2.第二章激光器的工作原理

第2章激光器的工作原理

目前有关激光器的理论已经发展得十分完善。本章将对激光器的工作原理进行详细介绍与讨论。首先，讨论激光器的主要组成部分——光学谐振腔的结构及其稳定性，然后分析描述激光器工作过程的数学模型—速率方程组，从这个模型出发讨论粒子数密度发生反转的条件，工作过程中增益介质的饱和现象以及激光工作的阈值。希望通过本章的学习，能使读者对激光器工作过程的物理图像有比较清晰的理解，也为学习后面的章节作一些必要的准备。

2.1光学谐振腔结构与稳定性

激光是在光学谐振腔中产生的。上一章已经指出谐振腔对激光的形成和激光束的特性起重要的作用，它的主要功能之一是使光在腔内来回反射多次以增长激活介质作用的工作长度，提高腔内的光能密度。如图（1-21）所示的两块平面镜就可以使与平面垂直的光线在腔内来回反射任意多次而不会投射到平面镜的通光口径之外。显而易见的是，不垂直于反射镜表面的傍轴光线经过有限次的反射就会投射到平面镜的通光口径之外，而使得激活介质作用的工作长度只得到很有限的增长。所以，光线能够在谐振腔中反射的次数与其结构密切相关。能够使腔中任一束傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔能够使激光器稳定地发出激光，这种谐振腔叫做稳定腔，反之称为不稳定腔。本节讨论光学谐振腔的结构与稳定性的关系。

2.1.1 共轴球面谐振腔的稳定性条件

光学谐振腔都是由相隔一定距离的两块反射镜组成的。无论是平面镜还是球面镜，无论是凸面镜还是凹面镜，都可以用“共轴球面”的模型来表示。因为只要把两个反射镜的球心连线作为光轴，整个系统总是轴对称的，两个反射面可以看成是“共轴球面”。平面镜是半径为无穷大的球面镜。如果其中一块是平面镜，可以用通过另一块球面镜球心与平面镜垂直的直线作为光轴。平行平面腔的光轴则可以是与平面镜垂直的任一直线。当然两个平面镜不平行不能产生谐振，不在讨论之列。

图（2-1）共轴球面腔结构示意图

如图（2-1）所示，共轴球面腔的结构可以用三个参数来表示：两个球面反射镜的曲率半径R1、R2，和腔长即与光轴相交的反射镜面上的两个点之间的距离L。如果规定凹面镜的曲率半径为正，凸面镜的曲率半径为负，可以证明（参阅《激光原理》第二章第2节，P29，周炳琨等编，国防工业出版社，1995），共轴球面腔的稳定性条件是 01

LL11 （2-1） R1R2

上式左边成立的条件等价于1

LL1和同时为正或同时为负，这就要求两镜面的R1R2

曲率半径为正时必须同时大于腔长或同时小于腔长。如果镜面的曲率半径同时为负，尽管上式左边成立，右边的不等式却不成立。如果镜面的曲率半径一正一负，则需要具体讨论。

2.1.2 共轴球面腔的稳定图及其分类

为了直观起见,常用稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件。首先定义两个参数

Lg11R1 g1L

2R2

共轴球面谐振腔的稳定性条件（2-1）式可改写为

0g1g21 （2-2）

即当（2-2）式成立时为稳定腔；当

g1g20

时为非稳腔；当或g1g21 （2-3）

g1g20

时为临界腔。或g1g21 （2-4）

以gl为横轴，g2为纵轴建立直角坐标系，画出g1g2＝1的两条双曲线。由gl、g2轴和g1g2＝1的两条双曲线可以区分出（2-2）式—(2-4）式所限定的区域，如图（2-2）所示。图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中画有斜线的阴影区为不稳定区，在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。

图（2-2）稳定腔图

利用稳定条件可将球面腔进一步分类如下：

1．稳定腔

(1)双凹稳定腔由两个凹面镜组成。其中，R1＞L，R2＞L的腔对应图中l 区；R1＜L，R2＜L，及R1+R2＞L的腔对应图中2、3和4区。

(2)平凹稳定腔由一个平面镜和一个凹面镜组成。其中，凹面镜R＞L，它对应图中AC、AD段。

(3)凹凸稳定腔由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足条件R1＞0，R2＜0，R1＞R2，R1＞L＞R1－R2；或R2＞R1＞L 的腔对应图中5区。R1＜0，R2＞0，R2＞R1，R2＞L＞R2－R1；或R1＞R2＞L 的腔对应图中6区。

(4)共焦腔 R1＝R2＝L，因而g1=0，g2=0，它对应图中的坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从稳区图上看，原点邻近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。

(5)半共焦腔由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔。它对应图中E和F点。

2．临界腔

(1)平行平面腔因g1＝g2＝1，它对应图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。

(2)共心腔满足条件R2＋R2＝L的腔称为共心腔。如果R1＞0，R2＞0，且R1＋R2＝L，公共中心在腔内，称为实共心腔。这时，gl＜0，g2＜0，g1g2＝1，它对应图中第三象限的g1g2＝1的双曲线。特别，在R1＝R2＝R＝L／2，g1＝g2＝－1时，为对称共心腔，它对应图中B点。如果R1和R2异号，且R2＋R2＝L，公共中心在腔外，称为虚共心腔。由于g1＞0，g2＞0，g1g2＝1，它对应图中第一象限的g1g2＝1的双曲线。

(3)半共心腔由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径R＝L，因而，g1＝1，g2＝0，它对应图中C点和D点。

实共心腔内有一个光束会聚点，会引起工作物质的破坏；半共心腔的光束会聚点在平面镜上，会引起反射镜的破坏。因此，有实际价值的临界腔只有平行平面腔和虚共心腔。

3．非稳腔

对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。非稳腔，因其对光的几何损耗大，不宜用于中小功率的激光器。但对于增益系数G大的固体激光器，也可用非稳定腔产生激光，其优点是可以连续地改变输出光的功率，在某些特殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。

区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小，一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它的优点是容易产生激光。

以下将会看到，整个激光稳定腔的模式理论是建立在对称共焦腔的基础上的，因此，对称共焦腔是最重要和最有代表性的一种稳定腔。

2．1．3 稳定图的应用

有了稳定图，选取光学谐振腔的腔长或反射镜的曲率半径就方便多了，现举例如下：

（1）要制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值范围如何确定？在稳定图中，对称腔对应于区域1、2中连接A、B两点的线段AB，如图（2-2）。由AB线段所对应的坐标值范围立即就可找到曲率半径的范围是：L/2R＜，最大曲率半径可以取R1＝R2，这是平行平面腔，最小取R1＝R2＝L/2，即共心腔。

（2）给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半径，其取值范围如何确定?

根据已有反射镜的数据，例如R1＝2L，求出g1＝l－L/R1＝0.5，在稳定图g1轴上找出相应的C点，如图(2-3a)，过C点作一直线平行于g2轴，此直线落在稳定区域内的线段CD就是所要求的另一块反射镜曲率半径的取值范围，由CD上任一点所对应的R2值都能与已有的反射镜配成稳定腔，R2可用凹面镜，也可用凸面镜，若用凹面镜，则取值范围为：LR2＜，若用凸面镜，取值范围为－＜R2－L。

（3）如果已有两块反射镜，曲率半径分别为R1、R2，欲用它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？

由已知的曲率半径求出k＝R2/R1，代入g1、g2的表达式中，找出g1、g2的方程，从而找出腔长的取值范围。例如，k＝2，有

g2=1LL11k1=1=(k1+g1)=g1+=0.5g1+0.5 R2kR1kkk

这是斜率为0.5、截距为0.5的直线方程，此直线落在稳定区中的线段为AE、DF，如图(2-3b)。图2－3（b）中的线段中的AE线段对应的腔长取值范围为0＜LR1，图2－3（b）中的线段DF对应的腔长取值范围为2R1L3R1。

图（2-3a）稳定图示解法一图（2-3b）稳定图示解法二

2.2速率方程组与粒子数反转

有了光学谐振腔，在其中充以激光工作物质，并在外界激励源作用下，将下能级的粒子抽运到上能级,使激光上下能级之间产生粒子数反转，激光器就可以工作。1.5节对这一工作过程作了定性的分析，本节建立一种定量的分析方法。首先讨论激活介质中抽运、自发辐射、受激辐射与受激吸收同时发生的物理模型，建立描述这个物理过程的速率方程组，然后再根据速率方程组讨论介质中形成粒子数密度反转的条件以及在粒子数密度反转状态下各参量之间的关系。

2.2.1 三能级系统和四能级系统

实现上下能级之间粒子数反转产生激光的绝大多数物理机制可以归结为两种，即所谓三能级系统和四能级系统。

三能级系统中参与激光产生过程的有三个能级，如1960年发明的第一台红宝石激光器就是用的三能级系统（图（2-4a））。产生激光的下能级E1是基态能级，激光的上能级E2是亚稳态能级，E3为抽运高能级。E3实际上常常不是单一的能级，而是代表比E2高的一些激发态能级。在激励源作用下，下能级的粒子被抽运到E3能级。E3能级上粒子寿命很短，会通过非辐射跃迁转移到亚稳态的激光上能级E2上。处于能级E2上的粒子比较稳定，寿命较长。当下能级E1的粒子多于一半被抽运到上能级E2后，就在E2、E1之间产生粒子数反转分布。三能级系统的主要特征是激光的下能级为基态，通常情况下，基态是充满粒子的。而且在激光的发光过程中，下能级的粒子数一直保有着相当的数量。

四能级系统（图（2-4b））中产生激光的下能级E1不是基态能级，粒子抽运是从比下能级E1更低的基态能级E0上进行的。粒子抽运到吸收带E3

上以后，同样由于非辐射跃迁转

移到亚稳态的激光上能级E2上。激光的下能级E1是个激发态能级，在常温下基本是空的，粒子在能级E1的寿命极短，很容易在E2、E1之间产生粒子数反转分布。因此，四能级系统所需要的激励能量要比三能级系统小得多，产生激光比三能级系统容易得多。常用的氦氖激光器和掺钕钇铝石榴石(Nd:YAG) 激光器的发光机制就是四能级系统.

（图（2-4a））三能级系统示意图（图（2-4b））四能级系统示意图

2.2.2 速率方程组

考虑到大多数激光工作物质是四能级系统，以四能级系统为例来建立速率方程组，三能级系统可以用同样的方法处理。

图(2-5)为简化了的四能级系统的能级图。E2、E1分别为激光上、下能级，E0为基态。设上、下能级的粒子数密度分别为n2、n1，基态的粒子数密度为n0，n为单位体积内增益介质的总粒子数，在谐振腔中传播的单色光能密度为。当激励能源开始工作后，它以速率R2把粒子由基态E0抽运到E2能级上，使E2能级上的粒子数密度以R2速率增加。同时它也以速率R1把粒子由基态E0抽运到E1能级上。对E1能级的抽运是不希望却又无法完全避免的。由于激发态粒子的寿命有限，E2能级上的粒子将通过受激辐射、自发辐射等方式不断地离开，使E2能级上的粒子数密度减少。考虑到介质的线型函数远比传播着的光能密度为的单色受激辐射光的线宽要宽，E2能级上的粒子数密度的减小速率可表示为表示为

。同时E1能级上的粒子通过吸收跃迁又使E2能级上n2[A2B21f(v)]（A2A21A20）

的粒子数密度n1B12f()的速率增加。因此，总起来，E2能级在单位时间内粒子数密度的增加可以由如下方程表示

dn2R2n2A2（n2B21n1B12)f() (2-5a) dt

图（2-5）简化的四能级图

另一方面，E1能级上的粒子也将通过受激跃迁、自发辐射等方式不断地离开E1能级，使E1能级上的粒子数密度以速率以速率n1A1n1B12f(v)（A1A10）减少，同时，E2能级的受激辐射、自发辐射等又使E1能级上的粒子数以n2A21+n2B21f()的速率增加。总起来，单位时间内E1能级上粒子数密度的增加可由下式表示

dn1R1n2A21n1A1(n2B21n1B12)f() (2-5b) dt

而总的粒子数为各能级上粒子数之和

nn0n1n2 （2-5c）

上述三个方程组成描述各能级上的粒子数密度随时间变化规律的速率方程组，它是个微分方程组。由这个方程组出发，原则上可以计算出任何时刻各个能级上的粒子数量，因而可以用来研究上下能级之间粒子数密度反转的问题。

2.2.3 稳态工作时的粒子数密度反转分布

首先来简化(2-5)式表示的微分方程组。(2-5)式描述的是一个动态的过程，而激光器在工作的时候会达到稳态的动平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即

0dn1dn20 dtdtdt

从而第一步可将微分方程组简化为一个描述稳态过程的代数方程组。

不失一般性，可以假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2。因此有

B21B12

又，对许多四能级系统的高效率激光器，可以认为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基态E0的自发跃迁几率A20，即有

A2A21

此时，速率方程组简化为

R2n2A2n2n1B21f0 （2-6a）

R1n1A1n2A2n2n1B21f0 （2-6b）

两式相加，有

R1R2n1A1n1

1n1R1R21

将上式代回(2-6a)式得

n2R2(R1R2)1B21f() A2B21f()

R2(R1R)f()2B121 B21f() 2

R22(R1R)f()21B221 12B2f()1

式中2、1分别为上、下能级上粒子的寿命。激光上、下能级间粒子数密度反转分布n可以表示为

nn2n1R22(R1R)f1()21B22(R1R)2 112B2)1f(

R22(R1R2)1n0

 (2-7) 12B21f()12B21f()

(2-7)式就是一般的稳态情况下的粒子数密度反转分布值与各参量之间的关系式。

2.2.4 小信号工作时的粒子数密度反转分布

式(2-7)中的参数n的表达式为

n0R22R1R21 （2-8）

它是当分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值。由于分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。显然，2、B21和f作为物理常数是不能改变的，不会为零,只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零。换句话说，参数n对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布值的大小。在激光谐振腔中尚未建立受激辐射光放大的稳定工作状态发出激光之前，谐振腔内单色光能密度相对于稳定工作发出激光时的值要小得多，可认为近似为零。因此参数00n0对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数n就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。

式(2-8)给出了小信号工作时粒子数密度在能级间的反转分布值与能级寿命、抽运速率之间的关系。可以看出，首先，在选择激光上、下能级时应该满足这样的要求：E2能级的寿命要长，使该能级上的粒子不能轻易通过非受激辐射而离开；E1能级的寿命要短，使E1能级上的粒子能很快地衰减。这就是说，满足条件2＞1的能级，有利于实现能级间的粒子数反转分布。其次，应该选择合适的激励能源，使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好，对E1能级的抽运速率R1愈小愈好。

2.2.5 均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布

粒子数密度反转分布表达式中包含有激光工作物质的光谱线型函数，这就意味着激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大影响。首先来讨论均匀增宽型介质的情况。 0

1.4节中给出均匀增宽的介质的线型函数为

f

2



02

2

f()中心频率值为

f0

如果介质中传播着的光波频率为0，则



f0

2

I c

于是光波频率为0时，(2-7)式分母上的第二项可改写为

2B21f02B21

式中Is为饱和光强，其定义为

2I

I cIs

Is

c

(2-9)

2B212

如果介质中传播着的光波频率0，则(2-7)式分母上的第二项可以化简为

2B21f

这样，(2-7)式就可以表示为

If 

Isf0n0I1Is

0n2

n2

[(0)]n012Isf(0)2

I2

(0)1I2s

0

(2-10)

0

(2-10)式就是均匀增宽型介质内E2、El能级之间粒子数密度反转分布的表达式，它给出了能

级间的粒子数密度反转分布值与腔内光强I、光波的中心频率0、介质的饱和光强Is、激励能源的抽运速率R2、R1以及介质能级的寿命2、1等诸参量之间的关系(后两项体现在n0中)。

2.2.6 均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应

(2-10)式表明,当腔内光强I0(即小讯号)时，介质中的粒子数密度反转分布值n最大，其值为n0，n0由能级寿命、抽运速率决定。对一定的介质，

愈大，粒子数密度反转分R1

布值n0也愈大。当腔内光强的影响不能忽略时，粒子数密度反转分布值n将随光强的增加而减小，此现象称为粒子数密度反转分布值的饱和效应。

当腔内光强一定时，粒子数密度反转分布值n随腔内光波频率而变，图(2-6)给出了I一定时n随变化的曲线。为了更具体地说明频率对n的影响，令腔中光强都等于Is，根据(2-10)式算出几个频率下的n值。结果表明，频率为0的光波能使粒子数密度反转分布值下降一半，而频率为0的光波仅能使粒子数密度反转分布值下降16。随着频率对中心频率0的偏离，光波对粒子数密度反转分布值的影响逐渐减小。为了确定对介质有影响的光波的频率范围，通常采用与线型函数的线宽同样的定义方法：频率为0、强度为Is

1n0

)的光波频率与0之间的间隔定义为能的光波使n减少了n2，这里把使n减少(22

使介质产生饱和作用的频率范围，计算表明这个范围是

0 （2-11）粒子数密度反转分布值不能由实验直接测定。但是(1-90)式给出了增益系数和粒子数密度反转分布值之间的关系，而增益系数G是可以由实验测定的，因此，粒子数密度反转分布值n的表示式的正确性可以通过测定G而间接地得到验证。

图（2-6） n的饱和效应

需要说明的是，虽然公式(2-10)是经过较多简化后导出的，但是实验证明，在激光器工作的过程中，它能够反映增益介质与各个参量之间关系的主要特性。

2.3 均匀增宽介质的增益系数和增益饱和

增益系数对激光器的工作特性起着十分重要的作用，本节将对增益系数进行深入的讨论。实验发现，不同的介质，其增益系数可以有很大的差别，同一种介质的增益系数也随工作条件的变化而改变。介质的增益系数随频率变化的规律和介质的线型函数随频率变化的规律相似。当测量增益系数所用的入射光强度很小尚未发出激光时，测得的增益系数是一个常数，可以视为上一节中定义的小讯号的增益系数。当测量所用的光强增大到一定程度后，增益系数G的值将随光强的增大而下降，产生增益饱和现象。这些实验现象都将在本节进行讨论。

2.3.1 均匀增宽介质的增益系数

1.5节中说明了当增益介质中发生粒子数密度反转分布时，受激辐射将大于受激吸收，在介质中传播的光将得到受激放大。标志介质受激放大能力的物理量─增益系数G可以用式(1-90)表示为

G()nB21



hf()

该式说明，增益系数与介质的若干物理常数有关，同时还取决于介质中的粒子数密度反转分布值n。对于均匀增宽介质, 将粒子数密度反转分布 (2-10)式代入（1-90）式，得到

n0

GB21hf （2-12）

c1

Isf0当介质中尚未发生光放大时,粒子数密度反转分布值n达到最大值n，与之对应的增益系数可以定义为小讯号增益系数G0()

G0n0B21



h0f （2-13）

式中f()代表介质的线型函数，并且已用h0来代替h。由于光的频率很大，线宽

，所以h与h0可以互相替代。将（2-13）式代入（2-12）式得到

G0 （2-14） G

If1

Isf0这就是均匀增宽介质增益系数的表达式。

因为小讯号粒子数密度反转与光强无关，所以（2-13）表示的小讯号增益系数也与光强无关，而仅仅是频率的函数。这说明增益介质对不同频率的光波有不同的小讯号增益系数，

G0与谱线的线型函数f有相似的变化规律，如图(2-7)所示。从图中可以看出，谱

线中心频率0处的增益系数值G系数G

图（2-7）均匀增宽介质小讯号增益系数

0最大，随着频率对中心频率0的偏离，小讯号增益

也逐渐减小。

对均匀增宽型介质，中心频率处线型函数值f(0)心频率处的小讯号增益系数

，代到(2-13)式中，可得到中

G00n0B21



h0

（2-15） 

(2-15)式说明，中心频率处的小信号增益系数与线宽成反比，其原因是线型函数的归一化条件决定了线宽愈小，中心频率处的f此增益系数G00也愈大。

0值愈大，受激辐射几率B21f0也愈大，因

2.3.2 均匀增宽介质的增益饱和

在测定增益系数的实验中发现，在抽运速率一定的条件下，当入射光的光强很弱时，增益系数是一个常数；当入射光的光强增大到一定程度后，增益系数随光强的增大而减小，这种现象称为增益饱和。增益系数随光强的增加而减小是因为光的受激辐射对介质的粒子数密度反转分布有着强烈的影响造成的。当谐振腔中光强很弱时，介质的受激辐射几率很小，粒子数密度反转分布几乎不随光强变化，介质对光波的增益系数也不随光强改变。此时，光波在介质中以最大的相对增长率G00不断地获得放大。当腔内光强逐渐增强，介质中的粒子数密度反转分布值将因受激辐射的消耗而明显下降，光强越强，受激辐射几率越大，上能级粒子数密度减少得越多，这就使粒子数密度反转分布值也下降得越多，进而使增益系数也同样下降，这就是增益饱和的实质。但是这里应该提请注意的是，上面所说的光强的大小都是相对于饱和光强Is而言的，也就是指比值I/Is的大小。

增益饱和现象可分三种情况进行讨论。

1、介质对频率为0、光强为I的光波的增益系数

介质中传播着强度为I、频率0的光波时，介质对此光波的增益系数可由(2-14)式得出为

G0(0)G0(0)

G(0) （2-16）

011

IsIsf(0)

式中包含的饱和光强Is在上一节中已经定义，它是激光工作物质的一个重要参量，是发光物

质光学性质的反映。不同激光工作物质的饱和光强Is值不相同。有些介质如二氧化碳，它的饱和光强值很大。由二氧化碳构成的激光器，即使腔内光强的数值已经很大，与介质的饱和光强Is的比值仍远小于l，介质对光波的增益仍然很大。直到腔内光强的数值大到足以与饱和光强相比拟时，介质对光波的增益才开始下降而出现饱和现象。因此，由饱和光强大的二氧化碳介质制成的激光器，腔内光强将会很强。而另外一些介质，例如氦氖激光器的工作物质，饱和光强很小。在氖氖激光器中，腔内光强不很大时，其饱和光强相比已经是一个不可忽略的值了，因此介质在不大的光强下就使增益系数开始下降，出现了增益饱和现象。这时，光波在介质中的放大率开始下降，随着光强I继续增加，比值I/Is继续增大，I被放大的相对增长率G0继续下降，直至光放大过程趋于停止。因此，饱和光强小的介质，腔内光强一定不会很大。可见，饱和光强的确是介质的一个重要参量，它决定着腔内光强以至激光器输出功率的大小。下面给出几个激光器饱和光强数值，以供分析问题时参考：

氦氖激光器(6328Å谱线)，Is 0.3W／mm2 氩离子激光器(5145Å谱线)，Is7W／mm2

纵向二氧化碳激光器(10.6m谱线)，Is 2W／mm2

2、介质对频率为、强度为I的光波的增益系数

当均匀增宽型介质中传播着频率为、强度为I的光波时，介质中增益系数G随光强I而变化的规律为(2-14)式，将均匀增宽的线型函数代入得到

0

[()]G()00

G()2 (2-17) G()2If()I21()10Isf(0)

Is2

此式说明：当腔内光波的频率0时也会引起增益饱和，只是不如当0时的作用那样显著。从式中亦可看出，当

I

01 (2-18)

Is2

时，光强对增益系数的影响几乎可以忽略。把(2-17)式的形式稍加改变即可得到用中心频率

处小信号增益系数G00表示的增益系数的表达式

2G()G0(0) (2-19) 2I2

(0)1

Is2

为了比较各种频率的光波在介质中获得增益的大小，也为了比较各种频率的光波对增益系数作用的大小，根据(2-19)式列表2-1如下，令表中各种频率光波的光强都等于饱和光强Is。并作G~的曲线如图(2-8)所示。

图（2-8）均匀增宽型增益饱和

由表2-1和图(2-8)可以看出，在光强I＝Is的光波作用下，介质对频率为0的光波的增益系数值最大，该光波的增益饱和作用也最大，频率逐渐偏离0时，增益系数逐渐减小，光波

对介质的增益饱和作用也逐渐减弱。当

I

01

Is2

时，介质对光波的增益作用以及光波对介质的增益饱和作用都很微弱。因此，以下讨论介质对光波的增益作用以及光波对介质的增益饱和作用时，都是对光频在

01



范围内而言的。



II

10

Is2Is2

212

3、频率为、强度为I的强光作用下的增益介质对另一小讯号光波ii的增益系数在腔内传播着频率为强度为I的光波的同时，再入射一束频率为i强度为i的小讯号光波，这时，由于I和i放大是消耗同一个E2能级上的粒子，而介质中E2能级上的粒子数密度已经在I的激励下大为减少，所以，此时介质对光波ii的增益系数也下降为(2-19)式表示的Gi。

这就是说，频率为的强光I不仅使本身频率处介质的增益系数由G()下降至G，

而且使介质的线宽范围内一切频率处介质的增益系数G0i都下降了同样的倍数变为

Gi。所以(2-19)式就是介质在频率为、强度为I的光波作用下对各种频率的小讯号光

波的增益系数的表达式。由于光强I仅改变粒子在上下能级间的分布值，并不改变介质的密度、粒子的运动状态以及能级的宽度。因此，在光强I的作用下，介质的光谱线型不会改变，线宽不会改变，增益系数随频率的分布也不会改变，光强仅仅使增益系数在整个线宽范围内下降同样的倍数，如图(2-9)所示。而且由于与谱线的线型函数f()具有相似的变化规律，中心频率附近的激光的增益系数大，偏离中心频率愈远的激光，其增益系数也愈小。这是均匀增宽型介质的特点。

在4.1节中还会看到，因为模式竞争的原因，均匀增宽型介质制作的激光器发出的激光

只会输出一个单一的频率，其谱线宽度远小于介质线型函数的宽度。这种激光器发出的激光的增益系数对应着图(2-9)中与中心频率极为靠近的一个点。

图（2-9）光强I、频率强光作用下的对小讯号光波i()的增益饱和

2.4非均匀增宽介质增益饱和

一般低压气体激光器介质的发光特性是：对确定的上下能级E2、E1，介质中单个粒子发光的谱线线型函数仍然是均匀增宽型的，但是由于气体粒子处在剧烈、混乱的热运动之中，由大量粒子组成的气体介质发光时，接收到的光谱谱线的线型变成非均匀增宽的。

2.4.1 介质在小讯号时的粒子数密度反转分布值

在非均匀增宽型介质中，稳态工作的情况下，上下能级E2、E1之间粒子数密度反转分布值仍然可以用（2-7）式表示，相应的小信号粒子数密度反转分布值也仍然可以用（2-8）式表示。具体来讲，由于介质内的粒子在作紊乱的热运动，粒子运动的速度沿腔轴方向的分量满足麦克斯韦速度分布律，小信号情况下E2能级上的粒子中速度在1至1d1之间的粒子数密度为

m12md1 n1d1nexp2kT2kT

E1能级上速度在1至1d1之间的粒子数密度为

m2m

n1d1nd1 exp

2kT2kT

若E2、E1能级的简并度相等，则速度在1至1d1之间的粒子数密度反转分布值为

m2m

n1d1n1d1n1d1nd1 (2-20) exp

2kT2kT

在E2、E1能级间各种速度的粒子数密度反转分布值之和为







n1d1





m2m0

 （2-21） ndnexp1

2kT2kT

n0与激励能源的抽运速率、粒子的能级寿命等参量之间的关系仍由（2-8）式决定。在非均匀增宽型介质中，单位速度间隔内粒子数密度反转分布值n0()随速度的分布情况如图(2-10)所示。

图（2-10）

n0()随速度的分布

在非均匀增宽型介质中，在E2、E1能级间跃迁的粒子，辐射的光波也是中心频率为0的自然增宽型函数。但是当粒子具有热运动速度1时，由于光的多普勒效应，在正对着粒子运动的方向上接收到的光波的线型函数变为中心频率为1的自然增宽型函数了，1和1的关系为

10(1

反过来，用频率表示速度，则

1

)

1(10)

0

(2-22)

如果发光粒子的速度改变了d1，接收到的光波的中心频率也将相应地改变d1，它们之间的关系是

d1

0

d1 (2-23)

把(2-22)或(2-23)式所给出的1与1的关系代入(2-20)式中，将1换成相应的1，就可以得到介质中能够辐射中心频率为1~1d1光波的粒子数密度反转分布值为

mc21v02cmdv1n0fD1d1 (2-24) nv1dv1nexp202kT2kT0

能够辐射以1为中心频率的单位频率间隔内的粒子数密度反转分布值为

n0(1)n0fD(1)

式中fD(1)是非均匀增宽介质的线型函数在1处的大小。fD()的中心频率也是0，但

fD()的线宽却远大于均匀增宽谱线f的线宽。单位频率间隔内的粒子数密度反转分布

值n0()与频率的函数关系曲线与图(2-10)相似，只要把图中的速度改成频率。

由于(2-22)式给出了粒子的运动速度1和发光频率1之间的一一对应关系，所以在下面的讨论中凡涉及到粒子的运动速度1时，都可以用其相应的频率1来代替。

2.4.2 非均匀增宽型介质在小讯号时的增益系数

0非均匀增宽型介质的小讯号增益系数GD()是由具有不同速度的粒子数密度反转分布

n01d1提供的，频率为1粒子数密度反转分布对小讯号增益系数的贡献，就象均匀增

宽型介质的n对G()的贡献那样，为

n01d1B21dGD



hfn0fD1d1B21



hf (2-25)

介质的小讯号增益系数是介质中各种速度的粒子数密度反转分布的贡献之和，故有

GD()dGD()n0fD(1)d1B21





hf()

nB21



hfD1d1f





nB21h

c2







fD1

d1

1



2

(2-26)

虽然积分是在0区间内进行的，但是由于1是f()1值迅速趋近于零，所以，实际上1的取值范围为



外的f()2



或积分是在以为中心、以均匀增2

宽的线宽为范围的区间内进行的。也就是说，GD()实际上是由频率在范围





1 22

内的粒子数密度反转分布值贡献的。在此范围内，非均匀增宽的线型函数fD(1)几乎不变，可以用fD()代替，如图(2-11)所示。这样，上式积分可以化为

n0B21GD



hfD





2

d1



12

2

n0B21



hfD() (2-27)

(2-27)式就是非均匀增宽型介质的小讯号增益系数的表达式。可以看出，它与均匀增宽型介质的小讯号增益系数(2-13)式在形式上是一致的。

图（2-11）非均匀增宽型介质的小讯号增益

根据(2-27)，同样可以求得中心频率处的小讯号增益系数GD(0)，它与线宽D成反比

0GD(0)n0B21

2ln2

h0 (2-28) cD

2.4.3、非均匀增宽型介质稳态粒子数密度反转分布

对非均匀增宽型介质，当频率为1、强度为I的光波在其中传播时，对中心频率为

1的

粒子来说，这相当于用中心频率的光波与均匀增宽型介质作用引起粒子数密度反转分布值的饱和，(2-10)式的第一式相应地变为：

n0(1)n0

n(1)f() (2-29)

IID111IsIs

(2-29)式给出了非均匀增宽型介质中频率为1附近单位频率间隔内粒子数密度反转分布值随频率为1、光强为I的光波变化的关系式。

由于光波的频率1不在该粒子的中心频率，频率1的光对附近的频率为处单位频率间隔内粒子数密度反转分布值n()的饱和效应规律，应由(2-10)式的第二式给出，故有

n0()n0

n()f()

If(1)If(1)D11Isf()Isf()

1

20

nfD (2-30) 2

I2

11

I2s

式中1是光波的频率，是粒子的中心频率，为均匀增宽谱线的线宽。这就是说，频率为1的光波也可以引起频率为的粒子数密度反转分布值n()的饱和。计算表明，1光波对频率为

11



的粒子数密度反转分布的饱和作用已很弱。



IIs

2 

图（2-12）非均匀增宽型粒子数密度反转分布的饱和作用

图(2-12)描绘了1光波对频率为的粒子数密度反转分布的饱和作用以及起作用的频率范围。由于光波频率1恰好是a点的中心频率，因此，在光波I作用下n(1)下降到a点。但对b点，光波的频率1不是它的中心频率，故b点的饱和效应比a点弱，它仅下降至b点。

对于c点，光波的频率1对它的中心频率的偏离已大于宽度1





IIs

2，所以饱和效应

可以忽略。由此可见，频率为1强度为I的光波仅使围绕中心频率1、宽度为

11I





I

范围内的粒子有饱和作用，因此在n~曲线上形成一个以12s

为中心的凹陷，习惯上把它叫做孔，这就是非均匀增宽型介质在较大讯号情况下的粒子数密度反转分布值的饱和效应。

孔的深度为

n0(1)n(1)

Is1Is

n0(1)

孔的宽度为

1



孔的面积



I

 Is

Sn0(1)

IIsI1Is

通常称上述现象为粒子数密度反转分布值的“烧孔”效应。大致说来，烧孔面积的大小与受激辐射功率成正比。

2.4.4 非均匀增宽型介质稳态情况下的增益饱和

在非均匀增宽型介质中，频率为1、强度为I的光波只在1附近宽度约为1

I

Is

的范围内有增益饱和作用，如图(2-13)所示。增益系数在1处下降的现象称为增益系数的“烧孔”效应。与图(2-12)的烧孔情况相仿，孔的中心频率仍是光频1，孔宽仍为

I1，只是孔的深度浅了一点。 Is

在频率为1、强度为I的光波作用下，介质的增益系数GD(1)可以计算出得到

GD(1)

0GD(1)

I1Is

(2-31)

至于在1光波的作用下对其他频率下介质的增益系数，由于它与小讯号增益系数相比变化不大，这里就不再讨论了。

图（2-13）非均匀增宽型增益饱和

比较(2-16)式和(2-31)式可以看出，光波I使非均匀增宽型介质发生增益饱和的速率要比对均匀增宽型介质的情况缓慢。例如，当光强I＝Is

时，均匀增宽型介质的增益系数下降

为小讯号增益系数的一半，即

GD()，而非均匀增宽型介质的增益系数仅降到小讯号增

比较图(2-9)与图(2-13)可以看出，光强为I的光波使均匀增宽型介质对各种频率的光波的增益系数都下降同样的倍数。而对非均匀增宽型介质，光强为I的光波只能引起以光波频

I率1为中心频率、频宽1I范围内的增益系数下降，而且孔内不同频率处

S

增益系数下降的值不同。实际上均匀增宽型与非均匀增宽型的饱和作用影响的频率范围是一样大的。由于多普勒增宽比均匀增宽要宽得多，同样的频率范围对于多普勒增宽只能烧一个孔。

对多普勒增宽型气体激光器，由于谐振腔的存在，腔内光束是由传播方向相反的两列行波组成的。频率为1、沿腔轴正方向传播的光波将引起沿腔轴方向运动的速度1为

1

10

c 0

附近的粒子数密度反转分布值饱和，因而在G0曲线上1附近烧一个孔；沿腔轴负方向传播的频率为1的光波将引起沿腔轴方向运动的速度为1附近的粒子数密度反转分布值饱和，而速度为1的粒子数密度反转分布值正是对沿腔轴正方向传播的频率为2的光波作出增益贡献者，它的饱和将导致增益介质对沿腔轴正方向传播的频率2为

21





1

0

c

的光波的增益饱和，即沿腔轴负方向传播的频率为1的光波将在增益曲线上2附近烧一个孔。所以，频率为1的光波在增益曲线上烧两个孔，它们对称地分布在中心频率的两侧，如图(2-14)所示。如果光波频率恰好是多普勒增宽型线型函数的中心频率0，则该光波只在增益曲线上烧一个孔。也即中心频率的光波只能使那些沿腔轴方向运动的、速度为零的激发态粒子作受激辐射。

图（2-14）非均匀增宽型激光器中的增益饱和

2.5 激光器的损耗与阈值条件

激光器产生激光的前提条件是介质必须实现能级间的粒子数密度反转分布，即n0，或者说增益系数G0。但是，由于光波在实现了粒子数密度反转分布的介质中传播时还有各种损耗，只有当因增益放大而增加的光能量除了能够补偿因损耗而失去的部分外还能有剩余时，光波才能被放大。所以要求增益系数要大于一个下限值，此下限值即为激光器的阈值，它由各种损耗的大小所决定。

本节从分析稳定光强形成的过程出发，找出双程光放大倍数K与增益系数和各种损耗之间的关系，从而得出增益系数的阈值表达式和粒子数密度反转分布的阈值表达式。

2.5.1 激光器的损耗

激光器的损耗指的是在激光谐振腔内的光损耗，这种损耗可以分为两类，第一类是谐振腔内增益介质内部的损耗，它与增益介质的长度有关，叫做内部损耗，第二类损耗是可以折合到谐振腔镜面上的损耗, 叫做镜面损耗。 1.内部损耗

在增益介质内部由于成分不均匀、粒子数密度不均匀、或者有缺陷，光波通过这样的介质时就会发生折射、散射，使部分光波偏离原来的传播方向，造成光能量的损耗。增益介质内还会有不在下能级的粒子吸收光能，跃迁至其他上能级去造成光能量的损耗。这样，当光穿过增益介质时，在获得增益的同时，又会因上述损耗的存在以相对速率a内而减小，a内

称

为内部损耗系数，和增益系数一样具有L量纲。它表示光通过单位长度介质时光强的相对损耗率，介质越长，因内损耗而失去的光能量也越多，此时，光在增益介质中的变化规律就由(1-91)式变为下式

1

II0expGa内z (2-32)

2.镜面损耗

用r1、r2和t1、t2分别代表谐振腔反射镜M1、M2的反射系数和透射系数，当强度为I的光波射到镜面上时，其中r1I部分(或r2I)反射回腔内继续放大，其余部分对谐振腔来说都是损耗，这些损耗包括：由镜面上透射出去作为激光器对外输出的t1I(或t2I)，镜面的散射、吸收以及由于光的衍射使光束扩散到反射镜范围以外而造成的损耗，后者用a1I(或a2I)表示，这些损耗统称为镜面损耗。应当注意：与内损耗系数a内不同，反射系数、透射系数r1、

r2、t1、t2和镜面损耗a1、a2都是无量纲的参数。 2.5.2 激光谐振腔内形成稳定光强的过程

激光谐振腔内光强由弱变强直至最后达到稳定的过程可以用图(2-15)来描绘。设增益介质长为L，用图(2-15)中的横坐标表示，腔内光强用纵轴表示。M2是反射率r21的全反射镜，置于z=L处，M1是反射率r11的部分反射镜，置于坐标z=0处。由于M2的透射率

t20，我们把M2上的镜面损耗全部折合到M1上，这样，腔内各点的光强值随时间而增，I1~I1，I1~I2，I2~I2，~Im1~Im，Im长的情况，由图(2-15)中不同曲线I1~I1 Im

所表示。这一部分曲线代表光的放大过程，当光强达到稳定后，稳定光强在腔中传播的过程由闭合曲线A~IL，IL~I2L，I2L~A所表示。

图（2-15）激光谐振腔内光强增长

1. 谐振腔内光强的放大过程

激光器开始工作时，由于自发辐射，腔内沿z轴方向有很微弱的光强传播着。把这微弱的光强等效成在z＝0处有一束强度为I1的入射光沿腔轴传播，由于腔内光强很弱，此时介质的增益系数就是小讯号增益系数G。I1在介质中依I1expGa内z的规律放大，传至M2处时，I1已放大为I1expGa内L。在M2上，光波经M2反射，反射光将沿z方向传播，其光强为









r2I1expG0a内L I1

表示了这个过程。I1又经增益介质进行放大，再传到M1处时，光强已增至图中曲线I1~I1



I1expG0a内Lr2I1expG0a内2L I1

~I1所示。I1光强在M1上一部分反射回波内继续放大，这部分为如图中曲线I1



I2r1r2I1expG0a内2L

一部分作为激光器的输出由M1镜透射出去，这部分的大小为



Iout

t1r2I1expG0a内2L



其余部分都作为镜面损耗而损失掉了，这部分为

a1r2I1expG0a内2L Iha1I1

~I2代表总镜面损耗IoutIh，即图中纵轴上I1



IoutIht1a1r2I1expG0a内2L

此时腔内光的放大倍数为



K

r1r2expG0a内2L1 (2-33) I1

I2又在增益介质中沿z轴传播，并往返于M1、M2反射镜之间，每往返一次，就重复上述过程放大K倍，如此往返不止，来回放大，随着腔内光强增大，光的放大倍数由于增益饱和

，I1~I1，I1~I2，I2~I2， Im~Im，也逐渐下降。整个过程由图中一组曲线I1~I1

~Im1所表示。 Im

2. 谐振腔稳定出光过程

以均匀增宽型介质为例，当腔内光强和介质的饱和光强可以比拟时，增益系数不再可以

用小信号增益系数来近似。增益系数开始依G规律下降，光的放大速率开始随光强

1Is

的增大而减小，而总损耗却随光强的增大而增大，但是光强仍然在增长。随着光强的增大，增益系数进一步地减少，光放大速率也进一步地减慢。这个逐渐减慢的放大过程一直持续到光在增益介质中来回往返一次，由增益而增加的光能量仅够补偿损耗而无剩余为止。此时，虽然腔内不同地点的光强不同，但腔内各点的光强不再随时间而变化，输出光强也不再改变。光波在腔中往返传播一次，光强随路程而变化的曲线构成一个闭合曲线A~IL，

IL~I2L，I2L~A，其中曲线A~IL，IL~I2L代表光波在介质中往返一次被

放大的情况，I2L~A代表往返一次的总镜面损耗。此时，光波在介质中往返一次所获得的放大倍数为

Kr1r2expGa内2L1 (2-34)



2.5.3 阈值条件

上面讨论指出，腔内光强比较弱时，光波往返一次的放大倍数K1，随着光强不断地增强，放大倍数就不断下降，直至K1为止。因此，合并(2-33)式和(2-34)式就可以得到形成激光所要求的双程放大倍数

Kr1r2expGa内2L1 (2-35)

也可把(2-35)式改写为增益系数的形式

Ga内

令 a内称为总损耗系数，则(2-36)式可写为

lnr1r2 (2-36) 2L

lnr1r2a总 (2-37) 2L

Ga总 (2-38)

这就是形成激光所要求的增益系数的条件。

小讯号增益系数G是激光器在形成激光的过程中增益系数所能取的最大值。随着腔内光强的增大，增益系数将不断下降，当增益系数下降到下限值时，腔内光强也就达到最大值IM（IM为平均值）。增益系数的下限值称为增益系数的阈值，表示为

G阈a总 (2-39)

IM1

对非均匀增宽型介质，增益系数的阈值则为

GD阈

0GD

IM1

Is

a总 (2-40)

由增益系数的阈值也可以导出粒子数密度反转分布值的阈值n阈

G阈n阈B21



hfa总

n阈

a总c

B21hfA21c3c3

把B21代入上式有 

8h338h33

822a总

(2-41) n阈2

cf()

式中：为E2能级的寿命，为折射率，f()为谱线的线型函数。 (2-41)式给出了对激

822a总

励能源的要求，即激励能源对介质粒子的抽运一定要满足nn阈，才能2

cf()

产生激光。

2.5.4 对介质能级选取的讨论

在选取激光的能级方面也有一些值得考虑的问题。

前面的讨论指出，激光上下能级间粒子数密度反转分布值愈大，增益系数也愈大，而粒子数密度反转分布值直接由激光上下能级的粒子数密度决定。如果选取的激光下能级只是基态，或者是很接近基态的能级，那么，根据玻尔兹曼分布，在常温下激光下能级上的粒子数密度已经很大，上能级几乎是空的，完全靠激励能源把下能级中一半以上的粒子不停地抽运到E2能级上去，造成粒子数密度反转分布，并且E2能级上的粒子数密度值要满足

n2n1n阈 (2-42)

这就要求激励能源有较大的抽运功率。

如果选取的激光下能级不是基态，在常温下它就是一个空能级，此时，只要激励能源抽运n2n阈的粒子到E2能级上即可，这对激励能源的功率要求就低多了。这两种情况就是目前激光能级选取上常说的三能级系统和四能级系统问题。大量的实验证明，现有效率较高的激光器绝大多数都属于四能级系统。也就是说，输出的光能量占激励能源输入的总能量的百分比高的激光器大多数用的是四能级系统。

下面以常见的三种固体激光器为例，给出参数，用公式(2-41)算出粒子数密度反转分布值的阈值n阈、达到阈值时上能级粒子数密度n2阈以及对比。同时把实验测得的效率列入，以便进行比较。

假定，激光器腔长L＝l0cm，反射率r21，r10.5，内损耗系数a内＝0，介质的线型函数为f0

，并对三种激光器的结果进行n阈

，则总损耗系数： 

a总a内

1ln0.5lnr1r23.4657m 2L0.2

粒子数密度反转分布值的阈值n阈为

2280a总

n阈

cf02



4202a总

式中0、、和的值示于表（2-2）中，由表中所给数据即可算得n阈并列于下表中，对三能级系统要求n2n1n阈，而n1n2n，n是总粒子数密度；对四能级系统，

n2n阈就满足要求了。

由表2-2可以看出，三能级系统达到阈值时上能级应该具有的粒子数密度几乎是n阈的10倍，这要求激励能源对三能级的增益介质输入较多的能量来抽运下能级的粒子，这样的工作效率是很低的。而四能级系统达到阈值时，只要求上能级的粒子数密度稍大于n阈即可，它对激励能源的要求较低，因此，工作效率也比三能级系统的要高。

从反转粒子数密度阈值出发，可对激光器所需的最低抽运功率作一个粗略的计算。

表2-2 三种激光器的结果对比

对三能级系统来说，粒子数密度反转分布是依靠外界能源将处于基态的粒子抽运到能级E3，然后通过非辐射跃迁到达能级E2的。因此，在理想情形下(不考虑粒子在能级间过渡的效率)，每使E2能级上增加一个粒子，外界能源必须提供相应的一份能量h13(注意这是E3、E1间的能量差)。

当粒子数密度反转值达阈值时，激光上能级的粒子数n2n1n阈光器来说，处在E2能级的粒子数密度由于自发辐射单位时间内减少值为

。对于连续激2

A21n2

n221

为维持激光阈值，这部分粒子必须由外界能源抽运来补充。如果工作介质的体积为V，则能源的阈值抽运功率为

P13V阈3n2A21h

h13nV

(2-43) 221

阈值抽运功率是激光器产生受激辐射时能源提供的最低功率。如果考虑到由能源抽运到输出激光这一系列中间过程中的转换效率(由于转换环节多，一般效率在千分之几到十分之几这个幅度范围内变化，视具体激光器而定)。实际激光器正常工作时的抽运功率比阈值抽运功率大得多。

类似三能级系统的讨论，我们容易得到能源对四能级系统提供的阈值抽运功率为

P阈4n阈A32h14V

n阈h14V

32

(2-44)

思考练习题2

1．利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n2－n1＝51018cm3，1/f()＝2×1011 s1，t自发

＝A213103s，λ＝0.6943m，＝l.5，g1＝g2。

1

2．He-Ne激光器中，Ne原子数密度n0＝n1+n2＝l012 cm3，1/f()＝15×109 s1，λ＝

0.6328m，t自发＝A211017s，g3＝3，g2＝5，11,又知E2、E1能级数密度之比为4，求

1

此介质的增益系数G值。

3．(a)要制作一个腔长L＝60cm的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R1＝4L，求另一面镜的曲率半径取值范围。

4．稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长L的取值范围。

5．试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

6．推导均匀增宽型介质，在光强I，频率为的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。 7．设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为，求证，I＝IS时的稳定工作时讯

，并说明其物理意义。

8．研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”e()(cm2)概念，它与增益系数

G()(cm－1)的关系是e()

G()

n为反转粒子数密度，，试证明：具有上能级寿命为，n

c2f(）

线型函数为f()的介质的受激发射截面为e()。 22

8

9．饱和光强Is()是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率0处的饱和光强Is(0)

h0

，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G在0＝0.5950m处的饱

e(0)

—

和光强。(已知＝5.5×l 09s，＝4.66×1013Hz，＝1.36)

10．实验测得He-Ne激光器以波长＝0.6328工作时的小讯号增益系数为G0＝310

-1

－

/d(cm)，d为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强I＝50W／cm2的增益系数

G(设饱和光强Is＝30W／cm2时，d＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜的反射率(设r1＝r2，腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率a内＝9104cm)?又

－

-1

设光斑面积A＝0.11mm2，透射系数＝0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦。 11．求He-Ne激光的阈值反转粒子数密度。已知＝6328Å，1/f()＝109Hz，＝1，设总损耗率为a总，相当于每一反射镜的等效反射率R＝l－La总＝98.33％，＝107s，

—

腔长L＝0.1m。

12．红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr3的n0＝10191／cm3，21=310s，今以波

＋

-3

长λ＝0.5100m的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。

13．YAG激光器为四能级系统。已知n阈＝1.8×1016，32＝2.310s。如以波长0.75m

-4

的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。

第2章激光器的工作原理

2.1光学谐振腔结构与稳定性

2.1.1 共轴球面谐振腔的稳定性条件

图（2-1）共轴球面腔结构示意图

LL11 （2-1） R1R2

上式左边成立的条件等价于1

LL1和同时为正或同时为负，这就要求两镜面的R1R2

2.1.2 共轴球面腔的稳定图及其分类

为了直观起见,常用稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件。首先定义两个参数

Lg11R1 g1L

2R2

共轴球面谐振腔的稳定性条件（2-1）式可改写为

0g1g21 （2-2）

即当（2-2）式成立时为稳定腔；当

g1g20

时为非稳腔；当或g1g21 （2-3）

g1g20

时为临界腔。或g1g21 （2-4）

图（2-2）稳定腔图

利用稳定条件可将球面腔进一步分类如下：

1．稳定腔

(1)双凹稳定腔由两个凹面镜组成。其中，R1＞L，R2＞L的腔对应图中l 区；R1＜L，R2＜L，及R1+R2＞L的腔对应图中2、3和4区。

(2)平凹稳定腔由一个平面镜和一个凹面镜组成。其中，凹面镜R＞L，它对应图中AC、AD段。

(5)半共焦腔由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔。它对应图中E和F点。

2．临界腔

(1)平行平面腔因g1＝g2＝1，它对应图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。

(3)半共心腔由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径R＝L，因而，g1＝1，g2＝0，它对应图中C点和D点。

3．非稳腔

以下将会看到，整个激光稳定腔的模式理论是建立在对称共焦腔的基础上的，因此，对称共焦腔是最重要和最有代表性的一种稳定腔。

2．1．3 稳定图的应用

有了稳定图，选取光学谐振腔的腔长或反射镜的曲率半径就方便多了，现举例如下：

（2）给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲率半径，其取值范围如何确定?

（3）如果已有两块反射镜，曲率半径分别为R1、R2，欲用它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？

由已知的曲率半径求出k＝R2/R1，代入g1、g2的表达式中，找出g1、g2的方程，从而找出腔长的取值范围。例如，k＝2，有

g2=1LL11k1=1=(k1+g1)=g1+=0.5g1+0.5 R2kR1kkk

图（2-3a）稳定图示解法一图（2-3b）稳定图示解法二

2.2速率方程组与粒子数反转

2.2.1 三能级系统和四能级系统

实现上下能级之间粒子数反转产生激光的绝大多数物理机制可以归结为两种，即所谓三能级系统和四能级系统。

四能级系统（图（2-4b））中产生激光的下能级E1不是基态能级，粒子抽运是从比下能级E1更低的基态能级E0上进行的。粒子抽运到吸收带E3

上以后，同样由于非辐射跃迁转

（图（2-4a））三能级系统示意图（图（2-4b））四能级系统示意图

2.2.2 速率方程组

考虑到大多数激光工作物质是四能级系统，以四能级系统为例来建立速率方程组，三能级系统可以用同样的方法处理。

。同时E1能级上的粒子通过吸收跃迁又使E2能级上n2[A2B21f(v)]（A2A21A20）

的粒子数密度n1B12f()的速率增加。因此，总起来，E2能级在单位时间内粒子数密度的增加可以由如下方程表示

dn2R2n2A2（n2B21n1B12)f() (2-5a) dt

图（2-5）简化的四能级图

dn1R1n2A21n1A1(n2B21n1B12)f() (2-5b) dt

而总的粒子数为各能级上粒子数之和

nn0n1n2 （2-5c）

2.2.3 稳态工作时的粒子数密度反转分布

0dn1dn20 dtdtdt

从而第一步可将微分方程组简化为一个描述稳态过程的代数方程组。

不失一般性，可以假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2。因此有

B21B12

又，对许多四能级系统的高效率激光器，可以认为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基态E0的自发跃迁几率A20，即有

A2A21

此时，速率方程组简化为

R2n2A2n2n1B21f0 （2-6a）

R1n1A1n2A2n2n1B21f0 （2-6b）

两式相加，有

R1R2n1A1n1

1n1R1R21

将上式代回(2-6a)式得

n2R2(R1R2)1B21f() A2B21f()

R2(R1R)f()2B121 B21f() 2

R22(R1R)f()21B221 12B2f()1

式中2、1分别为上、下能级上粒子的寿命。激光上、下能级间粒子数密度反转分布n可以表示为

nn2n1R22(R1R)f1()21B22(R1R)2 112B2)1f(

R22(R1R2)1n0

 (2-7) 12B21f()12B21f()

(2-7)式就是一般的稳态情况下的粒子数密度反转分布值与各参量之间的关系式。

2.2.4 小信号工作时的粒子数密度反转分布

式(2-7)中的参数n的表达式为

n0R22R1R21 （2-8）

2.2.5 均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布

1.4节中给出均匀增宽的介质的线型函数为

f

2



02

2

f()中心频率值为

f0

如果介质中传播着的光波频率为0，则



f0

2

I c

于是光波频率为0时，(2-7)式分母上的第二项可改写为

2B21f02B21

式中Is为饱和光强，其定义为

2I

I cIs

Is

c

(2-9)

2B212

如果介质中传播着的光波频率0，则(2-7)式分母上的第二项可以化简为

2B21f

这样，(2-7)式就可以表示为

If 

Isf0n0I1Is

0n2

n2

[(0)]n012Isf(0)2

I2

(0)1I2s

0

(2-10)

0

(2-10)式就是均匀增宽型介质内E2、El能级之间粒子数密度反转分布的表达式，它给出了能

2.2.6 均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应

(2-10)式表明,当腔内光强I0(即小讯号)时，介质中的粒子数密度反转分布值n最大，其值为n0，n0由能级寿命、抽运速率决定。对一定的介质，

愈大，粒子数密度反转分R1

布值n0也愈大。当腔内光强的影响不能忽略时，粒子数密度反转分布值n将随光强的增加而减小，此现象称为粒子数密度反转分布值的饱和效应。

1n0

)的光波频率与0之间的间隔定义为能的光波使n减少了n2，这里把使n减少(22

使介质产生饱和作用的频率范围，计算表明这个范围是

图（2-6） n的饱和效应

2.3 均匀增宽介质的增益系数和增益饱和

2.3.1 均匀增宽介质的增益系数

G()nB21



hf()

n0

GB21hf （2-12）

c1

Isf0当介质中尚未发生光放大时,粒子数密度反转分布值n达到最大值n，与之对应的增益系数可以定义为小讯号增益系数G0()

G0n0B21



h0f （2-13）

式中f()代表介质的线型函数，并且已用h0来代替h。由于光的频率很大，线宽

，所以h与h0可以互相替代。将（2-13）式代入（2-12）式得到

G0 （2-14） G

If1

Isf0这就是均匀增宽介质增益系数的表达式。

G0与谱线的线型函数f有相似的变化规律，如图(2-7)所示。从图中可以看出，谱

线中心频率0处的增益系数值G系数G

图（2-7）均匀增宽介质小讯号增益系数

0最大，随着频率对中心频率0的偏离，小讯号增益

也逐渐减小。

对均匀增宽型介质，中心频率处线型函数值f(0)心频率处的小讯号增益系数

，代到(2-13)式中，可得到中

G00n0B21



h0

（2-15） 

0值愈大，受激辐射几率B21f0也愈大，因

2.3.2 均匀增宽介质的增益饱和

增益饱和现象可分三种情况进行讨论。

1、介质对频率为0、光强为I的光波的增益系数

介质中传播着强度为I、频率0的光波时，介质对此光波的增益系数可由(2-14)式得出为

G0(0)G0(0)

G(0) （2-16）

011

IsIsf(0)

式中包含的饱和光强Is在上一节中已经定义，它是激光工作物质的一个重要参量，是发光物

氦氖激光器(6328Å谱线)，Is 0.3W／mm2 氩离子激光器(5145Å谱线)，Is7W／mm2

纵向二氧化碳激光器(10.6m谱线)，Is 2W／mm2

2、介质对频率为、强度为I的光波的增益系数

当均匀增宽型介质中传播着频率为、强度为I的光波时，介质中增益系数G随光强I而变化的规律为(2-14)式，将均匀增宽的线型函数代入得到

0

[()]G()00

G()2 (2-17) G()2If()I21()10Isf(0)

Is2

此式说明：当腔内光波的频率0时也会引起增益饱和，只是不如当0时的作用那样显著。从式中亦可看出，当

I

01 (2-18)

Is2

时，光强对增益系数的影响几乎可以忽略。把(2-17)式的形式稍加改变即可得到用中心频率

处小信号增益系数G00表示的增益系数的表达式

2G()G0(0) (2-19) 2I2

(0)1

Is2

图（2-8）均匀增宽型增益饱和

对介质的增益饱和作用也逐渐减弱。当

I

01

Is2

01



范围内而言的。



II

10

Is2Is2

212

这就是说，频率为的强光I不仅使本身频率处介质的增益系数由G()下降至G，

而且使介质的线宽范围内一切频率处介质的增益系数G0i都下降了同样的倍数变为

Gi。所以(2-19)式就是介质在频率为、强度为I的光波作用下对各种频率的小讯号光

在4.1节中还会看到，因为模式竞争的原因，均匀增宽型介质制作的激光器发出的激光

只会输出一个单一的频率，其谱线宽度远小于介质线型函数的宽度。这种激光器发出的激光的增益系数对应着图(2-9)中与中心频率极为靠近的一个点。

图（2-9）光强I、频率强光作用下的对小讯号光波i()的增益饱和

2.4非均匀增宽介质增益饱和

2.4.1 介质在小讯号时的粒子数密度反转分布值

m12md1 n1d1nexp2kT2kT

E1能级上速度在1至1d1之间的粒子数密度为

m2m

n1d1nd1 exp

2kT2kT

若E2、E1能级的简并度相等，则速度在1至1d1之间的粒子数密度反转分布值为

m2m

n1d1n1d1n1d1nd1 (2-20) exp

2kT2kT

在E2、E1能级间各种速度的粒子数密度反转分布值之和为







n1d1





m2m0

 （2-21） ndnexp1

2kT2kT

图（2-10）

n0()随速度的分布

10(1

反过来，用频率表示速度，则

1

)

1(10)

0

(2-22)

如果发光粒子的速度改变了d1，接收到的光波的中心频率也将相应地改变d1，它们之间的关系是

d1

0

d1 (2-23)

mc21v02cmdv1n0fD1d1 (2-24) nv1dv1nexp202kT2kT0

能够辐射以1为中心频率的单位频率间隔内的粒子数密度反转分布值为

n0(1)n0fD(1)

式中fD(1)是非均匀增宽介质的线型函数在1处的大小。fD()的中心频率也是0，但

fD()的线宽却远大于均匀增宽谱线f的线宽。单位频率间隔内的粒子数密度反转分布

值n0()与频率的函数关系曲线与图(2-10)相似，只要把图中的速度改成频率。

2.4.2 非均匀增宽型介质在小讯号时的增益系数

0非均匀增宽型介质的小讯号增益系数GD()是由具有不同速度的粒子数密度反转分布

n01d1提供的，频率为1粒子数密度反转分布对小讯号增益系数的贡献，就象均匀增

宽型介质的n对G()的贡献那样，为

n01d1B21dGD



hfn0fD1d1B21



hf (2-25)

介质的小讯号增益系数是介质中各种速度的粒子数密度反转分布的贡献之和，故有

GD()dGD()n0fD(1)d1B21





hf()

nB21



hfD1d1f





nB21h

c2







fD1

d1

1



2

(2-26)

虽然积分是在0区间内进行的，但是由于1是f()1值迅速趋近于零，所以，实际上1的取值范围为



外的f()2



或积分是在以为中心、以均匀增2

宽的线宽为范围的区间内进行的。也就是说，GD()实际上是由频率在范围





1 22

内的粒子数密度反转分布值贡献的。在此范围内，非均匀增宽的线型函数fD(1)几乎不变，可以用fD()代替，如图(2-11)所示。这样，上式积分可以化为

n0B21GD



hfD





2

d1



12

2

n0B21



hfD() (2-27)

(2-27)式就是非均匀增宽型介质的小讯号增益系数的表达式。可以看出，它与均匀增宽型介质的小讯号增益系数(2-13)式在形式上是一致的。

图（2-11）非均匀增宽型介质的小讯号增益

根据(2-27)，同样可以求得中心频率处的小讯号增益系数GD(0)，它与线宽D成反比

0GD(0)n0B21

2ln2

h0 (2-28) cD

2.4.3、非均匀增宽型介质稳态粒子数密度反转分布

对非均匀增宽型介质，当频率为1、强度为I的光波在其中传播时，对中心频率为

1的

粒子来说，这相当于用中心频率的光波与均匀增宽型介质作用引起粒子数密度反转分布值的饱和，(2-10)式的第一式相应地变为：

n0(1)n0

n(1)f() (2-29)

IID111IsIs

(2-29)式给出了非均匀增宽型介质中频率为1附近单位频率间隔内粒子数密度反转分布值随频率为1、光强为I的光波变化的关系式。

n0()n0

n()f()

If(1)If(1)D11Isf()Isf()

1

20

nfD (2-30) 2

I2

11

I2s

11



的粒子数密度反转分布的饱和作用已很弱。



IIs

2 

图（2-12）非均匀增宽型粒子数密度反转分布的饱和作用

对于c点，光波的频率1对它的中心频率的偏离已大于宽度1





IIs

2，所以饱和效应

可以忽略。由此可见，频率为1强度为I的光波仅使围绕中心频率1、宽度为

11I





I

范围内的粒子有饱和作用，因此在n~曲线上形成一个以12s

为中心的凹陷，习惯上把它叫做孔，这就是非均匀增宽型介质在较大讯号情况下的粒子数密度反转分布值的饱和效应。

孔的深度为

n0(1)n(1)

Is1Is

n0(1)

孔的宽度为

1



孔的面积



I

 Is

Sn0(1)

IIsI1Is

通常称上述现象为粒子数密度反转分布值的“烧孔”效应。大致说来，烧孔面积的大小与受激辐射功率成正比。

2.4.4 非均匀增宽型介质稳态情况下的增益饱和

在非均匀增宽型介质中，频率为1、强度为I的光波只在1附近宽度约为1

I

Is

I1，只是孔的深度浅了一点。 Is

在频率为1、强度为I的光波作用下，介质的增益系数GD(1)可以计算出得到

GD(1)

0GD(1)

I1Is

(2-31)

至于在1光波的作用下对其他频率下介质的增益系数，由于它与小讯号增益系数相比变化不大，这里就不再讨论了。

图（2-13）非均匀增宽型增益饱和

比较(2-16)式和(2-31)式可以看出，光波I使非均匀增宽型介质发生增益饱和的速率要比对均匀增宽型介质的情况缓慢。例如，当光强I＝Is

时，均匀增宽型介质的增益系数下降

为小讯号增益系数的一半，即

GD()，而非均匀增宽型介质的增益系数仅降到小讯号增

I率1为中心频率、频宽1I范围内的增益系数下降，而且孔内不同频率处

S

1

10

c 0

21





1

0

c

图（2-14）非均匀增宽型激光器中的增益饱和

2.5 激光器的损耗与阈值条件

2.5.1 激光器的损耗

称

1

II0expGa内z (2-32)

2.镜面损耗

r2、t1、t2和镜面损耗a1、a2都是无量纲的参数。 2.5.2 激光谐振腔内形成稳定光强的过程

所表示。这一部分曲线代表光的放大过程，当光强达到稳定后，稳定光强在腔中传播的过程由闭合曲线A~IL，IL~I2L，I2L~A所表示。

图（2-15）激光谐振腔内光强增长

1. 谐振腔内光强的放大过程









r2I1expG0a内L I1

表示了这个过程。I1又经增益介质进行放大，再传到M1处时，光强已增至图中曲线I1~I1



I1expG0a内Lr2I1expG0a内2L I1

~I1所示。I1光强在M1上一部分反射回波内继续放大，这部分为如图中曲线I1



I2r1r2I1expG0a内2L

一部分作为激光器的输出由M1镜透射出去，这部分的大小为



Iout

t1r2I1expG0a内2L



其余部分都作为镜面损耗而损失掉了，这部分为

a1r2I1expG0a内2L Iha1I1

~I2代表总镜面损耗IoutIh，即图中纵轴上I1



IoutIht1a1r2I1expG0a内2L

此时腔内光的放大倍数为



K

r1r2expG0a内2L1 (2-33) I1

，I1~I1，I1~I2，I2~I2， Im~Im，也逐渐下降。整个过程由图中一组曲线I1~I1

~Im1所表示。 Im

2. 谐振腔稳定出光过程

以均匀增宽型介质为例，当腔内光强和介质的饱和光强可以比拟时，增益系数不再可以

用小信号增益系数来近似。增益系数开始依G规律下降，光的放大速率开始随光强

1Is

IL~I2L，I2L~A，其中曲线A~IL，IL~I2L代表光波在介质中往返一次被

放大的情况，I2L~A代表往返一次的总镜面损耗。此时，光波在介质中往返一次所获得的放大倍数为

Kr1r2expGa内2L1 (2-34)



2.5.3 阈值条件

Kr1r2expGa内2L1 (2-35)

也可把(2-35)式改写为增益系数的形式

Ga内

令 a内称为总损耗系数，则(2-36)式可写为

lnr1r2 (2-36) 2L

lnr1r2a总 (2-37) 2L

Ga总 (2-38)

这就是形成激光所要求的增益系数的条件。

G阈a总 (2-39)

IM1

对非均匀增宽型介质，增益系数的阈值则为

GD阈

0GD

IM1

Is

a总 (2-40)

由增益系数的阈值也可以导出粒子数密度反转分布值的阈值n阈

G阈n阈B21



hfa总

n阈

a总c

B21hfA21c3c3

把B21代入上式有 

8h338h33

822a总

(2-41) n阈2

cf()

式中：为E2能级的寿命，为折射率，f()为谱线的线型函数。 (2-41)式给出了对激

822a总

励能源的要求，即激励能源对介质粒子的抽运一定要满足nn阈，才能2

cf()

产生激光。

2.5.4 对介质能级选取的讨论

在选取激光的能级方面也有一些值得考虑的问题。

n2n1n阈 (2-42)

这就要求激励能源有较大的抽运功率。

假定，激光器腔长L＝l0cm，反射率r21，r10.5，内损耗系数a内＝0，介质的线型函数为f0

，并对三种激光器的结果进行n阈

，则总损耗系数： 

a总a内

1ln0.5lnr1r23.4657m 2L0.2

粒子数密度反转分布值的阈值n阈为

2280a总

n阈

cf02



4202a总

n2n阈就满足要求了。

从反转粒子数密度阈值出发，可对激光器所需的最低抽运功率作一个粗略的计算。

表2-2 三种激光器的结果对比

当粒子数密度反转值达阈值时，激光上能级的粒子数n2n1n阈光器来说，处在E2能级的粒子数密度由于自发辐射单位时间内减少值为

。对于连续激2

A21n2

n221

为维持激光阈值，这部分粒子必须由外界能源抽运来补充。如果工作介质的体积为V，则能源的阈值抽运功率为

P13V阈3n2A21h

h13nV

(2-43) 221

类似三能级系统的讨论，我们容易得到能源对四能级系统提供的阈值抽运功率为

P阈4n阈A32h14V

n阈h14V

32

(2-44)

思考练习题2

1．利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n2－n1＝51018cm3，1/f()＝2×1011 s1，t自发

＝A213103s，λ＝0.6943m，＝l.5，g1＝g2。

1

2．He-Ne激光器中，Ne原子数密度n0＝n1+n2＝l012 cm3，1/f()＝15×109 s1，λ＝

0.6328m，t自发＝A211017s，g3＝3，g2＝5，11,又知E2、E1能级数密度之比为4，求

1

此介质的增益系数G值。

4．稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长L的取值范围。

5．试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

，并说明其物理意义。

8．研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”e()(cm2)概念，它与增益系数

G()(cm－1)的关系是e()

G()

n为反转粒子数密度，，试证明：具有上能级寿命为，n

c2f(）

线型函数为f()的介质的受激发射截面为e()。 22

8

9．饱和光强Is()是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率0处的饱和光强Is(0)

h0

，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G在0＝0.5950m处的饱

e(0)

—

和光强。(已知＝5.5×l 09s，＝4.66×1013Hz，＝1.36)

10．实验测得He-Ne激光器以波长＝0.6328工作时的小讯号增益系数为G0＝310

-1

－

/d(cm)，d为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强I＝50W／cm2的增益系数

－

-1

—

腔长L＝0.1m。

12．红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr3的n0＝10191／cm3，21=310s，今以波

＋

-3

长λ＝0.5100m的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。

13．YAG激光器为四能级系统。已知n阈＝1.8×1016，32＝2.310s。如以波长0.75m

-4

的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。

2.第二章激光器的工作原理

相关内容

热门内容

标签