研究生课程考核试卷
（适用于课程论文、提交报告）
科 目： 齿轮啮合原理 教 师： 姓 名： 学 号：
专 业： 车辆工程 类 别： 车辆工程领域 上课时间： 2015 年 9 月至2015 年 11 月
考
生 成 绩：
阅卷评语：
阅卷教师 (签名)
重庆大学研究生院制
一、 基本概念（每题2分，共计20分）
1、解释齿廓渐屈线？
答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.1）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。
在齿轮的瞬心线给出的情况下（图1.2），齿轮齿廓的渐屈线可由p =r +PC 确定，式中p 为齿廓渐屈线的径矢，r 为瞬心线的径矢。PC 的模l 由下式确定：
s i n λ(-μ)
P =
l =
⎛d λ⎫
n 1+d ⎪s i u
⎝⎭
式中r =r 。在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为：
x =r c o φs +l c o φs (+λ ⎧ ⎨
φ+l s i φn +(λ) ⎩
y =r s i n
图1.1 齿廓的渐屈线 图1.2 齿廓渐屈线坐标系 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
2、解释平面曲线的曲率？
答：在图1.3中，用s 表示曲线的弧长。考察曲线上分别与s 和s +∆s 对应的两个相邻的点M 和N ，图1.3(a)。点M 和N 之间的弧长∆s ，而∆α是点M 和N 处的两条
∆α
切线之间的夹角。当点N 趋近于点M 时，比值的极限称为曲线在点M 处的曲率
∆s （标记为K ），即K =lim
∆s →0
∆αd α∆α∆s d α=。在lim 存在的条件下，K =。比值
∆s →0∆s ∆αds ∆s ds
1∆s
，且ρc =。这里的ρc 是
K ∆α
称为曲线在点M 处的曲率半径（标记为ρc ），即ρc =
极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点N 和N ' 趋近于点M 时通过点M 和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。圆心C 称为曲率中心。
图1.3 齿轮的瞬时回转轴
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
3、解释齿轮的瞬时回转轴？
答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。如图1.4。
图1.4 齿轮的瞬时回转轴
本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）[EB/OL].
4、解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.5表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线Oa 和Ob 构成夹角
γ。两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线OI 是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮
(12)
1）相对运动中的角速度ω的作用线，OI 相对于两齿轮轴线的方向用角γ1和γ2来确
定。瞬时回转轴在与回转齿轮i 刚性固接的动参考标架S i (i =1, 2) 中的轨迹构成瞬轴面。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为γ1和γ2的圆锥。
图1.6中，两个构件分别以角速度ω和ω
(1) (2)
绕两个相错轴转动，转动轴线构成相
错角γ，两轴线之间的最短距离为E 。当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线s -s 在参考标架1和2中将形成两个曲面——回转双曲面。这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系中形成的轨迹。
S i (i =1, 2)
图1.5 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.6 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
5、解释共轭齿形？
答：在图1.7中Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。
共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P 。P 点在联心线O 1O 2上，而
O 2P r 2ω1
===i 12。当传动比i 12是常值时，P 点在联心线O 1O 2
O 1P r 1ω2
上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P 的。
图1.7 共轭齿形
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
6、解释短程线和曲面挠率？
答：如果曲线在其任一点M 的主法线与曲面在点M 的法线重合，或者曲面上的线是直线，则曲面上这样的线是短程。从这个定义得出，短程线在其任一点处的短程曲率等于零。
曲面的挠率可以解释为当一点沿短程线运动时，曲面的法面（该法面是通过短程线的切线引出的）进行扭转的程度。曲面的挠率对于在曲面的点M 彼此处于相切的整个曲线集合都是相同的。这些曲线中的一条是短程线，该线对于所考察的公共单位切线矢量是唯一的。这样，短程线的曲线挠率和任意一条与短程线相切的曲面曲线的曲面挠率是相同的。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
7、解释啮合面？
答：配对曲面∑1和∑2（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系S f 中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：
r f =r f (μ, θ, φ) f (μ, θ, φ) =0。式中r f =M f 1r 1，这里，4⨯4矩阵M f 1描述S 1到S f 的坐标变换。
图1.8 齿面上的瞬时接触线
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
8、解释不产生根切条件？
答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程v
(2) r
=0来说明，从该式可导出方程
(1)
(12)
v r +v r 和啮合方程的微分式
=0
d
[f (u , θ, φ)]=0 dt
从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L ，该线将形成曲面2上的奇异点。我们用曲线L 限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
9、解释曲面族的包络存在的必要条件？ 答：微分几何中提出的解法是用下列方程 f (u , θ, φ) =(给出包络面2存在的必要条件。
该方程将曲面1的曲线坐标(u , θ) 和广义运动参数φ加以联系。该方程是曲面族如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，r 2=r 2(u , θ, φ) 包络存在的必要条件。则包络在S 2中可以用联立方程f (u , θ, φ) =(
∂2∂2∂2
⨯) ⋅=0 ∂u ∂θ∂φ
∂2∂2∂2
⨯) ⋅=0和方程2=2(u , θ, φ) 来∂u ∂θ∂φ
表示。这两个方程用三个相关的曲面参数(u , θ, φ) 来表示包络。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
10、写出Euler 的方程式？
答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为
22
K n =K Icos q +K Ⅱsin q 。式中q 是由矢量MN 和单位矢量e I构成的夹角（图1.9）。
矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方向，而K n 是曲面在这个方向上的法曲率。单
位矢量e I和e Ⅱ沿着两个主方向，而K I和K Ⅱ是主曲率。
图1.9 矢量的分解
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
二、 分析曲线和曲面（16分）
要求：自选曲线及曲面公式，采用微分几何理论，结合数学软件的方法； 1）自选曲线，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。 答：对外摆线进行绘制。 外摆线 是所有形式为
的曲线，其中 n 为正实数。 Matlab 程序： t=0:pi/100:2*pi; a=20;b=2;
x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b); y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b); plot(x,y);axis equal; 图形：
图2.1 外摆线
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
2）自选曲面，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。 答：本题将对阿基米德螺旋面进行绘制
定义：动直线以恒定的角度与一条固定的直线（轴线）相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速的旋转运动；此动直线在固定空间内的运动轨迹。 方程是：x=rcosθ;
y=rsinθ; z=hθ/(2*pi);
化简计算，取r 为1，h 为2*pi
。
图2.2 阿基米德正螺旋面
Matlab 程序如下： h=2*pi;
[r,theta]=meshgrid(linspace(0,1,50),linspace(0,2*pi,500)); x=r.*cos(theta); y=r.*sin(theta);
z=h*theta/2/pi; surf(x,y,z); shading interp 结果图形如下：
图2.3 阿基米德螺旋面
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
三、 推导方程（1题10分，2题10分，共计20分）
1. 假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。坐标系
S 1和S 2刚性固接到两齿轮1和2；S f 和S p 是固定坐标系；E 是最短距离；ρ1和ρ2是
齿轮两瞬心线的半径。
推导：
解：
图1
1) 确定矩阵M -1
21=M 12。
2) 从S 2到S 1的坐标变换方程。 3) 从S 1到S 2的坐标变换方程。
易知，从S 2到S 1的坐标系变换是基于如下的矩阵方程：
r
1=M 12r 2=M f 1M f p M p 2 2r 式中M 1f 和M p 2是转动矩阵，而M fp 是移动矩阵。这里
⎡⎢c o φ
s 2s i n φ200⎤⎥ M =⎢-s i n φ2c o φs 200p 2
⎢⎢0010⎥⎥
⎣0
01⎥⎦
⎡⎢c o φs 1-s i n φ100⎤ M =⎢s i n φ1c o φs 100⎥1f
⎢⎥ ⎢
0010⎥
⎣0
001⎥⎦
(1) (2) (3) 1)
研究生课程考核试卷
（适用于课程论文、提交报告）
科 目： 齿轮啮合原理 教 师： 姓 名： 学 号：
专 业： 车辆工程 类 别： 车辆工程领域 上课时间： 2015 年 9 月至2015 年 11 月
考
生 成 绩：
阅卷评语：
阅卷教师 (签名)
重庆大学研究生院制
一、 基本概念（每题2分，共计20分）
1、解释齿廓渐屈线？
答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.1）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。
在齿轮的瞬心线给出的情况下（图1.2），齿轮齿廓的渐屈线可由p =r +PC 确定，式中p 为齿廓渐屈线的径矢，r 为瞬心线的径矢。PC 的模l 由下式确定：
s i n λ(-μ)
P =
l =
⎛d λ⎫
n 1+d ⎪s i u
⎝⎭
式中r =r 。在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为：
x =r c o φs +l c o φs (+λ ⎧ ⎨
φ+l s i φn +(λ) ⎩
y =r s i n
图1.1 齿廓的渐屈线 图1.2 齿廓渐屈线坐标系 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
2、解释平面曲线的曲率？
答：在图1.3中，用s 表示曲线的弧长。考察曲线上分别与s 和s +∆s 对应的两个相邻的点M 和N ，图1.3(a)。点M 和N 之间的弧长∆s ，而∆α是点M 和N 处的两条
∆α
切线之间的夹角。当点N 趋近于点M 时，比值的极限称为曲线在点M 处的曲率
∆s （标记为K ），即K =lim
∆s →0
∆αd α∆α∆s d α=。在lim 存在的条件下，K =。比值
∆s →0∆s ∆αds ∆s ds
1∆s
，且ρc =。这里的ρc 是
K ∆α
称为曲线在点M 处的曲率半径（标记为ρc ），即ρc =
极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点N 和N ' 趋近于点M 时通过点M 和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。圆心C 称为曲率中心。
图1.3 齿轮的瞬时回转轴
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
3、解释齿轮的瞬时回转轴？
答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。如图1.4。
图1.4 齿轮的瞬时回转轴
本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）[EB/OL].
4、解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.5表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线Oa 和Ob 构成夹角
γ。两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线OI 是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮
(12)
1）相对运动中的角速度ω的作用线，OI 相对于两齿轮轴线的方向用角γ1和γ2来确
定。瞬时回转轴在与回转齿轮i 刚性固接的动参考标架S i (i =1, 2) 中的轨迹构成瞬轴面。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为γ1和γ2的圆锥。
图1.6中，两个构件分别以角速度ω和ω
(1) (2)
绕两个相错轴转动，转动轴线构成相
错角γ，两轴线之间的最短距离为E 。当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线s -s 在参考标架1和2中将形成两个曲面——回转双曲面。这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系中形成的轨迹。
S i (i =1, 2)
图1.5 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.6 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
5、解释共轭齿形？
答：在图1.7中Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。
共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P 。P 点在联心线O 1O 2上，而
O 2P r 2ω1
===i 12。当传动比i 12是常值时，P 点在联心线O 1O 2
O 1P r 1ω2
上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P 的。
图1.7 共轭齿形
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
6、解释短程线和曲面挠率？
答：如果曲线在其任一点M 的主法线与曲面在点M 的法线重合，或者曲面上的线是直线，则曲面上这样的线是短程。从这个定义得出，短程线在其任一点处的短程曲率等于零。
曲面的挠率可以解释为当一点沿短程线运动时，曲面的法面（该法面是通过短程线的切线引出的）进行扭转的程度。曲面的挠率对于在曲面的点M 彼此处于相切的整个曲线集合都是相同的。这些曲线中的一条是短程线，该线对于所考察的公共单位切线矢量是唯一的。这样，短程线的曲线挠率和任意一条与短程线相切的曲面曲线的曲面挠率是相同的。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
7、解释啮合面？
答：配对曲面∑1和∑2（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系S f 中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：
r f =r f (μ, θ, φ) f (μ, θ, φ) =0。式中r f =M f 1r 1，这里，4⨯4矩阵M f 1描述S 1到S f 的坐标变换。
图1.8 齿面上的瞬时接触线
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
8、解释不产生根切条件？
答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程v
(2) r
=0来说明，从该式可导出方程
(1)
(12)
v r +v r 和啮合方程的微分式
=0
d
[f (u , θ, φ)]=0 dt
从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L ，该线将形成曲面2上的奇异点。我们用曲线L 限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
9、解释曲面族的包络存在的必要条件？ 答：微分几何中提出的解法是用下列方程 f (u , θ, φ) =(给出包络面2存在的必要条件。
该方程将曲面1的曲线坐标(u , θ) 和广义运动参数φ加以联系。该方程是曲面族如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，r 2=r 2(u , θ, φ) 包络存在的必要条件。则包络在S 2中可以用联立方程f (u , θ, φ) =(
∂2∂2∂2
⨯) ⋅=0 ∂u ∂θ∂φ
∂2∂2∂2
⨯) ⋅=0和方程2=2(u , θ, φ) 来∂u ∂θ∂φ
表示。这两个方程用三个相关的曲面参数(u , θ, φ) 来表示包络。
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
10、写出Euler 的方程式？
答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为
22
K n =K Icos q +K Ⅱsin q 。式中q 是由矢量MN 和单位矢量e I构成的夹角（图1.9）。
矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方向，而K n 是曲面在这个方向上的法曲率。单
位矢量e I和e Ⅱ沿着两个主方向，而K I和K Ⅱ是主曲率。
图1.9 矢量的分解
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
二、 分析曲线和曲面（16分）
要求：自选曲线及曲面公式，采用微分几何理论，结合数学软件的方法； 1）自选曲线，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。 答：对外摆线进行绘制。 外摆线 是所有形式为
的曲线，其中 n 为正实数。 Matlab 程序： t=0:pi/100:2*pi; a=20;b=2;
x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b); y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b); plot(x,y);axis equal; 图形：
图2.1 外摆线
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
2）自选曲面，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。 答：本题将对阿基米德螺旋面进行绘制
定义：动直线以恒定的角度与一条固定的直线（轴线）相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速的旋转运动；此动直线在固定空间内的运动轨迹。 方程是：x=rcosθ;
y=rsinθ; z=hθ/(2*pi);
化简计算，取r 为1，h 为2*pi
。
图2.2 阿基米德正螺旋面
Matlab 程序如下： h=2*pi;
[r,theta]=meshgrid(linspace(0,1,50),linspace(0,2*pi,500)); x=r.*cos(theta); y=r.*sin(theta);
z=h*theta/2/pi; surf(x,y,z); shading interp 结果图形如下：
图2.3 阿基米德螺旋面
本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.
三、 推导方程（1题10分，2题10分，共计20分）
1. 假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。坐标系
S 1和S 2刚性固接到两齿轮1和2；S f 和S p 是固定坐标系；E 是最短距离；ρ1和ρ2是
齿轮两瞬心线的半径。
推导：
解：
图1
1) 确定矩阵M -1
21=M 12。
2) 从S 2到S 1的坐标变换方程。 3) 从S 1到S 2的坐标变换方程。
易知，从S 2到S 1的坐标系变换是基于如下的矩阵方程：
r
1=M 12r 2=M f 1M f p M p 2 2r 式中M 1f 和M p 2是转动矩阵，而M fp 是移动矩阵。这里
⎡⎢c o φ
s 2s i n φ200⎤⎥ M =⎢-s i n φ2c o φs 200p 2
⎢⎢0010⎥⎥
⎣0
01⎥⎦
⎡⎢c o φs 1-s i n φ100⎤ M =⎢s i n φ1c o φs 100⎥1f
⎢⎥ ⎢
0010⎥
⎣0
001⎥⎦
(1) (2) (3) 1)