要求变频器对速度的反应要相当灵敏。
控制方案：放线的恒张力同步控制，是通过系统中张力摆杆的位置变化，输出电压信号回馈给变频器的PID 控制系统，经过PID 控制器的自动运算，变频器改变输出频率从而调
（深圳市四方电气技术有限公司供稿）
节放线电机的运行速度以维持张力恒定。实际上，这是一种间接张力控制方式，因为PID 的微调是基于摆杆的实际位置进行运算的，而不是直接进行张力运算，而位置与张力又满足一定的函数关系，所以通过对摆杆实际位置的控制，也可以实现恒张力控制的要求。
控制原理：系统采用开环矢量模式，模拟输入AI1接摆杆位置反馈信号（0～10V ），将期望摆杆稳定运行的位置点设定为PID 给定值。系统运行过程中始终将反馈信号与给定值做比较，PID 控制器根据其差值自动运算，改变变频器的输出频率以调节放线电机的转速，保证摆杆位置的稳定，从而达到恒张力的控制。
控制效果：基于四方电气V560矢量型变频器的恒张力主动放线控制系统，该方案对速度的反应非常灵敏，在快速速度跟踪和松线反向收线两方面完全满足设备技术指标，同时还可分别对正向放线速度和反向收线速度分别做限定，兼顾对放线速度需求及断线时收线速度保护，目前已成功应用于多个主动放线系统中，应用效果良好。
第50卷第11期钢铁V ol.50，No.11，p69-74
November 2015
2015年11月Iron and Steel
DOI ：10.13228/j.boyuan.issn0449-749x.20150059
四辊轧机辊系弹性变形高效计算方法
22
王东城1，，吴燕林1，刘宏民1，
（1. 燕山大学国家冷轧板带装备及工艺工程技术研究中心，河北秦皇岛066004；2. 燕山大学亚稳材料制备技术
与科学国家重点实验室，河北秦皇岛066004）
摘
要：为解决普通影响函数法计算速度慢的缺点，在分析普通影响函数法计算精度与计算速度主要影响因素的
基础上，提出了一种新型四辊轧机辊系弹性变形高效计算方法。该方法采用高次多项式描述辊间压力与轧制压力的横向分布，减少了轧辊挠度的计算量；与普通影响函数法相比，求解辊间压力的线性方程组阶数显著降低，大大降低了计算时间。采用该方法后，四辊轧机辊系弹性变形的单次计算时间不超过1ms ，计算精度与划分单元数为100的普通影响函数法计算精度相差很小，为板形在线设定提供了理想的必要条件，并可推广应用于其他机型。关键词：四辊轧机；辊系弹性变形；影响函数法；高效计算方法文献标志码：A
文章编号：0449-749X （2015）11-0069-06
High-efficiency calculation method for roll stack elastic deformation of four-high mill
22
WANG Dong-cheng 1，，WU Yan-lin 1，LIU Hong-min 1，
（1. National Engineering Research Center for Equipment and Technology of Cold Rolling Strip ，Yanshan University ，Qinhuangdao 066004，Hebei ，China ；2. State Key Laboratory of Metastable Materials Science and Technology ，
Yanshan University ，Qinhuangdao 066004，Hebei ，China ）
Abstract ：The calculation speed of the general influence function method is slow. To solve the problem, a new high-effi-ciency calculation method of roll stack elastic deformation for four-high mill was proposed based on the analysis of the main factors affecting the calculation precision and speed of general influence function method. In this method ，the trans-verse distribution of the pressure between rolls and rolling pressure were described by high-order polynomial ，reducing the calculated amount of roll deflection. Compared with the general influence function method ，the order of linear equations to solve the pressure between rolls was significantly reduced ，thus greatly saving the computing time. With this method ，the single computing time of roll stack elastic deformation for four-high mill was less than 1ms. Meanwhile ，the computing accuracy matched well with that obtained by general influence function when dividing into 100elements. It provided the ideal necessary condition for the on-line setting of flatness ，and it could be applied to other mill types.
Key words ：four-high mill ；roll stack elastic deformation ；influence function method ；high-efficiency calculation method
辊系弹性变形模型是板形控制的核心模型之一[1]，在进行板形设定计算时，需要多次反复调用辊系弹性变形模型才能获得各机架或各道次的最佳弯辊力与窜辊量等参数。为实现板形在线设定，辊系弹性变形模型必须同时具备精确与快速2个特点[2-3]。现有的辊系弹性变形模型可分为2大类，即解析法与数值法，2类方法各有优缺点。
本城模型是早期比较完善的解析模型，但运算与表达复杂，为其实际应用造成困难[4]。龚寄等研究了
普通四辊轧机辊系弹性变形解析模型[5]，提高了计算效率与计算精度，但模型推导过程中假设辊间压力与轧制压力均为二次分布，无法应用于CVC 轧机。陈杰等人研究了CVC 四辊轧机辊系弹性变形解析模型[6]，通过辊间变形协调条件直接获得辊间压力分布解析式，更加符合物理本质，但模型推导过程中假设辊间压力与弹性压扁为线性关系，必然会造成一定误差。总体而言，解析法计算速度快，但由于数学方程求解困难，需引入较多假设，必然牺牲一定的计算精度。
基金项目：河北省高等学校科学技术研究资助项目（ZD2014034）；国家工程中心开发课题资助项目（NECSR-201206）；燕山大学青年自主研
究计划课题资助项目(14LGA003)
作者简介：王东城（1981—），男，博士，副教授；
E-mail ：[email protected]；
收稿日期：2015-02-02
数值法又可分为有限元法与影响函数法。有限元法的代表性文献如张清东等[7]与魏娟等[8]分别采用ANSYS 软件对六辊CVC 轧机与HC 轧机辊系变形进行了分析，时旭等采用Marc 有限元软件对轧辊弯曲与压扁变形进行了研究[9]，曹建国等采用辊系与轧件一体化有限元模型对边缘降控制进行了研究
[10]
由图1可知，当单元划分数超过40时，随着单元划分数的增加，计算精度的提高极为有限；当单元划分数小于10时，随着单元划分数的减少，计算误差急剧增加；随着单元划分数的增加，计算时间按照抛物线规律增加，这是由于普通影响函数的计算时间主要消耗在线性方程组的求解上，而求解线性方程组的运算量与单元划分数的平方近似呈正比。通过上述分析可知，要达到较高的精度，普通影响函数的单元划分数不应小于40，对于四辊轧机而言，相应的计算时间不小于20ms 。
为进一步提高影响函数法的计算速度，本文提出一种新型四辊轧机辊系弹性变形快速计算方法，该方法采用高次多项式描述辊间压力与轧制压力的横向分布，减少了轧辊挠度的计算量，并使求解辊间压力的线性方程组阶数比普通影响函数法显著减小，计算时间大大降低，单次计算时间不超过1ms ，并且其计算精度与普通影响函数相差很小。这是一种实用高效的计算方法。
，还有麻永林、董占斌、周禹成等也做过相关的研
究[11-13]；影响函数法的代表性文献如梁勋国采用影响函数法对六辊冷连轧机弯辊力进行了设定计算[14]，于斌等采用影响函数法对热连轧机的弯辊、窜辊与同宽轧制公里数进行了研究[15-16]，刘光明等采用影响函数法对CVC 四辊冷轧机辊间压力影响因素进行了分析[17]。总体而言，由于减少了模型的假设，数值法的计算精度高于解析法，但由于计算量增加，速度变慢，目前仍较难实现在线应用。
在不降低数值模型精度的前提下，合理提高计算速度具有重要的工程意义。为此，董立杰等提出一种计算辊系变形的递推法[18]，将单次时间减少到20ms ；孔繁甫等人提出一种基于有限差分法的快速辊系变形计算方法[2]，计算速度比普通影响函数法提高了1倍；秦剑等提出一种矩阵迭代法[19]，并用于多辊轧机辊系变形分析，有效提高了计算速度。
2高效影响函数法
对四辊轧机辊系受力状态简化后，可得图2所示的力学模型。图2中，p l (y ) 为单位宽度轧制压q wb (y ) 为工作辊与支撑辊间单位宽度接触压力；力；
1普通影响函数法分析
普通影响函数的基本思路是将辊系沿轴向划分一定数量的单元，假设每个单元上承受均布压力，即通过分段均布压力逼近真实的曲线分布力，因此其计算精度与单元划分数直接相关。图1所示为采用普通影响函数法计算的某四辊轧机有载辊缝形状的误差与时耗随单元划分数的变化规律，其中最大误差指当前计算有载辊缝形状与单元划分数为100时有载辊缝形状的最大差值，均方差指当前计算有载辊缝形状与单元划分数为100
时有载辊缝形状的均方差。
右压下支点的支反力；L s 为左、右F s l 、F s r 分别为左、L b 分别为工作辊、压下支点距离；支撑辊辊身长L w 、F w 为工作辊弯辊力；L fw 为工作辊弯辊缸间距；C 度；
D 为工作为支撑辊辊身端部距同侧压下支点的距离；B
为带材宽度。辊辊身端部距同侧压下支点的距离；
图2四辊轧机辊系受力示意图
Fig. 2Load graph of rolls for 4-high mill
2. 1支撑辊轴线挠度
图1
Fig. 1
误差与时耗随单元数变化图
将支撑辊从图2中取出进行单独受力分析，以左压下支点作为坐标原点，其轴线挠度由工作辊与
Error and time variation with element number
支撑辊间单位宽度接触压力引起。假设作用在支撑
辊上的辊间压力的左边界坐标为y 1，右边界坐标为y 2，辊间压力横向分布采用多项式形式见式（1）。
q wb (y )＝(y 1＜y ＜y 2) ∑a i y i ，
n i ＝0
b j 为轧制压力横向分布系数；m 为轧制压力式中：
分布多项式最高次数。
p
在轧制压力作用下，工作辊挠度f w (y )计算方法与支撑辊类似，最终得到式（6）。
p
m
p
j ＝0
（1）
a i 为辊间压力横向分布系数；n 为辊间压力多式中：
项式最高次数。
根据莫尔积分法，可得在式（1）分布力作用下支撑辊的挠曲位移见式（2）。
f b (y )＝∑a i αb (i , y )
n i =0
式中：γw 为j 与y 的函数。
工作辊轴线在辊间压力作用下的挠度表示为见式（7）。
f
wb
w
p
f w (y )＝∑b j γw (j , y )
（6）
（2）
αb 为i 与y 的函数。αb 的具体表达式见式式中：（3）。
i ＋1i ＋2
éy i 2＋1－y 1ùy i 2＋2－y 12
L －L y ＋(s s )C ＋αb (i , y )＝r 2êú3E b I b L s êú2y －L ()s ëû
3
i +1i +2
y i 2+2－y 1éy i 2+1－y 1ù2
L s －L s y )＋αQ C (＋r 2êúG b A b L s êú2y －L ()s ëû
i ＋1
ìy i 2＋1－y 1ü
－L 2(ïïs C ＋L s Cy )＋ïi ＋ïi ＋2
αQ ïy 22－y 1y i 2＋1－y i ＋12ï
[L s C －(2C ＋L s )y ]+L s y ＋ý＋2íG b A R b L s ïï
ïy i ＋2－y i ＋2ï
1
L 2ïïs
îþi ＋1ìy i 2＋1－y 1ü323
ï(－2L s C ＋2L s C y )＋ïïi ＋1i ＋1ïi +2i +2y －y y －y 3321ï2ï－L 2[2L s C 3＋(2L 3(s y )＋s －4C )y ＋ïïýR 2íi +2
6E b I b L s ï3y i +2－y 1y i 2+3－y i +3222
L y ]＋(－3L s y )＋(－3L s y )＋ïïs ïi +4i +4ïy i +4－y i +4ïy －y 1221
ïï(L s y )＋(－L s )îþ
式中：γwb w 为i 与y 的函数
由工作辊弯辊力造成的挠曲位移见式（8）。
F w (L w －y ＋D )(y －D )(L fw －L w )f w F (y ) ＝（8）R
4E w I w
工作辊轴线总位移见式（9）。
p
f w (y )＝f w K (y )＋f w (y )－f w wb (y )－f w F (y )（9）2. 3辊间弹性压扁
工作辊与支撑辊之间的弹性压扁量，即两轧辊中心线的接近量，按照弹性半平面体模型求解，得到式（10）。
δwb (y )＝∑a i λwb (i , y )
n i ＝0
(y )＝w (i , y )∑a i γwb
n i ＝0
（7）
（10）
δwb 为工作辊与支撑辊之间的弹性压扁量；λwb 式中：
为辊间弹性压扁影响系数。λwb 见式（11）。é2(1－ν2æ2R b b ) 1×1－4νb ö＋λwb (i , y )＝ln ç÷b
b y b wb èøëæ2R w 2(1－ν21－4νw öùi w ) ×çln ÷úy （11）
w èb wb y w øú
û
R w 、νw 、R b 分别为工作辊与支撑辊半径；νb 分别式中：
为工作辊与支撑辊泊松比；b wb (y )为辊间接触压扁半
（3）
αQ 为截面系数，G b 分别为支撑式中：取值1.11；E b 、辊弹性模量、剪切弹性模量；I b R 、I b r 分别为支撑辊辊身、辊颈惯性矩；A R 辊颈横A r b 分别为支撑辊辊身、b 、截面积。
2. 2工作辊轴线位移
工作辊轴线位移由4部分组成[20]：刚性位移；轧制压力引起的挠曲位移；工作辊与支撑辊间接触压力引起的挠曲位移；工作辊弯辊力引起的挠曲位移。其中刚性位移见式（4）。
C －C 1
f w K (y ) ＝C 1＋2(y －D ) （4）
w
C 1、C 2分别为工作辊辊身左、式中：右端轴线刚性位移。假设作用在工作辊上的轧制压力左边界坐标为y 3，右边界为y 4，轧制压力横向分布采用多项式形式见式（5）。
p (y ) ＝(y 3＜y ＜y 4) ∑b j y ，
m
j
j ＝0
宽度，按照赫兹公式进行计算。b wb (y )见式（12）。
b wb (y
)12）
2. 4轧辊之间位移协调方程及辊间压力求解
由工作辊与支撑辊之间的位移协调性原理见式（13）。
f w (y )＝f b (y )＋δwb (y )＋ΔD wb (y )（13）式中：根据轧ΔD wb 为工作辊与支撑辊间无载间隙，
辊原始磨削辊型计算。
将式（2）、式（9）、式（10）代入式（13），得到式（14）。n
y －L w －D
a i (αb (i , y )＋γwb C 1＋w (i , y )＋λwb (i , y ))＋∑w i ＝0
m
D －y p
C 2＝∑b j γw (j , y )－f w F (y )－ΔD wb (y )（14）w j =0
（5）
由工作辊力与力矩平衡可得到式（15）。
j ＋1j ＋1i ＋1m
ìn y i 2＋1－y 1y 4－y 3
b i 2F w ï∑a i ∑ïi ＝0j =0
（15）ín j ＋2j ＋2i ＋2i ＋2m
y －y 1y －y 3ï
a i 2b i 4F w L s ï∑∑i ＝0j =0î
式（14）与式（15）中包含a i (i ＝0，1，2，⋯n )、
形状。
s (y )＝2f w (L s 2)－[f w (y )＋f w (L s －y )]＋2δws (L s 2)－
[δ(y )＋δ(L －y )]＋[R (y )＋R (L －y )]－2R (L 2)
ws
ws
s
w
w
s
w
s
（17）
δws 为工作辊与带材之间弹性压扁量，式中：可根据
C 1、C 2共n ＋3个未知量，为求得全部未知量，需将式
弹性半空间理论计算[20]。
（14）扩展为n ＋1个方程式，考虑到式（14）对于任意y 1≤y ≤y 2均成立，选取见式（16）。
(i ＝0，1，2，⋯，n ) （16）
分别在y （14）的系数具体ˉi (i ＝0，1，2，n ) 将式y ˉi ＝y 1＋i
3实例分析
分别采用普通影响函数法[20]与本文方法计算了
(y 2－y 1)
普通四辊轧机与CVC 四辊轧机的辊间压力与有载辊缝形状，计算参数见表1，计算结果如图4和图5所示，其中普通影响函数法的单元化划分数为100，本文方法的辊间压力多项式最高次数为4。图4中曲线标识符的数值为工作辊弯辊力；图5中所有曲线的工作辊弯辊力均为500kN ，曲线标识符的数值为工作辊窜辊量。轧制压力（N/mm）作为已知参数给
定，表达式见式（18）。æy －1450öp (y )＝8000－400×ç÷，950≤y ≤1950
èø
（18）
2
化，则可得n ＋1个方程。与普通影响函数法类似，辊间弹性压扁影响系数λwb (j , y )与辊间压力有关，需进行迭代求解，具体计算过程如图3
所示。
CVC 四辊轧机的辊型曲线见式（19）。
æ2y －L s ö
R w (y )＝350－0.2263×ç÷＋0.4644×
w èø
æ2y －L s öæ2y －L s ö
ç÷－0.0398×ç÷
w w èøèø
表1
图3
Fig. 3
辊间压力分布迭代计算流程图
参数数值
3
5
（19）
计算参数
Table 1Calculation parameters
R w /mm
R b /mm
L w /mm
L b /mm
L fw /mm
L s /mm
Roll pressure distribution iterative calculation flow
diagram
求得辊间压力后，可根据式（17）计算有载辊缝
[***********]2900
（a ）辊间压力分布；（b ）有载辊缝形状。
图4Fig. 4
普通四辊轧机计算结果
Results of common 4-high mill
（a ）辊间压力分布；（b ）有载辊缝形状。
图5CVC 四辊轧机计算结果Fig. 5Results of CVC 4-high mill
由图4和图5可以看出，不论对普通四辊轧机还是CVC 四辊轧机，不同弯辊力与窜辊量下的辊间压力横向分布与有载辊缝形状与普通影响函数法均吻合很好。所有工况下本文方法计算的有载辊缝形状与普通影响函数的误差最大值均不超过0.8μm ，计算时间均小于1ms ，这为实现高精度板形在线设定提供了必要条件，并可推广应用于六辊轧机或多辊轧机。
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4结论
（1）随着普通影响函数法单元划分数的增加，
计算精度不断提高，计算时间呈抛物线规律增长，要达到较高的精度，单元划分数不应小于40。
（2）采用高次多项式描述辊间压力和轧制压力的横向分布，可减少轧辊挠度的计算量，并使求解辊间压力的线性方程组阶数显著降低，在几乎不降低计算精度的前提下显著提高计算速度。
（3）本文方法单次计算时间小于1ms ，为实现高精度板形在线设定提供了必要条件，并可推广应用于六辊轧机或多辊轧机。
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四方变频器在动力放线架上的控制方案
方案背景：线缆行业目前正在向产品多样化、生产自动化等更高的技术层次发展。在线缆行业中，目前应用最广泛的就是放线架，而动力放线架又是其中技术含量较高的一种设备。动力放线架一般要求变频器具有PID 调节功能，并且PID 是可以双向控制的。在目前的行业应用中，四方电气V560矢量型变频器不加任何辅助配件即可实现该控制要求。拟结合四方电气V560变频器自带的PID 控制器，介绍一种针对线缆行业设计的恒张力控制的主动放线系统。
工艺特点：动力放线架作为多种设备的最前端，在线缆行业中有着广泛的应用。一般来说，对动力放线架的要求有以下几点：（1）在引取速度加快时，放线速度也跟着引取速度快速加速；（2）在引取速度减速时，放线速度也跟着引取速度减速；（3）当稳定运行在某个速度时，放线架的摆杆要稳定；（4）当出现松线和断线的时候，要求放线盘可以进行自动反转。以上几点要求全部由变频器的PID 功能完成，而且要求变频器对速度的反应要相当灵敏。
控制方案：放线的恒张力同步控制，是通过系统中张力摆杆的位置变化，输出电压信号回馈给变频器的PID 控制系统，经过PID 控制器的自动运算，变频器改变输出频率从而调
（深圳市四方电气技术有限公司供稿）
节放线电机的运行速度以维持张力恒定。实际上，这是一种间接张力控制方式，因为PID 的微调是基于摆杆的实际位置进行运算的，而不是直接进行张力运算，而位置与张力又满足一定的函数关系，所以通过对摆杆实际位置的控制，也可以实现恒张力控制的要求。
控制原理：系统采用开环矢量模式，模拟输入AI1接摆杆位置反馈信号（0～10V ），将期望摆杆稳定运行的位置点设定为PID 给定值。系统运行过程中始终将反馈信号与给定值做比较，PID 控制器根据其差值自动运算，改变变频器的输出频率以调节放线电机的转速，保证摆杆位置的稳定，从而达到恒张力的控制。
控制效果：基于四方电气V560矢量型变频器的恒张力主动放线控制系统，该方案对速度的反应非常灵敏，在快速速度跟踪和松线反向收线两方面完全满足设备技术指标，同时还可分别对正向放线速度和反向收线速度分别做限定，兼顾对放线速度需求及断线时收线速度保护，目前已成功应用于多个主动放线系统中，应用效果良好。