§7-山东省教师教育网

高考复习科目：数学 高中数学总复习

I. 基础知识要点 一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是

1m，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A). nn

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红．．．．．．．．．．．．．．．桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)1. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)

互斥

对立

412611

.又事件,P(B),P(A)P(B)

521352226

21，因此有

5226

AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有P(AB)P(A)P(B)P(AB).

推广：若事件A1,A2,,An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

knk次的概率：Pn(k)Ck. nP(1P)

4. 对任何两个事件都有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，

f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x(

i1,2,)的概率P(x)p，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

112i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

knk次的概率是：P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] npq

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，

knkp为参数，并记Ckb(k;np). npq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)q，那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξk)P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)qk1p(k1

,2,3,)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1p.

k1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξk)

kk

CMCNnM

C

n

N

(0kM,0nkNM).〔分子是从M

r

件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cm0，则k的范围可以写为

k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξk)

nk

CkaCb

C

n

ab

k0,1,,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有(ab)个可能结果，等可能：

knk(ηk)含Ck个结果，故P(ηk)nab

knk

Cknab

n

(ab)

n

Ckn(

akank

)(1),k0,1,2,,n，即～abab

a

然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有).[我们先为k个次品选定位置，共Ckn种选法；

ab

b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几B(n

何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

1122nn了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb ①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a1时，E(b)Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：Ec1c其分布列为：P(1)c. ⑶两点分布：E0q1pp，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：E

kk!(nk)!p

n!

k

qnknp 其分布列为

～B(n,p).（P为发生的概率）

⑸几何分布：E

1

其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率） p

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时，则称故D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ的方差. 显然D0，

D.为ξ的根方差

或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，．．．稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数） ⑵单点分布：D0 其分布列为P(1)p ⑶两点分布：Dpq 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：Dnpq ⑸几何分布：D

qp2

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E和E都存在，则E()EE

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD

⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）EE0. 四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，

位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(

,)”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)

12

e



(x)222

. （xR,,为常数，

且0），称ξ服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2. ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称.

③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)

12

e



x2

2

(x)，则称ξ服从标准正态

分布. 即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是

P(ab)(b)(a).

注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有(x)0.5.比如(

0.5



)0.07930.5则

0.5



必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ的分布函数通

S阴=0.5Sa=0.5+S

xμ常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)().

σ

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果

a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

2

高考复习科目：数学 高中数学总复习

I. 基础知识要点 一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是

1m，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A). nn

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红．．．．．．．．．．．．．．．桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)1. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)

互斥

对立

412611

.又事件,P(B),P(A)P(B)

521352226

21，因此有

5226

AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有P(AB)P(A)P(B)P(AB).

推广：若事件A1,A2,,An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

knk次的概率：Pn(k)Ck. nP(1P)

4. 对任何两个事件都有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，

f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x(

i1,2,)的概率P(x)p，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

112i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

knk次的概率是：P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] npq

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，

knkp为参数，并记Ckb(k;np). npq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)q，那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξk)P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)qk1p(k1

,2,3,)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1p.

k1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξk)

kk

CMCNnM

C

n

N

(0kM,0nkNM).〔分子是从M

r

件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cm0，则k的范围可以写为

k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξk)

nk

CkaCb

C

n

ab

k0,1,,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有(ab)个可能结果，等可能：

knk(ηk)含Ck个结果，故P(ηk)nab

knk

Cknab

n

(ab)

n

Ckn(

akank

)(1),k0,1,2,,n，即～abab

a

然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有).[我们先为k个次品选定位置，共Ckn种选法；

ab

b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几B(n

何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

1122nn了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb ①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a1时，E(b)Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：Ec1c其分布列为：P(1)c. ⑶两点分布：E0q1pp，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：E

kk!(nk)!p

n!

k

qnknp 其分布列为

～B(n,p).（P为发生的概率）

⑸几何分布：E

1

其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率） p

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时，则称故D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ的方差. 显然D0，

D.为ξ的根方差

或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，．．．稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数） ⑵单点分布：D0 其分布列为P(1)p ⑶两点分布：Dpq 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：Dnpq ⑸几何分布：D

qp2

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E和E都存在，则E()EE

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD

⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）EE0. 四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，

位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(

,)”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)

12

e



(x)222

. （xR,,为常数，

且0），称ξ服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2. ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称.

③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)

12

e



x2

2

(x)，则称ξ服从标准正态

分布. 即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是

P(ab)(b)(a).

注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有(x)0.5.比如(

0.5



)0.07930.5则

0.5



必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ的分布函数通

S阴=0.5Sa=0.5+S

xμ常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)().

σ

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果

a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

2