山东大学网络教育专升本数学模拟题1
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.
2
A．f(x)=lnx 和 g(x)=2lnx B．f(x)=|x| 和 g(
x)=
C．f(x)=x 和 g(
x)=
D．f(x)=
2
|x|
和 g(x)=1 x
2．若极限limf(x)=A存在，下列说法正确的是（ D ）
x→0
f(x)不存在 A．左极限lim-
x→0
f(x)不存在 B．右极限lim+
x→0
f(x)和右极限lim+f(x)存在，但不相等 C．左极限lim-
x→0
x→0
f(x)=limf(x)=limf(x)=A D. lim+-
x→0
x→0
x→0
3．
⎰
⎛1⎫1
f' ⎪2dx的结果是（ D ）. ⎝x⎭x
⎛1⎫
⎪+C B．-fx⎝⎭
⎛1⎫
-⎪+C C．⎝x⎭
⎛1⎫
f ⎪+C D．-f⎝x⎭
⎛1⎫
⎪+C ⎝x⎭
A．f -
x2+ax+6
=5,则a的值是（ B ） 4．已知lim
x→11-x
A．7 B．-7 C． 2 D．3 5．线y=2(x-1)在(1,0)点处的切线方程是（ D ）
A．y=-x+1 B．y=-x-1 C．y=x+1 D．y=x-1
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。 6
．函数y=
_________（-3，3）_______________.
⎧e-2x-1
x≠0⎪
7．设函数f(x)=⎨x 在x=0处连续，则a=
⎪ax=0⎩
-2
.
8． 曲线y=2x2在点(1,2)处的切线方程为___ y-4x+2=0 ______.
9．函数y=
13
x-x的单调减少区间为____【-1,1】3
10． 若f'(0)=1，则lim
x→0
f(x)-f(-x)
=
x
11．求不定积分
⎰
arcsin3x-x2
=
14
arcsinxC4
12．设f(x)在[0,1]上有连续的导数且f(1)=2，则
⎰
1
f(x)dx=3，
⎰
1
xf'(x)dx= -1
13．微分方程 y''+4y'+4y=0 的通解是(c1+c2x)e-2x .
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。 14． 求lim解：lim
sinmx
，其中m,n为自然数.（10分）
x→πsinnx
msinmxmx
=lim=
x→πsinnxx→∏nx
15．求不定积分xln(1+x)dx.（15分）
⎰
⎰xln(1+x)dx
12
ln(1+x)dx2⎰解：
12x2=(xln(1+x)-⎰dx)21+x12=[x2ln(1+x)-1(x-1)-ln(1+x)]+C2
=
16．求曲线⎨
⎧x=tπ
在t=处的切线与法线方程. （15分）
2⎩y=1-cost
y'=sitn't==1k=解：
πππ
当t=时，x=,y=1所以切线方程为,y-x-1+= 0
222
π
法线方程为y+x-1-=0
2
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。
2
17．设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R，总成本函数为（x)=100x-x2
，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的C(x)=200+50x+x
情况下，总税额最大？
解：设每件商品征收货物税为a,
企业获得利润L(x)=R(x)-C(x)-ax=100x-x2-（200+50x+x2）-ax=-2x2+(50-a)x-200
L'(x)=-4x+50-a
令L'(x)=-4x+50-a=0，则x=税收T=ax=
50-a
,此时L'(x)取得最大值 4
a（50-a）
4
1
(50-2a) 4
令T'=0,得：a=25 T'=
当a=25时，总税额最大。
2
18．证明：当1x+2x-3.
f(x)=4xlnx-(x2+2x-3)f'(x)=4lnx-2x+2
证：令f''(x)=
2(2-x)
x
因为f''(1)>0,所以在x=1处,f(x)取得最小值，即f(x)>f(1)所以f(x)>0成立，即4xlnx>x2+2x-3
山东大学网络教育专升本数学模拟题2
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数f(x)=
19-x
2
的定义域是（ A ）
A．（-3，3） B．[-3，3 ] C．（-,） D．（0，3） 3，
ax3+b
2．已知lim=1，则（ B ）
x→0xtan2x
A．a=2,b=0 B．a=1,b=0 C．a=6,b=0 D．a=1,b=1 3．如果
⎰df(x)=⎰dg(x),则下述结论中不正确的是（ A ）.
d⎰f'(x)=d⎰g'(x)
''A．f(x)=g(x) B．f(x)=g(x)
C．df(x)=dg(x) D．
4． 曲线 y=x3+x-2 在点(1,0)处的切线方程是（ B ）
A．y=2(x-1) B．y=4(x-1) C．y=4x-1 D．y=3(x-1) 5．sinxcosxdx=（ A ） A．-
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。
⎰
1111
cos2x+c B．cos2x+c C．-sin2x+c D．cos2x+c
4242
1x3-2x2+1
6．lim__________. =2x→∞4(x-1)(2x+1)
7．已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为π，则f'(
2)=8．设函数y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)确定，则y'
5
6. x=0
=1
2
9．设f(x)可导, y=f(ex), 则y'=_____exf(ex)_______.
10．已知x→0时，a(1-cosx)与xsinx是等级无穷小，则a= 11．不定积分⎰xcosxdx= xsinx+cosx+c .
）e . 12．设函数y=xe，则 y''= （2+x
3
13．y''+y'-y=0是___2____阶微分方程.
xx
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。
14．求函数
f(x,y)=x2+xy+y2-3x-6y的极值（10分）
⎧x=0
⎨y=3⎩
⎧fx'(x,y)=2x+y-3=0
解：⎨
⎩fy'(x,y)=x+2y-6=0
''(x,y)=2,fxy''(x,y)=1,fyy''(x,y)=2，∆=3>0，所以在（0,3）处取得极小值f(0,3)=-9 fxx
15．求不定积分解：令：t=
⎰1dx
x
（15分）
x=t2,dx=2tdt，
⎰⎰
2t
dt=2[t-ln(1+t)]+C
1+t
2
⎧xe-x,x≥0⎪
16．设函数f(x)=⎨，计算 1
,-1
⎩1+cosx
解：令t=x-2,则x=t+2，dx=dt
2
2
⎰
4
1
f(x-2)dx.（15分）
⎰
4
1
2111
+⎰te-tdt=tan+(1-e-4) f(x-2)dx⎰f(t)dt=⎰=-11+cost22-10
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。
17．求曲线y=
14
x-x3+1的凹凸区间和拐点. 2
解：解(1)y'=2x3-3x2 y''=6x2-6x (2)令y''=0 x=0, x=1
0）(3) x=0, x=1将定义域分成三个区间（-∞，，（0,1），（1，+∞）
在以上三个区间内讨论y''的符号变化及y的拐点情况，如表：
18．证明
1+xln（x++x2)>+x2 (x>0)
f(x)=1+xln（x+f'(x)=ln（x+证：令：
f''(x)=
>0
在x=0处取得极小值，即f(x)>f(0) 所以1+xln（x+
+x2)>+x2成立
山东大学网络教育专升本数学模拟题3
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数
f(x)=
5-x+lg(x-1)的定义域是（B ）
A．（0，5） B．（1，5］ C．（1，5） D．（1，+∞） 2． limA．
sinmx
(m,n为正整数）等于（ A ）
x→0sinnx
mnm-nmn-mn B． C．(-1) D．(-1)
nmnm
3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则f'(0)等于（ B ） A．0 B．-6 C．1 D．3
⎧2
,x≤1⎪
f(x)=⎨x2+1
⎪⎩ax+b,x>1在x=1处可导，则有（A ） 4．设函数
A．a=-1,b=2 B．a=1,b=0 C．a=-1,b=0 D．a=-1,b=-2 5．sin2xdx等于（ B ） A．
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。
⎰
11
sin2x+c B．sin2x+c C．-2cos2x+c D．cos2x+c
22
6．设
⎰
a
x2dx=9，则a= 3
x
为等价无穷小，则a=___4____. 2
7．当x→0时, 1-cos2x与asin2
22n2+n-1
8．lim 2n→∞
33n+n
9．
dx
⎰x1+ln2x=
arctanlnx+C
.
10．设f'(lnx)=1+x，则f(x)=11．
x+ex⎰
π
xcosxdx= -2
12．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m= 13．微分方程 y''-3y'+2y=0 的通解是
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。
y=c1ex+c2e2x .
nn
lim()14．求极限n→∞
n+2（10分）
n11nn
lim()=lim()=2=e-2
n→∞解：n→∞n+2 2e1+
n
15．计算不定积分
2
x-xdx（15分）
⎰
解：
⎰
1
=
2
⎰
12
=-1-x+C
3
2π
16．设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，若f(π)=2，[f(x)+f''(x)]sinxdx=5，求
⎰
f(0).（15分）
ππ
⎰f(x)sinxdx=-⎰f(x)dcosx
=-f(x)cosx
π
π
+⎰cosxdf(x）
π
解：=f（π）+f(0)+f'(x)cosxdx
⎰
=2+f(0)+f'(x)sinx
π
π
π
-⎰sinxdf'(x）
=2+f(0)-⎰f''(x)sinxdx
π
则0
=5⎰[f(x)+f''(x)]sinxdx=2+f(0）
所以f(0)=3
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。 17．讨论函数
y=1-(x-2)
23
的单调性并求其极值。
1-2
令y'=-(x-2)3
解： 3
在x=0处导数不存在，
18．设f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)=8f(1),证明在(1,2)内必存在一点ξ,使得3f(ξ)=ξf'(ξ) 证：设F(x)=xf(x)
因为f(x)在【0，1】上连续，在（0，1）内可导,故F（x）在【0，1】上连续，在（0，1）内可导
F(1)=f(1) F(2)=又因
-3
1
f(2) 8
f(2)=8f(1)
故F（1）=F（2）
由罗尔定理知，因此至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0 成立 即-3（fξ）+ξf'(ξ)=0 所以3f(ξ)=ξf'(ξ)
山东大学网络教育专升本数学模拟题1
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.
2
A．f(x)=lnx 和 g(x)=2lnx B．f(x)=|x| 和 g(
x)=
C．f(x)=x 和 g(
x)=
D．f(x)=
2
|x|
和 g(x)=1 x
2．若极限limf(x)=A存在，下列说法正确的是（ D ）
x→0
f(x)不存在 A．左极限lim-
x→0
f(x)不存在 B．右极限lim+
x→0
f(x)和右极限lim+f(x)存在，但不相等 C．左极限lim-
x→0
x→0
f(x)=limf(x)=limf(x)=A D. lim+-
x→0
x→0
x→0
3．
⎰
⎛1⎫1
f' ⎪2dx的结果是（ D ）. ⎝x⎭x
⎛1⎫
⎪+C B．-fx⎝⎭
⎛1⎫
-⎪+C C．⎝x⎭
⎛1⎫
f ⎪+C D．-f⎝x⎭
⎛1⎫
⎪+C ⎝x⎭
A．f -
x2+ax+6
=5,则a的值是（ B ） 4．已知lim
x→11-x
A．7 B．-7 C． 2 D．3 5．线y=2(x-1)在(1,0)点处的切线方程是（ D ）
A．y=-x+1 B．y=-x-1 C．y=x+1 D．y=x-1
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。 6
．函数y=
_________（-3，3）_______________.
⎧e-2x-1
x≠0⎪
7．设函数f(x)=⎨x 在x=0处连续，则a=
⎪ax=0⎩
-2
.
8． 曲线y=2x2在点(1,2)处的切线方程为___ y-4x+2=0 ______.
9．函数y=
13
x-x的单调减少区间为____【-1,1】3
10． 若f'(0)=1，则lim
x→0
f(x)-f(-x)
=
x
11．求不定积分
⎰
arcsin3x-x2
=
14
arcsinxC4
12．设f(x)在[0,1]上有连续的导数且f(1)=2，则
⎰
1
f(x)dx=3，
⎰
1
xf'(x)dx= -1
13．微分方程 y''+4y'+4y=0 的通解是(c1+c2x)e-2x .
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。 14． 求lim解：lim
sinmx
，其中m,n为自然数.（10分）
x→πsinnx
msinmxmx
=lim=
x→πsinnxx→∏nx
15．求不定积分xln(1+x)dx.（15分）
⎰
⎰xln(1+x)dx
12
ln(1+x)dx2⎰解：
12x2=(xln(1+x)-⎰dx)21+x12=[x2ln(1+x)-1(x-1)-ln(1+x)]+C2
=
16．求曲线⎨
⎧x=tπ
在t=处的切线与法线方程. （15分）
2⎩y=1-cost
y'=sitn't==1k=解：
πππ
当t=时，x=,y=1所以切线方程为,y-x-1+= 0
222
π
法线方程为y+x-1-=0
2
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。
2
17．设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R，总成本函数为（x)=100x-x2
，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的C(x)=200+50x+x
情况下，总税额最大？
解：设每件商品征收货物税为a,
企业获得利润L(x)=R(x)-C(x)-ax=100x-x2-（200+50x+x2）-ax=-2x2+(50-a)x-200
L'(x)=-4x+50-a
令L'(x)=-4x+50-a=0，则x=税收T=ax=
50-a
,此时L'(x)取得最大值 4
a（50-a）
4
1
(50-2a) 4
令T'=0,得：a=25 T'=
当a=25时，总税额最大。
2
18．证明：当1x+2x-3.
f(x)=4xlnx-(x2+2x-3)f'(x)=4lnx-2x+2
证：令f''(x)=
2(2-x)
x
因为f''(1)>0,所以在x=1处,f(x)取得最小值，即f(x)>f(1)所以f(x)>0成立，即4xlnx>x2+2x-3
山东大学网络教育专升本数学模拟题2
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数f(x)=
19-x
2
的定义域是（ A ）
A．（-3，3） B．[-3，3 ] C．（-,） D．（0，3） 3，
ax3+b
2．已知lim=1，则（ B ）
x→0xtan2x
A．a=2,b=0 B．a=1,b=0 C．a=6,b=0 D．a=1,b=1 3．如果
⎰df(x)=⎰dg(x),则下述结论中不正确的是（ A ）.
d⎰f'(x)=d⎰g'(x)
''A．f(x)=g(x) B．f(x)=g(x)
C．df(x)=dg(x) D．
4． 曲线 y=x3+x-2 在点(1,0)处的切线方程是（ B ）
A．y=2(x-1) B．y=4(x-1) C．y=4x-1 D．y=3(x-1) 5．sinxcosxdx=（ A ） A．-
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。
⎰
1111
cos2x+c B．cos2x+c C．-sin2x+c D．cos2x+c
4242
1x3-2x2+1
6．lim__________. =2x→∞4(x-1)(2x+1)
7．已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为π，则f'(
2)=8．设函数y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)确定，则y'
5
6. x=0
=1
2
9．设f(x)可导, y=f(ex), 则y'=_____exf(ex)_______.
10．已知x→0时，a(1-cosx)与xsinx是等级无穷小，则a= 11．不定积分⎰xcosxdx= xsinx+cosx+c .
）e . 12．设函数y=xe，则 y''= （2+x
3
13．y''+y'-y=0是___2____阶微分方程.
xx
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。
14．求函数
f(x,y)=x2+xy+y2-3x-6y的极值（10分）
⎧x=0
⎨y=3⎩
⎧fx'(x,y)=2x+y-3=0
解：⎨
⎩fy'(x,y)=x+2y-6=0
''(x,y)=2,fxy''(x,y)=1,fyy''(x,y)=2，∆=3>0，所以在（0,3）处取得极小值f(0,3)=-9 fxx
15．求不定积分解：令：t=
⎰1dx
x
（15分）
x=t2,dx=2tdt，
⎰⎰
2t
dt=2[t-ln(1+t)]+C
1+t
2
⎧xe-x,x≥0⎪
16．设函数f(x)=⎨，计算 1
,-1
⎩1+cosx
解：令t=x-2,则x=t+2，dx=dt
2
2
⎰
4
1
f(x-2)dx.（15分）
⎰
4
1
2111
+⎰te-tdt=tan+(1-e-4) f(x-2)dx⎰f(t)dt=⎰=-11+cost22-10
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。
17．求曲线y=
14
x-x3+1的凹凸区间和拐点. 2
解：解(1)y'=2x3-3x2 y''=6x2-6x (2)令y''=0 x=0, x=1
0）(3) x=0, x=1将定义域分成三个区间（-∞，，（0,1），（1，+∞）
在以上三个区间内讨论y''的符号变化及y的拐点情况，如表：
18．证明
1+xln（x++x2)>+x2 (x>0)
f(x)=1+xln（x+f'(x)=ln（x+证：令：
f''(x)=
>0
在x=0处取得极小值，即f(x)>f(0) 所以1+xln（x+
+x2)>+x2成立
山东大学网络教育专升本数学模拟题3
一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数
f(x)=
5-x+lg(x-1)的定义域是（B ）
A．（0，5） B．（1，5］ C．（1，5） D．（1，+∞） 2． limA．
sinmx
(m,n为正整数）等于（ A ）
x→0sinnx
mnm-nmn-mn B． C．(-1) D．(-1)
nmnm
3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则f'(0)等于（ B ） A．0 B．-6 C．1 D．3
⎧2
,x≤1⎪
f(x)=⎨x2+1
⎪⎩ax+b,x>1在x=1处可导，则有（A ） 4．设函数
A．a=-1,b=2 B．a=1,b=0 C．a=-1,b=0 D．a=-1,b=-2 5．sin2xdx等于（ B ） A．
二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。
⎰
11
sin2x+c B．sin2x+c C．-2cos2x+c D．cos2x+c
22
6．设
⎰
a
x2dx=9，则a= 3
x
为等价无穷小，则a=___4____. 2
7．当x→0时, 1-cos2x与asin2
22n2+n-1
8．lim 2n→∞
33n+n
9．
dx
⎰x1+ln2x=
arctanlnx+C
.
10．设f'(lnx)=1+x，则f(x)=11．
x+ex⎰
π
xcosxdx= -2
12．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m= 13．微分方程 y''-3y'+2y=0 的通解是
三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。
y=c1ex+c2e2x .
nn
lim()14．求极限n→∞
n+2（10分）
n11nn
lim()=lim()=2=e-2
n→∞解：n→∞n+2 2e1+
n
15．计算不定积分
2
x-xdx（15分）
⎰
解：
⎰
1
=
2
⎰
12
=-1-x+C
3
2π
16．设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，若f(π)=2，[f(x)+f''(x)]sinxdx=5，求
⎰
f(0).（15分）
ππ
⎰f(x)sinxdx=-⎰f(x)dcosx
=-f(x)cosx
π
π
+⎰cosxdf(x）
π
解：=f（π）+f(0)+f'(x)cosxdx
⎰
=2+f(0)+f'(x)sinx
π
π
π
-⎰sinxdf'(x）
=2+f(0)-⎰f''(x)sinxdx
π
则0
=5⎰[f(x)+f''(x)]sinxdx=2+f(0）
所以f(0)=3
四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。 17．讨论函数
y=1-(x-2)
23
的单调性并求其极值。
1-2
令y'=-(x-2)3
解： 3
在x=0处导数不存在，
18．设f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)=8f(1),证明在(1,2)内必存在一点ξ,使得3f(ξ)=ξf'(ξ) 证：设F(x)=xf(x)
因为f(x)在【0，1】上连续，在（0，1）内可导,故F（x）在【0，1】上连续，在（0，1）内可导
F(1)=f(1) F(2)=又因
-3
1
f(2) 8
f(2)=8f(1)
故F（1）=F（2）
由罗尔定理知，因此至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0 成立 即-3（fξ）+ξf'(ξ)=0 所以3f(ξ)=ξf'(ξ)