(2010-11-02 10:16:27)
标签:教育
分类:数学日记
后延减前伸 差数除以N
——例谈整数裂项
河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军
对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、 计算1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。
1?2=(1?2?3-0?1?2)?(1?3)
2?3=(2?3?4-1?2?3)?(1?3)
3?4=(3?4?5-2?3?4)?(1?3)
4?5=(4?5?6-3?4?5)?(1?3)
……
98?99=(98?99?100-97?98?99)?(1?3)
99?100=(99?100?101-98?99?100)?(1?3)
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99?100?101-0?1?2)?3。
解:1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100
=(99?100?101-0?1?2)?3
=333300
例2、 计算3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101
分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。
3?5=(3?5?7-1?3?5)?(2?3)
5?7=(5?7?9-3?5?7)?(2?3)
7?9=(7?9?11-5?7?9)?(2?3)
……
97?99=(97?99?101-95?97?99)?(2?3)
99?101=(99?101?103-97?99?101)?(2?3)
将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。
解:3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101
=(99?101?103-1?3?5)?(2?3)
=1029882?6
=171647
例3、 计算1?2?3 2?3?4 3?4?5 …… 96?97?98 97?98?99
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。
1?2?3=(1?2?3?4-0?1?2?3)?(1?4)
2?3?4=(2?3?4?5-1?2?3?4)?(1?4)
3?4?5=(3?4?5?6-2?3?4?5)?(1?4)
……
96?97?98=(96?97?98?99-95?96?97?98)?(1?4)
97?98?99=(97?98?99?100-96?97?98?99)?(1?4)
右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(97?98?99?100-0?1?2?3)?(1?4)。
解:1?2?3 2?3?4 3?4?5 … 96?97?98? 97?98?99
=(97?98?99?100-0?1?2?3)?(1?4)
=23527350
例4、 计算10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88
分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3。
解:10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88
=(76?82?88?94-4?10?16?22)?(6?4)
=2147376
通过以上例题,可以看出这类算式的特点是:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。
需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。
例5、 计算1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100
分析:n?n=(n-1)?n n
解:1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100
=1 (1?2 2) (2?3 3) …… (98?99 99) (99?100 100)
=(1?2 2?3 …… 98?99 99?100) (1 2 3 …… 99 100)
=99?100?101?3 (1 100)?100?2
=333300 5050
=338350
例6、 计算1?2 3?4 5?6 …… 97?98 99?100
分析:(n-1)?n=(n-2)?n n
解:1?2 3?4 5?6 7?8 …… 97?98 99?100
=2 (2?4 4) (4?6 6) (6?8 8) …… (96?98 98) (98?100 100)
=(2?4 4?6 6?8 …… 96?98 98?100) (2 4 6 8 …… 98 100)
=98?100?102?6 (2 100)?50?2
=169150
例7、 计算1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100
分析:n?n?n=(n-1)?n?(n 1) n
解:1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100
=1 (1?2?3 2) (2?3?4 3) …… (98?99?100 99) (99?100?101 100)
=(1?2?3 2?3?4 …… 98?99?100 99?100?101) (1 2 3 …… 99 100)
=99?100?101?102?4 (1 100)?100?2
=25492400
例8、 计算1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101
解:1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101
=(1?3 3?5 …… 99?101) (2?4 4?6 …… 98?100)
=(99?101?103-1?3?5)?6 1?3 98?100?102?6
=171650 166600
=338250
例9、 计算1 (1 2) (1 2 3) …… (1 2 3 4 …… 100)
解:1 (1 2) (1 2 3) …… (1 2 3 4 …… 100)
=1?2?2 2?3?2 3?4?2 …… 100?101?2
=(1?2 2?3 3?4 …… 100?101)?2
=(100?101?102?3)?2
=171700
将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为,首项先甩掉。平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习。
练习题:
1、 计算1?4 4?7 7?10 …… 94?97 97?100
2、 计算2?4?6 4?6?8 …… 94?96?98 96?98?100
3、 计算5?5?5 6?6?6 7?7?7 …… 65?65?65
4、 计算3 (3 6) (3 6 9) …… (3 6 9 12 …… 300)
(2010-11-02 10:16:27)
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后延减前伸 差数除以N
——例谈整数裂项
河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军
对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、 计算1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。
1?2=(1?2?3-0?1?2)?(1?3)
2?3=(2?3?4-1?2?3)?(1?3)
3?4=(3?4?5-2?3?4)?(1?3)
4?5=(4?5?6-3?4?5)?(1?3)
……
98?99=(98?99?100-97?98?99)?(1?3)
99?100=(99?100?101-98?99?100)?(1?3)
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99?100?101-0?1?2)?3。
解:1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100
=(99?100?101-0?1?2)?3
=333300
例2、 计算3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101
分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。
3?5=(3?5?7-1?3?5)?(2?3)
5?7=(5?7?9-3?5?7)?(2?3)
7?9=(7?9?11-5?7?9)?(2?3)
……
97?99=(97?99?101-95?97?99)?(2?3)
99?101=(99?101?103-97?99?101)?(2?3)
将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。
解:3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101
=(99?101?103-1?3?5)?(2?3)
=1029882?6
=171647
例3、 计算1?2?3 2?3?4 3?4?5 …… 96?97?98 97?98?99
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。
1?2?3=(1?2?3?4-0?1?2?3)?(1?4)
2?3?4=(2?3?4?5-1?2?3?4)?(1?4)
3?4?5=(3?4?5?6-2?3?4?5)?(1?4)
……
96?97?98=(96?97?98?99-95?96?97?98)?(1?4)
97?98?99=(97?98?99?100-96?97?98?99)?(1?4)
右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(97?98?99?100-0?1?2?3)?(1?4)。
解:1?2?3 2?3?4 3?4?5 … 96?97?98? 97?98?99
=(97?98?99?100-0?1?2?3)?(1?4)
=23527350
例4、 计算10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88
分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3。
解:10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88
=(76?82?88?94-4?10?16?22)?(6?4)
=2147376
通过以上例题,可以看出这类算式的特点是:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。
需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。
例5、 计算1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100
分析:n?n=(n-1)?n n
解:1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100
=1 (1?2 2) (2?3 3) …… (98?99 99) (99?100 100)
=(1?2 2?3 …… 98?99 99?100) (1 2 3 …… 99 100)
=99?100?101?3 (1 100)?100?2
=333300 5050
=338350
例6、 计算1?2 3?4 5?6 …… 97?98 99?100
分析:(n-1)?n=(n-2)?n n
解:1?2 3?4 5?6 7?8 …… 97?98 99?100
=2 (2?4 4) (4?6 6) (6?8 8) …… (96?98 98) (98?100 100)
=(2?4 4?6 6?8 …… 96?98 98?100) (2 4 6 8 …… 98 100)
=98?100?102?6 (2 100)?50?2
=169150
例7、 计算1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100
分析:n?n?n=(n-1)?n?(n 1) n
解:1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100
=1 (1?2?3 2) (2?3?4 3) …… (98?99?100 99) (99?100?101 100)
=(1?2?3 2?3?4 …… 98?99?100 99?100?101) (1 2 3 …… 99 100)
=99?100?101?102?4 (1 100)?100?2
=25492400
例8、 计算1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101
解:1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101
=(1?3 3?5 …… 99?101) (2?4 4?6 …… 98?100)
=(99?101?103-1?3?5)?6 1?3 98?100?102?6
=171650 166600
=338250
例9、 计算1 (1 2) (1 2 3) …… (1 2 3 4 …… 100)
解:1 (1 2) (1 2 3) …… (1 2 3 4 …… 100)
=1?2?2 2?3?2 3?4?2 …… 100?101?2
=(1?2 2?3 3?4 …… 100?101)?2
=(100?101?102?3)?2
=171700
将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为,首项先甩掉。平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习。
练习题:
1、 计算1?4 4?7 7?10 …… 94?97 97?100
2、 计算2?4?6 4?6?8 …… 94?96?98 96?98?100
3、 计算5?5?5 6?6?6 7?7?7 …… 65?65?65
4、 计算3 (3 6) (3 6 9) …… (3 6 9 12 …… 300)